2023-2024学年上海市闵行区八年级上学期期中考试数学试卷含详解

2023学年第一学期期中考试八年级数学试卷

（考试时间：90分钟满分100分）

一、选择题（本大题共有6小题，每题2分，满分12分）

1.下列各式中，是最简二次根式的是（）

AB.y/21C.V24D.VsT

2.、万-扬的有理化因式是（）

A.y/a-bB.y/a+bC.y/aD.

3.在下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.OX2-2%-1=0(。为常数)B.X2=-1

C.(x+2)(x-2)-%?=0D.2x2---3=0

X

4.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（)

A.6x2+x-15B.3y2+7y+3

C.3x2-2xy-4y2D.2x?—4X+5

5.下列命题中，真命题的是（）

A.两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直

B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

C.三角形的一个外角等于两个内角的和

D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形

6.如图，已知A8=AC,=点〃为8c边上的中点，AM交BD于N,那么下列结论中，说法

正确的有（）

①N84C=36。；

②30平分NABC；

③4MNB=54°；

④点N是区D的中点.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共有12小题，每题2分，满分24分）

7.当x时，j2x—3有意义.

8.化简：J（3-兀y=•

9.在实数范围内因式分解2V+4x_3=.

10.不等式2x—后xNl解集是.

11.计算：（G+2）x（V3-2）=.

12.若最简二次根式2aT疡工与J力是同类根式，则=

13.把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为.

14.已知关于X的方程（加一1）£—（2m+l）x+m+l=0（m为常数）有两个实数根，则m的取值范围为

15.某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原

计划80%,从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米.若该工程队第二天、第三天每天

的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x,列出方程.

16.如图，在一A8C中，AB=AC,BF=CD,BD=CE,/FDE=70。,那么NA的大小等于

度.

17.若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为35。，则其顶角的度数是.

18.A3C中，ZABC=38°,将一ABC绕点B旋转，使得点A落在直线8C上，记作点4,点c落在点G处,

则NBC©=度.

三、简答题（本大题共有6小题，每题6分，共36分）

19.计算：（历+2，1）—（加一扃）

20.计算：3VL25--

4

21用配方法解方程：3X2+6X-1=0

22.解方程：2x(x-3)=(x—5)2-16.

23先化简再求值：a2-a-6—&-2a+l,其中

a+2a2-a2+V3

24.如图，在RtZiABC中，/84。=90。,。是8。边上的一点，AD^AB.求证NB4）=2NC.

四、解答题（第25题8分，第26题8分，第27题12分，共28分）

25.某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积

为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去

栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？

26.如图，在一ABC中，AD平分NB4C,E是的中点，过点E作户仞交AQ的延长线于H，交AB于

F,交AC的延长线于G.求证：

（2）BF=CG.

27.己知：如图所示，四边形ABCD中，NB=ZD，AB=AD.

(1)求证：BC=CD；

(2)当？590?时，若点E、尸分别在边BC、上，且BE+DF=EF，求证：2NE4尸=N£AD；

(3)在(2)的条件下，若NE$=a,Z\A砂是等腰三角形，直接用含a的代数式表示/CEF.

2023学年第一学期期中考试八年级数学试卷

一、选择题（本大题共有6小题，每题2分，满分12分）

1.下列各式中，是最简二次根式的是（）

A.AB.V21C.V24D.回

【答案】B

【分析】根据最简二次根式的定义进行作答即可.

【详解】解：A、

B、万■是最简二次根式，故该选项是正确的；

C、724=>/4^6=276.故该选项是错误的；

D、病=9,故该选项是错误的；

故选：B

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，难度较小；最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1、被开方

数的每一个因式的指数都小于根指数2；2、被开方数不含分母.

2.&-布的有理化因式是（）

A.y/a-bB.y/a+bC.yja-yfbD.y/a+Jb

【答案】D

【分析】直接利用有理化因式的定义得出答案.

【详解】解：

\[a—\[b的有理化因式是

故选：D

【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确把握相关定义是解题关键.

3.在下列方程中，是一元二次方程的是（）

22

A.OX-2X-1=0（。为常数）B.x=-1

C.（x+2）（x-2）-f=0D.2%2------3=0

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可.

【详解】解：A.当。=0时，内2一2x—i=o（〃为常数）是一元一次方程，故不符合题意;

B./=_i是一元二次方程，故符合题意；

C.(x+2)(x—2)—》2=0化简得，T=0不是一元二次方程，故不符合题意；

D.2x2——3=0不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；

X

故选:B.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键.

