2023-2024学年中考数学18创新型与新定义综合问题【含答案】

专题18创新型与新定义综合问题

典例剖析

【考点1］几何综合探究类阅读理解问题

【例1】综合与实践：

阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan75°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

如图1,作R/AA8C,使NC=90°,乙43c=30。，延长C3至点。，使8。=山，连接4）.

设NC=1,则80=84=2,6C=e.tan750=tanNZX4C=N=^^=^±^l=2+G.

ACCI

（1）类比求解：求出tan22.5。的值;

（2）问题解决：如图2,某住宅楼的后面有一建筑物C。，当光线与地面的夹角是22.5°时，住宅在

建筑物的墙上留下高3加的影子CE；而当光线与地面的夹角是45。时，住宅楼顶力在地面上的影子/与墙

角C有13加的距离（8,F,。在一条直线上）.求住宅楼48的高度（结果保留根号）；

（3）探究发现:如图3,小明用硬纸片做了两个直角三角形，在用A48C中，Z8=90°,NZ=30。，8c=2；

在RtADEF中,NEED=90°,NEFD=45。,0尸=2.他将AOEE的斜边。/与A48C的斜边/C重

合在一起，并将ADE尸沿。方向移动.在移动过程中，D,尸两点始终在。边上（移动开始时点口与

点C重合）.探究在ADER移动过程中，是否存在某个位置，使得NEC。=22.5°?如果存在，直接写出CD

的长度；如果不存在，请说明理由.

图2

【答案】⑴V2-b（2）住宅楼的高为（8亚+3”.⑶存在某个位置，使得NECD=22.5°,CO的

长为亚+2.

【分析】

(1)如图I,只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；

(2)在R/A48/7中，设为x加得出8c=8R+FC=x+13,在口△/瓦0中，根据tan22.5°=3

ME

列出关于x的方程上圭=J5-1求解即可；

x+13

(3)因为在中，/FED=90°,NEFD=45°,DF=2,所以在=&；假设在ADER移动

过程中，存在某个位置使得NECD=22.5°,因为NE尸。=45。，所以CF=FE=0,所以CD的长为

V2+2.

【详解】

(1)如图，延长C8至点。，使BD=BA,连接40.

•'tBD—BA—VBC2+AC-A/12+12=V2,

ATAC

tan22.5°=tanZADC=—

DCBD+BC

1近一1』i

-

V271(V2+1)(V2-1)~■

(2)如图，过*E作瓦01AB，垂足为〃.

«FC

在R/A48R中，ZAFB=45°,设为x加.

BF—AB=x.

/.BC=BF+FC=x+13.

,?在Rt\AEM中，NAEM=22.5°,

:.AM=AB—BM=AB-CE=x—3,ME=BC=x+l3.

cc-CAM

'：tan22.5°=---,

ME

.♦.0=GL

x+13

=13夜-10=（13亚T0）（2+旬

2-V2=（2-V2）（2+V2）

=1^+6=872+3.

2

答：住宅楼的高为（8立+3）〃？.

（3）存在某个位置，使得NEC。=22.5°,理由如下：

当NECD=22.5°时，ZEFD=45°,

ZECF=ZCEF,

，CF=EF,

ZFED=90°,NEFD=45。,DF=2,

:•EF=6，：•CD=CF+DF=6+2.

【点睛】

本题考查了学生综合运用数学知识的能力，解题的方法不唯一，可让学生采用不同的方法求解，培养学生

的思维能力.

【变式1-1］如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形是垂美四边形吗？请说明

理由；

（2）性质探究：如图1,四边形N8CD的对角线/C、BD交于点O,ACLBD.

试证明：AB^CD^AD^+BC1^

（3）解决问题：如图3,分别以RtA4C8的直角边ZC和斜边为边向外作正方形ZCFG和正方形ZE9E,

连结CE、BG、GE.已知ZC=4,AB=5,求GE的长.

【答案】（1）四边形4BC。是垂美四边形.理由见解析.（2）见解析.（3）GE=V73.

