湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高三年级上册10月联考数学试题含答案

湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考

数学答案

l.B2.A3.B4.A5.B6.C7.D8.C9.ABDW.ACDW.AB12.BC湖北省重点高

中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考

数学试题

命题学校：新洲一中(邦城校区)命题人：黄宏斌审题人：陈双雄

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一

项。

1.设集合M={x|x=,+eZ},N={x|x=：+eZ},则()

A.M=NB.MUN=NC.N曙MD.MCN=0

2.已知命题p：3x6[-1,3],/一。一3wo.若p为假命题，则a的取值范围为()

A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(—8,6)D.(—8,0)

3.已知Q<bVc且a+2b+4c=0,则2的取值范围是()

a

A.(-8,一》B.(一?1)C.(0,》D.&1)

4.已知函数/(%)满足/(%)+2/(-%)=4%,则f(2)等于()

A.-8B.8C.-6D.6

5.已知角a终边上一点P(—2,3),则"S(/a)sin(m+a)的值为()

cos(7r-a)sin(3zr+a)

6.设函数/"(x)=竺过+(x-a)2(xeR),若关于x的不等式/(x)＜尚有解，则实数a的值为()

1617

7.已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且a・cosC+V3a-sinC-b-c=0,则A=()

7T7T2n

A.B.C.

263

8.己知定义在R上的函数/(x)的图像关于直线x=l对称，且关于点(2,0)中心对称。设

g(x)=(x-l)/(x).若g(23)=88,£管0。)=()

A.4040B.4044C.4048D.4052

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.定义在实数集上的函数D(x)=fl'x为有理上数?称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄

为无理数

利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数。(乃的说法中正确的是()

A.D(x)的值域为{0,1}B.O(x)是偶函数

C.存在无理数",使D(x+to)=C(x)D.对任意有理数3有D(x+t)=D(x)

10.已知函数/(均=1211(3%一£)(3>0),则下列说法正确的是()

A.若/'(X)的最小正周期是2兀，则3=g

B.当3=1时，f(x)的对称中心的坐标为(/OT+9O)(kez)

C.当3=2时，f(d)>/'闺

D.若/(X)在区间卷，兀)上单调递增，则0<3«|

11.设函数/(x)的定义域为。，如果对任意的右6。，存在X26。，使得曲等经2=c(c为常数)，

则称函数y=/(x)在。上的均值为c,下列函数中在其定义域上的均值为2的有()

A.y=x3B.y=tanxC.y=2sinxD.y=V4—x2

12.已知函数/(%)=-久3+2/-3%,若过点P(-2,7n)(niEZ)可作曲线y=f(x)的三条切线，则？n

的值可以为()

A.3B.4C.21D.22

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知问1,8],则函数f(%)=%+：的最大值与最小值的和为.

14.函数y=2sin(一2x+习+1最小正周期为______.

15.若函数/(x)=loga(-/+ax+l)(a>0且a于1)在(2,3)是减函数，则实数a的取值范围

是.

16.有这样一个事实:函数y=log±x与y=(有三个交点为(；小,P?&；)，03在直线y=x上。一

般地，我们有结论:对于函数y=log。与/=标的图像交点问题，当0<a<e-e时，有三个交点，

当e-e<a<1时有一个交点；借助导数可以推导：当1<a<?时有两个交点，当a=?时有一个

交点，当a>?时没有交点；先推导出？的值，并且求：关于x的方程/x-3nx=0在(0,+8)上只

有一个零点，t的取值范围为_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

设(7=/?,A—{x\x2—4x+3<0},B={x|<0},C-{x|a<x<a+l,aGR}.

(1)分别求AnB,AU(CuB)；

(2)若BUC=B,求实数a的取值范围.

