2024届北京首师附大兴北校区数学九年级上册期末检测模拟试题含解析

2024届北京首师附大兴北校区数学九上期末检测模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0∙5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.已知将二次函数y=χ2+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=χJ4x-5,则b,

c的值为（）

A.b=l,c=6B.b=l.c=-5C.b=l.c=-6D.b=l,c=5

2.在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（2加一l）x+2m-4与y=/一（3m+/）x+”关于y轴对称，则符合

条件的m,n的值为（）

518

A.m=—,n=-----B.m=5,n=-6C.m=-1,n=6D.m=l,n=-2

77

3.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的

概率是:，则n的值为（）

A.3B.5C.8D.10

4.对于二次函数y=-gχ2+2χ-3,下列说法正确的是（）

A.当x>0,y随X的增大而减少B.当x=2时，y有最大值一1

C.图像的顶点坐标为（2,-5）D.图像与X轴有两个交点

5.抛物线y=χ2-2x+3的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,2）D.（-1,2）

6.关于二次函数y=2χ2+4,下列说法错误的是（）

A.它的开口方向向上B.当x=0时,y有最大值4

C.它的对称轴是y轴D.顶点坐标为（0,4）

7.从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.他的邻居教他

沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿有多长.设竹竿长X尺，则根据题意，可

列方程（）

A.(x+4)2+(x+2)2=χ2B.(X-4)2+(x-2)2=χ2

C.(X—4)2+(x+2)2=χ2D.(X+4)2+(χ-2)2=χ2

8.如图，在正方形4?CD中，点。是对角线ACBD的交点，过点。作射线分别交。河,ON于点民产，且

ZEOF=QQo,交Oc跖于点G.给出下列结论：①VCoE丝VOO/;②VOGESVEGCC；③四边形CEOE的

面积为正方形钻。面积的｝④。尸+国=OG.℃.其中正确的是()

A.①②③④B.①②③C.④D.③④

9.二次函数y=3(x+4)2-5的图象的顶点坐标为()

A.(4,5)B.(-4,5)C.(4,-5)D.(-4,-5)

10.表给出了二次函数y=αx2+Z>x+c(α≠0)的自变量X与函数值y的部分对应值：那么方程。/+历什,=。的一个根的

近似值可能是()

X•••11.11.21.31.4•••

y•••-1-0.490.040.591.16・・・

A.1.08B.1.18C.1.28D.1.38

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.如图，在AABC中，ZC=90o,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发，沿Be以2cm/s的速度向点C移动，

点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=

时，ACPQ与ACBA相似.

HP

12.一个正"边形的一个外角等于72。，则”的值等于.

13.若〃?是方程2017=1的一个根，则代数式，〃(，〃+1)的值等于.

14.如图，RtZVlBC中，NACB=90°,AC=BC,在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为X轴建立的平面直

角坐标系中，将AABC绕点8顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点4处，若Ao=OB=2,则图中阴影部

分面积为.

15.如图，在平面直角坐标系XOy中，已知函数乂=3(x>0)和％=-L(x<0)，点M为y轴正半轴上一点，N为

XX

X轴上一点，过M作轴的垂线分别交％,%的图象于A,8两点，连接AN,BN,则乙ABN的面积为

16.方程χ2=8x的根是.

17.口ABCD的两条对角线AC、BD相交于O,现从下列条件：①ACJLBD②AB=BC③AC=BD④NABD=NCBD中

随机取一个作为条件，可推出□ABCD是菱形的概率是

B

O

CD

18.如图，C、D是AB为直径的半圆O上的点，若NBAD=50。，则NBCD=

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在等腰RtAABe中，NACB=90。，AC=BC,点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA,

以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转90。，得到线段PD,连接DB.

（1）请在图中补全图形；

（2）NDBA的度数.

20.（6分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时,

销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.

（1）若设该种品脚玩具上X元（0<x<60）元，销售利润为W元，请求出W关于X的函数关系式；

（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润.

3

21.（6分）如图，在AABC中，BC=12,tanA=-,N5=30。，求AC的长和aABC的面积.

4

22.（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时,

销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为X元（x>40）,请你分别用X的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获

得利润W元，并把结果填写在表格中：

销售单价（元）X

销售量y（件）

销售玩具获得利润W（元）—

(2)在(D问条件下，若商场获得了IOOOO元销售利润，求该玩具销售单价X应定为多少元.

(3)在(1)问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求

商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

23.(8分)计算：I-l∣+2sin30o-(π-3.14)0+(ɪ)^1

2

24.(8分)综合与探究

问题情境：

(1)如图1,两块等腰直角三角板4ABC和AECD如图所示摆放，其中NACB=NDCE=90°,点F,H,G分别是线段DE,

AE,BD的中点，A,C,D和B,C,E分别共线，则FH和FG的数量关系是,位置关系是.