【解析】（1）四边形是垂美四边形.理由如下：

'：AB=AD,.•.点A在线段BD的垂直平分线上，

,:CB=CD,：.点C在线段BD的垂直平分线上，

•••直线AC是线段BD的垂直平分线，

：.ACLBD,即四边形N8CO是垂美四边形；

（2）如图1,

\'ACLBD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AB2+CD2=AO^BO^DC^+C^AD^BC2,

.".AD^B^AB^CD^

(3)连接CG、BE,

图3

NC4G=NBAE=90°,

：.NCAG+NBAC=NBAE+NBAC,^ZGAB=ZCAE,

AG=AC

在△G/8和中，＜NGAB=ZCAE,

AB=AE

：./\GAB^/\CAE（SAS）,

AZABG=ZAEC,又4EC+/NME=90。，

AZABG+ZAME=90°,BPCE1BG,

，四边形CGE8是垂美四边形，

由（2）得，CC^+BE^CB^GE2,

\'AC=4,月8=5,:.BC=3,CG=4及，BE=5血,

：.GE-=CG2+BE2-CB2=13,：.GE=773.

【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.本题考查的是正方形的性质、全等三角

形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题

的关键.

【变式1-2］综合与实践

正方形内“奇妙点”及性质探究

定义：如图1,在正方形力88中，以8c为直径作半圆0,以。为圆心，ZX4为半径作花，与半圆。

交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置

关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.

（图1）

性质探究：如图2,连接。P并延长交48于点E,则。E为半圆。的切线.

(图2)

证明：连接OP,OD.

由作图可知，DP=DC,OP=OC,

又•：()»=OD.

:△OPDAOCD(SSS)

.•.NOPZ)=NOCD=90。，是半圆。的切线.

问题解决：

(1)如图3,在图2的基础上，连接OE.请判断N80E和NC。。的数量关系，并说明理由;

(图3)

(2)在(1)的条件下，请直接写出线段。E,BE,CO之间的数量关系；

(3)如图4,已知点P为正方形48CQ的一个“奇妙点”，点。为3C的中点，连接。尸并延长交48于点

E，连接CP并延长交16于点尸，请写出8E和的数量关系，并说明理由；

(图4)

(4)如图5,已知点£F,G,"为正方形Z8CD的四个“奇妙点”.连接ZG,BH,CE,，恰好

得到一个特殊的“赵爽弦图请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系.

AD

（图5）

【答案】（1）NBOE=NCDO,理由见解析；（2）DE=BE+CD-,（3）BE=-AB,理由见解析；（4）

4

答案不唯一，如：AZBH的面积等于正方形EFGH的面积；正方形的面积等于正方形/BCD面

积的:等.

【分析】

（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性

质可得出N5OP=NPOC,再由边边边定理可证得APOE之,然后利用全等三角形的性质、等式

性质可得证结论；

（2）由（1）可知A。尸。^AOCO、APOE^BOE,根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论;

（3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知N3OE=NCDO,则其正切值相等，再根

据正方形的性质即可得证结论；

（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得

==

S正方形EFGH=S虫.0=5RSDAGRt^ABH^Rt^BCET'正方形"CD,即可提出猜想，

【详解】

解：（1）结论：/BOE=NCDO

理由如下：

,/qPD/OCD

...ZOPD=ZOCD=90°,APOD=ZCOD,ZCDO=ZPDO=-ZPDC

2

：.ZPOC+NPDC=360°-ZOPD-ZOCD=180°

V/尸。C+N8O尸=180°

二4B0P=NPDC

在Rt^POE和RtABOE中

•；OE=OE,OP=OB

：.APOEABOE

ZPOE=ZBOE=-NBOP

2

•:ZCDO=ZPDO=-ZPDC

2

•••/BOE=NCDO：

(2)•.•由(1)可知，AOPD%OCD、APOEABOE

：.DP=CD,PE=BE

■:DE=DP+PE

.**DE=BE+CD

.♦・线段。£、BE、CD之间的数量关系是。E=8E+C。；

(3)结论：BE=-AB

4

理由：连接OE、OD,如图：

由(1)可知，NBOE=NCDO

"：NB=ZOCD=90°

/.tanZ.BOE=tanZ.CDO

•点。为的中点

.BE_OC

一访一友一a

BE==BO==x二BC=二BC

2224

•.•四边形ZBCD是正方形

•••AB=BC

：.BE=-AB-,

4

（4）延长。E交8CF点O,连接DE、OE,如图:

