高三数学三角函数

三角函数和解三角形考试说明要求序号内容要求ABC1三角函数的有关概念√2同角三角函数的基本关系式√3正弦、余弦的诱导公式√4正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质√5函数的图象和性质√6两角和（差）的正弦、余弦和正切√7二倍角的正弦、余弦和正切√8几个三角恒等式√9正弦定理、余弦定理及其应用√二、应知应会学问和方法：1．（1）已知，并且是其次象限角，则等于．解：．（2）设，且，则x的取值范围是．解：[，]．（3）已知，且，则．解：．（4）若，则＝．解：2．说明：考查同角三角函数的基本关系式。留意：（1）平方关系式中的符号选取；（2）公式的变形运用；（3）商数关系中的弦切互化功能．2．（1）的值是.解：．（2）化简=．解：．（3）设，，，则a、b、c的大小关系是．解：．说明：考查正弦、余弦的诱导公式，理解诱导公式的作用是将随意角的三角函数转化内的角的三角函数.留意记忆方法“奇变偶不变，符号看象限”的含义．2．（1）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是．解：2．（2）若动直线和函数和的图像分别交于两点，则的最大值为．解： 说明：考查正弦函数、余弦函数的图象和性质．留意利用函数图像解决问题．3．（1）函数的最小正周期为；图象的对称中心是；对称轴方程是；当x∈[0，]时，函数的值域是．（2）把函数的图像向右平移个单位，所得到的图像的函数解析式为，再将图像上的全部点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图像的函数解析式为．解：；．（3）函数在区间上的最大值是．解：．（4）已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝．解：．（5）已知函数，则函数的最小正周期是；图象的对称轴方程是；函数在区间上的值域是．说明：考查函数的图像及参数对函数图像改变的影响和函数的图像和正弦曲线的关系．要特殊关注其中角的整体代换思想，将问题转化为对或的图象的探讨．3．（1）已知，且，则．（2），是方程的两个根，则．解：．（3）若，则．解：（4）＝．解：2．（5）已知(α-)＋α＝，则的值是．说明：娴熟运用两角和和差的三角公式，二倍角公式进行化简和求值．在恒等变形时，追求已知角和未知角、一般角和特殊角的沟通．4．（1）在中，，则最小内角度数为．解：．（2）在中，已知，，，则．解：或．（3）已知，则的形态是．解：等腰直角三角形．（4）在中，比长4，比长2，且最大角的余弦值是，则的面积等于．解：．（5）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，c＝3b，则的值是．说明：在三角形中，假如知道两角及一边或两边及一边的对角，用正弦定理；假如知道两边及夹角或三边，用余弦定理。假如在同一个式子中，既有角又有边，常运用正、余弦定理进行边和角的互换，实现单一化，以利于解题。5．（1）求函数的最大值和最小值．解：最大值为10；最小值为6．（2）在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知，．①若的面积等于，求；②若，求的面积．解：①；②．反馈练习1．“”是“”的充分不必要条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)2．设向量，，其中，若，则.3.函数的最小正周期为．4．已知曲线在点处的切线和直线相互垂直，则实数．5．已知函数，若，且在区间内有最大值，无最小值，则．6．函数的最小正周期是．7．，，其中，则．8.函数的值域为[－2，2]．9.满意的锐角x＝．10.若函数则1.11.如图，点A、B在函数的图象上,则直线的方程为.AAyx1O（第11题）第第12题图12．若函数的部分图象如图所示，则的值为.13．已知向量，且，则.图一第14题图图二14．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为图一第14题图图二15．在三角形中，已知，设，（1）求角的值；（2）若，其中，求的值.解：（1）由，得所以，又因为为三角形的内角，所以，…………6分（2）由（1）知：，且，所以………………8分故＝.…………14分16.（本题满分14分）已知向量和共线，其中A是△的内角．（1）求角的大小；（2）若2，求△面积的最大值，并推断S取得最大值时△的形态.【解】（1）因为,所以.………………2分所以，即，……3分即

.…………4分因为,所以.…………5分故，.…………7分（2）由余弦定理，得.………8分又，………………9分而，（当且仅当时等号成立）…11分所以.………12分当△的面积取最大值时，.又，故此时△为等边三角形.…14分17．（本小题满分14分）如图，在四边形中，＝＝＝1，＝1，∠＝．DCDCBA（第15题）（2）求四边形的面积；（3）求D的值．解（1）由条件，得＝＝1，＝2．∵＝1，∴1×2×∠＝1．则∠＝．∵∠∈（0，π），∴∠＝．………………2分∴2＝2＋2－2·∠＝4＋1－2×2×＝3．∴＝． ………………5分（2）由（1）得2＋2＝2．∴∠＝． ………………6分∴∠＝＝．∵∠∈∈（0，π），∴．………8分∴S△＝×1×1×＝．∴S四边形＝S△＋S△＝．………………10分（3）在△中，2＝2＋2－2AC·∠＝1＋1－2×1×1×＝．∴＝． ………………12分∵，∴．………………14分18．（本小题满分14分）在中，角所对的对边长分别为；（1）设向量，向量，向量，若，求的值；（2）已知，且，求．解：（1），由，得， （4分）即所以；（7分）（2）由已知可得，，则由正弦定理及余弦定理有：， （10分）化简并整理得：，又由已知，所以，解得，所以． （14分）19．（本小题满分14分）在△中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2，向量和满意.（1）求的值；（2）求证：三角形为等边三角形．【解】（1）由得，，……2分又π()，得()()=，……4分即()=，所以．……………6分【证明】（2）由b2及正弦定理得，故.……………8分于是，所以或.因为()>0，所以，故．…11分由余弦定理得，即，又b2，所以得.因为，所以三角形为等边三角形.…14分20．设△的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，（1）求角；（2）若是△的最大内角，求的取值范围．解（1）在△中，由正弦定理，得，……………2分又因为，所以，……………4分所以,又因为,所以．……………6分（2）在△中，，所以=，………10分由题意，得≤＜,≤＜，所以()，即2()，所以的取值范围．………………14分21．(本小题满分14分)在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）若△的面积，求a的值．解：（1）∵，∴．…………………2分∵，，∴．∵，∴．……………5分（2）∵，∴为锐角，∴．∵，，………8分∴==．………10分（3）∵，∴，．∴．……………12分又∵，∴，∴．………