2023-2024学年陕西省汉中市高二年级上册期末理科数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年陕西省汉中市高二上册期末数学（理）模拟试题

第I卷（选择题，共60分）

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上.

1.命题“Vx<0,x2+ax-1>0，，的否定是（）

A.3x>0,x2+ax-1<0B.3x>0,x2+ax-1>0

C.<0,x2+ax-1<0D.<0,x2+ax-1>0

【正确答案】C

【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“Vx<0,x2+ax-lZ0”的否定是

a3x<0,x2+ax-l<0.

故选：C

2.下列命题中，是真命题的是（）

A.如果a>b,那么4C>/）CB.如果a>b,那么a/>从产

C.如果。>6,那么q〉2D.如果a>6,c<d,那么

CC

a-c>b-d

【正确答案】D

【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.

【详解】对于A,如果c=0,那么ac=bc,故错误；

对于B,如果c=0,那么42=儿2,故错误：

对于C,如果c<0,那么色<2,故错误；

CC

对于D,如果c<d,那么一c>-d,由。>方，则a—c>b-d,故正确.

故选：D.

3.数列｛（｝中，6=5,4,川=%+3,那么这个数列的通项公式是（）

A.3〃—1B.3"+2C.37?—2D.3〃+1

【正确答案】B

【分析】由已知等式证明数列｛4｝为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.

【详解】因为％+1—a“=3,所以数列｛%｝是以5为首项，3为公差的等差数列，

则an=5+3(n-1)=3〃+2,〃eTV*.

故选：B

本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.

2

4,若椭圆£+/=1上一点力到焦点片的距离为2,则点/到焦点工的距离为()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】D

【分析】利用椭圆的定义有|工大|+|/月|=2。，结合已知即可求/到焦点巴的距离.

【详解】由椭圆方程知.。=3根据椭圆的定义有|/6|+|/月|=2。.

因为［44|=2,

所以|/工|=2a-|^|=6-2=4.

故选：D

5.记S“为等比数列｛4｝的前"项和.若S?=4,S4=6,则$6=()

A7B.8C.9D.10

【正确答案】A

【分析】根据题目条件可得S2，S「S”$6-S,成等比数列，从而求出S$-$4=1,进一

步求出答案.

【详解】•••s,为等比数列｛%｝的前八项和，

s2,S4-S2,$6—s4成等比数列

S2=4,S4-S2=6-4=2

S6-S4=1,

S6=1+S4=1+6=7.

故选：A.

6.设QER,则“2<Q<3”是“〃2一5〃一6<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】解出一元二次不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由6—5。—6<0可得<0,即一1<。<6,

则2<3是一6的充分不必要条件，

故选：A.

21

7.已知x>0,y〉0,且一+-=1,则x+2丁的最小值为()

yx

A.8B.9C.872D.972

【正确答案】B

(21、

【分析】利用x+2y=-+-(x+2y)展开结合均值不等式即可求解.

21,

【详解】因为一+—=1,所以

yx

x+2y=(-+^](x+2y)^—+^+5>2庐x>+5=9,

x)yxNyx

当且仅当——=上，即》=丁=3时等号成立，

yx

所以x+2y的最小值为9，

故选：B

'y+2>0

8.若满足约束条件，x-y+120,则z=x-2y的最小值为()

x<l

A.5B.1C.—3D.一5

【正确答案】C

|7

【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为^=5%-/在y轴截距取得最大值，利用

数形结合的方式可求得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

17

则当z=x-2y取最小值时，y=_X--在V轴截距取得最大值,

22

]2

由图象可知：当直线y=—x-一过A时，>轴截距最大，

22

x-y+1-0\x-\/、

由；得：c，即4。,2，-2x2=—3.

x=11y=2

故选：C.

2r2

9.函数/（1）=受的极大值为（）

e

„2832

A0B.-C.D.——

eee

【正确答案】C

【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得到极大值.

【详解】由题意得y，（x）=4x二"

由/网x）>0,得0<x<2；由/"（x）<0,得x<0或x〉2.

则/（尤）在（-8,。）和（2,+00）上单调递减，在（0,2）上单调递增，

Q

故/（X）极大值/（2）=7.

