2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级上期末数学试卷

2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）

)

A.——B.-C.-D.——

279927

3.（3分）二次函数丫=32+bx+c在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与x轴的

4.（3分）国家统计局发布报告显示，2019年我国单位GD尸能耗约为0.571吨标准煤/万元，

而2021年我国单位GDP能耗约为0.555吨标准煤/万元.设平均每年单位GDP能耗降低率

为x,则可列方程为（）

A.0.571(1-x)2=0.555B.0.571(1-2x)=0.555

C.0.571(1-x2)=0.555D.0.555(1+x)2=0.571

5.（3分）随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们

的生活.光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗.如图，长

BC=8m、宽=的太阳能电池板与水平面成30。夹角，经过太阳光的正投影，它在

水平面所形成的阴影的面积为（）

6.（3分）如图，AABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，贝hin44c的

A.君B-C-1口普

7.（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形。18的顶点0（0,0）,8（2,0）,已知△OAB'

与ACHB位似，位似中心是原点O,且的面积是AtMB面积的4倍，则点A对应点

4的坐标为（）

B.（2,2拘或（-2,-2我

C.（4,46）或（-4,Y班）D.（4,4指）或（-4白，-4）

8.（3分）二次函数y=*2+6x+c的图象如图所示，则一次函数>=依-6的图象和反比例

函数、=伫"£的图象在同一平面直角坐标系中大致为（）

二、（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.（3分）方程式=2x的根为.

10.（3分）己知4=£=2（6+2/W0）,则色土主的值为

bd5b+2d

11.（3分）为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒84消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资

料表明空气中氯含量不低于0.5%,才能有效杀灭新冠病毒.如图，喷洒消毒液时教室空气

中的氯含量y（%）与时间K加w）成正比例，消毒液挥发时，y与f成反比例，则此次消杀的有

12.（3分）将抛物线丁=-2*+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的

解析式为

13.（3分）若关于x的一元二次方程依2+2*+1=0有实数根，则上的取值范围是.

14.（3分）如图，在长80米、宽60米的矩形草地上修建两条互相垂直的小路，即MOUNP,

EF/!GH,EFYMO,且区=LK=1米，£F=63米，则小路的面积为米2.

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。

15.（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.如图是一块木板下脚料,

小明想用这块木板做一个菱形学具；请你帮他在木板上画出以Z4为一个内角且面积最大的

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16.（8分）（1）计算：5m230°-2cos450+-78；

2

（2）解方程：2炉+6*-1=0.

17.（6分）中国共产党的助手和后备军一中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培

养合格建设者和可靠接班人的根本任务.某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年,

九年级一班将从报名的5名学生（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名担任党史宣

讲员.请利用树状图或列表法求抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率.

18.（6分）某学校为了抓好常态化疫情防控,购进了一批测温仪，如图，测温仪的长AB=21cm,

测温距离是AD=3C=12cm,CL±AG,当测温仪与竖直方向的夹角/皿4=37。时，测温

仪能够测量的最大高度AG与最小高度CF的差值AL是多少？（参考数据：sin37°«-,

5

19.（6分）将一块长方体蛋糕平均分成3份，若按照如图1方式进行分割，每份的蛋糕胚

一样多，但奶油不一样多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋

糕胚和奶油一样多呢？如图2,首先我们可以将蛋糕抽象成矩形，用加粗线条表示有奶油的

边，然后将矩形沿其对角线分割并拼成如图3的平行四边形ABCD,分别取边4?、8的

三等分点E、尸和G、H,如图4,按EG、分割成3份（I,II,III）,此种分法能

够保证每份的蛋糕坯一样多，奶油是否一样多，我们只需判断每份中加粗线条的长度和是否

相等，请你给出判断并加以证明.

20.（8分）2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索.这一年，神舟十四号载人飞

船成功发射.某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型.每个模型的进价

是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1

元，则每月销售量将增加2个.

（1）直接写出每月销售量y（个）与每个降价x（元）的函数关系式；

（2）设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？

最大利润是多少？

21.（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E为OC中点，过点O

作OH//3c交3E的延长线于"，连接C"与

（1）求证：SBCE=AHOE；

（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由.

