第15讲 图形的相似（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（原卷版）

第15讲图形的相似（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．【知识导图】【考点梳理】考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.考点二、相似图形相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点三、位似图形位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类：(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【典型例题】题型一、比例线段例1.已知三个数1,2,,请你再添上一个(只填一个)数,使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.【变式】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是()A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍题型二、相似图形例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④例3．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，则BF=2；正确的结论有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【变式】如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.求证：求这个矩形EFGH的周长.例4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．（1）四边形OABC的形状是，当时，的值是；（2）①如图1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；②如图2，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例5．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．①求证：ADE∽BEF；②设正方形的边长为4，AE=，BF=．当取什么值时，有最大值?并求出这个最大值．题型三、位似图形例6.如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，阅读后证明相应的问题.画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.【中考过关真题练】一、填空题1．（2021·上海·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________．2．（2018·上海·统考中考真题）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．3．（2019·上海·中考真题）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且，那么AD的长是_________________.4．（2020·上海·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．5．（2020·上海·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．二、解答题6．（2016·上海·中考真题）如图所示，梯形中，∥，，，，，点是边上的动点，点是射线上一点，射线和射线交于点，且．（1）求线段的长；（2）如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；（3）如果点在边上（不与点、重合），设,,，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；7．（2017·上海·中考真题）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．8．（2019·上海·中考真题）如图1，AD、BD分别是的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：；（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；（3）如果∠ABC是锐角，且与相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【中考挑战满分模拟练】一、单选题1．（2023·上海静安·统考一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（

）A． B．C． D．2．（2023·上海静安·统考一模）如图，在中，中线与中线相交于点G，联结．下列结论成立的是（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2023·上海静安·统考一模）在中，，点D、E分别在边上，当时，_________．4．（2023·上海静安·统考一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为_________．5．（2022·上海杨浦·统考二模）在中，点D、E分别在边上，//，那么_______．（用、表示）．6．（2022·上海静安·统考二模）如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么_______．（用含向量的式子表示）7．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．8．（2022·上海金山·统考二模）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝________．9．（2022·上海普陀·统考二模）如图，四边形中，对角线交于点O，，，，，如果，那么的值是___________．10．（2022·上海宝山·统考二模）如图，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______．11．（2022·上海长宁·统考二模）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝_____．三、解答题12．（2023·上海静安·统考一模）如图，在梯形ABCD中，，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且．(1)求证：；(2)点G在底边BC上，，，连接，如果与的面积相等，求的长．13．（2023·上海静安·统考一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，．(1)求证：；(2)设，，试用向量、表示向量．14．（2023·上海静安·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且.(1)求上述抛物线的表达式；(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．①求新抛物线的对称轴；②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标．15．（2022·上海松江·统考二模）已知：如图，两个和中，，且点在一条直线上，联结与交于点F．(1)求证：；(2)如果，求证：．16．（2022·上海杨浦·校考一模）如图1，在中，点E在的延长线上，且(1)求证：；(2)如图2，D在上且，延长交于F，若，求的值．17．（2022·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知．(1)求顶点和点的坐标；(2)将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；(3)如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标．18．（2022·上海长宁·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点，(1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系；(3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标19．（2022·上海杨浦·校考一模）已知：是的直径，弦，垂足为点H，，，点E在上，射线与射线相交于点F，设，．(1)求的半径；(2)如图所示，当点E在弧上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果，求的长．20．（2023·上海静安·统考一模）在等腰直角中，，点D为射线上一动点（点D不与点B、C重合），以为腰且在的右侧作等腰直角，，射线与射线交于点E，联结．(1)如图1所示，当点D在线段上时，①求证：；②设，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)当时，求的长．【名校自招练】一．选择题（共1小题）1．（2016•宝山区校级自主招生）若一个扇形的弧长与半径的比值等于另一个扇形的弧长与半径的比值，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A'O'B'相似，且半径OA：O'A＝k（k为大于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A'O'B；②△AOB∽△A'O'B'；③半径OA的中点与弧AB中的连线段长度与半径O'A'的中点与弧A'B'的中点的连线段长之比为k；④扇形AOB与扇形A'O'B'的面积之比为k2，成立的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共10小题）2．（2019•徐汇区校级自主招生）如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN＝．3．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，中位线长为5，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则+＝．4．（2017•浦东新区校级自主招生）直角坐标系xOy内有一个△OEF，原点O为位似中心，相似比为2，点E的对应点为E′，已知E（