故选：C

10.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,，若#七=3,则%=（）

9598

C

-一-

A.2-87

10

【正确答案】A

【分析】根据等差数列前〃项和公式，及下标和性质得到品=1a、品一羽=3&+即）,

即可得到方程，计算可得;

【详解】解：由

S_11（4+%|）二1-85=&++〃11=（62~~道=3恁+《［），有

1卜6=3,a.9

得

3（。6+）aw2

故选：A

f+片

11.已知点4,8分别是椭圆C：=1(4>6>0)的右、上顶点，过椭圆C上一点P

向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点耳，且15〃。尸，则椭圆C的离心率为()

1V2D,也

A.-B-T

4V4

【正确答案】C

【分析】根据题意可得“(。，0),8(0,b),P(—c,Q)，再根据4//。方列式求解即可

a

由/8〃OP得：AB!1OP

所以一a-=—b・c

a

所以力二c

由。得：a=y[2c

所以e=£=Y2

a2

故选：C

12.圣•索菲亚教堂(英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始

建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996

年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照

打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任

何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找

到一座建筑物48,高为在它们之间的地面上的点M（8,/,。三点共线）

处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15。和60°,在楼顶A处测得塔顶。的仰角为30。，

则小明估算索菲亚教堂的高度为O

A.20mB.30mC.2075mD.

30V3m

【正确答案】D

【分析】由正弦得出再结合正弦定理得到CM,进而能求CD.

【详解】由题意知：NC4/=45°,N/MC=105°所以44cM=30°

ABAB

在Rt中，AM

sinZAMBsinl5°

.,±十计,e，曰4MCM匚C।AM-sin45°^5-sin45°

在/A\ACM中，由正弦定理得------=-------所以CM-------------=--------------

sin30°sin45°sin30°sin15°-sin30°

在RtDCM中,

（15百一15）・冬.亭枢

CD=CM-sin60°="・sin45。.sin60。

sinl50-sin30°V6-V2£

42

故选：D

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.不等式qx+>30的解集为_

X—1

【正确答案】{》卜<一3或》>1}

【分析】由题可得(x-l)(x+3)>0,进而即得.

【详解】由土二>0,得(工一1)(1+3)〉0,

x-1

所以x<-3或x〉l,

故不等式得解集为{x|x<-3或X>1}.

故{x[x<-3或x>1}.

14.在平面直角坐标系x帆中，若抛物线_/=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6,

则点尸的横坐标》=.

【正确答案】5

【分析】根据抛物线的定义和焦半径公式即可求解.

【详解】由题可知x+4=6nx=6-2=5.

22

故5.

15.若关于x的不等式/+(左-l)x+4>0对一切实数x恒成立，则实数上的取值范围是

【正确答案】(—3,5)

【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式△<(),利用所得不等式

求得结果.

【详解】不等式一+(左-l)x+4>0对一切实数x恒成立，

；.△=(左—1)2_]6<0n_4(左一1<4,解得：一3<女<5

故答案为.(-3,5)

22

16.设£，鸟是椭圆土+匕=1的两个焦点，尸是椭圆上的点，且归耳卜|列4=2：1,则

96

△耳尸耳的面积等于.

【正确答案】2百

【分析】先利用定义求出△耳尸鸟的各边，再求出sin/FFB=与，即可求出丛F\PF?的

面积.

【详解】由怛片|+|尸工|=6,且|尸耳卜忸闾=2：1,

：.|PG|=4,|Pg|=2,又忻鸟|=2次3=2百

4?+2?_(2G)

在△尸6鸟中，cos/与尸乙=

2x4x22

sinZFPFG

l2V

：.S=^\PF]\\PF2\sinZFlPF2=2^.

故2百

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

17.设P：实数x满足f-2a犬-3/<0（。>0）,q;2<x<4.

（1）若。=1,且P,9都为真命题，求x的取值范围；

（2）若夕是P的充分不必要条件，求实数”的取值范围.

【正确答案】（1）2Vx<3：

4

(2)。2—.

3

【分析】（1）解不等式确定命题P，然后求出?国中x范围的交集可得；

（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解.

【小问1详解】

。=1时，x2-2x-3<0>一l<x<3,即p：-l〈x<3,又q:2Vx<4,而P,q都为

真命题，所以2<x<3；

【小问2详解】

a>0,x2-2ax-3a2<0<=>-a<x<3a,

一a424

4是P的充分不必要条件，贝"、，且等号不能同时取得，所以a之二.

3a>43

18.焦点在x轴上的椭圆的方程为土+匕=1，点p（J5,l）在椭圆上.

4m

（1）求加的值.

（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

【正确答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长2近、焦距2及、离心率半

【分析1（1）根据题意，代入点尸（夜,1）,即可求解.

（2）由（1）,写出椭圆方程，求解“，仇c,根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义,

即可求解.

