专题01 翻折问题（原卷版）

专题01翻折问题一、解答题1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴点B、C、D三点共线．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的表格．(2)将函数y＝－2x2＋3x＋1的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为．(3)将函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：①如图①，把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF；②如图②，将点A翻折到EF上点处，且使折痕过点B；③如图③，沿折叠，得（如图④）．回答下列问题：(1)判断：的形状为______________；并说明你的理由；(2)若正方形纸片的边长为2，则线段的平方的值为______________．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出和之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在中，，平分，求的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）；请帮小明写出解答过程：【实践拓展】（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个，按要求回答下列问题：(1)的面积为；(2)画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；(3)画出绕点B顺时针旋转后的图形；(4)画出沿直线翻折后的图形．8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B'处．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形，使点落在上的点处，折痕为．（1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，判断的形状；（3）如图2，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形；连接，则的最小值是______；（4）如图3，若点是射线上的一个动点将沿翻折，得，所在直线交直线于点，当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案．11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF=°；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD，E是边CD上一点，将△BCE沿BE翻折，使得C落在AD上的点F处，求证：△ABF∽△DFE．

（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，点E在AD上，∠BEC=90°，2∠BCE+∠ECD=180°，过点E作EF⊥BC垂足为F，若EF=2，BC=5，求AE的长．（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD，AB=9，BC=12，E是边CD上一动点，将△BCE沿BE翻折至△BPE，连接AP在上取点T，使得PT=2AT，连接DT，求出DT长度的最小值．13．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0<t<3.6），请回答下列问题：(1)求当t为何值时，△EFD∽△ABD?(2)求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；(3)将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2022秋·江苏·九年级期中）(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答小明：AB=2BC．证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）(2)【变式拓展】如图2，在△ABC中，把（1）中条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，则．(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．15．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B．(1)探究证明：如图2，在上任取一点C(不与点A，B重合)，连接，求证：；(2)直接应用：如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，则的最小值是．(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形中，，M是的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值为．(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点，点，分别以1，2为半径作、，M，N分别是，上的动点，直接写出的最小值为．16．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x…012……4a14…请按要求完成下列各小题：(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称B．当时，函数有最小值，最小值为C．当时，y随x的增大而增大②直接写出不等式的解集为______．(4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______．17．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．18．（2020秋·江苏淮安·九年级校考期末）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为2，点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EGHJAD，EFHIAB，求阴影部分的面积；小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为；(2)如图3，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FHBC，EGAB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了阴影部分的周长为；(3)如图4，四边形ABCD中，AB=AD，∠A=120°，∠C=105°，BC=，CD=2，求四边形ABCD的面积．(4)如图5，，且B、C、D在一条直线上，BA=BC=2，设∠ACB=，直线BC上方有一点E满足CA=CE且∠ACE=，连接AE，当=°时，AE取得最大值，AE的最大值为．（注：点A、E、F均在直线BC上方）19．（2021春·江苏无锡·九年级校考期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作，解决问题(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在