合作探究：

(2)如图2,若将图1中的ADEC绕着点C顺时针旋转至A,C,E在一条直线上，其余条件不变，那么(1)中的结论

还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由.

(3)如图3,若将图1中的aDEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明，

若不成立，请说明理由.

25.(Io分)已知关于X的一元二次方程mx2+2∕nx+”?-4=0；

(1)若该方程没有实数根，求，〃的取值范围.

(2)怎样平移函数y=*2+2mx+∕n-4的图象，可以得到函数y=mχ2的图象？

26.(10分)为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模.学校决定开支八

万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1,购买电脑的资金不低于

16000元，但不超过24000元.已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套

办公桌椅.(课桌凳和办公桌椅均成套购进)

(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？

(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1,C

【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所

求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式.

【详解】解：Vy=x2-4x-5=x2-4x+4-9=（x-2）2-9,

.∙.顶点坐标为（2,-9）,

.∙.由点的平移可知：向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（1,-2）,

则原二次函数y=aχ2+bx+c的顶点坐标为（1,-2）,

V平移不改变a的值，

.∙.a=l,

原二次函数y=ax2+bx+c=x2-2,

Λb=l,c=-2.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与平移变换，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶

点坐标，最后就可以求出原二次函数的解析式.

2、D

【解析】由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项系

数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得.

【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，

2/n-l=3m+n

二〈，

n=2m—4

故选D.

【点睛】

本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键.

3、C

【解析】试题分析：在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出

2121

一个，摸到红球的概率是——，而其概率为-，因此可得——=-,解得n=8.

2+n52+H5

故选B.

考点：概率的求法

4,B

【分析】根据题目中函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各选项即可.

【详解】∙.∙二次函数y=-∣∙χ2+2χ-3的图象开口向下，且以χ=2为对称轴的抛物线，

A.当x>2,y随X的增大而减少，该选项错误；

B.当x=2时，y有最大值一1,该选项正确；

C.图像的顶点坐标为(2,—1),该选项错误；

D.图像与X轴没有交点，该选项错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值和顶点，关键是明确题意，利用二次函数的性质

作答.

5,C

【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案.

【详解】解：Vy=X2-2x+3=(x-l)2+2,

二顶点坐标为(1,2),

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线的顶点坐标的求解，解题的关键是熟悉配方法.

6、B

【分析】根据二次函数的图象及性质与各项系数的关系，逐一判断即可.

【详解】解：A.因为2>0,所以它的开口方向向上，故不选A；

B.因为2>0,二次函数有最小值，当x=0时,y有最小值4,故选B；

C.该二次函数的对称轴是y轴，故不选G

D.由二次函数的解析式可知：它的顶点坐标为(0,4),故不选D.

故选：B.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键.

7、B

【分析】根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三边长，等量关系为：门框长的平方+门框宽的平方=门

的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解.

【详解】解：•••竹竿的长为X尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.

二门框的长为(x-2)尺，宽为(x-4)尺，

.∙.可列方程为(x-4)2+(x-2)2=χ2,

故选：B.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三边长是解决问题的关键.

8、B

【分析】根据全等三角形的判定(ASA)即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的

性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.

【详解】解：①Q四边形ABC。是正方形，

.∙.OC=OD,AC±BD,NODF=NoCE=45。,

QNMON=90。，

.∙.ZCOM=ZDOF,

：yCOE^VDOF(ASA),

故①正确；

②QNEoF=NECF=90。,

•••点O,E,C∕四点共圆,

.∙.NEoG=ZCFG,ZOEG=ZFCG,

.∙∙OGE尔FGC,

故②正确；

③QVCOE^VDOF,

•,S7COE-^NDOF'

∙'∙S四边形CEoF=SVoc£>=WS正方形ABeD>

故③正确

④QVCOE^VDOF,

..OE^OF,又QNEoF=90°,

.∙.VEOE是等腰直角三角形，

NOEG=NOCE=45。,

Q/EOG=/CoE,

:NoEGCOCE,

:.OE.OC=OG∙.OE,

.∖OG∙OC=OE2,

QOC=-AC,OE=-EF,

22

.∙.OG∙AC=EF2,

QCE=DF,BC=CD,

：.BE=CF,

又QRtNCEF中，CF2+C£2=E尸，

.-.BE1+DF2=EF2

OG∙AC=BE2+DF2,

故④错误，

故选3.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的

判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定.

9、D

【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标.

