河北省武安市2023-2024学年九年级上册数学期末监测模拟试题含解析

河北省武安市2023-2024学年九上数学期末监测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.直径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A与数轴上的点B

重合，则B表示的实数是（）

A.2兀一1B.7i-1C.1—71D.1-271

2.若方程x2+3x+c=0没有实数根，则c的取值范围是()

9449

A.eV—B.eV—C.c>一c>—

4994

3.抛物线y=(x-2尸的顶点坐标是()

A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)

4.下列事件是随机事件的是（）

A.在一个标准大气压下，水加热到100C会沸腾B.购买一张福利彩票就中奖

C.有一名运动员奔跑的速度是50米/秒D.在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

5.将函数二丁的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）的方法是（）

A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位

C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位

6.下列说法正确的是（）

A.购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是丄

2

B.国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件

C.如果在若干次试验中一个事件发生的频率是丄，那么这个事件发生的概率一定也是丄

44

D.如果车间生产的零件不合格的概率为焉,那么平均每检查1000个零件会查到1个次品

7.如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB=15cm）,且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在

自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度口£为（）

D

A

riBE

A.15cmB.20cmC.25cmD.30cm

8.如图，点A、3、C在。。上，CO的延长线交45于点O,ZA=50°,N3=30。，NACO的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

9.下列方程中，关于x的一元二次方程是()

A.x2-x(x+3)=0B.ax2+Z>x+c=0

C.x2-2x-3=0D.x2-2y-I=0

10.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是()

A.a^m+n)-am+anB.a2-b2-c2—^a+b)(a-b)-c~

C.lOx2-5x=5x(2x-l)D.x-16+8x=(x+4)(x-4)+8x

11.如图，矩形ABC。的对角线交于点。.若8C=〃，ZBAC=Za,则下列结论错误的是()

nitnn

A.AC=-------B.CD=——C.OA=----------D.BD=-------

sinatana2sinacosa

12.如图，正方形ABC。中，点E是以A3为直径的半圆与对角线AC的交点.现随机向正方形ABCD内投掷一枚

小针，则针尖落在阴影区域的概率为（）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.在函数y=J2x—1中,自变量x的取值范围是

14.有一块长方形的土地，宽为120m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形，现计划甲建住宅区,

乙建商场，丙地开辟成面积为3200m2的公园.若设这块长方形的土地长为xm.那么根据题意列出的方程是.（将

答案写成ax2+bx+c=0（a*0）的形式）

15.在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。搅匀后从中随机一次摸出两个

球，则摸到的两个球都是白球的概率是一.

16.抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是一.

17.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的

门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为m2.

门

门门

18.已知扇形的弧长为4兀，圆心角为120。，则它的半径为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开

展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这

部分同学的态度划分为四个类别：A.积极参与，8.一定参与，C.可以参与，。.不参与.根据调查结果制作了如下不

完整的统计表和统计图.

学生参与“朗读”的态度统计表

类别人数所占百分比

A18a

B2040%

Cm16%

D4b

合计n100%

学生参与“朗读”的态度条形统计图

请你根据以上信息，解答下列问题：

(1)。=，m=,并将条形统计图补充完整；

(2)该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次

活动能否顺利开展？

(3)“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试

用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果.

20.(8分)新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价

为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系：y=-2x+320

(80<x<160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元.

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，？最大利润是多少元？

(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快.那么销售单价应定为多少元？

21.(8分)已知〃关于x的方程/一(k+2)x+2左=0的两个实数根.

(1)若女=3时，求的值；

(2)若等腰AABC的一边长c=l,另两边长为。、b,求AABC的周长.

22.(10分)已知：ZViBC中，点。为边8c上一点，点E在边AC上，且

CEBD

⑴如图1,AB=ACf求证：——-=-;

C-LzAC

CEBD

⑵如图2,若求证：---=----;

CDAE

⑶在⑵的条件下，若ND4c=90。，且CE=4,加〃NA4O=L贝!j.

2

23.（10分）如图，在AABC中，AB=BC,D是AC中点，BE平分NABD交AC于点E,点O是AB上一点，0O

过B、E两点，交BD于点G,交AB于点F.

（1）判断直线AC与。O的位置关系，并说明理由；

（2）当BD=6,AB=10时，求。。的半径.

24.（10分）飞行员将飞机上升至离地面18米的尸点时，测得F点看树顶A点的俯角为30°，同时也测得F点看树

底B点的俯角为45°，求该树的高度（结果保留根号）.

25.（12分）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”.