4.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是()

A.6x2+x-15B.3y2+7y+3

C.3九2-2盯-4/D.2X2-4X+5

【答案】D

【分析】若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，△=〃—4acN0,计算各选项中的的△

值，根据A的符号判断即可.

【详解】解：A、6f+x—15=(2x-3)(3x+5),故本选项不符合题意；

B、3)，+7y+3=0,

-4ac=7?-4x3x3=11>0,

方程3y2+7y+3=0有实数解，

...在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意；

C、-2孙-4y2=0,

VA=^2-4ac=(-2)2-4x3x(-4)=52>0,

...方程3犬-2xy—4丁=0有实数解，

在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意；

D、2d-4X+5=0，

^=b2-4ac=(-4)2-4x2x5=-24<0,

二方程2f—4x+5=0没有实数解，

在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用.判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二

次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即△=匕2一4〃。20,正确分析A=〃_4ac

的符号是解题的关键.

5.下列命题中，真命题的是（)

A.两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直

B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

C.三角形的一个外角等于两个内角的和

D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形

【答案】A

【分析】根据平行线的性质可判断A.根据全等三角形的判定方法可判断B,根据三角形的外角的性质可判断C,

根据等边三角形的性质可判断D,从而可得答案.

【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直，描述正确，真命题，故A符

合题意；

•.•有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

•••有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，假命题，故B不符合题意；

•••三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角的和

二三角形的一个外角等于两个内角的和，假命题，故C不符合题意；

•••等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形

等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，假命题，故D不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的外角的性质，等边三角形的性质，真假命题

的判断，熟记基本概念与图形的性质是解本题的关键.

6.如图，己知=4）=8D=BC,点〃为8c边上的中点，AM交BD于N,那么下列结论中，说法

正确的有（）

①/曲。=36°；

②平分NABC；

③NMNB=54°；

④点N是的中点.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】设NB4C=a,根据等腰三角形的性质可得NA5O=ZB4C=a,利用外角的性质可得N8DC=2«,进

而得出N3Z）C=NC=NABC=2e,再根据三角形内角和定理可得tz=36。；根据4180=2。，ZABD=a,

可得80平分/ABC；根据等腰三角形“三线合一”可得N84M=L/B4C=La=18。，再利用外角的性质可

22

得NMNB=54。；最后根据三角形中位线的性质可判断④错误.

【详解】解：设N54C=a,

AD=BD,

ZABD=ABAC=a,

ABDC=ABAC+ZABD=2a,

BC=BD,

NBDC=NC=2a,

AB^AC,

ZABC=ZC=2a,

ZABC+ZC+ZBAC=\SO0,

2a+2a+a=180°,

.•・。=36°,即N84C=36°,故①符合题意；

ZABC=2a,ZABD=a,

・•・BO平分/ABC,故②符合题意；

AB=AC,点M是BC边上的中点，

ZBAM=-ZBAC=-a=lS°,

22

ZMNB=ZBAM+ZABD=18°+36°=54°,故③符合题意；

AM与AC不平行，BM=CM,

BNND,即点N不是3。的中点，故④不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等

腰三角形的性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共有12小题，每题2分，满分24分）

7.当x时，］2X—3有意义.

3

【答案】>-

2

【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可.

【详解】解：有意义，

2x-3>0,

.♦人_,

2

3

故答案为：2一.

2

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关

键.

8.化简：J（3-乃）2=•

【答案】乃一3##—3+兀

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【详解】解：原式=|3一］卜万—3

故答案为：7T—3■

【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型.

9.在实数范围内因式分解2/+4x—3=.

【答案】2H2+即卜+

【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.2x2+4x-3不是完全

平方式，所以只能用求根公式法分解因式.

【详解】2x2+4x-3=0的解是x尸二2+丽,X2=/一5,

22

所以可分解为2X2+4X-3=2（x-2地3）（x-二2二师）.

【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式：二看公式.在实数范围内进行因式

分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.

求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-xi）（x-X2）,其中x”X2是方程ax2+bx+c=0的两个根.

10.不等式2x-底解集是.

【答案】X<-45-2

【分析】将原式变形，判断2-6与0的大小的关系，然后根据不等式的性质即可求出x的解集.

【详解】解：•••2="〈石，

.,-2-V5<0.

V2x-V5x>b

(2->/5jxN1,

.♦八一I一,

2-V5

x<-亚-2，

故答案为：x<-V5-2

【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断2-石与0

的大小关系，本题属于基础题型.

11.计算：+2)2°23x(6一2)2°24=.

【答案】-73+2##2->/3

【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可.