22.（10分）如图1,一次函数了=丘+6的图象与无轴、y轴分别交于4（1,0）和2（0,2）,以AB

为对角线作矩形OACB，点C恰好在反比例函数y='（x>0）的图象上.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式;

（2）如图2,作线段BC的垂直平分线，交反比例函数图象于点E,连接?IE、BE,求A钻E

的面积;

（3）如图3,若点。是x轴上一点，则ABCD周长的最小值为

图1图2图3

23.（12分）数学上的对称通常是指轴对称、中心对称，以及对称的思想方法.某数学兴趣

小组进行折纸活动，来感受图形中的对称思想.如图1,将正方形纸片ABCD对折后展开,

得到折痕HG；如图2,将纸片再次折叠，使点A落在折痕上，记作点尸；如图3,连

接AF,得到AABP.

（1）请判断：AW是三角形；

【问题提出】

兴趣小组成员想要进一步找到正方形中最大的等边三角形.

【问题探究】

如图4,小颖认为正方形中最大等边三角形的顶点一定落在正方形的边上,她将图4的APR。

沿AB进行平移，使点。与点3重合（如图5）,再将AP/近绕点3旋转，使尸R与对角线

垂直，延长以，BP分别交CD,4）于点E和尸（如图6）,连接EF,便可得到如图7

的最大等边三角形跳F.设正方形ABCD的边长为2.

（2）小丽利用对称的思想，即M砂关于直线即对称，从而求得ZABF=90°一/EBF=匕。,

2

贝|3户=.315。=n-应,cosl5°="+夜，tanl5°=2一百）

44

（3）若不知道15。角的三角函数值，请你换一种方法求防的长.

【问题解决】

（4）如图8,已知正六边形中最大的等边三角形边长为4,则该正六边形的边长为—.

【拓广应用】

（5）A4纸的长为29.70〃，宽为2km,现要在A4纸中剪一个最大等边三角形.请你在图

9中画出示意图（不需尺规作图），并求该最大等边三角形的边长.

24.（10分）如图，已知抛物线y=-f+2x+3交x轴于点A,B（点A在点3的右侧）,

交y轴于点E,其顶点为C,连接AC.

（1）求点A,B,E的坐标；

（2）求点C坐标；

（3）若点P为抛物线上一点，且NC4F=90。，求点尸坐标.

2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定

义.

2.（3分）如图为最受欢迎的智力游戏之一一三阶魔方，将六个面分别涂有不同颜色的魔方

平均分割成27个大小相同的小立方块，从中任取一个小立方块，恰好有两面涂色的概率为（

【分析】先找出恰好有两面涂色的小立方块的个数，然后根据概率公式计算.

【解答】解：第一层两面涂色的小立方块有4个，第二层两面涂色的小立方块有4个，第三

层两面涂色的小立方块有4个，

所以从中任取一个小立方块，恰好有两面涂色的概率=工=«.

279

故选：B.

【点评】本题考查了概率公式：某事件的概率=所求事件作占有的情况数与总情况数之比.

3.(3分)二次函数丁=取2+灰+。在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与x轴的

另一个交点的横坐标为()

A.2B.3C.3.5D.4

【分析】由图象可知二次函数的对称轴方程为x=l,根据对称性可求得答案.

【解答】解：由图象可知二次函数的对称轴方程为x=l,

又图象与X轴的交点关于对称轴对称，

故另一个交点到对称轴的距离等于1-(-2)=3,

故另一交点的横坐标为4,

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的对称轴方程及对称性，掌握二次函数与x轴的两个交点关

于对称轴对称是解题的关键.

4.(3分)国家统计局发布报告显示，2019年我国单位GDP能耗约为0.571吨标准煤/万元，

而2021年我国单位GD尸能耗约为0.555吨标准煤/万元.设平均每年单位GD尸能耗降低率

为x,则可列方程为()

A.0.571(1-%)2=0.555B.0.571(1-2x)=0.555

C.0.571(1-/)=0.555D.0.555(1+%)2=0.571

【分析】利用经过连续两年降低后的GDP=2019年的GZ)P*(1-平均降低率)2,即可得出

关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得：0.571(1-x)2=0.555.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方

程是解题的关键.

5.(3分)随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们

的生活.光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗.如图，长

BC=8m、宽AB=1.5〃?的太阳能电池板与水平面成30。夹角，经过太阳光的正投影，它在

水平面所形成的阴影的面积为（）

图1图2

A.12m1B.6m2C.6垂居D.-s/3m2

2

【分析】根据直角三角形的性质和矩形的性质即可得到结论.