（1）如图①，在对角互余四边形ABCD中，ZB=60°,且AC丄BC,AC丄AD,若BC=L则四边形ABCD的面积

为______

(2)如图②，在对角互余四边形ABCD中，AB=BC,BD=13,ZABC+ZADC=90°,AD=8,CD=6,求四边形

ABCD的面积；

(3)如图③，在AABC中，BC=2AB,NABC=60。，以AC为边在AABC异侧作AACD,且NADC=30。，若BD=

10,CD=6,求AACD的面积.

26.已知：如图，在四边形ABCD中，ZC=90°,AB=AD,连接80,AE±BD,垂足为E.

(1)求证：△ABEsADBC：

(2)若40=25,8c=32,求线段4E的长.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【分析】因为圆沿数轴向左滚动一周的长度是万，再根据数轴的特点及万的值即可解答.

【详解】解：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，

•••数轴上表示1的点与点B之间的距离为圆的周长=》，点B在数轴上表示1的点的左边.

二点B对应的数是1—兀.

故选：C.

【点睛】

本题比较简单，考査的是数轴的特点及圆的周长公式.圆的周长公式是：L=2万r.

2、D

【分析】根据方程没有实数根，则4acV0解得即可.

【详解】由题意可知：A=Z>2-4ac=9-4c<0,

•c>2

・・L9

4

故选：D.

【点睛】

本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型.

3、A

【分析】依据抛物线的解析式即可判断顶点坐标.

【详解】解：•••抛物线y=(x-2)2,

抛物线的顶点坐标为(2,0).

故选A.

【点睛】

掌握抛物线产a(x/)2+«的顶点坐标为(h,k)是解题的关键.

4、B

【解析】根据事件的类型特点及性质进行判断.

【详解】4、是必然事件，选项错误；

8、是随机事件，选项错误；

C、是不可能事件，选项错误；

是不可能事件，选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考査的是随机事件的特性，熟练掌握随机事件的特性是本题的解题关键.

5、D

【解析】A.平移后，得y=(x+l)2,图象经过A点，故A不符合题意；

B.平移后，得y=(x-3)2,图象经过A点，故B不符合题意；

C.平移后，得y=x?+3,图象经过A点，故C不符合题意；

D.平移后，得y=x2-l图象不经过A点，故D符合题意；

故选D.

6、C

【详解】解：A、购买江苏省体育彩票“中奖”的概率是中奖的张数与发行的总张数的比值，故本项错误；

B、国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本项错误；

C、如果在若干次试验中一个事件发生的频率是丄，那么这个事件发生的概率一定也是丄，正确；

44

D、如果车间生产的零件不合格的概率为焉，那么平均每检查1000个零件不一定会查到1个次品，故本项错误,

故选C.

【点睛】

本题考查概率的意义，随机事件.

7、D

【分析】证明△CABs/iCDE,然后利用相似比得到OE的长.

【详解】'."AB//DE,

:ACABSACDE,

.ABCB

•.=,

DECE

而BC=BE,

：.DE=2AB=2X15=30(c/n).

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.

8、C

【分析】根据圆周角定理求得/BOC=100°,进而根据三角形的外角的性质求得NBDC=70。，然后根据外角求得

ZACD的度数.

【详解】解：•••NA=50。，

.,.ZBOC=2ZA=1(M)°,

VZB=30°,ZBOC=ZB+ZBDC,

ZBDC=ZBOC-ZB=100°-30°=70°,

AZACD=70°-50°=20°；

故选：C.

【点睛】

本题考査了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键.

9、C

【分析】一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)

含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【详解】解：A、好-x(x+3)=0,化简后为-3x=0,不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；

B、ax2+bx+c=0,当a=0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；

C、x2-2x-3=0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；

产-27-1=0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知

数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

10、C

【解析】根据题中“属于分解因式的是"可知，本题考査多项式的因式分解的判断，根据因式分解的概念，运用因式

分解是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，进行分析判断.

【详解】A.属于整式乘法的变形.

B.不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.

C.运用提取公因式法，把多项式分解成了5x与(2x-l)两个整式相乘的形式.

D.不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.

故应选C

【点睛】

本题解题关键：理解因式分解的概念是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，注意的是相乘的形式.

11、D

【分析】根据矩形的性质得出NABC=NDCB=90。，AC=BD,AO=CO,BO=DO,再解直角三角形求出即可.

