第25讲 圆的综合证明问题专项训练 (解析版)

第25讲圆的综合证明问题专题复习【知识点睛】第一问常考考点——切线切线的判定：常用方法→有切点，连半径，证垂直！无切点，作垂直，证半径！☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题考题常见结合考点知2得1：三角形相似：Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△特殊角：常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、正切值=½/⅓/¾等的角度。☆特别地：题目中没给角度（90°、180°除外），又要求角度时，答案一般为特殊角！另：弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法常用公式：常用辅助线①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3——或做两条弦心距，构造矩形或正方形③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题【类题讲练】1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是①③④．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，则BC＝3．【分析】根据已知条件得出∠ACD＝∠FCD，根据圆内接四边形得出∠FCD＝∠DAB，进而得出∠ACD＝∠DAB，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明△AOB≌△BOD得出∠ADO＝∠BDO，根据三线合一得出DO⊥AB，进而根据AC是直径，得出AB⊥BC，结合已知条件即可判断③，证明△DEC≌△DFC，Rt△ADE≌Rt△BDF，得出DE＝DF，BF＝AE，进而即可求解．【解答】解：如图，连接DB，∵∠ACD+∠BCD＝180°，∠ACD+∠ACB+∠DCF＝180°，∴∠BCD＝∠ACB+∠DCF，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∴∠ACD＝∠FCD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠FCD＝∠DAB，∴∠ACD＝∠DAB，∴，∴∠ABD＝∠BAD，∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BAD，故①正确，∵不能确定，∴∠DAC＝∠BAC不一定成立，故②错误，如图，连接BO，∵，∴AD＝DB，在△AOD和△BOD中，，∴△AOD≌△BOD（SSS），∴∠ADO＝∠BDO，∴DO⊥AB，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AB，∴DF⊥OD，∴DF与⊙O相切，故③正确，∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，∴△DEC≌△DFC（AAS），∴DE＝DF，CF＝CE，在Rt△ADE和Rt△BDF中，AD＝DB，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），∴BF＝AE，∵AE＝4，EC＝1，∴BC＝BF﹣CF＝4﹣1＝3，故④正确．故答案为：①③④．2．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图的机械设备，磨盘半径OQ＝3dm，用长为13dm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝8dm．（1）如图2，当PQ与⊙O相切时，则AP＝dm．（2）若磨盘转动10周，则点P在轨道AB上滑动的路径长是（160﹣120）dm．【分析】（1）根据切线的性质可得∠OQP＝90°，在Rt△OQP中，根据勾股定理可计算出OP的长度，在Rt△OAP中，根据AP＝，代入计算即可得出答案；（2）根据题意画图，如图4，当Q运动到Q1时，P点运动在AB上距离点A最远，根据勾股定理可得AP1＝，当Q运动到Q2时，P点运动在AB上距离点A最近，在Rt△OAP2中，AP2＝，即可算出P1P2＝AP1﹣AP的长度，根据题意磨盘旋转一周在P1P2来回运动2次，计算即可得出答案．【解答】解：（1）连接OP，如图3，∵QP与⊙O相切，∴∠OQP＝90°，在Rt△OQP中，∴OP2＝OQ2+QP2＝32+132＝178，在Rt△OAP中，AP＝＝＝（dm）．故答案为：；（2）如图4，当Q运动到Q1时，P点运动在AB上距离点A最远，在Rt△OAP1中，OA＝8，OP1＝OQ1+Q1P1＝3+13＝16，AP1＝＝＝8，当Q运动到Q2时，P点运动在AB上距离点A最近，在Rt△OAP2中，OA＝8，OP2＝13﹣2＝10，AP2＝＝＝6，P1P2＝AP1﹣AP2＝8﹣6，磨盘转动10周，则点P在轨道AB上滑动的路径长是20×（8﹣6）＝（160﹣120）（dm）．故答案为：160﹣120．3．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为（1，﹣1）．【分析】过点B作BM⊥OA，垂足为M，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，则AB⊥OB，根据已知可设点B的坐标为（m，﹣m），从而可得OM＝BM＝m，进而可得∠MOB＝45°，然后再证△AOB是等腰直角三角形，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得OM＝AM，最后根据直角三角形的斜边上的中线性质可得BM＝OA＝1，即可解答．