2023年北京二中初二（上）期末数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京二中初二（上）期末数学一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1.下列数学曲线中，不是轴对称图形是（）A. B. C. D.2.新型冠状病毒最新变异为奥密克戎，它被科学家称为迄今为止“最糟糕的变异毒株”，它的直径虽然只有85纳米左右（1纳米米），但它在空中存活的时间更长，并且致病率更高．科学研究还表明：佩戴口罩可有效阻断奥密克戎的传播．将“85纳米”用科学记数法表示为（）A.米 B.米 C.米 D.米3.若分式的值为0，则x的值为（）A. B. C. D.4.一个边形的每个外角都是，则这个边形的内角和是（）A. B. C. D.5.如图，已知与相交于E，添加下列哪一个条件后，仍不能使的是（）A. B. C. D.6.若，则a与b的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定7.下列各式中，运算正确的有（）①；②；③；④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.下图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的周长是（）A. B. C. D.14二、填空题（共16分，每题2分）9.若分式有意义，则的取值范围是_____．10.分解因式：_________．11.已知等腰三角形的周长为16，其中一边的长为4，则底边的长为_________．12.如图，在中，，剪去后得到四边形，则_________．13.在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接．若，则的度数是_________．14.如图，在中，，高交于点．若，，则_________．15.若，且，则的值是_________．16.如图所示，是以A为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线l交于点D．点P为直线l上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为_________．（用含有a、b的式子表示）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25题6分，第26-28题，每题7分）17.计算：．18.已知：，求代数式的值．19.在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程．解：原式①②③（1）以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________；（2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程．20.解分式方程：．21.先化简，然后在中选一个合适整数值代入，求出代数式的值．22.如图，在等腰中，，D、E分别为上的点，且满足．（1）求证：；（2）连接，试判断与的位置关系，并证明．23.如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．（1）求证：为等边三角形；（2）若D是的中点，求的值．24.如图，在中，．（1）用直尺和圆规作斜边的垂直平分线，分别交于D、E，连接（不写作法，保留作图痕迹）；由作图可知，，依据是：_________；（2）在（1）的条件下，若，则与的数量关系是：_________，依据是：_________；（3）请你用直尺和圆规在斜边上求作一点T，使点T到边距离等于线段的长（不写作法，保留作图痕迹）．25.列分式方程解应用题【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产540万剂疫苗所用时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天．问原先每天生产多少万剂疫苗．【分析交流】（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：时间原先现在生产总量（单位：万剂）每天生产量（单位：万剂）x【建模解答】（2）请你完整解答本题．26.已知：．（1）当时，计算的值；（2）当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；（3）设，若x、y均为非零整数，求的值．27.已知：为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设．（1）请你根据题意，补全图形；（2）连接，①判断：_________；（填“>”、“<”或“=”）②求的大小；（用含有的式子表示）（3）试猜想和之间数量关系，并证明．28.如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为．对于点P、直线l和正方形，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形关于直线l的“反射点”．（1）已知直线为．①在点中，是正方形关于直线的“反射点”的有_________；②若点P为x轴上动点，且点P为正方形关于直线的“反射点”，则点P的横坐标的最大值为_________；（2）设点，直线为过点且与第二、四角平分线平行直线．①当时，若点P为直线上一点，且点P为正方形关于直线的“反射点”，则点P纵坐标的取值范围是_________；②设正方形是以点为中心，边长为1的正方形，且正方形的边均与坐标轴平行．若点Q为正方形的边界上一点，且点Q为正方形关于直线的“反射点”，请你直接写出t的取值范围．

参考答案一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；选项C不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：85纳米（米）（米）．故选D．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C【解析】【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，解得：．故选：C【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．4.【答案】B【解析】【分析】根据边的外角和为可得到这个多边形的边数，然后根据边形的内角和为即可求得8边形的内角和．【详解】解：∵多边形的每个外角都是，∴这个多边形的边数，∴这个多边形的内角和故选B【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为．5.【答案】C【解析】【分析】根据题意和图形可以得到，，然后再写出添加各个选项中的条件时能否得到和全等即可．【详解】解：由图可得，，，．添加时，，故选项A不符合题意；添加时，，故选项B不符合题意；添加时，不能证明，故选项C符合题意；添加时，，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．6.【答案】A【解析】【分析】先根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出a、b的值，然后比较大小即可．详解】解：∵，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，熟知零指数幂（非零底数）的结果为1，负偶次幂的结果为正是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，对每一个分式一一判定即可．【详解】解：①，故①不符合题意；②，故②符合题意；③，故③不符合题意；④，故④不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查分式的性质和化简，熟练掌握分式的基本性质，分式的化简方法是解题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】设直角三角形的较长直角边是，较短直角边是，斜边是，由勾股定理，三角形的面积公式，完全平方公式求出，的值，即可得到答案．【详解】解：设直角三角形的较长直角边是，较短直角边是，斜边是，，，小正方形的边长是，，，，，，，，每个小直角三角形的周长是，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用完全平方公式，勾股定理求出．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【解析】【分析】根据若分式有意义则分式的分母不等于0列式计算即可．【详解】根据题意得，，解得．故答案为．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，可以从以下三个方面理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10.【答案】【解析】分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．11.【答案】4【解析】【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【详解】解：设等腰三角形，（1）以4为腰，则，所以，不符合题意，此种情形不存在，（2）以底边，则腰．故答案为：4．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题关键是从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．12.