2023届台州市重点中学第二学期高三数学试题期末试卷

2023届台州市重点中学第二学期高三数学试题期末试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是（）

A./(x)=ln(|%|+l)B.f(x)=x-'

2、(x<0)

X2+2x,(尤之0)

D./(%)=<0,(x=0)

—x2+2x,(x<0)

r2v2

2.已知椭圆］■+方=1（。>〃>0）的左、右焦点分别为"、鸟，过”的直线交椭圆于A，B两点,交y轴于点M,

若&、M是线段A3的三等分点，则椭圆的离心率为（）

A.-B.—C.巫D.—

2255

3.已知函数/（月=85（蛆+夕）/>0,0<8<、）的最小正周期为万，且满足,f（x+e）=/（0—x）,则要得到函

数“X）的图像，可将函数g（x）=sin@x的图像（）

A.向左平移2个单位长度B.向右平移力个单位长度

C.向左平移三个单位长度D.向右平移三个单位长度

1212

4.若（2x+2）的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数〃的值为（）

A.7B.6C.5D.4

5.已知复数z满足z（l+i）=l—i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.-iB.iC.1D.T

6.函数〃力=力不的部分图像大致为（）

A.

7.[lx2--J=j的展开式中有理项有（）

A.3项B.4项C.5项D.7项

8.公比为2的等比数列｛4｝中存在两项品，a,满足斯4=32q2,则工+士的最小值为（

n)

mn

95413

A.B.

73310

9.设抛物线C:y2=2Px（p>0）的焦点为F,抛物线C与圆。'：f_g?=3交于M,N两点，若|MN|=卡，则

MNF的面积为（）

A拒n3„3V2n3垃

A.——B.—C・-------D.------

8884

10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

11.已知双曲线。:0-[=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为£,F,,点尸是C的右支上一点，连接与y轴交

ab

于点M,若忻a=2|OM|（0为坐标原点），PFt-LPF2,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±3xB.y=±#>xC.y-±2xD.y=±0x

12.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，

有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学

拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝

时期专著的概率为（）

3749

A.—B.—C.—D.—

510510

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为〃的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,

半球的大圆面、水面均与容器口相平，则〃的值为.

TT

14.已知平面向量a,b，c满足|a|=l,g1=2,a,/?的夹角等于不，且（a-tf）•（万一c）=0，则IdI的取值

范围是.

15.在四棱锥P-ABCD中，Q46是边长为26的正三角形，ABCO为矩形，AD=2,PC=PO=05.若四棱

锥P-ABCD的顶点均在球。的球面上，则球。的表面积为

16.已知a=log030.2,/?=log20.2,则a+b.ab（填“>"或"=”或"v”）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

丁+/

17.（12分）已知印-1,0）,与（1,0）分别是椭圆C:=l,（a>〃>0）的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为

好,4B是椭圆C上两点，点M满足8加=!区4.

52

⑴求C的方程；

⑵若点〃在圆d+y2=i上，点。为坐标原点，求。403的取值范围.

18.（12分）已知/（x）=xhu与有两个不同的交点A,B,其横坐标分别为再，%（%<当）.

（1）求实数。的取值范围；

/c、f13Q+2+^3

（2）求证：ae+l<x2-x1<-----------

19.（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年

的相关数据如下表所示：

年份20112012201320142015201620172018

年生产台数（万台）2345671011

该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5

年返修台数（台）2122286580658488

181X8

部分计算结果：无=dZ%=6,y=wZ）'，=4,（毛一元）~=72,

X/=1芯/=1z=l

88

—a=18.045,之（为一元）（为一歹）=34.5

i=\i=l

年返修台数

注:年返修率=

年生产台数

(1)从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以《表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求J的分布列和

数学期望；

(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润》(百万元)关于年

生产台数x(万台)的线性回归方程(精确到0.01).

附：线性回归方程)，=/*+4中，刃a=y-bx.

一乃一2/尸

20.(12分)已知｛4｝为等差数列，也｝为等比数列，｛q｝的前"项和为S"，满足q=3,4=1,^+$2=1。，

a5-2b2=a3.

(1)求数列｛q｝和低｝的通项公式;

为奇数,.

