2023-2024学年山东省德州市高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年山东省德州市高一上册期末数学试题

一、单选题

1.函数y=log2（2x—4）的定义域是（）

A.[2,+oo）B.（2,+oo）C.（-oo,2]D.（-oo,2）

【正确答案】B

【分析】根据对数的真数大于0,直接计算可得答案.

【详解】由已知得，2x-4>0,解得x>2,故XC（2,M）.

故选：B

2.若。:彳>0丿>0,夕:孙>0,则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】由充分性和必要性的定义判断即可.

【详解】由x>o,y>o可推出孙>0,

但孙>0推不出x>0,y>0,pnx=-l,y=-2,xy=2,

所以〃是q的充分不必要条件

故选：A.

3.已知点尸（肛1）是角a终边上的一点，且sina=g,则团的值为（）

A.2B.-2&C.2夜或2D.20或-2夜

【正确答案】D

【分析】根据三角函数的定义计算可得.

【详解】解：因为点「（，"」）是角。终边上的一点，且sina=；,

所以sina=7=，=^r=；,解得帆=2&或%=一2血.

故选：D

4.函数y=3占的值域为（）

A.（0,2）B.（0,l）L，（l,+co）C.{x|xwl}D.（l,+oo）

【正确答案】B

【分析】令〃x）=—求出y=〃x）的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数y=3七

x—\丿

的值域.

【详解】令〃力=占，由x—1H0,则“力虫），所以产3占片3。，所以尸1，又3白＞0,

所以函数产3占的值域为（0，1）51，+巧・

故选：B

5.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观,

形缺数时难入微告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途

径.若函数/（X）=log“（x+A）（“＞（）且）的大致图象如图，则函数g（x）=a-，—6

【正确答案】C

【分析】根据题意，求得结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即

可求解.

【详解】由题意，根据函数/(》)=1唱仆+。)的图象，可得0<4<1,0<。<1,

根据指数函数y=#为0<a<1)的图象与性质，

结合图象变换向下移动匕个单位，可得函数8"人/’一6的图象只有选项C符合.

故选：C.

6.已知角a的值点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若角a的终边落在直线x+3y=0上,

则川-cos2a的值等于()

cosa

A.3或-3B.—或—C.3或—D.-3或一

3333

【正确答案】B

【分析】讨论角。在第二象限或第四象限，化简.「cos)”代入即可得出答案.

cosa

【详解】角a的终边落在直线x+3y=0上，所以角&在第二象限或第四象限，

所以tan“=—所以」-cos,%,笆回,

3cosacosa

当角a在第二象限时，sina>0,所以正五匹=则包=包里=tana=-丄，

cosacosacosa3

当角a在第四象限时，sina<0,所以正还工=回1=一则4=_tana=L

cosacosacosa3

故选：B.

7.已知累函数〃乂卜的-庁/序与2⑺好即在似+⑹上单调递减，设

a=3\/>=logs^,c=log54,则/(a)J(3J(c)大小关系为()

A./(a)</(/>)</(c)B./(c)</(«)</(/?)

C./(«)</(c)</(^)D./(&)</(<?)</(«)

【正确答案】C

【分析】根据幕函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单

调性，比较大小，结合幕函数的奇偶性和单调性，可得答案.

【详解】由题意，可得=1,解得帆=2,则/(x)=x"，显然该函数为偶函数,

2tn~-7/n+2<0

由函数y=logsX在其定义域上单调递增，则logs|=-logs3<0<log53<log54<log55=1,

由函数y=3、在其定义域上单调递增，则£>3。=1，

11

4

故0<log5-<log,4<3,即0<网<。<。，

由函数/(x)在(0,+8)上单调递减，则/⑶="网)>〃c)>/⑷.

故选：C.

二、多选题

8.设xeR,用国表示不小于x的最小整数，如[3.14]=4,[—2.7]=-2,[3]=3.已知函数

下列叙述不正确的是()

A.函数/(x)是奇函数

C.函数g(x)是奇函数D.函数g(x)的值域是{0,1}

【正确答案】CD

【分析】根据定义，函数的奇偶性及函数值域的求解方法对选项逐一分析即可.

