2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期

中数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）已知3a=2b（abWO）,则下列各式正确的是（）

A.包上B.包萼C.曳AD.池上

b3b2323b

2.（2分）抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是（）

A.x=-1B.x=lC.x=-2D.x=2

3.（2分）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a

与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中6为2米，则a约为（）

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

4.（2分）将抛物线y=-2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是

（）

A.y=-2（x+1/+3B.y=-2（x-1）2-3

C.y=-2（x+1）2-3D.,y=-2（x-I）2+3

5.（2分）如图，已知请你再添加一个条件使得△ABCSZ\£>EF.则下

列选项不成立的是（

A.NB=NEB.ZC=ZFC.胆D.组

DEDFDEEF

6.（2分）如图，在平行四边形ABC。中，E是边BC上3等分点，AE交8。于点尸.则4

与△D4F的面积比为（）

A.AB.Ac.AD.A

3469

7.（2分）抛物线y=o?+bx+c经过点（1,0）,且对称轴为直线x=-l,其部分图象如图

所示.下列说法正确的是（）

A.ac>0B.b2-4tzc<0

C.9a-3b+c>0D.am2+bm<a-b（其中-1）

8.（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：机3）与旋钮的旋转角度x

（单位：度）（0〈启90）近似满足函数关系），=〃/+以+。（“#0）.如图记录了某种家用

燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量），的三组数据，根据上述函数模型和数据，

可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

九

0.09--------------------------rI

0.0725------------;：

0.06----------r----------）；

01------------!------------;——:-------►

255060二

A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为

（0,1）.此二次函数的解析式可以是.

10.（2分）如图，直线/1〃/2〃/3,直线/4,/5被直线人、上、/3所截，截得的线段分别为48,

BC,DE,EF.若A8=5,8c=6,EF=3,则DE的长是

11.(2分)将二次函数y=x^+2x-1化为y=(x-h)2+k的形式，结果为y

12.（2分）如图，/XAEC中，AE//BD,CD=8,OE=4,那么改=

AE

13.(2分)已知二次函数y=(x-2)2+3,若点A(0,yi)和8(3,”)在此函数图象上，

则yi与”的大小关系是jiJ2.(填“>"V”或“=”)

14.(2分)已知二次函数yuaf+fov+c(aWO)的部分图象如图所示，则关于x的一元二次

方程/+云+。=0(aWO)的解为.

15.(2分)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口8处立一根垂直

于井口的木杆8。，从木杆的顶端。观察井水水岸C,视线。C与井口的直径48交于点

E,如果测得AB=1.8米，80=1米，BE=0.2米，那么AC为米.

,D

16.（2分）如图，抛物线y=-，+2.将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作Ci,将x

轴下方的部分沿X轴翻折后记作C2,C1和C2构成的图形记作C3.

关于图形C3,给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，

且最小值为0；③当x>0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当

W2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.以上四个结论中，所

有正确结论的序号是

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第

27,28题，每小题5分，共68分）

17.（5分）已知二次函数y=7-4.

（1）求该二次函数图象的对称轴与顶点坐标；

（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点.

18.（5分）如图，在AABC中，ZC=90°,点。是AC上一点，£>E_L4B于点E.求证：

XABCs/\ADE.

A

19.（5分）如图，函数y=-/+6x+c的图象经过点A,B,C.求此函数表达式.

20.（5分）如图是边长为1的正方形网格，△481。的顶点均在格点上.

（1）在该网格中画出2182c2（aA252c2的顶点均在格点上），使222c2s△A1B1C1;

（2）说明282c2和△AiBCi相似的依据.

21.（5分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:

X-4-3-2-101234•••

y.•♦_50323,0m-6-21・・・

72~22

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求机的值；

（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象:

（4）根据图象，写出当y<0时，x的取值范围.

22.（5分）已知：如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,CD是AB边上的高.

(1)求证：AABC^ACBD；

(2)如果40=4,BD=3,求BC的长.