【详解】解：•.•四边形ABCD是矩形，

/.ZABC=ZDCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,

*亠.BC

A、在RSABC中，sina=—

AC

n

：.AC=——，此选项不符合题意

sina

由三角形内角和定理得：NBAC=NBDC=Na,

*宀BC

B、在RtABDC中，tana----,

DC

n

・・・CO=」一，故本选项不符合题意；

tanct

C、在RtAABC中，AC=-^—,即AO=』AC=」一，故本选项不符合题意；

sma22sina

宀亠DC

D、，在RtADCB中，cosa=---

BD

nr

:・BD=一—,故本选项符合题意；

cosa

故选：D.

【点睛】

本题考査了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键.

12、B

【分析】连接BE,如图，利用圆周角定理得到NAEB=90。，再根据正方形的性质得到AE=BE=CE,于是得到阴影部

分的面积=/\1^^的面积，然后用4BCE的面积除以正方形ABCD的面积可得到镖落在阴影部分的概率.

【详解】解：连接BE,如图，

TAB为直径，

:.NAEB=90。，

而AC为正方形的对角线，

.*.AE=BE=CE,

:.弓形AE的面积=弓形BE的面积，

/.阴影部分的面积=/kBCE的面积，

.,.镖落在阴影部分的概率=丄.

4

故选：B.

【点睛】

本题考查了几何概率：某事件的概率=这个事件所对应的面积除以总面积.也考査了正方形的性质.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、x>"—

2

【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负

数的条件，要使疡万在实数范围内有意义，必须2x-120nxNg.

14、x2-361x+32111=l

【分析】根据叙述可以得到：甲是边长是121米的正方形，乙是边长是(x-121)米的正方形，丙的长是(x-121)

米，宽是[121-(x-121)]米，根据丙地面积为3211mz即可列出方程.

【详解】根据题意，

得(x-121)[121-(x-121)]=3211,

即x2-361x+32111=l.

故答案为x2-361x+321U=l.

【点睛】

本题考査了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意找到合适的等量关系是解题的关键.

1

15、

3

【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率.

【详解】解：画树状图如下：

•••一共有6种情况，两个球都是白球有2种，

._2_1

P1两个球都是白球》————,

63

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

16、y=3(x-1)2-2

【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案.

【详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，

所得到的抛物线是y=3(x-1)Z2,

故答案为y=3(x-1)2-2.

【点睛】

本题考査了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移

后的函数解析式.

17、75

【解析】试题分析：首先设垂直于墙面的长度为x,则根据题意可得：平行于墙面的长度为(30-3x),则S=x(30-

3x)=-3(*-5)2+75,,则当x=5时，y有最大值，最大值为75,即饲养室的最大面积为75平方米.

考点：一元二次方程的应用.

18、6

【解析】根据弧长公式可得.

【详解】解：：1=,VI=4rt,n=120,

IM

:.4k

，

too

解得：r=6,

故答案为：6

【点睛】

本题考査弧长的计算公式，牢记弧长公式是解决本题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)36%,8,补图详见解析；(2)这次活动能顺利开展；(3)P嫡人都是女生)=!

6

【分析】(1)先用20除以40%求出样本容量，然后求出a,m的值，并补全条形统计图即可；

(2)先求出b的值，用b的值乘以1500,然后把计算的结果与15()进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展;

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为2,然后根据概率公式计算.

【详解】解:(D)20+40%=50人，

a=184-50X100%=36%,

(2)b=44-50X100%=8%,1500x8%=120(A)

V120<150二这次活动能顺利开展.

(3)树状图如下：

男男女女

/N/1\

男女女男女女男男女男男女

由此可见，共有12种等可能的结果，其中所选两人都是女生的结果数有2种

._2_1

••P(两人都是女生)——=~

126

【点睛】

此题考査了统计表和条形统计图的综合，用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

20、(1)w=-2x2+480x-25600；(2)销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元(3)销售单价

应定为100元

【解析】(1)用每件的利润(X-80)乘以销售量即可得到每天的销售利润，即卬=(x—8O)y=(x—8O)(—2x+32O),

然后化为一般式即可；

(2)把(1)中的解析式进行配方得到顶点式川=-2(x-120)2+3200,然后根据二次函数的最值问题求解；

(3)求w=2400所对应的自变量的值，即解方程—2(x720)2+3200=2400.然后检验即可.

【详解】(1)w=(x-80)y=(x-80)(-2x+320),

=-2%2+480^-25600,

w与x的函数关系式为：卬=—2/+480尤—25600；

2

(2)w=-2x+480x—25600=—2(x—120)2+32()0)

-2<0,80<x<160,

...当x=120时，w有最大值.最大值为1.

