2023-2024学年新疆泽普县高一年级上册期末考试数学试题

2023-2024学年新疆泽普县高一上册期末考试数学试题

一、单选题

1.6-1与6+1的等差中项和等比中项分别是（）

A.A±V2B.&C.瓜-&D.73,±2

【正确答案】A

【分析】结合等差中项与等比中项的定义即可求解.

【详解】4-1与1+1的等差中项是6T+G+I=A/L

2

6-1与6+1的等比中项是±J（V-1）（6+1）=±0

故选：A

2.已知直线《：《x+（a+2）y+l=0,4：x+ay+2=0,其中awR,则“。=一3”是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【详解】直线4的充要条件是a+（a+2）a=0，a（a+3）=0；.a=0或。=一3.故选A.

3.设x、＞eR,向量a=A=c=（3,-6,3）且q_L3，bile，则,+目=（）

A.2&B.2+C.4D.3

【正确答案】D

【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x、y的值，求出向量a+6的坐标，利用

空间向量的模长公式可求得结果.

【详解】因为aJ_c，则〃-c=3x-6+3=0,解得x=1,则a=（l』,l）,

因为b//c，则!=2,解得y=-2,即6=（1,—2,1）,

3—6

所以，。+/?=（2,-1,2）,因此，,+0=J4+1+4=3.

故选：D.

4.等差数列｛q,｝的前”项和S“，%=3,SU=66,则S9=（）

A.9B.12C.30D.45

【正确答案】D

【分析】由等差数列的通项公式与前”项和公式求得知,然后再由前〃项和公式结合等差数

列的性质计算.

【详解】｛凡｝是等差数列，

S”=11牝=66,a=6,d=—~—=1,

66—3

an=3+（〃-3）xl=〃,%=5,

S,)=9a5=9x5=45.

故选：D.

5.。为坐标原点，尸为抛物线C：/=8x的焦点，M为C上一点、,若1“尸1=8,则AWO产的

面积为（）

A.4白B.372C.8D.373

【正确答案】A

【分析】先根据定义求出点用的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点M的纵坐标，进而

求出面积.

【详解】由y2=8x可得抛物线的焦点F（2,。），准线方程为x=-2,

由抛物线焦半径公式知=+y=X,„+2=8=>XM=6,

将x=6代入=8x,可得y=±45/3，

所以AWO厂的面积为g|y|.OF=gx4Gx2=45^,

故选：A.

6.已知."C的周长为20,且顶点5（0,T）,C（0,4）,则顶点A的轨迹方程是（）

X—

A.=l(xw0)B.=l(xw0)C.-----F——=l(xw0)D.

36206202036

【正确答案】B

【分析】根据已知条件及楠圆定义求椭圆的标准方程.

【详解】错解：

•；△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),

，|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12,

V12>8,

•••点A到两个定点的距离之和等于定值，

点4的轨迹是椭圆，

a=6,c—4,

AZ?2=20,

・・・椭圆的方程是兰+片=1

2036

故选：D.

错因：

忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.

正解：

•••△A8C的周长为20,顶点8(0,-4),C(0,4),

.♦.|BC|=8,|A8|+|AC]=20—8=12,

V12>8,

.♦.点A到两个定点的距离之和等于定值，

.,.点A的轨迹是椭圆，

\"a=6,c=4,

.'.b2—20,

二椭圆的方程是-+^-=1(x^0)

2036

故选：B.

7.圆C：(x-l)2+V=4的点到直线y=-3的距离的最大值是()

A.1B.3C.5D.6

【正确答案】C

【分析】根据圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求出结果.

【详解】解：己知圆C：(X-1)2+/=4,圆心C(l,0),半径/•=2,

圆心至U直线y=-3的距离d=0—(—3)=3,

所以圆上的点到直线y=-3的距离的最大值是2+3=5,

故选：C.