23.（6分）如图，在平行四边形488中，点E在BC边上，点F在。C的延长线上，且

NAEB=NF.

(1)求证：AABEsAECF；

(2)若AB=5,CE=6,BE=2,求FD的长.

24.（6分）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳

台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点4作水平线的

垂线为y轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线Ci：y=-*x2++l近似表示滑

雪场地上的一座小山坡，某运动员从点0正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物

线C2：y=-工/+6x+c运动.

8x

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线

C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）;

(2)在(1)的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡

的竖直距离为1米？

25.(6分)学习完《相似形》一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校

园内一棵树高，他们的方法如下：

如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5%的地面

上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1，”时，正好在镜中看见树的顶

端.小英估计自己的眼睛到地面的距离为16",则可测得大树的高度.

(I)请你根据上述方法求出树高；

(2)请你设计一个其他的测量方案，并简述方案.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=o?-2or+4(a>0).

(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标(用含”的代数式表示)；

(2)如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；

(3)如果Ayi),B(m,*),C(m+2,*)三点均在抛物线yuox2-2ax+4上,

且总有结合图象，直接写出机的取值范围.

yjk

5~

2345力

27.(7分)如图，。为四边形ABC。内一点，E为AB的中点，OA=OD,OB=OC,ZAOB+

ZCOD=180°.

(1)若NBOE=NBA。，AB=272-求OB的长；

(2)用等式表示线段。£和CO之间的关系，并证明.

AEB

28.(7分)对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值力都满足y

WM,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数

的上确界.例如，图中的函数y=-(x-3)2+2是有上界函数，其上确界是2.

(1)函数①y=/+2x+l和②y=2x-3(x<2)中是有上界函数的为(只填序号

即可)，其上确界为；

(2)如果函数y=-x+2(aWxWZ?,b>a)的上确界是b,且这个函数的最小值不超过

2。+1,求。的取值范围；

(3)如果函数y=/-2ar+2(1<XW5)是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值.

2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期

中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）已知3a=26（必#0）,则下列各式正确的是（）

A&2口「ab

~D■—二L•=JLz■=

b3b2323b

【分析】根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断.

【解答】解：：3a=2〃，

.•.包=2,A=k,所以4选项符合题意，B、C、。选项不符合题意.

b323

故选：A.

【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比

性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键.

2.（2分）抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是（）

A.X--1B.X—1C.x=-2D.x—2

【分析】直接根据抛物线顶点式即可求得.

【解答】解：抛物线y=（x-1）2+2,

对称轴为直线x=L

故选：B.

【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=a/+法+c（aWO）的顶点坐标是

2

（一且，4ac-b）,对称轴直线x=一且.

2a4a2a

3.（2分）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a

与全身匕的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中。为2米，则。约为（）

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

【分析】根据雕像的腰部以下a与全身6的高度比值接近0.618,因为图中匕为2米，即

可求出a的值.

【解答】解：二♦雕像的腰部以下。与全身匕的高度比值接近0.618,

.,.A^O.618,

b

,“为2米，

约为1.24米.

故选：A.

【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义.

4.(2分)将抛物线y=-2?先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是

()

A.y=-2(x+1)2+3B.>>=-2(x-1)2-3

C.y=-2(x+1)2-3D.y=-2(x-1)2+3

【分析】由抛物线平移不改变二次项系数”的值，根据点的平移规律“左加右减，上加

下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式.

【解答】解：原抛物线的顶点为(0,0),向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，

那么新抛物线的顶点为：(1,3).

可设新抛物线的解析式为y=-2(x-h)2+%,代入得y=-2(x-1)2+3.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.解决本题的关键是得到新抛物线的顶点

坐标.

5.(2分)如图，已知请你再添加一个条件使得△ABCs/XOEF.则下

列选项不成立的是()

A.NB=NEB.ZC=ZFC.坐至D.坐

DEDFDEEF

【分析】根据相似三角形的判定方法即可得以解决.