(2)令%，数列｛%｝的前"项和?；，求心.

b„,〃为偶数

21.(12分)为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中

间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2加，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概

率均为二

(1)现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：

A市居民8市居民

喜欢杨树300200

喜欢木棉树250250

是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;

(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望;

(3)在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M,求证：3M..m(m-l)(m-2).

n(ad-bc)2

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

22.(10分)qABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosB—Z?si/C=O,cosA=cos2A.

(1)求C;

(2)若a=2,求，一ABC的面积S",

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

对选项逐个验证即得答案.

【详解】

对于A,F(—x)=ln(|f|+l)=ln(W+l)=〃x),.•./(%)是偶函数,故选项A错误；

对于3,〃X)=XT=L定义域为{X|X#0},在R上不是单调函数，故选项8错误；

X

对于C,当x>()时，—x<0,/(—X)=—(―x)+2(—x)=-x?-2x=-(X2+2x)=—/(x)；

当X<()时，-x>0,x)=(―x)+2(—x)=X?-2x=—(―x?+2x)=—/(X)；

又x=0时，/(-0)=-/(0)=0.

综上,对xeR,都有〃T)=-〃X),.•.“X)是奇函数.

又X20时，/(力=丁+2%=(1+1)2-1是开口向上的抛物线，对称轴x=—1,.•./(X)在［0,+«))上单调递增,

•."(X)是奇函数，.••/(x)在R上是单调递增函数，故选项C正确；

对于O,在(一8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递增，但/(-l)=g>/(l)=-g,.・・/(X)在R上不是单

调函数，故选项O错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的基本性质，属于基础题.

2、D

【解析】

根据题意，求得A例,8的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为Af；中点，6为中点，

故可得叫+/=2加=0,故可得4=c；

2v2b1b2

代入椭圆方程可得三c■+解得幺，不妨取以=£-,

2r=1,y=±

a~b~aa

故可得A点的坐标为

(h2}

则，易知点坐标-2c,一~^~

M0.—2a3

I)l2。J

将B点坐标代入椭圆方程得/=502,所以离心率为好,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A点的坐标，属中档题.

3、C

【解析】

依题意可得0=2,且是/(*)的一条对称轴，即可求出。的值，再根据三角函数的平移规则计算可得;

【详解】

TT

解：由已知得60=2,%是/(X)的一条对称轴，且使f(x)取得最值，贝!|3。=也，(p=~,

/(x)=cosf2x+j=cos，g(x)=sin2x=cos(2x-'1),

故选：c.

【点睛】

本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.

4、C

【解析】

由二项式系数性质，(“+〃)”的展开式中所有二项式系数和为2"计算.

【详解】

l^2x+^的二项展开式中二项式系数和为2"，2"=32,.•.〃=5.

故选：C.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键.

5、D

【解析】

根据复数z满足z(l+i)=l-i,利用复数的除法求得工，再根据复数的概念求解.

【详解】

因为复数Z满足+=

川“10-02

所以Z=——；=/'.、/—T-=-I,

1+z+

所以Z的虚部为一1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6、A

【解析】

根据函数解析式，可知/(x)的定义域为xwR,通过定义法判断函数的奇偶性，得出/(—x)=/(x),贝U/(x)为偶

函数，可排除C,。选项，观察A,8选项的图象，可知代入x=0,解得/(0)>0,排除3选项，即可得出答案.

【详解】

EE、F

解：因为〃r/尤\)=彳C1OS声X，

所以的定义域为xwR,

则/(一)=竺四=至

.••/(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除c,。选项，

且当x=0时，/(0)=1>0,排除8选项，所以A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.

7、B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时，•的个数，即可求解.

【详解】

207r

&=(-1)2“0》3»0<r<10,

当r=0,3,6,9时，7；+1为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

8、D

【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出加，“关系，即可求解.

【详解】

ama„=42"+”2=32^2^m+n=7,

/1451413

当/77=1,〃=6时，一+—,当根=2,〃=5时，——F—=一,

mn3mn10

14414io

当根=3,〃=4时，一+—=一,当优=4,〃=3时，一+一=一,

mn3mn12

wc21411Mz乙…1425

当根=5,〃=2时，——F—=一,当加=6,〃=1时，一+一=一,

mn5mn6

14口3J3

—I■一最小值为二•

mn1()

故选:D.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，注意优,〃为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.