18.(本小题12分)

已知函数/"(X)=盘雪①6R)为R上的奇函数，

(1)求实数a的值；

(2)判断函数f(x)的单调性并证明；

(3)设函数g(x)=?x+b,b6R,若对任意的久16[0,1],总存在%26[0,1]，使得g(Xi)=3f(X2)成立，求

实数b的取值范围。

19.(本小题12分)求值：

(l)sin40°(V3-tan10°)

(2)sin210o+cos240°+sinl00cos40°

20.(本小题12分)

现有大小相同的7个红球和8个黑球，一次取出4个。

(1)求恰有一个黑球的概率；

(2)取出红球的个数为X,求X的分布列和数学期望;

(3)取出4个球同色，求全为红球的概率。

21.(本小题12分)

在AABC中，B=p点D在边AB上，BD=2,且DA=DC.

(1)若ABCD的面积为2次，求边CD的长；

(2)若AC=2倔求NDCA.

22.(本小题12分)

己知：函数/(x)=xlnx,(x>0)

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)证明：ex-2x>x/(x)：(参考数据：e2«7.39,e3«20.09)

(3)若不等式/(x)S—/+5+1次-<1的解集中恰有三个整数解，求实数a的取值范围。(第三问

直接写出答案，不需要详细解答，参考数据：ln270.6931,ln3,1.0986)

13.1614.n15.[1,4]16{t|-eKt<0勘=3

12.解法一://(x)=-3x2+4x-3,设切点为Qo,一瑞+2瑞-3x(j),

4

则切线方程为y+瑞-2%o+3x0=(-3%o+%0-3)(x-x0)>

将x=-2,y=?n代入得，m=2端+4诏-8x0+6,

令g(%)=2x3+4%2—8%+6,则g'(%)=6x2+8x-8=2(%4-2)(3%—2),

・•.x>|或x<—2时，，(%)>0,当—2<x<|时,g'(x)<0,

故函数g(x)的单增区间为(一8,-2)和管,+oo),g(x)的单减区间为(-2,1),

•1.g(x)的极大值为g(-2)=22,极小值为g(|)=g,

由题意知，^<m<22,又小为整数，

：.m=4,5,......20,21

解法二：f'(x)--3x2+4x-3,/''(x)=-6x+4,.•.函数/(x)的对称中心坐标为P(|,/(|))

=(|，-§).函数“X)在点p处切线方程为y-(-招)=/'©(■》即为y+骂=一沁_|)，再令

x=—2,得丫=畀又/(—2)=22,由题意知，g<m<22,又m为整数，

・•・m=4,5,...20,21

16.(1)当a>1时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线y=x上，设切点横坐标为&，由

导数几何意义可知就花=ax°Tna=1,二ax°=e,lna=a=《；

(2)由e'x=/nx,可得(e')x=logetx,令e，=a,则loga%=谟(0<a且a芋1),

由提供的信息可得，e-ewa=<1或a=et=£，二｛t|"eWt<0或t=；｝

2

17.解：(1)vA={x\x—4%4-3<0},AA=(1,3),.................................(1分)

又由号W0，得Q-2)0-4)<0,且(x-4)H0B=[2,4),..................(3分)

：.AOB=[2,3),.................................(4分)

,­,C(jB=(-oo,2)U[4,+oo),

AU(CyB)=(-a>,3)U[4,+<»)；................(6分)

(2>BUC=B,•••CUB,.............................(7分)

又•；C=[a,a+1],B=[2,4),

•'•I詈力解得2口<3,.............................(9分)

lQ+1V4,

・•・实数a的取值范围为[2,3)..............................(10分)

18.解:(1)•.・函数f(x)是奇函数，=-/0).................................(1分)

即|^=一落，整理有对于Vx€R,(l+a)(2x+1)=(),.•.a=-1......................(4分)

(此处用-0)=0得出a=-1的如果没有验证函数/(x)是奇函数的扣2分)

(2)函数"X)在R上单调递增，证明如下：............(5分)

.•"(》)=舒1一岛，13=需急°，

••・函数/'(X)在R上单调递增..........(8分)