【详解】解：(6+2广\(0-2广，

=(V3+2)2O23X(>/3-2)2023X(V3-2)

=[(石+2)便一2『%便—2)

=(-严x①2)

=-(V3-2)

=-s/3+2，

故答案为：—J^+2.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键.

12.若最简二次根式2所4疡1与JR是同类根式，则2a-6=_.

【答案】9

【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，

就把这几个二次根式叫做同类二次根式.进行求解即可.

【详解】解：...最简二次根式2"一4疡二与疝工是同类根式，

.'.2a-4—2,3a+b=a-b,

解得：a=3,b=-3.

：.2a-b=2x3-（-3）=9.

故答案为：9.

【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键.

13.把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为.

【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等

【分析】命题中的条件是同角的余角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，放在“那么”的后面，即可得到答案.

【详解】解：把命题“同角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那

么这两个角相等，

故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

【点睛】本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设（条件）与结论的形式，解决问题的关键是找出相应

的题设和结论.

14.已知关于%方程（6—l）f—（2机+1）%+加+1=0为常数）有两个实数根，则的取值范围为

【答案】机2—3且机

4

【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解.

【详解】解：・・,关于x的方程（加一1）/一（2m+1卜+加+1=0（机为常数）有两个实数根，

:.△=［一（2m+1）［+0,

即4m+5>0,

解得：TH2—,

4

***加一1wO,

，mw1.

故答案为：加之一9且〃

4

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程办2+加+c=o（a/o）,当

△=〃一4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：当A=>2—4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当

△=从-4枇・<0时，方程没有实数根是解题的关键.

15.某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原

计划的80%,从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米.若该工程队第二天、第三天每天

的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x,列出方程.

【答案】1250x80%x(l+x)2=1440

【分析】先设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x,根据增长后的量=增长前的量

X(1+增长率)，列出方程即可.

【详解】解：设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x,根据题意得：

1250x80%x(l+%)2=1440,

故答案：1250X80%X(1+X)2=1440

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出关键描述语，列出方程.

16.如图，在..ABC中，AB^AC,BF=CD,BD=CE,NFDE=70°,那么ZA的大小等于

度.

【答案】40

【分析】根据等腰三角形的性质可得N5=NC,证明VEBD史。CE,可得NFDB=NDEC,再根据三角形内

角和定理可得NEDC+NOEC=110°,NB=NC=70°,即可求解.

详解】解：：43=AC,

ZB=ZC,

_FBD和ADCE中,

BF=CD

<NB=NC,

BD=CE

：..FB哈一DCE(SAS),

：.ZFDB^ZDEC,

'：NFDB+ZFDE+4EDC=180°,ZFDE=70°,

ZFDB+ZEDC=180°-70°=110°,

，ZEDC+ZD£C=110°,

...ZC=180°-110°=70°,

ZB=ZC=70°,

，ZA=180°-70°-70°=40°,

故答案为：40.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练

掌握全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理得出NEDC+NDEC=110°是解题的关键.

17.若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为35°,则其顶角的度数是

【答案】55°或125°

【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为55°；另一种情况

是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为125°；

【详解】解：如图1,当该等腰三角形为锐角三角形时，

24=55°；

如图2,当该等腰三角形为钝角三角形时,

VBD1AC,ZABD=35°,

：.ABAD=55°,

N84C=125°；

综上所述，该等腰三角形顶角的度数是55°或125。.

故答案为：55°或125。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思

想求解是解题的关键.

18.ABC中，ZABC=3S°,将ABC绕点B旋转，使得点A落在直线上，记作点A,点c落在点G处,

则NBC。=度.

【答案】19或71##71或19

【分析】分两种情况：当A1在线段CB延长线上时和当4在线段8c上时,根据旋转的性质和三角形的内角和定理、

三角形的外角的性质，分别求解即可.

【详解】解：当A在线段CB延长线上时，连接CG，如图所示：

•..将二ABC绕点8旋转，使得点A落在直线上，记作点4,点C落在点G处,

:.ZABC=NAIG,BC=BC,,

又•••NABC=38°,

=38。，

•/BC=BC,,

NBCC]=NBC©,

•：=NBCC、+NBC[C=38°,

ZSC,C=19°；

当A在线段5c上时，连接CG，如图所示：

G

•••将二ABC绕点B旋转，使得点A落在直线3C上，记作点4,点c落在点G处,

...ZABC=NABC[=38°,BC=BC.,

：./BCG=NBC[C,

ooo

：.ZBClC=1（180°-Z/l1BC1）=1x（180-38）=71,

综上所述，NBCC=19°或71。.

故答案为：19或71

【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，解本题的关键在分别画出图形进

行解答.