（图5）

...由前面的结论可知AOEDq4OCD

：.DE=DC

:此图为赵爽弦图即。尸_LCE

Z.EF=CF

同理可得尸G=OG、GH=AH、HE=BE

•.•四边形功GH是正方形

EF=FG=GH=HE

,EF=FG=GH=HE=CF=DG=AH=BE

NEQH=NDQG（对顶角相等）

在用和用AOG。中，＜NQHE=NQGD=90。

EH=DG

：.Rt^EHQ^Rt^DGQ（AAS）

SRIAEHQSRMDGQ

,•S正方形EFG"=SRI4DEF

1c

,•S正方形EPG"=SRLDFC=S

RMDAG=SRLH=SRLE52正方形/8CD

・♦・答案不唯一，例如，“8"的面积等于正方形的面积；正方形MG〃的面积等于正方形ZBCZ）

面积的1等等.

【点睛】

本题属于新定义问题，涉及到的知识点有全等三角形的判定和性质、正方形的性质、直角三角形的性质、

锐角三角函数、邻补角的性质、对顶角的性质、线段的和差等知识点，考查了创新能力和知识的迁移能力,

有一定的难度.

【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题

【例2］阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一

项，记为ai，排在第二位的数称为第二项，记为a2,以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a,“所

以，数列的一般形式可以写成：ai、a2、a3,…，a”，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它

前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表

示.如：数列1,3,5,7,…为等差数列，期中ai=l,a2=3,公差为d=2.根据以上材料，解答下列问

题：

(1)等差数列5,10,15,…的公差d为第5项是

(2)如果一个数列a”a2,a3,…，而，…，是等差数列，且公差为d,那么根据定义可得到：a2-ai-d,

as-a2=d,a4-a3=d,…，an-ani=d........所以a2=ai+d,a3=a2+d=(ai+d)+d=ai+2d,a4=a3+d=(ai+2d)

+d=ai+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=ai+()d

(3)求-4039是等差数列-5,-7,-9,…的第几项？并说明理由.

【答案】(1)5,25；(2)n-1；(3)第2018项，理由见解析.

【分析】

(1)根据题目中的材料，可以得到等差数列5,10,15,…的公差d和第5项的值；

(2)根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；

(3)根据题意和题目中的数据，利用(2)中的结论，可以得到等差数列-5,-7,-9,…的公差和通项

公式，从而可以求得-4039是等差数列-5,-7,-9,…的第几项.

【详解】

解：(1)由题意可得，

d=15-10=5,

第5项是：15+5+5=25,

故答案为：5,25；

(2)如果一个数列ai,a2,a3,…，a”..........是等差数列，且公差为d,那么根据定义可得到：

-_

a2ai—d,a3-a2=d,a4aj—d,...>an-an.i—d»....

所以a2=ai+d.

a3=a2+d=(ai+d)+d=ai+2d,

a4=a3+d=(ai+2d)+d=ai+3d.

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a„=ai+(n-1)d,

故答案为：n-1；

(3)-4039是等差数列-5,-7,-9,…的第2018项，

理由：等差数列-5,-7,-9,

：.d=-1-(-5)=-7+5=-2,

ttn=~5+(n-I)x(-2)-2n-3»

令-2n-3=-4039,

解得,n=20l8,

即-4039是等差数列-5,-7,-9,…的第2018项.

【点睛】

此题考查数的计算规律，解题的关键是读懂题意，理解等差数列及等差数列公差的定义，由此正确计算各

等差数列中的公差，得到数据的计算规律由此解决问题.