【详解】∙.∙二次函数y=3（x+4）J5

.∙.该函数图象的顶点坐标为（-4,-5）,

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-/?『+左的顶点坐标为（儿k）.

10、B

【分析】观察表中数据得到抛物线y=αx2+法+c与X轴的一个交点在（1.1,0）和点（1.2,0）之间，更靠近点（1.2,

2

0）,然后根据抛物线与X轴的交点问题可得到方程ax+bx+c=0一个根的近似值.

【详解】∖∙χ=l.l时，y=ax2+bx+c=-0.49；X=L2时，y=ax2+bx+c=0.04；

二抛物线y=α∕+bχ+c与X轴的一个交点在（1.1,0）和点（1.2,0）之间，更靠近点（1.2,0）,

二方程ax2+bx+c=0有一个根约为1.1.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线与X轴的交点问题，掌握二次函数的图象与X轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是

解题的关键.

二、填空题（每小题3分,共24分）

-64

11、4.8或五

【分析】根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQSACBA与②CP和CA是对应边时,

ΔCPQSACAB,根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.

【详解】①CP和CB是对应边时，ΔCPQSACBA,

CPCQ

所以

CBCA

i6-2t_t

π即π------

16~n,

解得f=4.8;

②CP和CA是对应边时，△CPQSACAB,

CPCQ

所以

CA"CB,

即修_t

=，

1216

解得f=6.4∙

64

综上所述，当f=4∙8或一时，AC尸。与AC54相似.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.

12、1.

【分析】可以利用多边形的外角和定理求解.

【详解】解：T正〃边形的一个外角为72°,

二"的值为360。÷72o=1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键.

13、1

【分析】把〃?代入已知方程，求得:"+/71=2018,然后得加(m+D的值即可.

【详解】解：把加代入已知方程d+χ-2017=1得病+%=2018，

m(m+l)=m2+m=2018>

故答案为L

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意已知条件与待求代数式之间的关系.

∖π

14、一.

3

【分析】根据等腰三角形的性质求出AB,再根据旋转的性质可得5A'=AB,然后求出/04'8=30°,再根据直角

三角形两锐角互余求出NA'BA=60°,即旋转角为60°,再根据SM影=S扇形W+SMp°-SAABC-S厨度CBc=S癌彩

ABA∙-S^CBC∙,然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】解：VZACB=90o,AC=BC,

：.AABC是等腰直角三角形，

J.AB=2OA=2OB=4,BC=2√2>

YZXABC绕点B顺时针旋转点4在A'处，

：.BA'=AB,

：.BA'=2OB,

；.NOA'3=30°,

.∙.NA'BA=60°,

即旋转角为60°,

S阴影=SAKABA'+S∆A'BC-SAABC-S就彩CBC

-SMABA∙-SWCBC

_60^×4260^×(2Λ∕2)2

360360

_4乃

-τ,

故答案为：——・

3

【点睛】

本题考查了阴影部分面积的问题，掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解题的关键.

15、1

【分析】根据题意设点A(X,∙∣),则B再根据三角形面积公式求解即可.

【详解】由题意得，设点A(X,£|,则B(J,∙∣J

.∙.S.ABN=，XABXyA=LXfX+斗。=2

22\3JX

故答案为：L

【点睛】

本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键.

16、xι=O,X2=l

【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】解:x2=lx,

x2-lx=0,

X(x-l)=0,

x=0,x-l=0,

Xl=O,X2=l,

故答案为Xl=0,X2=l.

【点睛】

考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

3

17、

4

【分析】根据菱形的判定方法直接就可得出推出菱形的概率.

【详解】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”直接判断①符合题意;

根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可直接判断②符合题意；

根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以③不符合菱形的判定方法；

ZABD=NCBD,ABHCD,■.ZABDZCBD=ZBDC

BC=CD,,OABCD是菱形，故④符合题意;

3

・•・推出菱形的概率为：P=：.

4

3

故答案为

4

【点睛】

本题主要考查菱形的判定及概率，熟记菱形的判定方法是解题的关键，然后根据概率的求法直接得出答案.

18、130°

【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出N5AD+N8CZ)=18()°,代入求出即可.

【详解】VC、。是AB为直径的半圆。上的点，

.,.ZBAD+ZBCD=ISOo.

VABAD=SQo,

ΛZBCD=130o.

故答案为：130。.

【点睛】

本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能根据圆内接四边形的性质得出NA4O+NBCZ>=180°是解答本题的

关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)见解析；(2)90°

【分析】(1)依题意画出图形，如图所示；

(2)先判断出NBPD=NEPA,从而得出APDBgz;∖PAE,简单计算即可.