8.如图在平行六面体ABCQ-ABCQ中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA,=2

且NAAO=NA4B=60。，则AC,=()

【正确答案】B

先求出A"，AD''AA,»AB-AD，AB■AA,,AD-AA］，再计算|Ag|即可.

【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱AA=2且NAAD=NAAB=60。,

则A启1I，AD=1'"：=4，ABAD=O>AB-

=|AB|-|A4I|-COSZS41AB=1,

ADAA1=|AD|-|Ml|-cosZ4AZ)=l,

则Ml

=\AB+AD+AAt\

=J(AB+AZ>+A41y

=yjAB'+AD+AA,'+2AB-A4,+2AB-AD+2AD-A4,

=71+1+4+2+0+2

=A/TO

故选：B.

本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.

二、多选题

9.已知等差数列11,8,5,贝IJ()

A.公差d=-3B.该数列的通项公式为4=-3〃+16

C.数列前10项和为-25D.-49是该数列的第21项

【正确答案】ACD

【分析】根据等差数列的定义，求出公差和通项公式，再利用前"项和公式即可求解.

【详解】由题意可知:4=11,"=8-11=-3；

二〃“=11+(〃-1)x(-3)=-3〃+14；

.。(ll-3n+14)/?25M-3n2

,•3”=—»

"22

.。250-300M

••5io=-------=-25；

由一3〃+14=T9,得〃=21.

故选：ACD.

10.已知双曲线£-[=1(。＞0)的左焦点耳与抛物线丁=-4缶的焦点重合，居是双曲线

a3

的右焦点，则下列说法正确的有()

A.抛物线的准线方程为x=l

B.双曲线的实轴长为4

C.双曲线的离心率为2

D.P为双曲线上一点若归耳|=不则|「用=5

【正确答案】BD

【分析】由抛物线方程得准线方程，得抛物线焦点坐标，从而得双曲线的焦点坐标，求得参

数”，得实轴长和离心率，由双曲线定义可求得点到焦点的距离归月|.

【详解】解：对于A,抛物线y2=-4，x的准线方程是x=",A选项错误；

对于B,抛物线y2=-4"x的焦点是(-J7,0),所以耳(一近,0),F,币,0),c=出,

在双曲线中/=/+〃，则片+3=7,解得。=2或a=—2(舍去)，

所以，双曲线的实轴长为2a=4,B选项正确；

对于C,双曲线的离心率e=£=也，C选项错误；

a2

对于D,由双曲线定义11mHp司=2〃，即|-|尸周=4,

171

解得「用=?或|「用=[<6-2（舍去），D选项正确；

故选：BD.

11.已知直线/：x+2阳+1=0,圆E：/+y2=3,则下列说法正确的是（）

A.直线/必过点（1,0）

B.直线/与圆£必相交

C.圆心E到直线/的距离的最大值为1

D.当〃?=；时，直线/被圆E截得的弦长为加

【正确答案】BC

【分析】利用直线和圆的相关性质求解即可.

【详解】易知直线/必过点故A错误；

点（-1,0）在圆E内，所以直线/与圆E必相交，故B正确；

111

圆心灰。0）到直线）的距离2=/",，当，〃=0时距离取最大值1,故c正确;

,1+4"/

当m时，直线/：x+y+l=0,则直线/被圆E截得的弦长为2卜-（五L下）=屈,故

D错误.

故选：BC

12.已知正方体ABCD-ABCA,棱长为1,E,尸分别为棱A8,CG的中点，则（）

A.直线AR与直线E尸共面B.\ELAF

C.直线AE与直线所的所成角为60°D.三棱锥G-A。尸的体积为上

【正确答案】BD

【分析】如图，以。为原点，以DACCOq所在直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系，

对于A,利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B,通过计算AbAF进行判断,

对于C,利用向量的夹角公式求解，对于D,利用匕,一心「=VA-CJDF求解.