【解答】解：：/4二/。，

，当添加条件NB=NE时，则△ABCs/SOEF,故选项A不符合题意；

当添加条件NC=/F时，则△ABCS/V）EF,故选项8不符合题意；

当添加条件上殳望时，则△ABCS/^OER故选项C不符合题意；

DEDF

当添加条件幽型时，则ABC和△£>£/"不一定相似，故选项。符合题意；

DEEF

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的

判定方法解答.

6.（2分）如图，在平行四边形ABC。中，E是边BC上3等分点，AE交BD于点F.则^

BE尸与△£>?!尸的面积比为（）

3469

【分析】利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出△BEFSAOAF,进而求出

答案.

【解答】解：在平行四边形48C。中，E是BC上的3等分点，

J.AD//BE,AD=BC,BE=X\D,

3

：./\BEF^/\DAF,

S

.ABEF（_BE）2=（工）2=』，

2ADAF仙39

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△8EF

s/\D4F是解题关键.

7.（2分）抛物线>=苏+笈+，经过点（1,0）,且对称轴为直线x=-l,其部分图象如图

所示.下列说法正确的是（)

A.ac>0B.b2-4«c<0

C.9a-3b+c>0D.am^+bmVa-b（其中-1）

【分析】利用抛物线开口方向得到a<0,利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0,则可

对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,

0）,则根据判别式的意义可对8选项进行判断；由于苫=-3时-，），=0,则可对C选项错

误；根据二次函数的最值问题可对。选项进行判断.

【解答】解：•••抛物线开口向下，

；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

.,.c>0,

：.ac<0,所以A选项错误；

•••抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,

...抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0）,

△=/-4ac>0,所以B选项错误；

"."x--3时，y=0,

：.9a-3b+c=0,所以C选项错误；

Vx=-1时，y有最大值，

Aam+bm+c<a-b+c,

即am1+bm<a-b,所以。选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y^ax2+hx+cQ六0）,

二次项系数〃决定抛物线的开口方向和大小.当”>0时，抛物线向上开口；当“<0时,

抛物线向下开口；一次项系数匕和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与匕同号

时（即而>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在）,轴右.常数

项C决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,C）.抛物线与X轴交点个数由

△决定：A=62-4M>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=b2-4ac=0时，抛物线与

x轴有1个交点；A=/-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

8.（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：加3）与旋钮的旋转角度x

（单位：度）（0<xW90）近似满足函数关系丫二一+加什。（aWO）.如图记录了某种家用

燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，

可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

九

0.09--------------------------rI

0.0725------------;：

0.06----------r----------）；

01------------!-----------;——:--------►

255060二

A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°

【分析】用待定系数法求出解析式，再用二次函数性质即可得到答案.

【解答】解：把（25,0.725）,（50,0.06）,（60,0.09）代入>=0x2+—+°得：

'625a+25b+c=0.0725

,2500a+50b+c=0.06）

3600a+60b+c=0.09

'a=0.0001

解得<b=-0.008>

c=0.21

Ay=0.000lx2-0.008x+0.21=0.0001（x-40）2+0.05,

V0.0001>0,

，x=40时，y最小为0.05,

燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°,

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析

式.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与）♦轴的交点坐标为

(0,1).此二次函数的解析式可以是y=，+l.

【分析】二次函数的解析式是y=/+6x+c(°、氏c为常数，。#0),根据开口向上得出

“为正数，根据与y轴的交点坐标为(0,1)得出c=l,写出一个符合的二次函数即可.

【解答】解：答案不唯一，如：y=/+l,

故答案为：y=7+l.

【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键.

10.(2分)如图，直线/1〃/2〃/3,直线/4,/5被直线/1、12、/3所截，截得的线段分别为AB,

BC,DE,EF.若AB=5,BC=6,EF=3,则DE的长是2.5.