【详解】由题意得函数/(x)的定义域为R关于原点对称,

因为〃6=丄---------

'丿22023,+1

所以/(_)=；-112023x

2023一'+12-2023v+l

且.f(x)+/(-x)=(；2023A)i

-----------=1—=0,

2023、+1)

所以/(-x)=-/(X)，所以〃力为奇函数,故A正确;

令y=f(x)=丄------—,

八丿22023*

解得：2023、曷,由2。23'>。,

l-2v11

所以黄=

，故B正确;

因为g(x)=[f(x)]，

所以g(x)的值域为{-1,0},故D不正确;

由g(1)="⑴]=丄--------==(

V7

L八丿」|_22023+1J[2024」

“丿L八丿」於2023T+1」[2024

所以g(-l)H-g⑴，所以g(x)不是奇函数,故C不正确;

故选：CD.

9.已知ee(0,7t),sin0+cos0=g,则下列结论正确的是()

7337

A.sin。-cos®=——B.cos0=一一C.tan6=——D.sin4^-cos40=—

55425

【正确答案】BD

,、？124

【分析】由题意得(sinO+cos。)-=l+2sin，cos0=不，可得2sin6cos®=—三，根据。的范

围，可得sindcos。的正负，求得sin。-cos夕的值，即可判断A的正误，联立可求得sin6、cos。

的值，即可判断B的正误，根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，平方差计算

sin40-cos40的值可判断D的正误，从而得到答案.

【详解】因为sin8+cos6=g①，

、1124

所以(sin，+cos6)~=l+2sin6cos6=—,贝ij2sin6cos6=-----,

因为夕€(0,兀)，所以sin。＞0,cos。＜0,

所以8w兀J,所以(sin6-cos。)-=l-2sin0cos0=—,

7

所以sinO—cosO=(②，故A错误；

43

①②联立可得，sin0=-,cos^=--,故B正确；

qin44

所以tan6>=2-=-；,故C错误；

cos”3

7

sin40-cos40=(sin?0-cos2^)(sin20+cos26)=(sin6-cos6)(sin0+cos0)=—，故D正确;

故选：BD

10.下列正确的是()

A「

B.log89xlog2732=—

21

C.若a+at=3,则/+一3"腿，2=2D.若3*=4>,=M,且一+—=1,则例=36

xy

【正确答案】ABD

【分析】应用指、对、累函数的运算公式逐一计算即可得到结果.

【详解】解：A选项:

1g9lg3221g351g2JO

B选项:log89xlog2732=1^8X1i27-31^2X31i3~7故B正确;

C选项：a+a'=3,a2+a2-3,+,ogi2=(a+a-1)'-2-3x3log'2-1,故C错误;

D选项：3'=4-V=M,则x=log，M,-=log3,同理y=log1,M,-=log,4,则

xMyw

21

-+-=2logM3+logM4=logM36=l,解得M=36,故D正确.

xy

故选：ABD

|lnx|,x>0

11.已知函数=1，、，若“斗”了仏卜“玉卜牛孙毛互不相等気则占占七

2—W0

2

的值可以是()

丄

A.-2B.—C.D.-1

24

【正确答案】BC

【分析】作出图象，由数形结合可得天的范围，由对数运算可得£马=1，即可判断结

果.

【详解】“可图象如图所示，令尸/&)=〃％)=〃玉)=，，则有-ln/=ln/，

则有Inf+lnw=ln%2%3=0?X2X3L

又/(T)=0,・・.X]W(T,0],故xww=%£(—l,0].