【变式2-1](2019•随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为〃?，"，我们可将这个两位数记为嬴，

易知〃=10"?+"；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+106+c.

【基础训练】

(1)解方程填空：

①若2x+x3=45,贝ijx=；

②若方一*=26,贝1]产；

③若丽+*=丽，贝I片;

【能力提升】

(2)交换任意一个两位数嬴的个位数字与十位数字，可得到一个新数嬴，则布+嬴一定能被

整除，mn~nm-定能被整除，一定能被整除；(请从

大于5的整数中选择合适的数填空)

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连

光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不

相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数

减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325,则用532-235=297）,再将这个新数按上述方式重新

排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为;

②设任选的三位数为正（不妨设a>6>c）,试说明其均可产生该黑洞数.

【答案】（1）①2.②4.③7.（2）11；9；10.

【解析】⑴①]用”=10/„+H，

,若元+百=45,则10X2+x+10x+3=45,

:・x=2,

故答案为：2.

②若方-m=26,则10X7+^-（10八8）=26，

解得尸4,

故答案为：4.

③由次=1（）（）“+106+c，及四位数的类似公式得

若丽+页=由，贝I」100/+10X9+3+1（）0X5+10/+8=100（）X1+100X3+10/+1,

/.l00t=700,

.*7,

故答案为：7.

（2）Vmn+nm0"?+〃+10〃+加=11〃?+11H=11（小+〃）,

•二则〃加一定能被11整除，

mn-nm=10加+〃一（10〃+加）=9m一9/7=9（加一〃）,

•*inn~nm一定能被9整除.

nm*nm一（10〃?+〃）（10〃+〃？）-mn=]00mn+\0m2+l0n2+mn-mn=]0（10mn+m2+n2）

•**mn*nm~一一定能被10整除.

故答案为：11;9；10.

(3)①若选的数为325,则用532-235=297,以下按照上述规则继续计算,

972-279=693,

963-369=594,

954-459=495,

954-459=495,…

故答案为：495.

②当任选的三位数为诙时，第一次运算后得：10()a+10/>+c-(100c+106+a)=99(a-c),

结果为99的倍数，由于a>6>c,故a》6+l2c+2,

.'.a-c^2,又92a>c―0,

'•a-cW9,

/­a~c=2,3,4,5,6>7,8,9>

，第一次运算后可能得到：198,297,396,495,594,693,792,891.

再让这些数字经过运算，分别可以得到：

981-189=792,972-279=693,963-369=594,954-459-495,954-459=495…，

故都可以得到该黑洞数495.

【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度

略大.

【变式2-2]阅读下列材料：小明为了计算/+2+22+…+22°〃+22°/8的值,采用以下方法：

设5=1+2+22+--+22°〃+22W8①

则2s=2+2?+…+22°/8+220/9②

②-①得2S-S=220l9-l

20172018

S=/+2+22+…+2+2=220"_]

⑴1+2+22+---+29=；

(2)3+32+---+310=；

(3)求/+々+°2+…+/的和(。〉0,〃是正整数，请写出计算过程).

【答案】(1)2/°_/；(2)-——-;(3)什1或5=_^^--------£.

2a-1

【解析】

【分析】

(1)利用题中的方法设S=l+2+2%..+29,两边乘以2得到2s=2+22+...+23然后把两式相减计算出S即可；

(2)利用题中的方法设S=l+3+32+33+34+...+3i。，两边乘以3得至U3s=3+32+33+34+3$+…+3”,然后把两式

相减计算出S即可；

(3)利用(2)的方法计算.

【详解】

(1)设S=l+2+22+...+29①

则2s=2+2?+…+2")②

②-①得2S-S=S=21O-1

.,.S=l+2+22+...+29=2l0-l；

故答案为2叫1

(2)设S=3+3+32+33+34+...+3i°①，

则3s=32+33+34+35+...+3“②，

②-①得2s=3”-1,

1,

所以S=^3―-1

2

3n-1

即3+32+33+34+...+3'°=-一-；

2

故答案为23一〃-1£.

