5.4 一次函数的图象与性质（解析版）

5.4一次函数的图象与性质1.了解一次函数图象的意义，会画一次函数的图象2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点坐标3.根据一次函数的图象和表达式探索并理解图象的变化4.掌握一次函数的图象及性质，会利用一次函数的图象和性质解决简单的实际问题知识点一函数的图象及其画法1.函数图象的概念把一个函数的自变量的值与函数的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象.2.描点法画函数图象的一般步骤(1)列表：首先要考虑自变量的取值范围，再选择具有代表性的自变量的值和函数的对应值列成表格.(2)描点：把自变量的值作为点的横坐标，对应的函数值作为点的纵坐标，在坐标系中描出表格中的各点.(3)连线：要按自变量由小到大的顺序依次连结各点，时刻注意函数图象的发展趋势，有时不能把所有的点都描出来，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得出函数的近似图象.注意：一般地，以图象形式给出的函数，横坐标表示自变量，纵坐标表示函数值.函数图象与函数表达式是一一对应的，即：①函数图象上的任意点中的满足其函数表达式；②满足函数表达式的任意一对的值所对应的点一定在函数图象上.描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图象画得就越准确.即学即练分别在同一直角坐标系中画出下列（1）（2）中各函数的图象，并指出每组函数图象的共同之处．（1）y=x+1，y=x+1，y=2x+1；（2）y=−x−1，y=−x−1，y=−2x−1．【答案】（1）图见解析，都是经过（0，1）的直线；（2）图见解析，都是经过（0，-1）的直线【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．【详解】解：（1）直线y=x+1经过（0，1），（-2，0），直线y=x+1经过（0，1），（-1，0），直线y=2x+1经过（0，1），（-，0）；它们的图象如图所示：都是经过（0，1）的直线；（2）直线y=−x−1经过（0，-1），（-2，0），直线y=−x−1经过（0，-1），（-1，0），直线y=−2x−1经过（0，-1），（-，0）．它们的图象如图所示：都是经过（0，-1）的直线；【点睛】本题考查了一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线，属于中考常考题型．知识点二一次函数的图象及其画法1.一次函数的图象一次函数可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线也叫做一次函数的图象.2.一次函数图象的画法因为一次函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线，所以只要画出这个图象上的两个点，然后过这两个点作直线，就能得到一次函数的图象.注意：（1）画一次函数的图象时，选点应以计算和描点方便为原则.一般来说，当b≠0时，画一次函数的图象，应选取它与两个坐标轴的交点，，也就是就是横坐标和纵坐标为0的点.（2）画关于实际问题的一次函数图象时，要先明确自变量的取值范围，在自变量取值范围内画函数图象，函数图象可能是直线、线段或射线.3.求一次函数图象与坐标轴交点的方法一般地，令,解得的值即直线与轴交点的纵坐标；令,解得的值即直线与轴交点的横坐标.由此，我们可以求出直线与两坐标轴的交点坐标.根据图象或计算可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为.一次函数的图象也可以看作是正比例函数的图象向上(或下)平移个单位得到的.即学即练1如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象大致如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线从左到右下降得到k-2＜0，根据直线与y轴交点位置得到-b＜0，得到结果．【详解】解：根据题意，得，解得k＜2，b＞0，故选C．【点睛】本题考查一次函数的图象与k和b之间的关系，k定升降，b定直线与y轴交点位置．即学即练2已知等腰三角形的周长为12．