【解答】解：如图：过点B作BM⊥OA，垂足为M，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，则AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵点A（2，0），∴OA＝2，∵点B是直线y＝﹣x上的一个动点，∴设点B的坐标为（m，﹣m），∴OM＝BM＝m，∴∠MOB＝45°，∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝OB，∵BM⊥OA，∴OM＝AM＝OA，∴BM＝OA＝1，∴OM＝BM＝1，∴点B的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．动点E在AB边上，以点E为圆心，以BE为半径作弧，点G是弧上一动点．（1）如图1，若点E与点A重合，且点F在BC上，当DF与弧相切于点G时，则BF的值是2；（2）如图2，若AE＝1连结CG，DG，分别取DG、CG的中点P、Q，连接PQ，M为PQ的中点，则CM的最小值为﹣2.5．【分析】（1）连接AG，则AG⊥DF，勾股定理得DG＝8，由切线长定理得FB＝FG，设FB＝FG＝x，由勾股定理得（8+x）2＝（10﹣x）2+62，求解即可；（2）连接DE、GE，取DE的中点H，连接PH，由中位线性质得PH∥BE，PH＝2.5，连接CE，取CE的中点I，连接IQ，证四边形PHIQ是平行四边形，得HI＝PQ，取HI的中点J，可证四边形HJPM是平行四边形，得JM＝PH＝2.5，确定点M在以J为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，CM最短，延长JH，JI，交AD，BC于点K，L，求得JL＝KL﹣KJ＝4，由勾股定理计算CJ即可．【解答】（1）连接AG，则AG⊥DF，AG＝6，∴DG＝，∵∠ABC＝90°，∴FB与弧相切于点B，∴FB＝FG，设FB＝FG＝x，则CF＝BC﹣FB＝10﹣x，Rt△CDF中，DF2＝CF2+CD2，即（8+x）2＝（10﹣x）2+62，解得x＝2，即BF＝2，故答案为：2；（2）如图，连接DE、GE，取DE的中点H，连接PH，则PH∥BE，∴PH＝BE＝×（AB﹣AE）＝2.5，连接CE，取CE的中点I，连接IQ，同理IQ∥BE，∴IQ＝BE＝2.5，∴PH∥IQ，PH＝IQ，∴四边形PHIQ是平行四边形，∴HI＝PQ，HI∥PQ∥CD，∵P、Q是DG、CG的中点，∴PQ＝CD＝3，∴HI＝PQ＝3，取HI的中点J，由HJ＝HI＝PQ＝PM＝1.5，∴四边形HJMP是平行四边形，∴JM＝PH＝2.5，即点M在以J为圆心，2.5为半径的圆弧上，∴当C，M，J三点共线时，CM最短，即最小值CM＝CJ﹣JM＝CJ﹣2.5，延长JH，JI，交AD，BC于点K，L，则KL∥AB，∴点K，点L分别是AD，BC的中点，∴CL＝BC﹣5，HK＝AE＝05，KL＝CD＝6，∴KJ＝HK+HJ＝0.5+1.5＝2，JL＝KL﹣KJ＝6﹣2＝4，Rt△CJL中，CJ＝，∴最小值CM＝CJ﹣JM＝﹣2.5，故答案为：﹣2.5．5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．（1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，则∠OCE＝90°，由D为中点可知EO⊥AC，则有CE＝AE，可得∠ECA＝∠EAC，且∠OCA＝∠OAC，利用角的和差可求得∠EAO＝90°，可知EA为切线；（2）连接BC，可证明△FBC∽△FCA，再由切线长定理可知CE＝AE，在Rt△AEF中可求得AF＝8，再利用线段的比可求得AB的长，可得半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵EF为切线，∴∠OCE＝90°，∵D为AC中点，∴OE⊥AC，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°，即∠EAO＝90°，∴EA为⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为直径，∴∠BCA＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵EF为切线，∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA，∴∠BCF＝∠CAF，∴△BCF∽△CAF，∴，由（1）知EA为⊙O切线，则EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5，在Rt△AEF中，可求得AF＝4，∴，解得BF＝1，∴AB＝AF﹣BF＝3，∴⊙O的半径为．6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且AF＝2AB，求证：DF与⊙O相切．【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周角与圆心角的关系求得结果；（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．【解答】（1）解：连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；；（2）证明：连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵AF＝2AB，∴OA＝OF，∴∠BFO＝30°，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．