9、B

【解析】

由圆C过原点，知例,N中有一点M与原点重合，作出图形，由|C'M=|C'N|=G，|MN|=八，得C'MLC'N,

IT

从而直线MN倾斜角为一，写出N点坐标，代入抛物线方程求出参数"，可得/点坐标，从而得三角形面积.

4

【详解】

由题意圆C'过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M，如图，

由于|C'M|=|C'N|=6，|削|="，：.C'M±C'N,:.NCMN=gNNQx=（,

•••点N坐标为（百，百），代入抛物线方程得（百）J2pxG，p=2,

2

,Y，0)，SA”支训*W4冬百=1.

4Z24o

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点。是其中一个交点，从而AWC是等腰直角三角形，于是可得N

点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解.

10、B

【解析】

人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为4,计算％=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为q,

则L」=379,解得"=192,从而可得%=192XL=96.6=192X上=24,故电一出=96-24=72.

I2\27

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11、C

【解析】

利用三角形AOM耳与AP与尸相似得|P耳|=2|尸闾，结合双曲线的定义求得a,〃,c的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设耳(―c,0),8(c,0),

由1Kq=2|OM|,AOM6与相似，

2,即附|=2附|,

\OM\

又因为|P耳1Tp图=2a,

所以归用=4”，|P闾=2%

所以4c2=16/+4/,即。2=5。2,〃2=4。2,

所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

12、D

【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝

时期.记这5部专著分别为4c,d,e,其中”,仇。产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数

学文化”校本课程学习内容，基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情况，所选2部专著中至少有一部

是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有根,共9种情况，所以所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为尸=0=二.故选D.

n10

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（A，笈），（4，不）~.（4，&）,

再（4,耳），（4,4）.….（&,纥）依次⑷,即（怎（4,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、次

【解析】

由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.

【详解】

设圆锥的底面半径为广，体积为丫，半球的体积为匕，水（小圆锥）的体积为匕，如图

则OA=r,OC=LOB=2,3E=/z,所以6。=寸，2xr=VP77xl，解得户=§，

22

所以丫=—/rrX2=-7V,V,=—TT,V2=—^x（—）xh=」■兀h，,

39132329

Qo1

由丫=匕+匕，得x乃=;乃+三乃川，解得//=次.

939

故答案为：啦

【点睛】

本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.

14.-----------------.-------------------

【解析】

llc2+l

计算得到la+81=J7，cz=^\c\cosa-\,解得cosa=)r，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

【详解】

_JI

由（a-c）・（〃一c）=（）可得c2=（a+b）・c—a-0=la+ZjHc\cosa-lx2cos—=\a+h1*1c\cosa-T,a为a+b

与C的夹角.

再由（a+bI=ci"+b~+2ci*b=l+4+2x1x2cos—=7可得la+bl=>/7>

_c2+1

C2=v7Ic\cosa-1,解得cosa-r-,,

V-\<cosa<\,即卜『一5mi+i'a解得">Wmiw”；，

币-拒近+百

故答案为

-2-，-2-

【点睛】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

15、287r

【解析】

做AO中点产，8c的中点G,连接PF,PG,FG,由已知条件可求出PE=3,PG=J®，运用余弦定理可求

NPEG=120,从而在平面PFG中建立坐标系，则P,£G以及△小。的外接圆圆心为。|和长方形ABC。的外接

圆圆心为仪在该平面坐标系的坐标可求，通过球心。满足。。，尸£。。2即可求出。的坐标，从而可求球

的半径，进而能求出球的表面积.

【详解】

解：如图做AO中点R,8C的中点G,连接PF,PG,FG,由题意知

PFA.AD,PGA.BC,则PP=26xsin60=3,PG=J22-3=M

2

设的外接圆圆心为a,则a在直线。/上且p。=-PF

设长方形ABCD的外接圆圆心为02,则02在FG上且尸。2=GO].设外接球的球心为。

32+?2-191

在XPFG中，由余弦定理可知cosNPFG=-----------=一一，/.NPFG=120.