【解答】解：在RtABCD中，

ZB=30°,BC=8m,

BD=BC-cos30。=8x3=4出(cm),

2

AB=1.5m,

它在水平面所形成的阴影的面积=L5x4』=6百济,

故选：C.

【点评】本题考查了平行投影，直角三角形的性质，矩形的性质,熟练掌握直角三角形的性

质是解题的关键.

6.（3分）如图，AABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，贝Usin44c的

值为（）

A.A/5B.—C.-D.—

523

【分析】连接BC,过3作BDLAC,利用勾股定理求出AC的长，求出三角形ABC

面积，得到加的长，利用锐角三角函数定义求出sin/C钻的值即可.

【解答】解：连接BC,过3作加，AC于点D,

卞艮据勾股定理得：AB=742+32=5,AC=732+62=3非,

S=-ACBD=4x6--x3xl--x3x4--x6x3=—,

M"RC22222

BD=#!，

则sin/C4B=g^=且.

AB5

【点评】此题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

7.(3分)如图，在平面直角坐标系中，等边三角形。的顶点0(0,0),3(2,0),已知△。4右，

与△。钻位似，位似中心是原点O,且△OA8的面积是钻面积的4倍，则点A对应点

B.（2,2折或（-2,-2月

C.（4,46）或（-4,Y班）D.（4,4指）或（-4白，-4）

【分析】根据位似变换的性质计算即可.

【解答】解：.•等边三角形OAB的顶点0(0,0),3(2,0),

OA.—OB=2,

过A作AC_Lx轴于C,

AAC®是等边三角形，

OC=-OB=1,AC=-OA=-j3,

22

A(l,a

与公办台位似，位似中心是原点O,且△04®的面积是AOAS面积的4倍，

△OAB'与ACMB位似为2:1,

.•.点A的对应点A的坐标是(1x2,退x2)或(1x(-2),百x(-2))，即(2,2后或(-2,-2若)，

故选：B.

【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位

似中心，相似比为左，那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-0

8.(3分)二次函数y=o?+云+。的图象如图所示，则一次函数了=℃-/?的图象和反比例

函数y=伫丝£的图象在同一平面直角坐标系中大致为()

X

【分析】根据二次函数图象开口向下得到a<0,再根据对称轴确定出6<0,根据与y轴的

交点确定出c>0,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解.

【解答】解：：二次函数图象开口方向向下，

「.a<0,

，对称轴为直线》=-2<0,

2a

•与y轴的正半轴相交，

.,.c>0,

.•.）=公-人的图象经过第一二四象限，

当工二-1时，y=a-b+c>0,

反比例函数y=a~b+C的图象在第一三象限，

X

只有A选项图象符合.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次

函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出“、6、c的情况是解题

的关键.

二、（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.（3分）方程尤2=2x的根为_玉=。2_工2=2_.

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：f=2尤，

x2-2x=0,

尤（尤—2）=0,

x=0,或x—2=0,

%—0,%2=2,

故答案为：X[=0,%2=2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式

分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.

10.(3分)已知@=£=2(6+2，/。)，则”主的值为-.

bd5b+2d-5~

【分析】根据比的基本性质和合比的性质即可求解.

【解答】解：/=£=2g+24#0),

bd5

2c2

..—=一,

2d5

a+2c_2

"b+2d~3•

故答案为：-.

5

【点评】本题考查了比例线段，比例的性质，关键是熟练掌握比例的性质.

11.(3分)为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒84消毒液(含氯消毒剂)进行消杀，资

料表明空气中氯含量不低于0.5%,才能有效杀灭新冠病毒.如图，喷洒消毒液时教室空气

中的氯含量y(%)与时间《相加)成正比例，消毒液挥发时，y与f成反比例，则此次消杀的有

【分析】设y关于尤的函数关系式为〉=《宜人>0),代入(3,6)得到y=2龙；设药物燃烧后y

关于x的函数关系式为y=b(k、>0)代入(3,6)得到y=-(x>6),把y=0.5代入y=2尤，

XX

得到X=L,把y=0.5代入y=竺，得至l]x=36,于是得到结论.