用单调性定义证明的同样给分。

（3）设人={y|y=g（x1）,xie[0,1]},B={y|y=3/（x2）,x2e[0,1]）,

有条件可知，AcB（9分）

由（2）问可知,y=3/（x2）在不6[0,1]时单调递增，=[0,1],..........（10分）

,1（b>0i

又•••A=[r叱+b],；.,+bv,0WbW5..........（12分）

19.解：（1）sin40°（V3-tan10°）=sin40°（V3-..........（1分）

•.ozV3cosl0o-sinl0\..2sin（60°-10°）2cos400sin80°（4、

=sin4A℃―—）=9口40no。Msl。。=smA40ao7^7=-=1..........（6分）

（2）方法一：sm210°+cos240°+sml0°cos40o=lc^s20++-snisojs,nso...（8分）

cos80°-cos200+sinS00cos80°-cos200+sin500

22

3,cos650o+30°；-cos（50°-30。）+sin50。33

-+------------------------------------------------------=—4-0=-.....（12分）

4244

方法二：构造对偶式

2222

设m=sin100+cos40°4-sinl0°cos40°/n=cos100+sin400+cosl0°sin40°,贝！J...（8分）

m+n=2+s讥50°,n—m=cos20°—cos800+s讥30°,则

2m=2-i+sin500-cos20°+cos800=m=-.....（12分）

224/

方法三：构造三角形，令外接圆半径为右则由正弦定理可得

则a=sml0°,b=cos40°=sm50°,c=sinl20°，再由余弦定理，

O

c2=a2+h2-2abcosC=sm210°+sm250°—2sml00sin500cosl20°=sin2120°=-

4

……（12分）

20.解：（1）记事件A="求恰有一个黑球〃，则由古典概型公式可得

PG4）=^=*.....（3分）

（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,.....（4分）

P（x=0）=4=--P（X=1）=,P（x=2）=^=里，

'，第539'7脸195,脸195

P（X=3）=警=P（x=4）=导=*,X的分布列如下：.....（7分）

c

G153V15J?

（概率对了一个给1分，不超过7分，此处没有约分的不扣分）

X01234

P2568481

391951953939

「八7、-2-56_84_8136428/c八\

E（X）=0x—+1x——i-2x—+3x—+4x—=—=—.....（9分）

',39195195393919515

（此处没有约分的扣1分）

（3）记事件B=”取出4个球同色，求全为红球”，则由条件概率公式有

p⑻=扁=4...........(12分)

21.解：(1)

在ABCD中，SABCD=|BD-BC-sin/DBC=2K，且BD=2,zDBC=1,可得BC=4(2分)

在ABCD中，由余弦定理有，DC2=DB2+BC2-2DB-BGCOSNDBC=12,

••.DC=2V3.......(5分)

(2)记NDCA=6(0,勃，贝!|NBDC=2。,，NDAC=a/BCD=与一20,

ZADC=n—20；（6分）

记AD=DC=m/BC=a,

BCBDCD2

在ABCD中，由正弦定理有嬴玄（7分）

Si/lZ-DUC.sinzBCDsin/DBC'sin20-sin(普-29)15讥为

ACAD

26m

在AACD中，由正弦定理有嬴嬴（8分）

一sinzACDsin26siW

2

'''msin28=2於sinS=a呜a=4sin0,即有鬻=2（分）

sm(羊一26)cose'9

・•・5in(y-20)=cos0=sin^+g),J.NDCA=。哥或《（12分）

（掉了一个解扣2分）

22.解：(1)•••/(x)=xlnx,(x>0)/Q)=inx+1,

令/(x)=0,可得x=5列表如下：..........(1分)

X1

G)e

八乃—0+

f(x)极小值一工t

e

...........（2分）

・••/（无）的单调递减区间为（0,》，单调递增区间为C，+8），极小值为-%无极大值。

（“无极大值”掉了的扣1分）……（4分）

（2）解法1：要证e*-2x>%,x/nx,只需证‘Inx（对数靠边走）.....（5分）

X2

设g（x）=三手-Inx,则g（x）=1-X管-2）,易知［/>x+1>x，令g（x）=0,可得x=2，列表如

下：……（6分）

X(0,2)2(2,+oo)

—0+

g'(x)