2x3x22

在平面PFG中，以尸为坐标原点，以FG所在直线为x轴，以过尸点垂直于x轴的直

线为y轴，如图建立坐标系，由题意知，。在平面PFG中且。。|，「尸,。。2

3>/3

设O（l,y）,则。卜；，用，「一|，孚，因为°。一刊"所以

3

1+2

2

故答案为：284.

本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长

方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的

球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.

16、＞

【解析】

注意到。＞1,人＜0,故只需比较L+，与1的大小即可.

ab

【详解】

由已知，a>l,b<09故有必.又由一+-=logo20.3+logo22=logo20-6<l,

ab

故有a+b>ah.

故答案为：＞.

【点睛】

本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)三+工=1；(2)

54~7~~57

【解析】

（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中。，"C,的关系，即可求得。，氏C的值，进而得椭圆的标准方程.

（2）设出直线AB的方程为丫=履+加，由题意可知M为|A6|中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出

%+%2，%1%2,由判别式/＞0可得弘2+4＞m2；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简0406可得

OAOB=1-^AB2,代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M的坐标，代入圆的方程/+y2=],化简可得

2

/（20/-8）

+41,代入数量积公式并化简，由换元法令r=公+1,代入可得OA-OB=l-20x

in2（5I）（2559），

25/+16

1-----..../（20/-8）

再令s=-及。=5-2s,结合函数单调性即可确定25的取值范围，即确定.的取值范围，

t9（y+一+50（5/-l）（25r-9）

因而可得。06的取值范围.

【详解】

2

r2

（1）6（T，0）,&（1,0）分别是椭圆C：0+彳y=1,（。＞/?＞0）的左焦点和右焦点,

则c=l,椭圆C的离心率为好,

5

则e二£二!二—，解得a—9

aa5

所以庐=/_。2=5-1=4>

所以C的方程为匕+.=1.

54

（2）设直线AB的方程为尸区+，”，点〃满足8M=gBA,则M为|AB|中点，点加在圆Y+,2=［上，设

A（石,加,5（孙必），

y=kx+m

联立直线与椭圆方程f2化简可得卜%2+4b2+10km+5m2-20=0,

一+—=

54

-10k”5谓一20

所以的+%25A2+4'''5^2+4

222

贝!]△=（10也?广一4x（5左2+4）x（5m-20）>0,化简可得5k+4>m，

而OA.OB=（OM+M4）.（OM+

=OM2+OMMB+MAOM+MAMB

.22

=OM-MB

=1.*

X]+尢2_-5km左（X]+%2）+2。_4m

M为|A8|中点，则”~l~=7^,yM=2=K7

2

5庐+4

点M在圆V+y2=i上，代入化简可得加2

25火2+16

,左2+15&2+4-谓

所以。4。8=1-丁x80x

2~

+4

,2+1)00/+12)

=l-20x

(5/+4)(25尸+16)

r(20/-8)

令02+I,则。AO8d20x(」)(25‘9)'

120r-8)

令s=1,0<sK1,贝(]20—8s

(5r-l)(25r-9)(5-5)(25-95)

4(5-25)

-(5-5)(25-9.v)

令o=5—2s,ow[3,5),贝!|s=3^^,

4(5-2s)_16__16

所以(5-5)(25-95)=(5+助(5+9⑹=菰汽%，

CD

2s16(±3_

因为/(。)=9。+—+50在。e[3,5)内单调递增，所以"十5。右125'16

CO

即，史：一8)(上3

(5/-1)(25/-9)(2516

r(20r-8)11

所以OAO8=1-20X~~^e——

7(51)(25.9)47)

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性

运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.

18、(1)I-j»0；(2)见解析

【解析】

(D利用导数研究/(x)=xlnr的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；

11((\

(2)构造函数g(x)=-x-xlax,k(x)=-----(x-D-xlnx可证得：-x>xlnx,-----(x-l)>xlnxxe-,1

e-1e-1\e

1

分析直线〉=一工,y与尸

从左到右交点的横坐标，/(X)在x=e-3,x=l处的切线即得解.