4x

【解答】解：・喷洒消毒液时教室空气中的氯含量y(%)与时间*加〃)成正比例，

设y关于％的函数关系式为y=k/k>0),代入(3,6)得：6=3匕

k[=2,

y=2x；

设药物燃烧后y关于X的函数关系式为y=殳（匕＞0）代入（3,6）为6=幺，

x3

二.左2=18,

，喷洒消毒液时y关于x的函数关系式为丫=2望骐灰6）；消毒液挥发时，y关于x的函数关

系式为j=—（%＞6），

x

把y=0.5代入y=2尤,得：x=:,

把y=0.5代入＞="，得：x—36）

x

36--=35.75.

4

所以此次消杀的有效作用时间是35.75:应〃.

故答案为：35.75.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解

答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.

12.（3分）将抛物线丁=-2*+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的

解析式为—y=-2（尤-2）2—.

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

2

【解答嘛:将抛物线y=-2d+1向右平移2个单位长度所得直线解析式为y=-2（x-2）+1;

再向下平移1个单位为：y=-2（x-2）2.

故答案为：y=-2（x-2）2.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加

下减是解题的关键.

13.（3分）若关于x的一元二次方程居+2x+l=0有实数根，则左的取值范围是_七0且

k„!_•

【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：△=4-4左..0,

..k,,1f

上w0,

.,.左w0且鼠1,

故答案为：左且鼠1；

【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型.

14.（3分）如图，在长80米、宽60米的矩形草地上修建两条互相垂直的小路，即MOHNP,

EF//GH,EF_LMO,且JK=LK=1米，£F=63米，则小路的面积为146米

【分析】MQLNP,FRLGH,ES工DC,易得AFRHs^ESF,即可求得FH、MN的

长度，根据平行四边形面积公式即可小路的面积；注意要减去中间小正方形的面积.

【解答】解：如图，过点石作过点M作MQ_LN尸，过点尸作用，GH,垂足

分别为S、Q、R,

由题意知：AD=ES=BC=603^,AB=DC=80,JK=LK=MQ=FR=1米.

EFHGH,

:.ZEFS=AFRH,

sinZEFS=sinZFRH,

ESFR601

——=——.即Hn——=---

EFFH63FH

:.FH=—

20

同理可得MN=—.

20

7121

=—x60+—x80-l=146（米2）.

小路onon

故答案为：146.

AEGB

0

P

DSFHC

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解直角三角形，注意辅助线的应用.

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。

15.（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.如图是一块木板下脚料,

小明想用这块木板做一个菱形学具；请你帮他在木板上画出以为一个内角且面积最大的

【分析】根据对角线互相垂直平分且一条对角线平分一个内角的四边形是菱形.

【解答】解：如图：

【点评】本题考查了作图的应用和设计，掌握菱形的应用和设计是解题的关键.

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16.（8分）（1）计算：5m230O-2cos450+-^；

2

（2）解方程：2炉+6》-1=0.

【分析】（1）先把三角函数代入，再计算求值；

（2）用公式法求解.

【解答】解:（1）sz7?3O。一2cos45。+」而

2

=--72+A/2

4

=;

4

（2）a=2,b=6,c=—1>

.-.△=36+4x2xl=44>0,

一6±2而-3±VH

/.x=------------=-------------，

42

-3+A/TT-3-711

•♦—9X?—•

【点评】本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值，掌握数学的基本运算是解题的

关键.

17.（6分）中国共产党的助手和后备军一中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培

养合格建设者和可靠接班人的根本任务.某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年,

九年级一班将从报名的5名学生（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名担任党史宣

讲员.请利用树状图或列表法求抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率.

【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取的2名学生中恰有一名男生和一名

女生的结果有12种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的结果有12种,

...抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率为工■=3.

205

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

【点评】此题考查了用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.（6分）某学校为了抓好常态化疫情防控,购进了一批测温仪，如图，测温仪的长AB=21cm,

测温距离是AD=3C=12cm,CLLAG,当测温仪与竖直方向的夹角Nffl4=37。时，测温

仪能够测量的最大高度AG与最小高度CF的差值AL是多少？（参考数据：sin37°«-

5

„43

cos37°p一,tan37°«—

54

图1图2

【分析】由锐角的正弦，余弦，正切定义表示出有关的量，即可解决问题.