故选：BC

12.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是优（单位：℃）,

环境温度是4（单位：。C）,其中4>4、则经过，分钟后物体的温度。将满足

（ZwR且&>0）.现有一杯100C的热红茶置于10C的房间里，根

据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln2B0.7,ln3=l.l）

A.若"3）=40C,510/（6）=20C

B.若％=《，则红茶下降到55c所需时间大约为6分钟

C.5分钟后物体的温度是40"C,%约为0.22

D.红茶温度从80C下降到60C所需的时间比从60C下降到4（TC所需的时间多

【正确答案】AC

【分析】由题知e=/（，）=10+90e-",根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求

解.

【详解】解：由题知e=/（f）=l（）+90eH,

A选项：若"3）=40C,即40=10+90e』，所以缺=g,则

/（6）=10+90e&=10+90（e*）2=10+90x（1）2=20'C,A正确；

1i_1r111

B选项：若/=而，则10+90.行'=55,则e10两边同时取对数得-点f=ln：=-ln2,

所以r=101n2#7,所以红茶下降到55c所需时间大约为7分钟，B错误；

C选项：5分钟后物体的温度是40℃,即10+90-e&=40,则e.=g,得一5&=lng=—ln3,

所以&=Jn3x0.22,故C正确；

D选项：/⑺为指数型函数，如图，可得红茶温度从80c下降到60c所需的时间（厶-L）

比从60c下降到40"C所需的时间。3T2）少，故D错误.

三、填空题

【正确答案】73+1##1+>/3

【分析】根据三角函数的诱导公式，结合特殊角三角函数，可得答案.

【详解】

tan（g;r）-2sin（一艺]）=tan[3+2%）+2sin（^+2万）=tan-y+2sin^=\/3+2xi=>^+l,

故答案为.6+1

7T

14.如图，直角；PQ8中，ZPBO=~,以。为圆心，0B为半径作圆弧交。尸于点A.其中

.POB的面积与扇形O4B的面积之比为3：2,记NAOB=a,则蚂q=.

【分析】设出扇形的半径，分别计算扇形面积与三角形面积代入可得结果.

【详解】设扇形OAB的半径为r,则扇形。48的面积为ga戸，

直角三角形POB中，PB=rtana,则△POB的面积为丄rxrtana,

2

—rxrtana

3

由题意知，---------

122

-ar

2

tana3

所以

a2

3

故答案为

15.在数学中连乘符号是“n"，这个符号就是连续求积的意思，把满足“n”这个符号下

面条件的所有项都乘起来，例如：fp=lx2x3x…x〃.函数f(〃)=log“+]5+2)(〃£此)，

I=I

定义使j[/⑺为整数的数MAeNj叫做企盼数，则在区间[1,2023]内，这样的企盼数共有

»=1

.个.

【正确答案】9

【分析】由对数换底化简/(&)后，根据新定义累乘后可得g(Z)=log2(%+2),再由企盼数定

义可得&+2=2",转化为求满足2"e[1,2023]的”的个数.

【详解】令g伏)=/(1)-/⑵•/(3)f(k),

lg(2+2)

/(&)=log*+i>(%+2)=

lg(Z+l)

“、怆3,4lg(k+2))炫(氏+2),八一、

.,^)=-xlg-xxw-ir=n-^=log2U+2)

要使g伏)成为企盼数，则％+2=2",〃wN,

ke[l,2023],.•.伏+2)e[3,2025],即2"e[3,2025],

22=4,,210=1024,2"=2048,

二可取“=2,3,,10.

所以在区间[1,2023]内，这样的企盼数共有9个.

故9

16.设“X)是定义在R上的偶函数，且当xNO时，/(6=屋(。＞1).若对任意的xe[0/+2],

均有“x+b)研/(x)T,则实数b的最大值是.