【详解】解：(1)依题意补全图形，如图所示，

(2)过点P作PE〃AC,

.∙.NPEB=NCAB,

VAB=BC,

ΛZCBA=ZCAB,

ΛZPEB=ZPBE,

...PB=PE,

VZBPD+ZDPE=ZEPA+ZDPE=90o,

.∙.ZBPD=ZEPA,

VPA=PD,

Λ∆PDB^∆PAE(SAS),

VZPBA=ZPEB=ɪ(180o-90o)=45o,

2

.∙.NPBD=NPEA=1800-NPEB=I35°,

【点睛】

本题考查了作图-旋转变换，全等三角形的性质和判定，判断ΔWM三ΔΛ4E是解本题的关键，也是难点.

20、(1)w=-10x2+1300x-30000；(2)最大利润是1元，此时玩具的销售单价应定为65元.

【分析】(1)利用销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，再结合每件玩具的利润乘以销量=总利润进而求出即可;

(2)利用每件玩具的利润乘以销量=总利润得出函数关系式，进而求出最值即可.

【详解】(1)根据题意得：W=I600-10(x-40)](x-30)=-10x2+1300x-30000；

(2)w=[600-IO(X-40)](x-30)=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)2+l.

Ta=TOVO,.∙.对称轴为X=65,当x=65时，WJJt大值=1(元)

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是1元，此时玩具的销售单价应定为65元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，得出W与X的函数关系式是解题的关键.

21、10,24+18百

【分析】作CDJLAB于D,根据直角三角形的性质求出CD,根据余弦的定义求出BD,根据正切的定义求出AD,根

据勾股定理求出AC根据三角形的面积公式求出aABC的面积.

【详解】解：作CD,AB于O,

：.CD=-BC=6,BD=BC∙cosB=12×-=6√3>

22

3

在RtZ∖ACf>中，tanA=一

4

CD363

——=—，即hπ——=一,

AD4AD4

解得，AD=S,

由勾股定理得，AC=√CD2+AD2=√62+82=10，

△ABC的面积=；XABXCD=；X(8+6√3)×6=24+18√3.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键.

22、(1)1000-X,-IOX2+130()x-1；(2)50元或8()元；(3)8640元.

【分析】(1)由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得

销售量y=600-(x-40)x=1000-x,销售利润W=(1000-x)(x-30)=-10x2+1300x-1.

(2)令-10x2+1300x-1=10000,求出X的值即可;

(3)首先求出X的取值范围，然后把W=-IOX2+1300x-1转化成y=-1()(x-65)2+12250,结合X的取值范围，求

出最大利润.

【详解】解：(1)销售量y=600-(x-40)X=IOOO-x,

销售利润W=(1000-x)(x-30)=-10x2+1300x-1.

故答案为：1000-X,-10x2+1300x-1.

(2)-10x2+1300x-1=10000

解之得：xι=50,x2=8O

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得IOOOO元销售利润.

1000-IOx≥540

(3)根据题意得

x≥44

解得：44≤x≤46.

W=-10x2+1300x-I=-IO(x-65)2+12250

Va=-10<()»对称轴x=65,

：.当44<x≤46时，y随X增大而增大.

当x=46时,W最大值=8640(元).

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元.

23、1

【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幕、负整数指数幕法则计算即可求出值.

【详解】原式=l+2x[-1+2=1.

2

【点睛】

本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

24、(1)FG=FH,FG±FH;(2)(1)中结论成立，证明见解析；

(3)(1)中的结论成立，结论是FH=FG,FH_LFG.理由见解析.

【解析】试题分析：(1)证BE=AD,根据三角形的中位线推出Fa=LA。,尸//〃AR尸G=LBE,FG〃3E,即可推出

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答案；

(2)证4ACZ)gZ∖3CE,推出AO=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案；

(3)连接AO,BE,根据全等推出AQ=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案.

试题解析：(1)TCE=CDAC=BC,ZECA=ZDCB=90,

：.BE=AD,

：尸是OE的中点，〃是AE的中点，G是BD的中点，

二FH=ɪAD,FH//AD,FG=ɪBE,FG//BE,

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：.FH=FG,

'：ADLBE,

：.FHlFG,

故答案为相等，垂直.

(2)答：成立，

证明：VCE=CD,ZECD=ZACD=90,AC=BC,

AACDWABCE,

:.AD=BE,

由(1)知：FH=ɪAD,FH//AD,FG=ɪBE,FG∕∕BE,

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：.FH=FG,FHLFG,

.∙.⑴中的猜想还成立.

(3)答：成立，结论是尸”=FG,FHLFG.

连接AO,BE,两线交于Z,AD交BC于X,

同(1)可证

：.FH=ɪAD,FH//AD,FG=-BE,FG//BE,

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