【解答】解：•测温仪与竖直方向的夹角Nffl4=37。，

.\ZAKD=CKL=37°，

AF)

sinZAKD=——

AK

AK=AD12

—二20(cm),

sin37°

5

ATJ

tanZAKD=-----,

DK

AD12

DK=—二16(cm)

tan37°

4

/.CK=CD-DK=21-16=5(cm),

cosZCKL=—,

CK

4

KL=CKcos3T=5x-=4(an),

:.AL=AK+KL=20+4=24cm).

：.温仪能够测量的最大高度AG与最小高度CF的差值AL是24cm.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是掌握锐角的三角函数定义.

19.（6分）将一块长方体蛋糕平均分成3份，若按照如图1方式进行分割，每份的蛋糕胚

一样多，但奶油不一样多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋

糕胚和奶油一样多呢？如图2,首先我们可以将蛋糕抽象成矩形，用加粗线条表示有奶油的

边，然后将矩形沿其对角线分割并拼成如图3的平行四边形ABCD,分别取边AB、8的

三等分点E、尸和G、H,如图4,按EG、FH分割成3份(I,II,III),此种分法能

够保证每份的蛋糕坯一样多，奶油是否一样多，我们只需判断每份中加粗线条的长度和是否

相等，请你给出判断并加以证明.

【分析】设与9交于点与EG交于点N,过点N作NP/MB交厂”于点尸，根

据题意可得AB/ADC,BF=CH=EF=GH=AE=DG,则I,II,III区域均为平行四边

形，易通过A4s证明三APNM=AGDN,得至1］次/=用1=0/,以此即可

证明.

【解答】此种分法能够保证奶油一样多.

与EG交于点N,过点N作NP//AB交FH于点尸，如图,

图3

图4

四边形ABCD为平行四边形，E、/为边的三等分点，G、H为CD边三等分点,

:.AB//DC,BF=CH=EF=GH=AE=DG,

，四边形FBCH、EFGH、AEGD均为平行四边形，

NPHEF,EN//FP,

四边形EFPN为平行四边形，ZFBM=ZPNM,

：.NP=EF=BF=DG,

在NFBM和APNM,

ZFMB=/PMN

<NFBM=ZPNM,

BF=NP

"BM=^NM（AAS）,

:.BM=NM,

同理可证明APNM=kGDN,

贝i]NW=ZW,

BM=NM=DN,

:.AE+DG+DN=EF+GH+NM=BF+CH+BM,

即此种分法能够保证奶油一样多.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，理清题意，正确作出

辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

20.（8分）2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索.这一年，神舟十四号载人飞

船成功发射.某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型.每个模型的进价

是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1

元，则每月销售量将增加2个.

（1）直接写出每月销售量y（个）与每个降价无（元）的函数关系式；

（2）设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？

最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意列出代数式即可；

（2）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案.

【解答】解：（1）根据题意得：y=30+2x；

（2）设每个降价x元,

253025

根据题意得，w=(120-80-x)(30+2x)=-2x2+50x+1200=一2(尤-y)2+,

二.当每个降价至元时，每月获得的利润最大，最大利润是型”元.

22

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的

意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系.

21.(8分)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E为OC中点，过点O

作OH/ABC交班的延长线于连接S与

(1)求证：ABCE=AHOE；

(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由.

【分析】(1)由ASA证明ASCE三AHOE即可；

(2)先证四边形3CHO是平行四边形，得CH=OB,CHHOB,再证四边形OCHD是平

行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论.

【解答】(1)证明：OH//BC,

;.ZBCE=NHOE,

£是。。的中点，

;.CE=OE,

在NBCE和NHOE中，

ZBCE=ZHOE

<CE=OE,

ZBEC=ZHEO

:.\BCE=NHOE{ASA)-,

(2)解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形，理由如下：

由(1)可知，NBCE=MiOE,

:.BE=HE,

CE=OE,

：.四边形3aTO是平行四边形，

:.CH=OB,CHHOB,

四边形ABCD是矩形，

:.OA^OC,OB=OD,AC^BD,

;.CH=OD,OC=OD,

，四边形OCHD是平行四边形，

又OC=OD,

,平行四边形OSD是菱形.

【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判

定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.