【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【解答】解：,••直线/1〃/2〃/3,

.AB=DE>

"BCEF"

；AB=5,BC=6,EF=3,

•_5=DE；

'"6T'

：.DF=2.5,

故答案为：2.5.

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关

键.

11.(2分)将二次函数y=/+2x-1化为y=(x-A)?+左的形式，结果为v=y=(x+1)

2-2.

【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方

式，把一般式转化为顶点式.

【解答】解：y=x2+2x-I

=x1+2x+\-1-1

=(x+l)2-2.

故答案为：y=(x+1)2-2.

【点评】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式:

(1)一般式：y=ax2+bx+c(aWO,a、b、c为常数)；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k；

(3)交点式(与x轴)：y=a(JV-XI)(x-X2).

12.(2分)如图，△AEC中，AE//BD,CD=8,QE=4,那么毁=2

AE-3-

【分析】由线段的和差关系可得CE的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案.

【解答】解：VCD=8,DE=4,

，CE=12,

"：AE//BD,

：./\CBD^/\CAE,

.BDCD_8__2

，,AE=CE

故答案为：2.

3

【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

13.(2分)已知二次函数y=(%-2)2+3,若点A(0,yi)和B(3,”)在此函数图象上,

则W与”的大小关系是yi>V2.(填或“=”)

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出)1,竺的值，比较后即可得出结论.

【解答】解：：点A(0,yi)、B(3,")是二次函数y=(x-2)2+3图象上的两点，

•*.yi=7,”=4・

•*.yi>y2.

故答案为：>.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征

求出“，”的值是解题的关键.

14.(2分)已知二次函数了=/+以+。(〃W0)的部分图象如图所示，则关于x的一元二次

方程/+法+0=。(〃W0)的解为xi=6,X2=-2.

y

【分析】抛物线的对称轴为x=2,抛物线和x轴的一个交点为（6,0）,则根据函数的对

称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（-2,0）,即可求解.

【解答】解：•抛物线的对称轴为x=2,抛物线和x轴的一个交点坐标为（6,0）,

则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（-2,0）,

则关于x的一元二次方程/+云+。=0（aWO）的解为x=6或-2,

故答案为：xi=6,X2—-2.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，

属于中考常考题型.

15.（2分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口8处立一根垂直

于井口的木杆8Q,从木杆的顶端。观察井水水岸C,视线。C与井口的直径AB交于点

E,如果测得AB=1.8米，30=1米，3E=0.2米，那么AC为8米.

【分析】根据平行线的判定定理得到BO〃AC,于是得到△ACEs^BDE,相似三角形的

性质定理即可得到结论.

【解答】解：'：BD±AB,ACLAB,

：.BD//AC,

二/XACE^^BDE,

•AC=AE

"BDBE'

：AB=1.8米，8。=1米，BE=0.2米，

；.AE=A8-BE=1.6米，

•••A—C—-_1.69

10.2

；.AC=8（米），

故答案为8.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键.

16.（2分）如图，抛物线y=-7+2.将该抛物线在*轴和x轴上方的部分记作C1,将x

轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2,C1和C2构成的图形记作C3.

关于图形C3,给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，

且最小值为0；③当x>0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当-2Wx

W2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.以上四个结论中，所

有正确结论的序号是①②④.

【分析】画出翻折后的C2,然后根据图形即可判断.

【解答】解：①由图形可知，图形C3关于），轴成轴对称，故正确；

②图形C3有最小值，且最小值为0,故正确；

③当x>0时，图形C3的函数值先随着x的增大而减小，当函数值为0后，再随x的增

大而增大，故③错误；

④当-2WxW2时，图形C3恰好经过（-2,2）,（-L1）,（0,2）,（L1）,（2,2）

共5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故④正确，

所以，①②④是正确的结论.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键.

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第

27,28题，每小题5分，共68分）

17.（5分）已知二次函数y=/-4.