三、简答题（本大题共有6小题，每题6分，共36分）

19.计算：（历+2&—（屈一历）

【答案】—£1+11叵

23

【分析】先将二次根式化简，然后合并同类项即可.

【详解】解：原式=（1+竿）_（30-36）

=昱—3邑空+36

23

5及116

----1-----

23

【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并.

20.计算：3>/^+2）2,乂2回

4V2

【答案】24

【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】解；3Vk25--J2-x2Vi8，

4V2

X2V18

=3x—x2xj—x—xl8

3V45

=24.

【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

21.用配方法解方程：3X2+6X-1=0

【答案】斗=+竽一1,々=一竽—1

【分析】先将二次项系数化为1，然后根据配方法，可即答案.

【详解】解：x2+2x-1=0

X2+2X+\=\+-

3

/\24

(x+l1)=3

2G.2G,

X—4-----1,X9-----1

3~3

故答案为玉=+Z，—l,X2=-苧一1

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程

时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

22.解方程：2X(X-3)=(X-5)2-16.

【答案】玉=万一2,&=-9-2

【分析】先去括号、合并同类项，再利用配方法解方程即可.

【详解】解：2x(x—3)=(x—5)2-16,

整理得，/+4%=9,

配方得，d+4x+4=9+4，

即(X+2)2=13,

开平方得，x+2=±拒，

石=V13—2,%,=—V13—2.

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

23.先化简再求值："一"二一①+1,其中

。+2cr-a2+，3

【答案】a-3H—»1

a

【分析】先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可.

12-百_6

【详解】因为°=二百=得同『=2-6'

可知a-1=2-囱-1=1-73<0.

序式=(a—3)(a+2)J(a—1)-

a+2a(a—1)

01一a

=a-3---------

a{a-1)

=a-3+—•

a

所以原式=2-A/3-3H---------尸

2-V3

=-1-6+2+出

=1.

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据a的大小化简，(a—1)2=l—a是解题的关键.

24.如图，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,。是边上的一点，AD=AB.求证NB4D=2NC.

【分析】先根据直角三角形的性质可得NB+NC=90°=NB4£>+NC4D,再根据等腰三角形的性质可得

ZB=ZADB，从而可得NB=NC+NC4O,由此即可得证.

【详解】证明：在RtZ\A8C中，N84C=90°,

ZB+ZC=900=ABAD+ACAD,

AD=AB，

:.ZB=ZADB，

ZADB=ZC+ZCAD,

：.ZB=ZC+ZCAD,

:.ZC+ZCAD+ZC=ZBAD+ZCAD,

:.ZBAD=2ZC.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形

的性质是解题关键.

四、解答题（第25题8分，第26题8分，第27题12分，共28分）

25.某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积

为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去

栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？

【答案】8米和10米

【分析】令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长，设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边

为x米，平行于墙的一边为（21+2.5+2.5-2力米，根据长方形的面积列出关于x的一元二次方程，再求解即

可.

【详解】解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边为x米，平行于墙的一边为（26-26米，

由题意可得，x（26-2x）=80,

解得％=5,x2=8,

当x=5时，26—2x=16>15,不符合题意，舍去，

当x=8时，26—2x=10，

答：长方形的充电区的相邻两边长分别是8米和10米.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

26.如图，在ABC中，AD平分NB4C,E是8C的中点，过点E作/G,AD交AO的延长线于“，交AB于

F,交AC的延长线于G.求证：

(1)AF^AG；

(2)BF=CG.

【答案】（1）证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据ASA证明即可得出AE=AG；

(2)过点C作CM〃AB交尸G于点M,由可得NAfH=NG,根据平行线的性质得出

/CMG=ZAFH,可得NCMG=NG,进而得出CM=CG，再根据据ASA证明一班户名=CEM,得出

BF=CM,等量代换即可得到BF=CG.

【小问1详解】

证明：VFGLAD,

/.ZAHF=ZAHG=90。,

,：AO平分/84C,

/.NFAH=ZGAH,

又•：AH=AH，

：./\AHF^/XAHG(ASA),

AF^AG；

【小问2详解】

证明：过点C作。0〃AB交FG于点M,

,:,AHFAAHG,

：.ZAFH=NG，

CM//AB,

:./CMG=ZAFH,

：./CMG=NG,

：.CM=CG,

是3C的中点，

BE=CE，

•：CM//AB,

：.ZB=ZECM,

在△££厂和一CEM中，

NB=NECM

<BE=CE,

NBEF=NCEM

.BEF丝dCEM(AS0,

：.BF=CM,

：.BF=CG.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记

全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键.

27.己知：如图所示，四边形A