3

【正确答案】q

【分析】利用指数的运算性质易得xNO时[〃力于=〃2力，进而根据偶函数的性质和函数

在xNO上的单调性，

将不等式恒成立问题转化|x+NN2x对任意的xe[0,b+2]恒成立，再分类讨论求解，

【详解】当xe[0,6+2]时，"(x)f=(优y=/=〃2x),

若对任意的xe[0力+2],均有/(x+。)2[/(x)]2即为任x+力士f(2x),

由于当xNO时，/(x)=a*为单调递增函数，

又•••函数F。)为偶函数,

f(x+b)2f(2x)等价于|x+b|2|2x|,g[J|x+fe|>2x(Vxe[0,Z>+2]),

由区间的定义可知b>-2,若x+〃*0,于是x+bN2x,即8Nx,

由于x的最大值为6+2,故bNx显然不可能恒成立；

113

.,.Z?+x<(),则x+Z?«-2龙，即b+2<--b,,

3

故6的最大值为一],

一亠3

故答案为.-彳

本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是xNO时

[/(x)]2=f(2x),化归为f(x+b)>/(2x),再利用偶函数和单调性转化为|x+b|22x对任

意的xe[0为+2]恒成立，注意对x+人的符号的分类讨论.

四、解答题

17.在平面直角坐标系xOy中，单位圆/+/=1与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A、B,

角a的始边为OA,终边与单位圆交于x轴下方一点P.

⑴如图，若NPO3=120。，求点尸的坐标;

(2)若点P的横坐标为-g,求sin?Z.APO+2sinZAPO-cosZ.OAP的值.

【正确答案】(1)p-

⑵海

【分析】(1)由条件可知。尸的旋转角为180+120，利用三角函数定义求cos(180+120),

sin(180+120)的值即可写岀点户的坐标；

(2)由点P的横坐标为-g,可知NPQ4=12()。，结合等腰三角形的性质可知/R4O=30。,

ZAPO=3()。，代入计算即可求出结果.

【详解】⑴设点P的坐标为P(x,y),且NPO8=12()。，所以》=。0$(180+120)=；,

y=sin(180+120)=所以尸的坐标为

(2)因为点P的横坐标为所以NPQ4=120。，且OP=OA,所以ZR4O=30。，

ZAPO=30°,则sin2ZAPO+2sinZAPO-cosZ.OAP=-+—

42

sin(a+27i)sin—+a

18.已知函数〃)।、丿2丿.

cos(-a)tan(兀+a)

⑴化简/(。)；

⑵若锐角a满足〃a)=立，求sin?a+及sinacosa-cos2a+二一的值：

(3)若+=且:〈av5,求f(a)+/(a+：的值.

【正确答案】(l)/(a)=cosa

⑵1+G

(3)-李

【分析】(1)依据诱导公式化简即可;

(2)由第(1)问化简结果可知cosa的值，结合。为锐角，求岀sina的值代入所求即可求

出结果；

(3)由条件可知cosasina=g,求(cosa-sina)?的值再根据角的范围判断正负可得出结

果.

sin(a+27c)sin—+a

【详解】(1)解：f小一丿(2丿smacosa

J\CCI---7"——vUbcz

cos(一。)tan(兀+。)cosatana

(2)因为“0=*,所以cosa=半，且a为锐角，所以sina=半，则

sin2oc+yf2,sincccosoc-cos-ct4--------=—FA/2X———•x——-----1—产=1+>/2

tana3333V2

1

为

71222因

(3)/(a)/a+一—,BPcosasina=—,(cosa-sina)=l-2cosasina5-

2

7T兀

—<a<—,所以cosa-sina<0,

42

则f(a)+/cr+—=coscr-sincr=

2丿5

19.已知函数是定义在(Tl)上的奇函数，当0VXV1时，/(x)=e，+ln(x+l),其中e是

自然对数的底，e=2.71828….

(1)当时，求函数“X)的解析式;

⑵求不等式/"TH/C-SNyo的解集.

—c，-In(-x+1),—1<x<0

【正确答案】(l)〃X)h

0,x=0

(2)0,log2^

【分析】⑴利用函数为奇函数，结合0<x<l时，“X)的解析式求出当-l<x40时的解

析式即可；

(2)利用函数的奇偶性及单调性等价出不等式组解出不等式组即可.