【详解】如图，以。为原点，以。AOCOR所在直线分别为x，y，z建立空间直角坐标系,

则

0(0,0,0),4(1,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),D,(0,0,1),Ad,0,1),B,(1,1,1),C,(0,1,1),

对于A,假设直线AR与直线EF共面，因为平面〃平面OCGR,平面AEFR、|平

面ABB,At=AE,平面OCCQ0平面488M=%尸，

所以AE〃RF,

因为AE〃GR，所以GR〃〃E，矛盾，所以直线与直线EF不共面，所以A错误;

对于B,因为=

]]

所以AE4尸=0+万一5=0,所以AELAF,所以AELA尸，所以B正确，

对于C,设直线AE与直线斯的所成角为凡因为4七=(0,；,-1),8/

1

A.EBF21

所以cos。=k°s(AE8F)卜2=一丰一

52

A}E\\BF

所以。工60%所以C错误,

对于D,因为4)，平面OCG2,

所以Vci=%-cm=gsG*AO=gxgx；xlxl=、,所以D正确,

故选：BD.

三、填空题

13.设数列｛勺｝的首项4=-7,且满足qm=”“+2(“eN),则

67|+/+••*+67=.

【正确答案】153

【分析】根据递推关系式可得数列也｝为等差数列，根据等差数列的前八项和公式求解即可.

【详解】解：根据%=4,+2得到数列｛%｝是首项4=-7,公差"=%-4=2的等差数列

则%+%+…+%=17X(-7)+U*X2=153.

故153.

14.已知圆C的圆心是直线x-y+l=O与>轴的交点，且圆C与直线x+y+l=O相切，则圆

C的方程为.

【正确答案】x2+(y-l)2=2

【分析】求出圆心的坐标以及圆C的半径，即可得出圆C的方程.

【详解】在直线x—y+l=O方程中，令x=0,可得y=l,故圆心为C(O,1),

所以，圆C的半径为「=1勺=应.

因此，圆C的方程为x?+(y—1)2=2.

故答案为.丁+(>-1)2=2

15.过双曲线V-y2=l的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于P,Q

两点，则|PQ|=.

【正确答案】2立

【分析】由题意可知曲线为等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质可得答案.

【详解】由题意可知，«=1,b=\,c=&,双曲线是等轴双曲线，则两条渐近线的夹角

是90。，因为在直角三角形中，斜边中线是斜边一半，故|PQ|=2亚.

故2近

16.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角

形.帕斯卡(1623-1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600

年.这是我国数学史上的又一个伟大成就.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中

处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是

十分精彩的一页.下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里

就出现了.该表中，从上到下，第”行所有不同数的个数记为%,比如4=1,%=2,则数

列｛«„｝的前10项和为

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行

第6行1615201561

【正确答案】35

【分析】利用列举法列举数列的前10项，然后求和.

【详解】容易发现数列｛q｝的各项为：1,2,2,3,3,4,4,5,5...,故｛。“｝的前10项

和为(1+2++5)+(2+3++6)=35.

故35

四、解答题

17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.

(1)中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点坐标为(T,0)的等轴双曲线；

(2)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4,且它的一个顶点坐标为(0,2百).

【正确答案】(1)三-上=1

88

29

【分析】(1)设等轴双曲线的方程为二-3=l(a>0),根据双曲线的焦点坐标求出。的值,

即可得出双曲线的方程；

(2)求出“、b的值，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.

【详解】(1)解:设等轴双曲线的标准方程为二-4=l(a>0),则c=缶=4，可得a=2&，

a~a~

因此，所求双曲线的标准方程为右一《=1.

88

22

(2)解：设椭圆的标准方程为£+表■=1(〃>匕>0),贝Ijc、=2,b=2C，,-.a=^b2+c2=4>

因此，所求椭圆的标准方程为目+*=1.

1612

18.已知抛物线丁=2*(〃>0)的焦点为尸(2,0).

(1)求。.

(2)斜率为1的直线过点产，且与抛物线交于AB两点，求线段的长.

