模拟测试卷03（新高考冲刺卷01）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）含解析

2024年高考押题预测模拟测试卷03（新高考冲刺卷01）（满分150分，考试用时120分钟）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则等于（

）A． B． C． D．2．已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（

）A． B．6 C． D．43．已知，，，则（

）A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．105．对于角，甲、乙、丙、丁4人有4种不同的判断，甲：的终边在直线上，乙：，丙：，丁：，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，则判断错误的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．若复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．7．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）A． B．C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设正实数x，y，满足，则（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为410．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（

）A．为奇函数 B．C． D．为偶函数11．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面，定义为经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为，北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则（

）

A．B．若点在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则C．若点在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面的面积D．若，则球面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在的展开式中，的系数为.13．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为．14．将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色各不相同的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知在中，三边所对的角分别为，已知．(1)求；(2)若外接圆的直径为4，求的面积．16．已知函数，．(1)若函数在点处的切线过原点，求实数a的值；(2)若，求函数在区间上的最大值．17．随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号123456销售金额／万元15.425.435.485.4155.4195.4若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；(2)试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程，其中，，样本相关系数；参考数据：，．18．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标．19．基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．(1)若，求数列的最小项；(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；(3)若，求证：数列具有性质．2024年高考押题预测模拟测试卷03（新高考冲刺卷01）（满分150分，考试用时120分钟）一､选择题1．已知集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得集合B,再进行补集交集运算【解析】由题故，.故选A【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B是关键，是基础题2．已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（

）A． B．6 C． D．4【答案】A【分析】根据极差和中位数概念得到关于的方程，再利用百分位数的概念即可.【解析】由小到大排列的个数据、、、，则，这四个数为极差为，中位数为，因为这个数据极差是它们中位数的倍，则，解得，所以，这四个数由小到大依次为、、、，因为，故这个数据的第百分位数是.故选：A.3．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.【解析】由换底公式得，，，所以.故选：D.4．已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可.【解析】在等差数列中，，，所以，故构成公差为的等差数列，所以，即.故选：C5．对于角，甲、乙、丙、丁4人有4种不同的判断，甲：的终边在直线上，乙：，丙：，丁：，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，则判断错误的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根据题意以及象限角和三角恒等变换分析判断即可得解.【解析】对于甲：为第一象限角或第三象限角，则；对于乙：因为，整理得，解得或；对于丙：因为，解得；对于丁：因为，则；若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，可知：甲、乙、丙一定正确，此时，为第一象限角或第三象限角，可知或，故丁错误.故选：D.6．若复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据复数模的运算公式，结合配方法进行求解即可.【解析】令，为实数由，所以，因此当时，取最小值，故选：B7．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）A． B．C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥【答案】A【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出的值，可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用互斥事件的定义可判断D选项.【解析】依题意，，，，，，B对，，A错；，，所以，，所以，事件与事件不相互独立，C对，由题意可知，事件、、中的任意两个事件都不可能同时发生，因此，事件、、两两互斥，D对.故选：A.8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直角三角形的性质可得出，推导出为等边三角形，求出、，利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【解析】因为，则为线段的中点，因为，则，则，因为为的中点，，则，所以，为等边三角形，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，即，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题9．设正实数x，y，满足，则（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为4【答案】ACD【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.【解析】解：选项A，由，可得，所以，故选项A正确；选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，故选项B错误；选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.故选：ACD.10．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（

）A．为奇函数 B．C． D．为偶函数【答案】ACD【分析】根据函数奇偶性判断AD；利用赋值法结合导数运算、函数性质判断BC．【解析】因为为奇函数，则，可得，所以为奇函数，故A正确；又因为，可得，则，可得，所以是以为周期的周期函数，可得，但没有足够条件推出，故B错误；因为，则，令，则，故C正确；因为，则，可得，又因为，则，所以为偶函数，故D正确，故选：ACD．11．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面，定义为经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为，北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则（

）

A．B．若点在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则C．若点在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面的面积D．若，则球面的面积为【答案】BD【分析】当时，求得，可判定A错误；求得，得出，可判定B正确；由球心角，结合球的表面积求得的面积，可判定C错误；由时，构造正四面体，求得，结合对称性，求得球面的面积，可判定D正确.【解析】对于A中，当时，可得，此时，可得，所以A不正确；对于B中，当点在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，可得球心角，此时，所以B正确；对于C中，当点在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，可得球心角，又由球的表面积为，所以的面积为，所以C错误；对于D中，如图所示，当时，可得为等边三角形，构造一个球内接正四面体，其中心为，连接交于点，则，为正四面体内切球得到半径，设正四面体的表面积为，可得，即，可得，即为高的靠近的四等分点，则，由余弦定理可得，解得，根据对称性，可得球面的面积为，所以D正确.故选：BD.

三、填空题12．在的展开式中，的系数为.【答案】【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解.【解析】因为的展开通项公式为，的展开通项公式为，所以取，得的系数为.故答案为：.13．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为．【答案】【分析】取中点为，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角的定义可知：或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果.【解析】连接，，，取中点，连接，，∵四边形，为矩形，∴，，平面平面，平面，平面，∴即为二面角的平面角，∴，又，，∴，∴为等边三角形，∴；∵，分别为，中点，∴，，∴（或其补角）即为异面直线与所成角，∵，∴，∴，所以异面直线与所成角的正弦值为．故答案为：．14．将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色各不相同的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则．【答案】125【分析】利用新定义，结合排列组合，分情况讨论即可.【解析】，即，.如图，在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，所以4条边一共有8个端点，又由于从任意一点出发，沿着可边可以达到任意一点，所以每一点必定会作边，至少一条边的端点.所以可能出现的情形有三种情形，按照5个点可能同时做边几条边的公共端点来分情况讨论.情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有种；情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，另3个点是1条边的端点，有种；情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有种；综上：.故答案为：125【点睛】方法点睛：对于特殊类型的排列问题，注意根据问题的特征将其转化等价的排列问题，而后者容易计数.四、解答题15．已知在中，三边所对的角分别为，已知．(1)求；(2)若外接圆的直径为4，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角，解三角方程即得；（2）由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边，利用面积公式即得.【解析】（1）因为，由正弦定理得，，因为，所以，因为．所以，又，则，因为，所以．（2）由正弦定理，，则，由余弦定理，，解得或（舍去），故的面积．16．已知函数，．(1)若函数在点处的切线过原点，求实数a的值；(2)若，求函数在区间上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入求出切点，求导，利用导数的意义求斜率，再由点斜式写出直线方程求出；（2）求导，分析单调性，求出最值即可.【解析】（1）切点，，．切线过，∴，∴．（2），，，或3，则当或时，,当时，,在上为减，在为增，，，∴．17．随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号123456销售金额／万元15.425.435.485.4155.4195.4若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；(2)试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程，其中，，样本相关系数；参考数据：，．【答案】(1)0.96(2)，219.4万元【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得以及，进一步代入相关系数公式即可求解；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得，由此即可得经验回归方程并预测.【解析】（1），，所以.（2）由题意，所以，所以关于的经验回归方程为，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.18．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为【分析】（1）由已知求得椭圆右焦点坐标及抛物线焦点坐标，进而可求得结果.（2）设出，，坐标，由，，三点共线可得，进而可得，同理可得，分别写出与时直线EP的方程即可求得定点.【解析】（1）由题意知，，，则，所以椭圆的右焦点为，又抛物线焦点为，所以，即，所以抛物线的标准方程为．（2）证明：如图所示，设，，，则，．由，，三点共线可得，即，化简，得．所以．同理：由，，三点共线可得．①当，即时，直线EP的斜率存在，此