【详解】(1)因为函数“X)是定义在上的奇函数，

所以“0)=0,/(-x)=-/(x),

当一l<x<0时，则

由0<XVl时，函数/(x)=e*+ln(x+l),

所以f(_x)=e-*+ln(_x+l),

即-/(x)=e~v+ln(-x+1)=>/(x)=-e~v-ln(-x+1),

/\-e丄—In(~x+1),-1<x<0

所以当—1<X40时，/(x)={,、八I

(2)当x=0时,不等式/(4T)+f(3—32)40化为:

/(O)+〃())V()成立，

当户0时，由

所以OVXCl时，由，=6、丿=111(了+1)在(0,1)上单调递增，

故〃x)=e'+ln(x+l)>0在(0,1)上单调递增，

由函数为奇函数，

所以当—l<x<0时，由f(x)=-e-v-In(-X+1)在(-1,0)上单调递增，

所以/(x)在(-1,1)上单调递增，

1

X-

-1<4X-1<12

244

故有：jT<3.2"-3<1=，log2-<x<log2-=>0<x<log2-,

rr

14-l<3-2-3°-O<X<1

综上所述：不等式/.(4'-1)+/(3-32)40的解集为.0,log2^

20.已知函数为奇函数，且/⑶<_/•⑸，

(1)求函数的解析式；

⑵若g(x)=J"邪一"(”>0且awl)在区间［2,3］上为增函数，求实数a的取值范围.

【正确答案】⑴f(x)=/

(2)d,4]

【分析】（1）根据幕函数的性质，求岀加，即可求函数f（x）的解析式；

（2）根据复合函数单调性之间的关系，然后再利用分类讨论，即可求出结果.

【详解】（1）由条件幕函数=在（。,内）上为增函数,

3

得到—2m2+nz+3>0>解得—1<w<—,

又因为所以〃?=0或1.

又因为是奇函数，

当,〃=0时，f（x）=x3,满足/（x）为奇函数；

当,"=1时，f（x）=x2,不满足/5）为奇函数；

所以=

（2）由（1）知：g（x）=d/"""m=ad5（a>0且"1）在区间［2,3］上为增函数.

令”（力=X2_依，y=a"i

①当时，y=a"为增函数，只需〃（力=/-◎在区间［2,3］上为增函数.

即：^<2,解得：a<4,所以l<aV4；

②当0<"1时，y=M为减函数，只需〃（工）二父一依在区间［2,3］上为减函数.

即：^>3,解得：a>6,此时无解；

综上可知：”的取值范围为：（U4J.

21.某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药1小时后

血液中含药量达到峰值8座，7小时后血液中含药量为1座，服药后每毫升血液中的含药量

C（Mg）与服药后的时间/（h）之间，近似满足如图所示的连续曲线，其中曲线段。4是函数

C（/）=4k）g“（/+l）的图象，曲线段AB是函数C"）=Ge"（壮1,女为吸收常数，g为常

数，e为自然对数的底）的图象.

(1)写出服药后每毫升血液中含药量C关于时间，的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(ng)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上8

点，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？

(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h,该病人每毫升血液中含

药量为多少阳？(精确到0」照)

41og75(f+l),(0<r<l)

【正确答案】(l)c(r)=(正丫，、

80片卜"刈

(2)第二次服药最迟是当天下午13：00服药

⑶4.7〃g

【分析】(1)根据函数图象求解函数解析式；

(2)根据题意列出不等式，求解出答案；

(3)分别求解岀第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.

【详解】(1)当0q<1时，C(r)=41og,,(r+1),把41,8)代入可得8=41og,2,

解得：a=0，所以当04f<1时，C(r)=41ogQ(f+l),

当壮1时，把4L8)、8(7,1)代入C(r)=Gd"(k,“是常数)，

得忱;=：,解得Co=8V2/

…也,所以C(>8内田

©・e=1

4log^(r+l),(0<r<l)

故”叶可用“训

t>\

(2)设第一次服药后最迟过r小时服第二次药，则，解得：，二5,

8竝x=2

即第一次服药后5〃后服第二次药，也即下午13：00服药;

8

(3)第二次服药3/i后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：y,=8V2x4-