（1）求该二次函数图象的对称轴与顶点坐标；

（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点.

【分析】（1）由二次函数顶点式求解.

（2）分别将x=0,y=0代入解析式求解.

【解答】解：（1）••）=7-4,

.•.抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,-4）.

（2）将>,=0代入y=x2--4得0=7-4,

解得x\=-2,X2=2,

抛物线与x轴交点坐标为（-2,0）,（2,0）,

将x=0代入y—x2,-4得y=-4,

.,.抛物线与y轴交点坐标为（0,-4）.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

18.（5分）如图，在△48C中，ZC=90°，点。是AC上一点，DE_LAB于点E.求证：

△ABCs^ADE.

【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案.

【解答】证明：♦.•CELA8于点E,

...NAE£>=/C=90°.

乙4=乙4,

：./\ABC^AADE.

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形判定，本题属于中等

题型.

19.(5分)如图，函数y=-/+fcc+c的图象经过点A,B,C.求此函数表达式.

【分析】把A、8的坐标代入y=-7+bx+c,求得氏c的值，利用待定系数法即可求得

函数的表达式.

【解答】解：：函数y=-/+fer+c的图象经过点A,B,C,A(-1,0),B(0,3),

/f-l-b+c=0解得(b=2,

1c=31c=3

.,.此函数表达式为y=-/+2x+3.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关

键.

20.(5分)如图是边长为1的正方形网格，△48iCi的顶点均在格点上.

(1)在该网格中画出282c2(Z\A282c2的顶点均在格点上)，使AA222c2s△A1B1CI；

(2)说明282c2和△A1BC1相似的依据.

【分析】（1）利用相似三角形的判定画出图形即可;

（2）根据三边成比例两三角形相似判断即可.

【解答】解：（1）如图，282c2即为所求；

（2）相似的理由是三边成比例两三角形相似.

【点评】本题考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考

题型.

21.（5分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:

X•••-4-3-2-101234…

・・・

y•••_50323,0m-6.21

~22~22

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求〃？的值；

（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象;

（4）根据图象，写出当yVO时，x的取值范围.

,厂--:--一厂--1一寸〜

>x

【分析】（1）先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为y=a（x+1）2+2,然后将点（1,

0）代入求出a的值，从而得解；

（2）将x=2代入函数解析式计算即可得解；

（3）根据二次函数图象的画法作出图象即可；

（4）根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可.

【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（-1,2）,

所以，设这个二次函数的表达式为（x+1）2+2,

•.,图象过点（1,0）,

：.a（1+1）2+2=0,

.'.a--A,

2

.•.这个二次函数的表达式为丫=（x+1）2+2；

2

（2）x=2时，〃?=-工（2+1）2+2=-5；

22

（3）函数图象如图所示；

(4)y<0时，x<-3或x>l.

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函

数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键.

22.(5分)己知：如图，在中，ZACB=90°,CC是AB边上的高.

(1)求证：AABCsACBD；

(2)如果49=4,BD=3,求BC的长.

【分析】(1)由于NACB=/COB=90°,NB=/B,从而可证明△ABCs/sCBD；

(2)根据已知可求出A8=7,根据相似三角形的性质，从而可求出8。的长度.

【解答】(1)证明：：NACB=90°,CQ是AB边上的高，

，NACB=/88=90°,

又,：NB=NB,

.♦.△ABCs/XCB。；

(2)解：VAD=4,BD=3,

：.AB=1,

'：△ABCs/\CBO,

•ABBC

"CB"BD'

•••BC=VAB»BD=V7X3=V21.

【点评】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与

判定，本题属于中等题型.

23.(6分)如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点/在。C的延长线上，且

ZAEB=ZF.

(1)求证：△ABES^ECF；

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB〃CO故/ABE=NECF,再由NAE8=N尸

即可得出结论；

（2）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论.

【解答】（1）证明：•..四边形ABCZ）是平行四边形，

.,.AB//CD,

：.NABE=ZECF.