（1）写出底边长y关于腰长x的函数表达式（x为自变量）；（2）写出自变量x的取值范围；（3）在直角坐标系中，画出该函数的图像．【答案】（1）y=-2x+12；（2）3<x<6；（3）见解析.【分析】（1）由三角形的周长公式列式整理即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边和底边大于0列式求解即可；（3）利用两点法作出函数图象即可.【详解】解:（1）由题意得，2x+y=12，所以，y=-2x+12；（2）由三角形的三边关系得，2x>-2x+12，解得x>3，又∵-2x+12>0，∴x<6，∴x的取值范围是3<x<6；（3）函数图像如图所示.【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了三角形的周长、三角形的三边关系以及一次函数图象的作法，考查知识比较基础.知识点三一次函数的性质对于一次函数,当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.的符号与函数图象的位置特征及增减性见下表：的符号的符号图象经过象限增减性一、二、三随的增大而增大一、三、四一、三一、二、四随的增大而减小二、三、四二、四即学即练1若直线y＝2x+b经过点A(﹣2，m)，B(1，n)，则m，n的大小关系正确的是（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定【答案】A【分析】由k=2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合-2＜1，即可得出m＜n．【详解】解：∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵-2＜1，∴m＜n．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．即学即练2直线经过第一、二、四象限，那么直线不经过第象限.【答案】二【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【详解】已知直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则得到k＜0，b＞0，那么直线y＝bx＋k经过第一、三、四象限．即不经过第二象限；故答案为二．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx＋b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．即学即练3已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用一次函数的性质判断即可．【详解】解：一次函数的图象与轴的负半轴相交，，，函数值随自变量的增大而减小，，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质找出、是解题的关键．知识点四利用一次函数的图象和性质解决实际问题求实际问题中的一次函数的最大值、最小值有两种方法：一是利用图象；二是利用一次函数的增减性.注意：(1)对于实际问题中的一次函数，画图象时一般都要求出自变量的取值范围，所画的图象也经常是直线的一部分(2)对于一般的一次函数，当自变量的取值为所有实数时，它既无最大值，又无最小值.当自变量的取值范围有限制时，它就可能有最大值或最小值.即学即练经过一年多的精准帮扶，王二家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．王二家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品

红枣小米规格袋袋成本（元/袋）售价（元/袋）根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个月，王二家网店销售上表中规格的红枣和小米共，获得利润万元，求这前五个月王二家网店销售这种规格的红枣多少袋：(2)根据之前的销售情况，估计今年月到月这后五个月，王二家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共，其中，这种规格的红枣的销售量不低于．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，王二家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．【答案】(1)2200袋(2)，21000元【分析】（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣袋．根据总利润为42000元，构建方程即可；（2）构建y关于x的一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）解：设这前五个月王二家网店销售这种规格的红枣袋，由题意得：解得，答：这前五个月王二家网店销售这种规格的红枣2200袋．（2）由题意：，，，∴y随x的增大而增大，∴当时，有最小值，最小值为21000元．答：这后五个月，王二家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润21000元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．题型1正比例函数的图象例1下列图形中，表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据、同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确；B、由一次函数的图象可知，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；C、由正比例函数的图象必过原点，两个图象都不过原点，故本选项不正确；D、由一次函数的图象可知，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：当函数的图象经过第一、二、三象限；当函数的图象经过第一、三、四象限；当函数的图象经过第一、二、四象限；当函数的图象经过第二、三、四象限．举一反三1已知正比例函数的图象过点，则k的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】将点代入正比例函数解析式求解，即可得到答案．【详解】解：正比例函数的图象过点，，故选D．【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．举一反三2正比例函数的图象经过，两点，则的值为（