答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元.

(3)当卬=240()时，-2(x—120)2+3200=2400.

解得：％=100,w=140.

•••想卖得快，

.•.迎=140不符合题意，应舍去.

答：销售单价应定为100元.

21、(1)30；(2)1

【分析】(1)若k=3时，方程为xZlx+6=0,方法一：先求出一元二次方程的两根a,b,再将a,b代入因式分解后的式子

计算即可；方法二：利用根与系数的关系得到a+b=l,ab=6,再将/b+a/因式分解，然后利用整体代入的方法计算;

(2)分1为底边和1为腰两种情况讨论即可确定等腰三角形的周长.

【详解】解：(1)将％=3代入原方程，

得：x2-5%+6=0.

方法一：

解上述方程得：石=2,%=3

因式分解,得：a2b+ab2=ab(a+b).

代入方程的解，

得：crb+ab~=ab(a+Z?)=2x3x(2+3)=30.

方法二：应用一元二次方程根与系数的关系

因式分解，

得：cTb+ab2=ah(a+b),

由根与系数的关系，得a人=6,a+h^5,

贝!I有：a2b+ab2=ab[a+/?)=6x5=30.

(2)①当c与。/其中一个相等时，不妨设。=，=1,

将a=l代回原方程，得攵=1.

解得：b=2,

此时a+c=。，不满足三角形三边关系，不成立；

②当a=8时，△=[—(左+2)]2—8左=0,

解得：k=2,

解得：a-b-2,

CAA8c=2+2+1=5.

综上所述：厶厶!!!：的周长为1.

【点睛】

本题考查了根的判别式，根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题的关键是熟知两根之和、两

根之积与系数的关系.

996亚

厶厶、----

5

【解析】分析：(l)NB+NBAr)+ZAr)B=180。，ZADE+ZCDE+ZADB=180°,

NAOE=NB,可得N84O=NCDE,AB=AC,根据等边对等角得到NB=NC,

△BADsMDE,根据相似三角形的性质即可证明.

(2)在线段48上截取08=0胤证明根据相似三角形的性质即可证明.

EF]

(3)过点E作E尸丄8c于F,根据3叱氏40=勿"/£；0尸=——=-,设EF=x,DF=2x,则OE=，证明

DF2

△EDCs^GEC,求得CG=勺野,根据CE2=CDCG,求出CD=2M，

根据△BAOSZ^GDE,即可求出AB的长度.

详解：（1）ZB+ZBAD+ZADB=180°,ZADE+ZCDE+ZADB=180°,

ZADE=N8,可得/BAD=ZCDE,

AB=AC,

ZB=ZC,

,:ABADSACDE,

.CEBDBD

,•布-而一就

图2

:.ZB=NDFB=ZADE

•：AD=AE：.ZADE=ZAED：.ZAED=ZDFB,

同理：ZBAD+ZBDA=180°-ZB,ZBDA+ZCDE=1800-ZADE

：.ZBAD=ZCDE

VZAF£>=180°-ZDFB,ZD£C=1800-ZAED

：.ZAFD=ZDEC,

：.AAFD<^ADEC,

.CEDFBD

**CD-AD-AE

VZADE=ZB=45°

:.ZBDA+ZBAD=135°,N8ZX4+NEOC=135°

：.ZBAD=ZEBC(三等角模型中，这个始终存在)

EF1

VtanZ.BAD=tanZ.EDF=---=一

DF2

.•.设EF=x,DF=2x,则OE=J^x，

在。C上取一■点G,使NEGZ)=45。,

:.△BADsAGDE,

'：AD=AE：.ZAED=ZADE=45°,

VNAED=ZEZ)C+ZC=45°,NC+NCEG=45°,：.ZEDC=NGEC,

AACGEGCECG4x/l()

:.AEDCsAGEC,：•==:.=—=—,CG=--------

CEDECD4非x5

又CE2=CDCG,

.CD=2Vi0.

.••2x+x+^^=2而，解得x=

55

<ABADs&GDE

.•.三=如=后

ADAB

,AR_DG_3x_6指

夜夜5

点睛：属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定于性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

23、(1)(1)AC与。O相切，证明见解析；(2)0O半径是:.

【解析】试题分析：(1)连结OE,如图，由BE平分NABD得到NOBE=NDBO,加上NOBE=NOEB,贝!JNOBE=NDBO,

于是可判断OE〃BD,再利用等腰三角形的性质得到BD丄AC,所以OE丄AC,于是根据切线的判定定理可得AC与

。。相切；

(2)设。O半径为r,贝！|AO=10-r,证明AAOEs/kABD,利用相似比得到空土=£,然后解方程求出r即可.