【正确答案】(1)4；(2)16.

(1)由题可得£=2,即可求出P；

2

(2)联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出.

【详解】(1)尸(2,0),则由抛物线性质得5=2,

P=4,y2=Sx,

即C的标准方程是)，2=8北

(2)由题意得，抛物线的焦点为-2,0),

，/的方程为y=x-2,A(X|,yJ,8(w，%)，

.V=8xnx2_]2x+4=0,

y=x-2

%1+x2=12,x}x2=4,

A|AB|=+-引="V122-4X4=16.

综上所述，线段AB的长度为16.

方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

(1)得出直线方程，设交点为4("X),B5,必)；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为内+%,X也形式；

（5）代入韦达定理求解.

19.在等比数列｛q｝中，

13

（1）已知4=3,=—,求〃9；

（2）已知4=6,64+为=30,求q+〃3+%++%.

【正确答案】（1）%=2187

（2）当［=2时,q+〃3+....+Q99=21（K）-1;当4=3时,弓十/+....+=――^-^=-——

【分析】（1）首先根据题意得到4=；,再根据%=6■求解即可.

（2）首先根据题意得到4=2或q=3,再分别求和即可.

13

【详解】（1）因为53=4+。2+%=耳，4=3,

131

所以4+34+9囚=不，解得

所以％=〃/=卜38=2187.

(2)%=6,6a]+673=30,所以*+44=3。,即/一5q+6=0,解得夕=2或q=3.

当4=2时，《=3,

所以4]+/+....+。99=-~=4'°—1=2IIK,—1•

当g=3时，4=2,

2(1-9W)3|00-1

所以4+/+....+。90=

1-94

20.如图，己知四棱锥P-A8CD的底面ABC。是正方形，侧棱PD,底面ABC。，PD=DC,

E是PC的中点.

p

c

A乜

B

（1）证明：PA//平面BDE；

（2）求平面8DE与平面DEC所成角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（D（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）以。为坐标原点，分别以D4,DC,£>P所在直线为x,y,z轴建立空间直

角坐标系，设PD=DC=2,则A（2,0,0）,尸（0,0,2）,£（0,1,1）,3（2,2,0）,

•1.PA=（2,0,-2）,DB=（.2,2,0）,DE=（0,1,1）,

设q=（x,y,z）是平面的一个法向量,

"i-DE=0y+z=0

则由，,得

吗。3=02x+2y=0

PA/ij=2—2=0,

PA.Lny,

又平面5。石，「.RV/平面瓦汨.

（2）由（1）知“=（1,一1』）是平面BDE的一个法向量,

又%=D4=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量.

设二面角B-OE-C的平面角为6,由图可知二面角B-OE-C为锐二面角，

1

cos^=|cos<>|="I=~y3一=—,即二面角8—DE—C的余弦值为.

1|।n,|■|n,|V3x233

21.在①S“=1+2〃；②的=5,%+“5=18；③卬=3,56=48这三个条件中任选一个，补

充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

问题：已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

4,、

(2)设“=门(〃6N,),求数歹IJ｛〃｝的前n项和T„.

a”

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】⑴4=2〃+1

⑵

〃+1

【分析】(1)选①由”“与S”的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求

解即可；

(2)由(1)可得-一]，利用裂项相消法求解即可

nn+\

【详解】(1)若选①：在等差数列｛〃〃｝中，4=岳=3,

当2时，an=S“-S〃_]="+2〃一(〃一I)之一2(〃-1)=2九+1,

%也符合，

=2〃+1；

若选②：在等差数列｛4｝中，

=5

[%+%二]8，

(4+d=5[a=3

向解得:0

[2。]+6〃=18[a=2

/.an=4=3+2（〃-l）=2〃+l；

若选③：在等差数列｛q｝中,

4=3

4=3

6x5，解得

S6=6q+《-d=48d=2

=4+（/2—l）d=3+2（〃—1）=2