7．如图AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC与⊙O相切于点G，AC＝8，CF＝1，求阴影部分面积．【分析】（1）连接OD，由∠ODB＝∠B，∠C＝∠B，得∠ODB＝∠C，则OD∥AC，所以∠ODF＝180°﹣∠AFD＝90°，即可证明DF是⊙O的切线；（2）连接OG，可证明四边形ODFG是正方形，则FG＝OG＝OD＝OB，∠DOG＝90°，设FG＝OG＝OB＝r，则AG＝7﹣r，OA＝8﹣r，由勾股定理得（7﹣r）2+r2＝（8﹣r）2，求得r＝3，则S阴影＝S正方形ODFG﹣S扇形DOG＝．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ODF＝180°﹣∠AFD＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接OG，∵AC与⊙O相切于点G，∴AC⊥OG，∴∠OGF＝∠ODF＝∠GFD＝90°，∴四边形ODFG是矩形，∵OG＝OD，∴四边形ODFG是正方形，∴FG＝OG＝OD＝OB，∠DOG＝90°，设FG＝OG＝OB＝r，∵∠OGA＝90°，AB＝AC＝8，CF＝1，∴AG2+OG2＝OA2，且AG＝8﹣1﹣r＝7﹣r，OA＝8﹣r，∴（7﹣r）2+r2＝（8﹣r）2，解得r1＝3，r2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴S阴影＝S正方形ODFG﹣S扇形DOG＝32﹣＝，∴阴影部分面积为．8．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE．（1）求证：直线DC与⊙O相切；（2）若AB＝15，tan∠BDC＝，求CE的长．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠ODC＝90°，则OD⊥DC，可得出结论；（2）证明△BCD∽△DCA，由相似三角形的性质得出，设CB＝x，则CD＝2x，得出方程（2x）2＝x•（x+15），解方程求出x即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵CE⊥AC，∴∠ACE＝90°，∴∠A+∠E＝90°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∴∠A+∠CDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠ADO+∠CDE＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，又∵∠BDC+∠ODB＝90°，∴∠BDC＝∠A，∵∠BCD＝∠ACD，∴△BCD∽△DCA，∴，∵tan∠BDC＝tan∠A＝，设CB＝x，则CD＝2x，∴CD2＝CB•CA，∴（2x）2＝x•（x+15），∴x＝5，∴CD＝CE＝10．9．如图，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，（r是⊙O的半径）．（1）D为AB延长线上一点，若DC＝DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF•EC的值（用r表示）．【分析】（1）连接OC，OE，根据垂径定理可得OE⊥AB，可得∠OEC+∠AFE＝90°，由OC＝OE，DC＝DF，可得∠OCE＝∠OEC，∠DCF＝∠DFC＝∠AFE，即可得出∠OCD＝90°；（2）连接BC，证明△EBF∽△ECB，根据对应边成比例即可解答．【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图：∵E是弧AB的中点，∴OE⊥AB，∴∠OEC+∠AFE＝90°，∵OC＝OE，DC＝DF，∴∠OCE＝∠OEC，∠DCF＝∠DFC＝∠AFE，∴∠OCF+∠DCF＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圆的半径，∴直线DC与⊙O相切；（2）解：连接BC，如图：∵E是弧AB的中点，∴，∴∠ABE＝∠ECB，∵∠FEB＝∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴，∴EF•EC＝EB2＝（r）2＝r2，∴EF•EC的值为r210．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，，求DF的长．【分析】（1）连接OD，证明DF⊥OD，可得结论；（2）过点C作CH⊥AB于点H．利用勾股定理求出AB，得出DO＝2，∠BOC＝2∠A＝60°，利用AB∥FD得出∠F＝60°，再利用三角函数求出DF即可．【解答】（1）证明连接OD．∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∵AB∥DF；∴OD⊥DF，∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，AC＝2，∴AB＝＝4，∴OD＝2，∵∠BOC＝2∠A＝60°，∵DF∥AB，∴∠COB＝∠F＝60°，∴tanF＝＝，∴DF＝．11．如图1，在⊙O中，P是直径AB上的动点，过点P作弦CD（点C在点D的左边），过点C作弦CE⊥AB，垂足为点F，连结BC，已知．（1）求证：FP＝FB．（2）当点P在半径OB上时，且OP＝FB，求的值．