2

(3)设S=l+a+a2+a3+a4+..+a”①，

则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an'H②,

②-①得:(a-1)S=an+1-1,

a=l时，不能直接除以a-1,此时原式等于n+1；

W+11

a不等于1时，a・l才能做分母，所以

a-1

、ci—1

即I+3+32+33+34+..+3"=--------.

a-\

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的

方法.

【考点3】函数类新定义综合型问题

【例3］已知函数弘=2丘+左与函数8=/—2x+3,定义新函数y=为一弘

（1）若左=2,则新函数V=；

（2）若新函数歹的解析式为歹=/+瓜一2,则％=,b=；

（3）设新函数歹顶点为（〃?,〃）.

①当左为何值时，〃有最大值，并求出最大值；

②求〃与加的函数解析式；

（4）请你探究：函数必与新函数N分别经过定点48,函数为=f-2x+3的顶点为C,新函数N上存

在一点。，使得以点4瓦。,。为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出左的值.

31717

【答案】⑴x2-6x+1：（2）5,-12•⑶①-当人=-5时，〃最大值=—；②〃=-m2-m+4-⑷^=—

17”，35

或4=-----或化=----

1212

【分析】

（1）将k=2代入函数，然后用力一乂得到新函数：

（2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；

（3）①先用k表示新函数的定点，得出m、n和k的关系式，再利用配方法求得n最大时k的值：

②已求得m、n关于k的关系式，将％=加—1代入n中，化简可得m、n的关系式；

（4）先求出定点A、B、C,如下图，存在3处D可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D的

坐标，进而得出k的值.

【详解】

（I）当k=2时

乂=2・2・x+2=4x+2

22

y=y2-yt=x-2x+3-4x-2=x-6x+1

22

(2)y=y2~y[=x-2x+3-2kx-k-x-(2+2k)x+(3-k)

•••新函数的解析式为：y=x2+bx-2,

，b=—(2+2%),—2=(3—k)

解得：k=5,b=-12

(3)①：新函数y=垢一2(左+l)x+3项点为(加,〃).

:.y=(x-k-l)2-k2-3k+2.

m=k+1,

n=-k2—3k+2.

,2”c(,3?17

n=—k——3k+2=—左H—H----

I2)4

317

当左时，"最大值=彳

17

・•・新函数P的顶点的绿坐标有最大值，最大值为一

4

"7=左+1,

''[〃=—左2—3上+2.

将左=a一1代入〃=-k~-3k+2得：

/.n=-m2-m+4

(4)I,点A是必=2依+我的定点坐标

必=(2x+l)左，当x=-g时，y=0

1

・・A(»0)

2

•.•点B是新函数歹=/一(2+2左)》+(3-左)上的定点

y=(-2x-1)k+(x2-2x+3)

I，1417

x=----H'j,y=—

2-4

一117

••点B(,

27)

:点C是必=/—2》+3的定点

%=（5+2

，C（1,2）

：四边形ABCD是平行四边形，存在如下图3种情况:

根据平行四边形的性质，易知:

9

图1中，点D（L一一）

图2中，点D(l,—)

4

9

图3中，点D(・2,一)

4

9

当点D(l,一时，代入新函数^=/一(2+24)%+(3-4)

17

解得：k=jy

1735

同理可得左=一一或左=——

1212

,,17...17.35

..K=--或4=-----或f左=----

121212

【点睛】

本题考查二次函数的综合，难点在第（4）问，解题关键是先确定定点A、B和顶点C的坐标，根据平行四

边形的性质得出点D的坐标.

【变式3-1】特例感知

22

(1)如图1,对于抛物线乂=一/一%+1,y2=-X-2X+1,y3=-x-3x+l,下列结论正确的序号

是：

①抛物线乂，y2,%都经过点C(O,1)；

②抛物线外,为的对称轴由抛物线乂的对称轴依次向左平移;个单位得到；

③抛物线乂，y2,为与直线y=l的交点中，相邻两点之间的距离相等.