22.(10分)如图1,一次函数〉=丘+匕的图象与x轴、y轴分别交于4(1,0)和2(0,2),以AB

为对角线作矩形OACB，点C恰好在反比例函数y='(彳＞0)的图象上.

X

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)如图2,作线段3C的垂直平分线，交反比例函数图象于点E,连接他、BE,求AABE

的面积；

(3)如图3,若点。是x轴上一点，则ASCD周长的最小值为_后+1

图1图2图3

【分析】(1)将A(l,0)和8(0,2)代入〉=区+6可得左和6的值，从而得出点C的坐标，即可

解决问题;

(2)利用割补法求出AABE的面积即可;

(3)作点3关于x轴的对称点8',连接C3'交x轴于O',此时ABCD的周长最小，根据勾

股定理求出EC的长，从而得出答案.

【解答】解：(1)将AQO)和5(0,2)代入》=丘+〃得,

p+z?=o

\b=2'

y——2x+2,

四边形。4BC是矩形，

..AC=OB=2,

C(l,2),

:.m=2

2

...)=一，

x

.•.一次函数＞=-2彳+2,反比例函数表达式＞=』；

x

(2)由题意知E(g,4),

13

.1△ABE的面积为一x3xl=—；

22

(3)作点3关于x轴的对称点连接C3'交x轴于D,此时ABCD的周长最小,

3(0,2),

B'(0,-2),

B'C=412+4。=屈,

班＞+CD的最小值为#7,

.•.ABCD周长的最小值为JF7+1,

故答案为：V17+1.

【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，轴

对称-最短路线问题等知识，熟练掌握轴对称-最短路线问题是解题的关键.

23.（12分）数学上的对称通常是指轴对称、中心对称，以及对称的思想方法.某数学兴趣

小组进行折纸活动，来感受图形中的对称思想.如图1,将正方形纸片ABCD对折后展开,

得到折痕"G；如图2,将纸片再次折叠，使点A落在折痕"G上，记作点尸；如图3,连

接AF,得到AAB尸.

（1）请判断：AABF是等边三角形；

【问题提出】

兴趣小组成员想要进一步找到正方形中最大的等边三角形.

【问题探究】

如图4,小颖认为正方形中最大等边三角形的顶点一定落在正方形的边上,她将图4的APR。

沿AB进行平移，使点。与点3重合（如图5）,再将AP/S绕点3旋转，使尸R与对角线由）

垂直，延长欧，3P分别交CD,AD于点E和P（如图6）,连接EF,便可得到如图7

的最大等边三角形际.设正方形的边长为2.

（2）小丽利用对称的思想，即ABEF关于直线对称，从而求得ZABF=二一"BF=灯,

2

则跖=.（sinl5°=^~^,cosl5°=^+^,tanl5°=2-^）

44

（3）若不知道15。角的三角函数值，请你换一种方法求加'的长.

【问题解决】

（4）如图8,己知正六边形中最大的等边三角形边长为4,则该正六边形的边长为—.

【拓广应用】

（5）A4纸的长为29.7cm,宽为21cm,现要在A4纸中剪一个最大等边三角形.请你在图

9中画出示意图（不需尺规作图），并求该最大等边三角形的边长.

【分析】（1）由折叠可知，BG=AG=-AB=-FBZFGB=ZFGA=90°可得

22

NBFG=30。=ZAFG,故NAFB=60。，从而AABF是等边三角形;

2

(2)在RtAABF中，cos150=——，即得8/=2#一2立；

BF

⑶设DE=DF=x,则EF=6x=BF=BE,AF=AD-DF^2-x,在RtAABF中，由

勾股定理得（2-X）2+22=（缶y，解得x的值即可得BF=2娓-2丘;

（4）画出图形，由锐角三角函数列出算式，即可求出正六边形的边长；

（5）画出图形，由锐角三角函数列出算式，即可求出最大等边三角形的边长.

【解答】解：（1）如图：

由折叠可知，BG^AG=-AB=-FB,NFGB=NFGA=90°,

22

:.ZBFG=30°=ZAFG,

.-.ZAFB=60°,

又AB=BF,

是等边三角形，

故答案为：等边；

(2)如图:

在RtAABF中,

AH

cosNAB方二——,

BF

,u。2V6+V22

..cos15=----，即Hn--------=---9

BF4