【详解】

(1)设函数,f(x)=xlnx,

/'(x)=l+lnx,

令/<x)>O,x>L,令/[x)<O,O<x<，

ee

故在。：)单调递减，在e，E)单调递增,

,.•》->0+时/(%)-0；/(1)=0；X-”时/(x)—+OO

(2)①过点(0,0),仁，一皆的直线为丁=—,

贝！|令g(x)=-x_xlnr,

g'(x)=_2-lnx

ng(x)m”=g(e*)，g(x)min>min.O,g^-j=0

((1^

=>-x>xlarxe\0,-,

IVe))

②过点(l，o),，，-J的直线为y=・(x—l),

贝！Jh^x)=——-(x-l)-xlnx

hfCx)-----lnr-1>0=/z(x)在上单调递增

e—1

=>/?(x)>/z(x-l)>xlorxe

③设直线卜=_》，y=」一(x—l)与y=a

e—1

从左到右交点的横坐标依次为毛=一。，x4=a(e-l)+l,

由图知W~x\>Z一七=4e+l.

④/(工)在犬=0-3,x=l处的切线分别为y=-2x—e-3,y=x-\,同理可以证得

_((\\

x-1<x\nxxe-2x-e-3<x\nxXG0,—

Il打

记直线y=。与两切线和/z(x)从左到右交点的横坐标依次为天，%/，%，

-3

e3。+2—e

x<x-X=(/Q+1、)--—--Q-----

2652

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.

19、(1)见解析；(2)y=0.48x+1.27

【解析】

(1)先判断得到随机变量4的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分

布列和期望.(2)由于去掉2015年的数据后不影响的值，可根据表中数据求出£；然后再根据去掉2015年的数据

后所剩数据求出a即可得到回归直线方程.

【详解】

(1)由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀.

由题意J的所有可能取值为0,1,2,3,

P—O)W=《，

r'C215

p("l)

c356

(S')C；5628

故J的分布列为:

0123

115155

P

56562828

15

所以魅=0xJ-+l>,"+2x”+3二二---.

565628288

(2)因为/=亍=6,所以去掉2015年的数据后不影响G的值,

亍)(乂一刃=34.5

所以2

Zg)2fX0.48.

6x8-64x8-329

又去掉2015年的数据之后±=

y-7--T

-29345

所以&=亨一版=N—tx6al.27,

772

从而回归方程为：9=0.48x+1.27.

【点睛】

求线性回归方程时要涉及到大量的计算,所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要

合理利用.本题考查概率和统计的结合,这也是高考中常出现的题型，属于基础题.

20、(1)区,=2〃+1,以=2"，(2)71=^-+1L

2"2〃+13

【解析】

(D设｛《,｝的公差为4,｛d｝的公比为4,由基本量法列式求出d,q后可得通项公式;

(2)奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和.

【详解】

(1)设｛q｝的公差为d,｛2｝的公比为9,由4+$2=10,%-22=生•得：

q+6+d-10\d=2

解得《

3+4d-2q-3+2d9=2

4=3+2（〃-1）=2〃+1,b“=2"T

（2）由q=3,=2〃+l得S“=〃（〃+2）,

211,

“为奇数时，％=不=-------r,〃为偶数时，*=2"T,

n〃+2

二4“=（。1+。3++。2,1）+（。2+C4++。2“）

=叫）+-）++（-i--一^）］+（2+2、+2-%i-^-+^z£）.^L+Md）,

2n-\2n+l2〃+l1-42〃+l3

【点睛】

本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前〃项和公式，

求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前〃项和公式得出相应结论.数列求和问题，对不是

等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组(并项)求和法，倒序相加

法等等.

21、(1)没有(2)分布列见解析，E(X)=2(3)证明见解析

【解析】

(1)根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..

(2)根据题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.

(3)因为至少8个的偶数个十字路口，所以2机.8,即机.4.要证3M..m(租-1)(租-2),即证V..，〃(〃­)(〃-2),

3

根据组合数公式，即证M..2G：,;易知有C,3>C)成立.设2m个路口中有p(p€N,p,,2巾)个路口种植杨树，下面

分类讨论①当〃e{0,1,2}时，由