试题解析：(1)AC与。O相切.理由如下：

连结OE,如图，

YBE平分NABD,

:.ZOBE=ZDBO,

VOE=OB,

.,.ZOBE=ZOEB,

:.NOBE=NDBO,

/.OE/7BD,

VAB=BC,D是AC中点，

，BD丄AC,

•••OE丄AC,

.'AC与（DO相切；

（2）设。O半径为r,则AO=10-r,

由（1）知，OE〃BD,

/.△AOE^AABD,

AOOE_10-rr

：.——=——,即a-----=一,

ABBD106

即。。半径是小

考点：圆切线的判定：相似经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过

圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.解决（2）小题的关键是利用相似比构建方程.

24、（18-6^）米

【分析】延长BA交过点F的水平线与点C,在RtABEF中求出BE的长，在RtAACF中求出BC的AC的长，即可

求出树的高度.

【详解】延长BA交过点F的水平线与点C,则四边形BCFE是矩形，

.♦.BC=EF=18米，BE=CF,ZEBF=ZBFC=45°,

，BE=EF=18米，

.♦.CF=18米，

在RtAACF中，

VtanZAFC=-----,

CF

.•.AC=±X18=6G

3

；.AB=(18-6⑨米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题.

25、(1)273;(2)36；(3)£15.

【分析】(1)由AC丄BC,AC丄AD,得出NACB=NCAD=90。，利用含30。直角三角形三边的特殊关系以及勾股定理,

就可以解决问题；

(2)将ABAD绕点B顺时针旋转到△BCE,贝1]△BCE纟△BAD,连接DE,作BH丄DE于H,作CG丄DE于G,作

CF丄BH于F.这样可以求NDCE=90。，则可以得到DE的长，进而把四边形ABCD的面积转化为△BCD和△BCE

的面积之和，△BDE和△CDE的面积容易算出来，则四边形ABCD面积可求；

(3)取BC的中点E,连接AE,作CF丄AD于F,DG丄BC于G,贝!IBE=CE=，BC,证出AABE是等边三角形，

2

得出NBAE=NAEB=60。，AE=BE=CE,得出NEAC=NECA==30。，证出NBAC=NBAE+NEAC=90。，得出

AC=V3AB,设AB=x,贝!jAC=gx,由直角三角形的性质得出CF=3,从而DF=3百，设CG=a,AF=y,证明

AACF^ACDG,得岀竺=生，求出y=1竺，由勾股定理得出y?=(百xR32=3x2-9,b2=62-a2=102-(2x+a)2,

CGCD6

2

(2x+aA+b2=132,整理得出a=3;匚，进而得丫=百一=也。6一尸)；]2=3XM,x=34-6722，

x666

得出y2=(而-炳/，解得丫=病-36,得出AD=AF+DF=而，由三角形面积即可得出答案.

【详解】解：(1)VACXBC,AC丄AD,

.,.ZACB=ZCAD=90°,

••,对角互余四边形ABCD中，NB=60。,

.••ZD=30°,

在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=1,

AZBAC=30°,

，AB=2BC=2,AC=V5BC=G

在RtAACD中，ZCAD=90°,ND=30°,

.*.AD=>/3AC=3,CD=2AC=2>/3>

；SAABC=LAC・BC=!X石xl=@,

222

SAACD=-・AC・AD=-X^3X3=-

222

故答案为：2；

(2)将厶BAD绕点B顺时针旋转到△BCE,如图②所示:

图②

贝必BCE^ABAD,

连接DE,作BH丄DE于H,作CG丄DE于G,作CF丄BH于F.

JZCFH=ZFHG=ZHGC=90°,

・•・四边形CFHG是矩形，

AFH=CG,CF=HG,

VABCE^ABAD,

/.BE=BD=13,ZCBE=ZABD,ZCEB=ZADB,CE=AD=8,

VZABC+ZADC=90°,

:.ZDBC+ZCBE+ZBDC+ZCEB=90°,

AZCDE+ZCED=90°,

/.ZDCE=90°,

在ABDE中，根据勾股定理可得：DE=VCD2+CE2=V62+82=10,

VBD=BE,BH丄DE,

.•,EH=DH=5,

BH=JBE7-EH2=7132-52=12，

11

..SABED=-»BH»DE=-xl2xl0=60,

22

1