）A．2 B． C．1 D．4【答案】A【分析】设该正比例函数的解析式为，把，代入，可得，即可求解．【详解】解：设该正比例函数的解析式为，把，代入得：，∴，∴，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的特征，熟练掌握正比例函数图象上点的特征是解题的关键．题型2正比例函数的性质例2正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由于正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，可得k＜0，-k＞0，然后，判断一次函数y=kx-k的图象经过象限即可．【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，∴k＜0，∴-k＞0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限；故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b,当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限．举一反三1一次函数与正比例函数（k，b是常数，且）的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据一次函数的图像与系数的关系确定一次函数y＝kx＋b图像分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y＝kbx的图像是否正确即可解答．【详解】解：根据一次函数的图像分析可得：A、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＜0，b＞0，kb＜0；正比例函数y＝kbx的图像可知kb＞0，矛盾，故此选项错误，不满足题意；B、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图像可知kb＞0，矛盾，故此选项错误，不满足题意；C、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图像可知kb＜0，正确，故此选项正确，满足题意；D、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝kbx的图像可知kb＜0，矛盾，故此选项错误，不满足题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数图像，注意：一次函数y＝kx＋b的图像有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图像经过第二、三、四象．举一反三2若正比例函数的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的定义结合一次函数的性质即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵正比例函数y=（1-4m）x的图象y随x的增大而减小，∴1-4m＜0，解得：m＞，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的定义结合一次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．题型3判断一次函数的图象例3正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．举一反三1在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先看一个直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．【详解】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；B、反映，，反映，，则，故本选项错误；C、反映，，反映，，则，故本选项错误；D、反映，，反映，，则，故本选项错误；故选：D．【点睛】此题考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．举一反三2一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：A、一次函数m＞0，n＞0；正比例函数mn＜0，矛盾；B、一次函数m＞0，n＜0；正比例函数mn＞0，矛盾；C、一次函数m＞0，n＜0，正比例函数mn＜0，成立；D、一次函数m＜0，n＞0，正比例函数mn＞0，矛盾，故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，经过第二、三、四象限．题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限例4一次函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的性质，直接判断即可．【详解】对于一次函数，∵，，∴函数的图象经过第一、三、四象限．故选B．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之间的关系是解题的关键．举一反三1在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．一次函数的图像有四种情况：①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．举一反三2在同一平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的大致图象可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据一次函数经过的象限与系数的关系进行求解即可．【详解】解；当时，一次函数经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、三、四象限；当时，一次函数经过第一、三、四象限，一次函数经过第二、三、四象限；当时，一次函数经过第一、二、四象限，一次函数经过第一、二、三象限；当时，一次函数经过第二、三、四象限，一次函数经过第一、二、四象限；∴四个选项只有C符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限，当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键．题型5已知函数经过的象限求参数范围例5若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是．【答案】【分析】若函数的图像不过第二象限，则此函数的，，据此求解．【详解】解：函数的图像不过第二象限，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，握一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0是解题关键掌．举一反三1已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围．【答案】【分析】根据一次函数经过的象限得到，求解即可．【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，∴图象经过第一，三，四象限，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了一次函数的性质：时图象经过一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过一，二，四象限；时经过二，三，四象限，熟记一次函数的性质是解题的关键．举一反三2若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为．【答案】5【分析】先根据一次函数不经过第三象限，得出，根据不等式组的解集不等式组的解集为，有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，得出，综合得出，根据a为整数，求出a的值，再求和即可．【详解】解：关于的一次函数不经过第三象限，，解得，，解不等式①得，解不等式②，∴不等式组的解集为，∵不等式组有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，∴，解得，∴，∵为整数，∴或，∴2+3=5．故答案为：5．【点睛】本题考查一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组，掌握一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组是解题关键．题型6一次函数图象与坐标轴的交点问题例6下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（

）A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小C．与x轴交于 D．与y轴交于【答案】C【分析】根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：直线中，，A．∵，∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；B．∵，∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；C．∵当时，，∴与x轴交于，原说法错误，故本选项符合题意；D．∵当时，，∴与y轴交于，正确，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，y随x的增大而减小是解题的关键．举一反三1如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为1，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．【详解】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．当时，，∴点D的坐标为；当时，，∴点A的坐标为，∴点E的坐标为，，∴，∴．同理，可求出另两个三角形的面积均为1（阴影部分组成的小三角形），∴阴影部分面积之和．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．举一反三2已知一次函数的图象经过点和.(1)求该函数的表达式；(2)若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标.【答案】(1)y＝x−2(2)（−3，0）或（7，0）【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式一般步骤：将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式；（2）根据题意，设p（x，0），表示BP＝|x−2|，再根据面积公式列等式，计算即可．【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（−2，−4）和B（2，0），进而得，解得k＝1，b＝−2，∴该函数的表达式：y＝x−2；（2）∵点P是x轴上一点，∴设P（x，0），∴BP＝|x−2|，∵△ABP的面积为10，∴×4×|x−2|＝10，∴|x−2|＝5，∴x−2＝5或x−2＝−5，解得x1＝−3或x2＝7，∴点P的坐标（−3，0）或（7，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤，求点P的坐标分两种情况是解题关键．题型7画一次函数图象例7已知一次函数和，函数和的图象可能是