形成概念

(2)把满足匕=-F-“x+1"为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.

知识应用

在(2)中，如图2.

①“系列平移抛物线”的顶点依次为《，鸟，月，…，p„,用含〃的代数式表示顶点门的坐标，并写出该顶

点纵坐标y与横坐标X之间的关系式：

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：G，G，G，…，C”,其横坐标

分别为：—k—l,-k-2,-k-3,-k-n(%为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，

若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.

③在②中，直线V=I分别交“系列平移抛物线”于点4，4，4，…，4，连接G4，，判断G4，

②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为小记•

③不平行，直线C4,的斜率（比例系数）为*+”，与〃取值有关（若两直线平行，则斜率会相等）.

【解析】⑴①当x=0j=%=必=1,所以正确；

②加外，”的对称轴分别是直线占=-；，X2=-1,x3=-|,所以正确；

③M，%，%与y=l交点（除了点C）横坐标分别为-1,-2,-3,所以距离为1,都相等，正确.

⑵①y,=-x2-nx+l=-（x+］）+〃广,所以顶点，

令顶点《横坐标x=-巴，纵坐标＞y=-^=f--Y+l=x2+l,

244\2；

即：月顶点满足关系式夕=X?+1.

②相邻两点之间的距离相等.

理由：根据题意得；Cn^—k—n,—k~—nk+ij,C1T（—左一〃+1,—左'■—〃左+左+1）,

...GGI两点之间的铅直高度=一左2—泌+左+1_（—左2—+1）=左

CC,/两点之间的水平距离=-氏-n+i-（-k-n）=l.

由勾股定理得。“。,一2=4+1,

,,CnCn1=J—+1.

③C4与不平行.

理由：

根据题意得：C”（一左一〃，一左—-〃左+1）,C0T（—左一"+1,—左一一〃左+左+1）,

4,-1(-»+1,1).

过C,”C-分别作直线尸1的垂线，垂足为。，E,

所以。C-k-n,1),E(-Lf+l,1).

在RtAD4C〃中,

-S3立=x=k+n,

AnD-n-(-k-n)k

在RtAE4/G」中,

…一。尸21±匕竺乜k+〃_1,

A〃TEf+1_(-k_〃+1)

Vk+n-l/k+nf

♦・tanNZ)?4〃C,#taniCai，

，C,4与C“T4I不平行.

【变灰3-1]（2019•山东威海）（1）阅读理解

如图，点48在反比例函数产工的图象上，连接48,取线段的中点C.分别过点4C,8作x轴的

X

垂线，垂足为E,F,G,CF交反比例函数片2的图象于点D.点E,F,G的横坐标分别为N-1,〃，n+1

X

（/7>1）.

小红通过观察反比例函数产L的图象，并运用几何知识得出结论：

X

AE+BG=2CF,CF>DF,

由此得出一个关于」1一，—1,2之间数量关系的命题：

77-17?+1n

若〃>],则.

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若Q-620,则aNb”的思路证明上述命题.

小晴认为：可以通过“若。>0,Z»0,且。+621,则。2b”的思路证明上述命题.

请你选择一种方法证明（1）中的命题.

111

1)・；AE+BG=2CF,CF>DF,AE=-----，BG=------,DF=-,

n-\〃+ln

12112

—故答案为:-----+------>—.

〃一1〃+lnn-\〃+ln

…112n*2+〃+/-n-2n2+22

(2)万法一：——+------

nH(/?-I)(/?+1)+

Vri>\9:,n(w-1)(w+1)>0,

112112

->0,-----+------>—

Z7-1〃+1n/7-1〃+1n

11

..〃-1〃+1”2.1,1、2

方法二:.------5------=———>1，•・------+------>一

£n-1n-\77+1n

n

【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

|a|(a<b)

【变式3・2】定义一种新运算：a^b=

b(a>b)

（1）请写出函数〉的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象;

（2）观察（1）中图象，探究得到y的最小值是.

-x(x<0)

【答案】(l)y=«x(O,,x”1),图象见解析;(2)0.