【答案】255【解析】【分析】根据题意可得出，再根据四边形的内角和定理可求出．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，三角形的内角和等于，掌握相关定理是解题的关键．13.【答案】35【解析】【分析】由平分，求出，，再求出，再根据三角形的内角和定理求出，进而求出的度数．【详解】∵平分∴，∵垂直平分线∴∴∵，∴∴故答案为：35【点睛】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理推出相应角的度数．14.【答案】3【解析】【分析】先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案．【详解】∵，，∴，∵，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：3【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质，解决本题的关键是证明．15.【答案】【解析】【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．【详解】解∶，且，，原式．故答案为∶．【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】【解析】【分析】如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，证明得到，接着证明，连接，取的中点F，则，可证明点E和点F重合，进一步证明点Q在上，作D关于直线的对称点，连接，则，可以推出当最小时，的周长最小，则当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线l上，据此求解即可．【详解】解：如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即是的角平分线，又∵，∴，连接，取的中点F，则，∴，即点E和点F重合，又∵，∴点Q在上，作D关于直线的对称点，连接，则，∵的周长，∴当最小时，的周长最小，∵，∴当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线l上，∴此时，则，∴，∴的周长最小值，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形从而确定点Q的运动轨迹是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25题6分，第26-28题，每题7分）17.【答案】【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、单项式除以单项式法则进行运算，即可求得结果．【详解】解：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、单项式除以单项式法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．18.【答案】，【解析】【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：原式∵，∴，∴原式．【点睛】本题考查了整式混合运算-化简求值，掌握运算法则是关键．19.【答案】（1）②，分式的基本性质（2）【解析】【分析】（1）由分式加减法的计算方法进行计算即可，即先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可；（2）先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．【小问1详解】解：根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为∶②，分式的基本性质；【小问2详解】解：第③步错误原式．【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法进行计算即可．20.【答案】【解析】【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【详解】解：方程两边同乘以，可得检验：将代入，∴为原方程的解【点睛】本题主要考查解分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤，注意最后记得检验是否为原方程的解是正确解题的关键．21.【答案】，【解析】【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：原式∵，∴，∴x的整数解为：，，0，1，2，∴，，，∴，，，∴当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．22.【答案】（1）详见解析（2）垂直平分，详见解析【解析】【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得；（2）由，，推导出，则，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明．【小问1详解】解：证明：在和中，，，．【小问2详解】连接，，证明：，，，，，，在和中，，，，．【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．23.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的的两锐角互余求得，再根据三角形的外交性质求得，由等角对等边得，即可证明结论成立；（2）连接，由（1）得，，先由等腰三角形的三线合一得，进而根据等角对等边得，在中，根据直角三角形的性质即可得，即可求得．【小问1详解】证明：∵于F，∴，∵，∴在中，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴为等边三角形；【小问2详解】解：连接，如下图，由（1）得，，，∵D为中点，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，即．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的判定，直角三角形的两锐角互余以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．24.【答案】（1）作图见解析，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（2），角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法和性质可得；（2）根据角平分线的判定定理可得；（3）作的平分线，作的垂直平分线，则点T即为所求．【小问1详解】解：如图所示，直线即为所求直线；，依据是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；【小问2详解】解：，依据是：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；【小问3详解】解：如图所示，点T即为所求作．其中，平分，垂直平分线段，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，即点T到的距离等于线段的长．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和作法，角平分线的判定和性质以及作法，解题的关键是将两者结合起来，解决（3）中的问题．25.【答案】（1）510,540,；（2）原先每天生产75万剂疫苗；【解析】【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产万剂疫苗，根据“现在生产540万剂疫苗所用时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天”列出分式方程，求解即可．【详解】解：（1）补充完整时间原先现在生产总量（单位：万剂）510540每天生产量（单位：万剂）x（2）解：设原先每天生产x万剂．解得经检验，为原方程的解，且符合题意答：原先每天生产75万剂疫苗．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键．26.【答案】（1）（2）,详见解析（3）12或18【解析】【分析】（1）将代入计算的值即可；（2）先求差，再比较差与0的大小关系．（3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题．【小问1详解】当时，；【小问2详解】当时，，理由如下：，，或，当且时，；当时，；【小问3详解】，，，，、均为非零整数，时，，；时，，；综上所述：的值为18或12．【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．27.【答案】（1）见解析（2）①=；②（3），证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）①通过证明是等边三角形，可得，由轴对称的性质可得，可得结论；②由外角的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解；（3）由“”可证，可得，通过证明是等边三角形，可得，可得结论．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】①是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，点关于直线对称点为，，，故答案为：；②，，点关于直线的对称点为，，，，，，；【小问3详解】，理由如下：如图，连接，点关于直线的对称点为，，，，，，，