（

）

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意和，即可得到答案.【详解】①当，、的图象都经过一、二、三象限②当，、的图象都经过二、三、四象限③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限满足题意的只有A.故选A.【点睛】本题考查一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质.举一反三1函数的图像大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可．【详解】解：∵，∴函数的图像大致是

，故选C．【点睛】本题考查了分段函数图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键．举一反三2一次函数的图象与轴交于点，且经过点．

(1)求点和点的坐标；(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；(3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．【答案】(1)(2)见解析(3)坐标是，【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解；（2）画出经过的直线，即可求解；（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，

∴令解得∴点的坐标是

∵点在一次函数的图象上把代入，得，

∴，∴点的坐标是；（2）解：如图所示，

（3）解：如图所示，当时，;∵，，∴，当时，

∴符合条件的点坐标是，.【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型8一次函数图象平移问题例8已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小【答案】C【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．举一反三1如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为【答案】16【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．【详解】解：如图所示．点、的坐标分别为、，．，，∴由勾股定理可得：．．点在直线上，，解得．即．．．即线段扫过的面积为16．故选：C．【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．举一反三2如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．【答案】（1）m=2，l2的解析式为y=2x；（2）S△AOC﹣S△BOC=15；（3）k的值为或2或﹣．【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣．【详解】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得4=﹣m+5，解得m=2，∴C（2，4），设l2的解析式为y=ax，则4=2a，解得a=2，∴l2的解析式为y=2x；（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO=10，BO=5，∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，∴当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣．【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．题型9判断一次函数的增减性例9已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】欲求与的大小关系，通过题中即可判断随着的增大而增大，就可判断出与的大小.【详解】解：随着的增大而增大点和点在一次函数的图象上，故答案选.【点睛】本题考查了一次函数的性质，能否掌握，随着的增大而增大是解题的关键.举一反三1某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中，，，点，是这两条线段上的点，则正确的结论是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据一次函数图象的增减性作出判断即可．【详解】解：A、当时，y随x的增大先减小后增大，不能比较和的大小，故选项不符合题意；B、当时，y随x的增大而减小，，故选项不符合题意；C、当时，y随x的增大先减小后增大，不能比较和的大小，故选项不符合题意；D、当时，y随x的增大而增大，，故选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查利用函数的增减性比较大小，根据自变量的取值范围找出对应的图象并观察增减性是解答本题的关键．举一反三2已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的图象和性质，即可解答．【详解】解：在中，，随x的增大而减小，，，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一次函数的图象和性质是解决本题的关键．题型10根据一次函数增减性求参数例10已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．【详解】解：∵点P（-1，y1）、点Q（3，y2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上，∴当-1＜3时，由题意可知y1＞y2，∴y随x的增大而减小，∴2m-1＜0，解得m＜，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键．举一反三1若一次函数的函数值随的增大而增大，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围．【详解】解：∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，∴k-2＞0，∴k＞2，故选B．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．举一反三2一次函数，求：（1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？（2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？（3）若时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积．【答案】（1）m＞-2，n为任意实数；（2）m≠-2，n＞3；（3）【分析】（1）根据一次函数性质得2m+4＞0，然后解不等式；（2）根据一次函数图象与系数的关系得到2m+4≠0，3-n＜0，然后解两个不等式；（3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，从而利用三角形面积公式计算．