1(x>l)

【解析】

【分析】

(1)根据新运算可得到y=>1)，分别讨论x<0和O<X<1时，去绝对值符号，即可得到函数y=x®l

的解析式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，即可得到答案，

(2)观察(1)中图象，即可得到当x=0时，y有最小值，即可得到答案.

【详解】

解：(1)根据题意得：

_佃殴1)

当x<0时，|x|=-x,

当0S饪1时,\x\=x,

-x(x<0)

即尸，x(0„x,,1),

1(x>l)

该函数图象如卜图所示:

(2)由图象可知：当x=0时丁歹有最小值0.

-x(x<0)

故答案为：(1)<x(O《xKl),图象见解析；(2)0.

1(41)

【点睛】

本题考查函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是正确观察函数图象.

【考点4】变换操作类阅读型问题

［例4］类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

(1)概念理解：

如图1,在四边形488中，添加一个条件，使得四边形力是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个

条件：.

(2)问题探究：

如图2,小红画了一个用A48C,其中NZ8C=90°,AB=2,BC=1,并将用A4BC沿N8的平分线

88'方向平移得到A/6'C',连结44'、8C'.小红要使平移后的四边形Z3CW是“等邻边四边形”，应

平移多少距离(即线段88'的长)？

(3)应用拓展：

如图3,“等邻边四边形"Z8CZ)中，AB=AD,/BAD+/BCD=90。，AC.80为对角线，

ACfAB.试探究8C、CD、80的数量关系.

CD

D

Af

A

I-c

图1图2B

【答案】（1）DA=AB（答案不唯一）；（2）应平移2或有或血或-&的距离;（3）BC2+CD2=2BD2.

2

【解析】

试题分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；

（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论：

②由平移的性质易得BB，=AA，，A，B，〃AB,A'B,=AB=2,B,C,=BC=1,NC=AC=®再利用”等邻边四边

形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论：

（3）由旋转的性质可得AABF四△ADC,由全等性质得NABF=NADC,ZBAF=ZDAC,AF=AC,FB=CD,

利用相似三角形判定得AACFs^ABD,由相似的性质和四边形内角和得NCBF=90。，利用勾股定理，等量

代换得出结论.

解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；

（2）①正确，理由为：

•••四边形的对角线互相平分，，这个四边形是平行四边形，

•••四边形是“等邻边四边形“，•••这个四边形有一组邻边相等，

.•.这个“等邻边四边形”是菱形；

②•.,/ABCugO。，AB=2,BC=1,

♦.,将RtAABC平移得到

.*.BB,=AA,,AB〃AB,AB=AB=2,B,C,=BC=1,A,C,=AC=V5>

（I）如图I,当AA，=AB时，BB,=AA,=AB=2；

A'

B'C

图2B

(III)当AC=BcT^j,

如图3,延长CB，交AB于点D,则CB，_LAB,

，NABB，/NABC=45。，

2

...NBBD='NABB，=45°

；.BD=B,

设BD=BD=x,

则CD=x+l,BB，=&x,

•.•在R3BCD中，BD2+(CD)』(BC)2

.*.X2+(X+1)2=(代)2,

解得：X|=l,X2=-2(不合题意，舍去)，

ABB'=V2x=V2

(N)当BC=AB=2时，如图4,与(III)方法一同理可得：BD2+(CD)2=(BCO2,

则X?+(x+1)2=22,

解得：Xg-1+干,X2_1一有(不合题意，舍去)，

22

(3)BC,CD,BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2,如图5,

图5

VAB=AD,

...将AADC绕点A旋转到AABF,连接CF,

.,.△ABF^AADC,

.,.ZABF=ZADC,ZBAF=ZDAC,AF=AC,FB=CD,

r.ZBAD=ZCAF,理迪=1,

AFAB

.".△ACF^AABD,

CF=V2BD,

ACF=AC=^2A

BDAB

ZBAD+ZADC+ZBCD+ZABC=360°,

:.ZABC+ZADC-360°-(ZBAD+ZBCD)=360°-90°=270°,

/.ZABC+ZABF=270°,

.,.ZCBF=90°,

ABC^FB^CF^(&BD)2=2BD2,

.,.BC2+CD2=2BD2.