（3）连结BD，若OA＝5OP＝5．①求BD的长．②如图2，延长PC至点G，使得CG＝CP，连结BG，求△BCG的面积．【分析】（1）利用圆周角定理，垂直的定义和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OE，设⊙O的半径为3a，则OP＝PF＝FB＝a，利用勾股定理和垂径定理解答即可；（3）①连接OE，利用垂径定理，圆的有关性质，等弧对等弦的性质和勾股定理解答即可；②利用三角形的中位线的定义与性质和三角形的面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵，∴∠DCE＝∠BCE．∵CE⊥AB，∴∠CFP＝∠CFB＝90°．在△CPF和△CBF中，，∴△CPF≌△CBF（ASA），∴FP＝FB；（2）解：连接OE，如图，∵OP＝FB，FP＝FB，∴OP＝PF＝FB，设⊙O的半径为3a，则OP＝PF＝FB＝a，∴OF＝2a，OE＝3a．∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，∴CF＝EF，∵EF＝＝＝a，∴FC＝a，∴＝；（3）解：①连接OE，如图，∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，∴，∵，∴，∴，∴，∴BD＝CE．∵OA＝5OP＝5，∴OE＝5，OP＝1．∴PF＝FB＝PB＝（5﹣1）＝2，∴OF＝OP+PF＝3，∴EF＝＝＝4，∴CE＝2EF＝8，∴BD＝CE＝8；②∵CG＝CP，FP＝FB，∴CF为△PGB的中位线，∴CF∥BG，CF＝BG，∴BG＝2CF＝8．∵CF⊥AB，∴BG⊥AB，∴△BCG中BG边上的高等于BF的长，∴△BCG的面积＝BG•BF＝8×2＝8．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E为射线AB上一点，过点A，E，D作圆交射线AC于点F，连结DE，EF，且DE交AC于点G．（1）求证：∠DEF＝∠ACB．（2）若AG＝GF，求DG的长．（3）当△EFG是以EF为腰的等腰三角形时，求△ADG的面积．【分析】（1）利用矩形的性质，平行线的性质，圆周角定理解答即可；（2）利用矩形的性质和圆周角定理的推论得到DE为圆的直径，再利用垂径定理的推论得到DE⊥AF，最后利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可得出结论；（3）利用等腰三角形的性质和分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当EF＝EG时，过点D作DH⊥AG于点H，利用等腰三角形的性质，对顶角的性质，圆周角定理得到AD＝AG＝6，利用（2）的结论求得AG边上的高，再利用三角形的面积公式解答即可；②当EF＝FG时，过点D作DH⊥AG于点H，利用①的方法解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵∠DAC＝∠DEF，∴∠DEF＝∠ACB；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴DE为圆的直径，∵AG＝GF，∴DE⊥AF．∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10．∵AD•DC＝AC•DG，∴AD•DC＝AC•DG，∴6×8＝10DG，∴DG＝4.8；（3）解：①当EF＝EG时，过点D作DH⊥AG于点H，如图，∵EF＝EG，∴∠EGF＝∠EFG，∵∠DGA＝∠EGF，∠ADG＝∠EFG，∴∠ADG＝∠DGA，∴AD＝AG＝6，由（2）知：DH＝4.8，∴△ADG的面积＝AG•DH＝6×4.8＝14.4；②当EF＝FG时，过点D作DH⊥AG于点H，如图，∵EF＝FG，∴∠FGE＝∠FEG．∵∠FEG＝∠DAG，∠FGE＝∠DGA，∴∠DAG＝∠DGA，∴DA＝DG＝6．由（2）知：DH＝4.8，∵DA＝DG，DH⊥AG，∴AH＝HG．∵AH＝＝3.6，∴AG＝2AH＝7.2．∴△ADG的面积＝AG•DH＝7.2×4.8＝17.28．综上，△ADG的面积为14.4或17.28．13．如图，在△ABC中，点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交BC于点D，交AB于点E，弧ED与弧DC相等，点F在线段BE上，∠BAC＝2∠BDF．（1）求证：AB＝AC；（2）判断DF与⊙O的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O的半径为5，EB+DF＝AO，求BD的长．【分析】（1）连接AD，由AC为⊙O的直径，知∠ADC＝∠ADB＝90°，故∠ACD+∠DAC＝90°＝∠ABD+∠DAB，又＝，有∠DAC＝∠DAB，可得∠ACD＝∠ABD，AB＝AC；（2）连接AD，OD，由∠BAC＝2∠DAC，∠BAC＝2∠BDF，得∠DAC＝∠BDF，即可得∠ODA＝∠BDF，而∠BDF+∠ADF＝90°，即得∠ODF＝90°，从而DF是⊙O的切线；（3）连接AD，DE，由DF是⊙O的切线，可得∠DAF＝∠EDF（弦切角定理），根据∠ADC＝90°，AB＝AC，＝，可得BD＝ED，从而BF＝EF，∠DFB＝∠DFE＝90°，设BF＝DF＝x，DF＝y，则AF＝AB﹣BF＝10﹣x，有y＝5﹣2x，证△EDF∽△DAF，得y2＝x•（10﹣x），即可解得BF＝1，DF＝y＝5﹣2x＝3，用勾股定理知BD的长为．