【详解】解：（1）当2m+4＞0时，即m＞-2，n为任意实数，y随x的增大而增大；（2）当2m+4≠0，3-n＜0时，即m≠-2，n＞3，函数图象与y轴的交点在x轴下方；（3）m=-1，n=2，一次函数为y=2x+1，当x=0时，y=2x+1=1，则一次函数与y轴的交点为（0，1）；当y=0时，2x+1=0，解得x=，则一次函数与x轴的交点坐标为（，0），∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为=．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b与y轴交于（0，b），当k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．题型11根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况例11若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一次函数的增减性判定即可．【详解】解：由知，函数值y随x的增大而减小，∵3>-1>-2，，，，∴．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过k=-2<0得知函数值y随x的增大而减小，反之x随y的增大也减小．举一反三1已知一次函数，当时，x的最大值为．【答案】【分析】当时，可得：，当时，可得：，再利用一次函数的性质可得x的范围为：，从而可得答案．【详解】解：当时，，解得：，当时，则，解得：，∵一次函数，∴随的增大而减少，∴当时，x的范围为：∴的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，求解一次函数的自变量的取值范围，掌握“一次函数的性质”是解本题的关键．举一反三2已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）分别把和代入，再根据一次函数的增减性，即可求解．【详解】（1）解：设一次函数的表达式，∵点，在此函数图象上，∴，解得：∴这个一次函数表达式为（2）把代入得：；把代入得：；∵，∴y随x的增大而减小．∴当时，x的范围是；【点睛】本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的增减性，掌握相关知识是解题的关键．题型12比较一次函数值的大小例12若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，∴y随着x的增大而增大．∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，∴y1＜y2．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．举一反三1在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为直线，所以随着自变量的增大，函数值会减小，根据这点即可得到问题解答．【详解】解：∵因为直线，∴y随着x的增大而减小，∵32>，∴∴m<n，故选：A．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确判断一次函数的增减性并灵活运用．举一反三2若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜0＜2，即可得出y1＞b＞y2．【详解】解：∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直线y＝﹣x+b上，且﹣1＜0＜2，∴y1＞b＞y2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．题型13求一次函数解析式例13如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2；（2）点C的坐标是（2，2）．【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得．∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．（2）设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC=2，∴•2•x=2，解得x=2．∴y=2×2﹣2=2．∴点C的坐标是（2，2）．举一反三1已知直线y＝kx＋b经过M(0，2)，N(1，3)两点．(1)求该直线的表达式；(2)请判断点P（2，4）在不在该直线上【答案】（1）该直线的表达式为．（2）点P（2，4）在该直线上．【分析】（1）将两点坐标分别代入直线解析式中，利用二元一次方程组求解，的值即可．（2）将P点横坐标代入解析式中，判断纵坐标是否相等即可．【详解】（1）解：直线y＝kx＋b经过M(0，2)，N(1，3)两点，，解得，直线的表达式为：（2）解：将点P（2，4）的横坐标代入直线解析式中有：．P（2，4）在该直线上．【点睛】本题主要是考查了利用待定系数法求解一次函数解析式以及一次函数上的点的特征，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式是本题的关键．举一反三2如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与直线交于点C，直线l与x轴交于点D．（1）求直线的解析式：（2）求点C的坐标；（3）求的面积．【答案】（1）y=-2x+8；（2）（2，4）；（3）18【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立y=-2x+8和y=x+2，求出x，代入其中一个解析式求出y值，即可得到点C；（3）求出点D和点E坐标，利用△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积求出结果．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，将A（5，-2），B（1，6）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y=-2x+8；（2）∵直线与直线y=x+2交于点C，则令-2x+8=x+2，解得：x=2，代入y=x+2，得y=4，∴C（2，4）；（3）∵直线l与x轴交于点D，∴在y=x+2中，令y=0，则x=-2，∴D（-2，0），设E为直线AB与x轴交点，在y=-2x+8中，令y=0，则x=4，∴E（4，0），∴△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积==．【点睛】本题考查了待定系数法求直线的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，能正确求出函数解析式，从而得到相应点的坐标是解题的关键．