'：NAEB=NF,

：.丛ABEsXECF.

⑵解：，：MABEsl\ECF,

•.•-A-B=-B-E,

CECF

•・•-5=--2-»

6CF

，CF=£,

5

：.DF=DC+CF=AB+CF=5+^-=^L.

55

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解

答此题的关键.

24.（6分）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳

台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的

垂线为y轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线Cl：y=-卷乂2++1近似表示滑

雪场地上的一座小山坡，某运动员从点。正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物

线C2：y—-工/+bx+c运动.

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线

C2的函数解析式（不要求写出自变量X的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡

的竖直距离为1米？

【分析】（1）根据题意将点（0,4）和（4,8）代入C2：尸-12+版+0求出6、。的值

8

即可写出C2的函数解析式；

（2）设运动员运动的水平距离为〃?米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得:

-Aw2+.5.7n+4-（-_L_W2+XW+I）=1,解出zn即可.

82126

【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y=-1^+bx+c过点（0,4）和（4,8）,将

-8

其代入得：

'c=4

<12,

4-X4^+4b+c=8

o

解得：｛D2，

c=4

...抛物线C2的函数解析式为：），=-"+当+4；

82

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得:

-^nr+—m+4-（--L-m2+J_m+1）=1,

82126

整理得：（机-12）Cm+4）=0,

解得：nn=12,m2—-4（舍去），

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米.

【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能

将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键.

25.（6分）学习完《相似形》一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校

园内一棵树高，他们的方法如下：

如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5机的地面

上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1〃？时，正好在镜中看见树的顶

端.小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6切，则可测得大树的高度.

（1）请你根据上述方法求出树高；

（2）请你设计一个其他的测量方案，并简述方案.

【分析】（1）入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对

应边成比例可求得树高；

（2）在距离树A8的〃米的C处，用测角仪测得仰角a,测角仪为CD再根据仰角的

定义，构造直角三角形AOE,利用三角函数计算可得答案.

【解答】解：（1）:NABC=NDBE,/ACB=/£）EB=90°,

AABCS^DBE,

：.BC：BE=AC：DE,

即1：5=1.6：DE,

***DE=8〃2,

大树的高度为8〃?；

（2）在距离树A8的。米的C处，用测角仪测得仰角a,测角仪为CD

再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE,求得树高出测角仪的高度AE,则树高为

AE+BE.

【点评】本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据

对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

26.（6分）在平面直角坐标系，中，已知抛物线y=o？-2ax+4（a>0）.

（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含。的代数式表示）；

（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；

（3）如果4（/n-1,yi）,B（〃?，1y2）,C（m+2,y?）三点均在抛物线丫=--2ax+4上,

且总有结合图象，直接写出机的取值范围.

【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；

（2）根据题意4=（-2a）2-4aX4=0,解得a=4,即可得到抛物线的表达式为y=

47-8x+4；

m~l+m+2

（3）根据题意得到（-2-A解不等式组即可.

l-m<Cm+2_1

【解答】解：（1）；y=ax2-2ax+4=a（x-1）2-a+4,

该抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,4-。）；

（2）；抛物线的顶点恰好在x轴上，

方程ax2-26+4=0有两个相等的根，

；.△=（-2a）2-4。义4=0,

解得"=4或a=0（不符合题意，舍去）,

，抛物线的表达式为y=4,-8x+4；

(3)V«>0,

・•・抛物线开口向上，

VA(加-1,yi)、B(m,”)、C(nz+2,p)为该抛物线上三点，且总有y\>p>y2,

抛物线的对称轴为直线x=l,

nrl+m+2<

：.i21,

解得0<小<」.

2

：.m的取值范围是0〈mV」.

2

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，

二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

27.(7分)如图，。为四边形ABC。内一点，E为AB的中点，0A=。。，0B=0C,ZA0B+

NC0£)=180°.

(