【解答】（1）证明：连接AD，如图：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°＝∠ABD+∠DAB，∵＝，∴∠DAC＝∠DAB，∴∠ACD＝∠ABD，∴AB＝AC；（2）解：DF是⊙O的切线；证明如下：连接AD，OD，如图：由（1）知：∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠BAC＝2∠BDF，∴∠DAC＝∠BDF，∵OA＝OD，∴∠DAC＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BDF，∵∠ADB＝90°，即∠BDF+∠ADF＝90°，∴∠ODA+∠ADF＝90°，即∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（3）解：连接AD，DE，如图：由（1）（2）知，DF是⊙O的切线，AB＝AC，∴∠DAF＝∠EDF（弦切角定理），∵∠ADC＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵＝，∴CD＝ED，∴BD＝ED，∵∠BDF＝∠BAC＝∠DAF，∴∠BDF＝∠EDF，∴BF＝EF，∠DFB＝∠DFE＝90°，设BF＝DF＝x，DF＝y，则AF＝AB﹣BF＝10﹣x，∵BE+DF＝OA＝5，∴2x+y＝5，∴y＝5﹣2x，∵∠EDF＝∠DAF，∠EFD＝∠DFA，∴△EDF∽△DAF，∴＝，即＝，∴y2＝x•（10﹣x），把y＝5﹣2x代入得：（5﹣2x）2＝x•（10﹣x），解得x＝1或x＝5（此时y为负，舍去），∴BF＝1，DF＝y＝5﹣2x＝3，∴BD＝＝＝；∴BD的长为．14．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠FBA，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AB＝8，，求DB的长；（3）在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）如图，连接OE，根据角平分线的定义和等边对等角证明∠1＝∠3，推出OE∥BF，再由EF⊥BC，得到OE⊥GF，即可证明GF是⊙O的切线；（2）连接OE，过点O作OM⊥BD于M，证明四边形OEFM是矩形，得到，利用勾股定理求出BM＝2，即可由垂径定理得到BD＝2BM＝4；（3）先解直角三角形得到∠EOG＝∠OBH＝60°，求出，再根据S阴影＝S△OEG﹣S扇形AOE进行求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2，∵OB＝OE，∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵EF⊥BC，∴OE⊥GF，∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：连接OE，过点O作OM⊥BD于M，∴∠OEF＝∠OMF＝90°，∵EF⊥BC，∴∠EFM＝90°，∴四边形OEFM是矩形，∴，∵AB＝8，∴OB＝4，∴，∵OM⊥BD，∴BD＝2BM＝4；（3）解：∵sin∠OBH＝＝，∴∠OBH＝60°，∴∠EOG＝∠OBH＝60°，∵OE＝4，∴，∴．15．已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接AC．（1）如图1，若点C为半圆的中点，求AC的长；（2）如图2，连接BC，点D在⊙O外，连接CD，BD，BD交⊙O于点E，此时，BC平分∠ABD，∠D＝90°，求证：CD是⊙O的切线；（3）如图3，在（2）问的条件下，连接CO，EO，若，求cos∠COE．【分析】（1）连接BC，利用圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OC，利用角平分线的定义，同圆的半径相等的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；（3）连接AE，AE交OC于点F，利用矩形的判定与性质得到CF＝DE，设CF＝DE＝x，则OF＝3﹣x，BE＝BD﹣DE＝﹣x，利用三角形的中位线定理列出关于x的方程，解方程求得x值，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．【解答】（1）解：连接BC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵点C为半圆的中点，∴，∴AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴AC＝AB＝6＝3；（2）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC．∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD．∵∠D＝90°，∴CD⊥BD，∴OC⊥CD．∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：连接AE，AE交OC于点F，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED＝90°．由（2）知：OC⊥CD，∠D＝90°，∴四边形CDEF为矩形，∴OC⊥AE，CF＝DE．∵AB＝6，∴OC＝OE＝AB＝3．设CF＝DE＝x，则OF＝3﹣x，BE＝BD﹣DE＝﹣x．∵OC∥BD，OA＝OB，∴OF为△OEB的中位线，∴OF＝BE，∴3﹣x＝（），∴x＝．∴OF＝．∴cos∠COE＝．16．在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标