【详解】（1）由题意，点P（J5,1）在椭圆上，代入，

得叵+上=1，解得加=2

4m

（2）由（1）知，椭圆方程为L+匕=1,则4=2,6=夜,。=&

42

椭圆的长轴长2a=4；'

短轴长2b=2>/2：

焦距2c=2V2:

离心率e=£=——.

a2

本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，

属于基础题.

19.在48c中，已知角A,B,。的对边分别为“，b,c,且

2asin5cosC+2ccosZsin8=

（1）求角8的大小；

（2）若力8c为锐角三角形，且c=2a,b=\,求N8C的面积.

【正确答案】（1）（或告

（2）也

6

【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化

简可求出角B,

（2）利用余弦定理结合已知条件求出a，c,然后利用面积公式可求出三角形的面积.

【小问1详解】

因为2asin8cosC+2ccos/sin8=&>>

所以由正弦定理得2sin/sin3cosC+2sinCeos/sinB=6sinB

因为sinffw0,

所以sinAcosC+sinCcosA=

2

所以sin(4+C)=^^，所以sin8=^^，

因为Bw(0,〃)，所以8=工或4.

33

【小问2详解】

71

因为三角形48c为锐角三角形，所以8=一，

3

由余弦定理得，b2=a2+c2-laccosB，

因为c=2a,b=\,所以F=/+4/一2&.2a.eos工，

3

所以a=立，c=-.

33

所以三角形ABC的面积为工aesmB=」xxx-

22323"26

20.己知各项均不相等的等差数列｛q｝的前4项和为10,且弓吗，&是等比数列出｝的前

3项.

(1)求a“也;

(2)设c“=bn+",求｛c,｝的前〃项和Sn.

【正确答案】(1)an=n,"=2"T

(2)5„=2"-一—

"〃+1

【分析】(1)利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量力,”，从而利用公式法

依次求得见,4；

(2)结合(1)中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为(，则

因为，=1()，则4q+-y-d=10,即2q+3d=5,

又因为％,出,%成等比数列，所以见？=4。，即(q+dy=q(q+3d)，整理得/=4d,

又因为d00,所以％=d,

2a.+3d=5q=i

联立《,，解得

a]=ad=\

所以%=l+(〃_l)xl=n,

又4=q=l,b2=a2=2,也,｝是等比数歹|J,

所以4=3=2,则d=b0i=2"T.

h\

【小问2详解】

由(1)得％=2"、J=2"T+」--1―,

所以5“=20+21+…+2”|+(1—：+；—:++--一

I223nH+ly

lx(l-2w)11

1-2〃+1〃+1

所以数列｛%｝的前〃项和S“=2"-一片

21.已知函数/(X)=g办2-Inx—2(a€R)

(1)当。=1时，求曲线”X)在点(1,7(1))处的切线方程;

(2)讨论函数/(X)的单调性.

3

【正确答案】(1)y=-一

2

/(x)在(0,正)递减，在(互,+8)递增.

(2)aWO时，递减区间为(0,+=o)；当a〉0时,

aa

【分析】(1)求导数，利用导数的几何意义求曲线/(x)在点(1,处的切线方程;

(2)先求出函数的导数，通过讨论“的取值范围求出函数的单调区间.

【小问1详解】

当4=1时，函数/(x)=gx2_1nx_2,/"(x)=x-L,

7

"()=0,/(1)=-；，

曲线/(X)在点(1,7(1))处的切线方程为>=一|

【小问2详解】

r(x)=^^(x>o).

当aWO时，/'(x)<0,/(x)的单调递减区间为(0,+8)；

当a>0时，令/(刈=0=依2=lnx=也或》=一也(舍去),

aa

故当/'(x)<0nxe]0,,当/'(x)>0nxe,+°o，

22.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),

平行于。阳的直线/在y轴上的截距为加(m。0),/交椭圆于4,8两个不同点.

(I)求椭圆的方程；

(II)求机的取值范围；

(III)求证直线地，A"与工轴始终围成一个等腰三角形.

【正确答案】(I)—+^-=1；(II)-2(加<2且加。0；(III)证明见解析.

82

【分析】(I)设出椭圆方程=+4=1(。>6〉0)，根据题意得出关于的方程组，从

a'b

而求得椭圆的方程；

(H)根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交

点，利用A〉0即可求出机的取值范围；

(111)设直线K4,MB的斜率分别为左，依，根据题意把所证问题转化为证明木+依=0