考点：1.阅读理解题；2.平移，旋转的图形变换性质；3.三角形全等、相似的判定与性质；4.勾股定

理的运用.

【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这

个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称

(2)如图1,已知格点(小正方形的顶点)。(0,0)、/(3,0)、B(0,4),点C为图中所给方格中的另一个格点，

四边形O4C8是以0/、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C的坐标；

(3)如图2,将A/8C(BC>AB)绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到如8£,连接AD、DC,四边

形ABCD是勾股四边形，其中。C、BC为勾股边，求，DCB的度数.

【答案】(1)矩形，正方形(答案不唯一)；(2)C(3,4),(4,3)；(3)ZDCB=30°.

【解析】

【分析】

(1)根据矩形与正方形的性质可得答案；

(2)利用勾股定理可得AB=5,然后在格点中找满足OC=5的点即可；

(3)连接CE,根据旋转的性质可得AABC岭aDBE,则BC=BE,因为NCBE=60。，所以aBCE是等边三

角形，则BC=CE,ZBCE=60°,根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得NDCE=90。，则可得NDCB

的度数.

【详解】

解：(1)矩形；正方形(答案不唯一)；

(2)=32+42=5'

则C点坐标如图为:(3,4),(4,3)；

(3)连接CE,

由旋转的性质得：ZkABC丝4DBE,则BC=BE,AC=BD,

VZCBE=60°,

△BCE是等边三角形，

：.BC=CE,ZBCE=60°,

•.•四边形ABCD为勾股四边形，其中DC、8c为勾股边,

■,-AC2-CD2+BC2'

•■BD2=CD2+CE2'

/.ZDCE=90°,

ZBCD=ZDCE-ZBCE=90°-60°=30°.

C

【点睛】

本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解

题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.

【变式4-2]根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四

边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”

或“假”）.

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）

③两个大小不同的正方形相似.（命题）

（2）如图1,在四边形Z8CO和四边形小8£。|中，ZABC=ZAiBiCi,ZBCD=ZB\C\D\,

ABBCCD

求证：四边形与四边形4SGA相似•

4月ClD]

(3)如图2,四边形/BCD中，AB//CD,/C与8。相交于点0,过点。作E尸〃分别交BC于点

E,F.记四边形力出芭的面积为S,四边形EFCZ)的面积为S2，若四边形N8FE与四边形EFCD相似，求

【解析】(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不定相等.

②三个角分别相等的两个凸现边形相似，是假命题，边不一定成比例.

③两个大小不同的正方形相似.是真命题.

故答案为假，假，真.

(2)如图1中，连接8。，B\D\.

；NBCD=NBCDi，且^77=7777，

：.4BCDSRB\C\D\,:.NCDB=NC\DB,NC\BID尸NCBD,

ABBCCDBDAB

A}B[B£C\D\BQ】A}

VZABC=ZA\B\C\,：.ZABD=ZA\BiDi,：.LABD^

ADAB

,门=/n，Z-A=Z.A\,Z.ADB=Z.A\D\B\,

4444

ABBCCDAD

ZADC=ZAiD\C\fZA=ZAi，/ABC=NATBC，NBCD=NBCDI,

AXBXB、C[C\D]

四边形/8CO与四边形小BCQ1相似.

（3）如图2中，

.DEEF

四边形ABCD与四边形EFCD相似,

.DEOE+OF

'：EF=OE+OF,

"^4E-AB

DEOEDEOCOF

,:EF〃AB//CD,：.

~AD~AB'~AD~^4B

DEDEOEOF・2DEDE

••---------1---------=

ADADABAB'ADAE，

•21

■:AADE+AE,

■DE+AEAE,

：.2AE=DE+AE,:・AE=DE,

【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

压轴精练

1.阅读理解：已知两点M