题型14一次函数的规律探究问题例14如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（）A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）【答案】C【分析】根据直线解析式确定，∠AOP1＝45°，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得前面几个点的坐标，找出规律即可求解．【详解】解：∵直线OA的解析式为y＝x，∴∠AOP1＝45°，∵PQ1⊥x轴，∴△OP1Q1为等腰直角三角形，∵点P1坐标为（1，0），∴P1Q1＝OP1＝1，∵P2Q1⊥OA，∴∠P1Q1P2＝45°，∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，∴P1P2＝P1Q1＝1，∴P2（2，0），同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0），∴P100（299，0），故选：C．【点睛】此题考查了坐标类规律的探索问题，涉及了正比例函数的性质、等腰直角三角形的性质。解题的关键是根据题意，利用性质找出前面几个点的坐标，正确找出规律，然后求解．举一反三1在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是．【答案】【分析】由直线点的特点得到，分别可求OA1＝OC1＝1，C1A2＝，C2A3＝，……，从而得到正方形边长的规律为Cn﹣1An＝，即可求正方形面积．【详解】解：直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A₁（1，0），与y轴交于点D（0，﹣2），∴，∵OA1＝OC1＝1，∴A1B1C1O的面积是1；∴DC1＝3，∴C1A2＝，∴A2B2C2C1的面积是；∴DC2＝，∴C2A3＝，∴A3B3C3C2的面积是；……∴Cn﹣1An＝，∴正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是，故答案为．【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中有规律的点的坐标与图形的探索问题，列出前面几步的数据找到点或图形的变化规律是解答关键.举一反三2如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点按此规律作下去，则点的坐标为；点的坐标为．【答案】（8，0）；（22020，22021）．【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A4、B2021的坐标．【详解】解：∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，点B1在上，y=2×1=2，B1点的坐标为（1，2），∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1=A1A2=1，∴OA2=1+1=2，∴点A2的坐标为（2，0），点B2在上，y=2×2=4，B2的坐标为（2，4），∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），点B3在上，y=2×4=8，B3的坐标为（4，8），此类推便可求出点An的坐标为（2n-1，0），点Bn在上，y=2×2n-1=2n，点Bn的坐标为（2n-1，2n）．所以点A4的坐标为（8，0），点的坐标为（8，16）所以点A2021的坐标为（22020，0），点的坐标为（22020，22021）故答案为（8，0），（22020，22021）．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．一、单选题1．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据一次函数的增减性可得，再根据一次函数与轴的交点位于轴负半轴可得，然后根据当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方可得，由此即可得出答案．【详解】解：对于一次函数而言，随的增大而减小，，结论①正确；一次函数与轴的交点位于轴负半轴，，结论②错误；由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方，则，结论③错误；综上，正确的结论有1个，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．2．下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据每个一次函数及正比例函数的图像依次分析a及b的符号，然后再确定其所在的象限即可解答．【详解】解：A、一次函数中a<0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项符合题意；B、一次函数中a＞0，b＜0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；C、一次函数中a>0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项不符合题意；D、一次函数中a＜0，b＞0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的图像，熟记一次函数与正比例函数图像与各字母系数的关系是解题的关键．3．三个正比例函数的表达式分别为①；②③，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．a C． D．a【答案】C【分析】先根据函数图象经过的象限得出，，，再根据直线越陡，越大得出答案．【详解】解：∵和的图象经过一、三象限，的图象经过二、四象限，∴，，，∵直线比直线陡，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当时，函数图象经过一、三象限；当时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，越大．4．将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②函数不经过第二象限．③不等式的解集是．④，其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根据图象交点横坐标是4，和图象所经过象限可以判断．【详解】解：由图象可得：对于函数来说，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大，故①正确；由图象可知，a＞0，d＞0，所以函数的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故②错误，由图象可得当时，一次函数图象在的图象上方，不等式的解集是，移项可得，，解集是，故③正确；∵一次函数与的图象的交点的横坐标为4，∴∴，∴，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，理解图象反应的信息，综合一次函数、不等式、方程解决问题．二、填空题6．如果函数y