第4讲 充分条件与必要条件（教师版）-高一数学同步讲义

第04讲充分条件与必要条件

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课程标准课标解读

1.理解充分条件、必要条件、充分必要条

1.能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的

件的意义与具体要求.

形式进行判断.

2.会判断命题成立的充分、必要、充分必

2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明.

要条件.

趣、一知识精讲

■'知识点01充分'必要，充要条件的判断

充分条件、必要条件和充要条件：

定义法：(1)充分条件：若p=q,则P是4充分条件.

(2)必要条件：若qnp,则p是q必要条件

(3)充要条件：若pnq,且qnp,则p是q充要条件，即：poq

〃是q充分不必要条件：p=g，且乡力〃

〃是q必要不充分条件：q=p,且。去4

p是q既不充分又不必要条件：P至qAq书P

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

逆否法：

设“若p,则(?”为原命题，那么：

①原命题为真，逆命题为假时，p是g的充分不必要条件；

②原命题为假，逆命题为真时，?是g的必要不充分条件；

③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；

④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件.

集合法：从集合的观点看，建立命题p,夕相应的集合：p：4={x|p(x)成立},<7：B={x|q(x)成立},那

么：

①若AUB,则p是q的充分条件；若4是8的真子集时，则p是q的充分不必要条件;

②若8UA,则p是q的必要条件；若B真子集是A时，则p是q的必要不充分条件；

③若AUB且BUA,即A=B时，则p是q的充要条件.

（3）等价转化法：

【微点拨】判断充分、必要、充要条件的方法：（1）直接利用定义来判断，但要分清哪个是条件，哪个是

结论；（2）p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件.

【即学即练1】.已知命题P：三角形是等腰三角形，命题4：三角形是等边三角形，则p是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件的定义，即可得出结论.

【详解】等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，

“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件.

故选:B.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.

【即学即练2]x=2是-d+3x—2=0成立的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】解方程求得一/+3%—2=0的的充分必要条件，然后进行判定即可.

【详解】一了2+3%—2=0即f-3x+2=0,（x—l）（x—2）=0,即％=1或x=2.

二x=2是一f+3x—2=0成立的充分不必要条件，故选：A.

【点睛】

本题考查充分、必要条件的判定，解方程求得-f+3x-2=0的的充分必要条件，然后进行判定.

式、知识点02利用充分'必要'充要条件求待定参数

【微点拨】利用命题成立的条件求待定参数时一定要准确判断题设与结论的正确关系或者准确利用两者的

关系后，再利用两者的关系（集合间的关系）进行求参数的运算.

【即学即练3】已知p：-14》<2,4：2。4》</+1,若"是4的必要条件,则实数4的取值范围是（）

A.a<—\B.-1<«<--C.--<a<\D.--<a<1

222

【答案】D

（分析】由。是4的必要条件，列不等式组，可得实数a的取值范围.

-1K2cl1

【详解】由〃是4的必要条件，可得4c2」解得一一“。<1，故选：D.

2>/+i2

【即学即练4】.若“条件a：2WxW4”是"条件/：3m—IWxW—m”的充分条件，则”?的取值范围是

【答案】（f,T]

【分析】利用充分、必要条件的定义，问题转化为集合的包含关系，根据不等式之间的关系即可得到结论.

【详解】设〃对应的集合为A=[2,4）,q对应的集合为B=[3m-l,-m],

1

-m>3m-i4

若p是4的充分条件，则3m-l<2,<m<\,

-m>4m<-4

解得:mW-4.实数，”的取值范围为（TO,-4]，故答案为

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及转化思想的应用.

【即学即练5]已知p：l<x<3,q：m—l<x<2m.

（1）若p是q的充分不必要条件，求实数〃，的取值范围；

（2）若〃是q的必要不充分条件，求实数，〃的取值范围；

[答案】⑴22]⑵

2

【分析】

（1）根据命题2是q的充分不必要条件可转化为集合之间的包含关系，建立不等式求解；

（2）根据p是4的必要不充分条件，建立不等关系求解即可.

【详解】

（1）因为p是4的充分不必要条件，

m-l<1,

3

：.\2m>?>,等号不能同时成立，解得

2

m-\<2m,

3

・•.实数加的取值范围是二,2].

2

（2）因为p是q的必要不充分条件，

当机一1>2机［1寸，即〃2<-1时，满足题意;

当加-142加时，即一1W/%时，

m-1>1,

等号不能同时成立，

2机43,

解得me。，

综上/〃<一1,

所以实数，”的取值范围（—,一1）

■、知识点03充要条件的证明

【微点拨】证明充要条件的两个步骤是分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面；解题时要避免将充分性当

作必要性来证明的错误，这就需要分清条件与结论，若“条件”="结论”，即是证明充分性，若“结论”=“条

件“，即是证明必要性.

【即学即练6】求证：四边形ABC。是平行四边形的充要条件是四边形ABCD的对角线AC与互相平

分.

【答案】证明见解析

【分析】

证充分性:：由对角线AC与BD互相平分得ABCD是平行四边形；证必要性：由四边形A5CD是平行四

边形得由对角线AC与3。互相平分.

【详解】

设对角线AC与8。的交点为。.充分性：由对角线AC与班）互相平分得。4=。。,乂

ZAOB=NCOD,所以△AOBMACO。，所以AB=CD，NOAB=NOCD，AB//CD,所以四边

形ABCD是平行四边形；必要性：由四边形ABCD是平行四边形得A5=CD，NOAB=NOCD,

AOBA=NODC,所以A4O3M△COD所以。4=OC,08=O。，四边形ABCD的对角线AC与互

相平分:

所以四边形ABCD是平行四边形的充要条件是四边形ABCD的对角线AC与8D互相平分.

Q能力拓展

考法01

【典例1】1）已知4,b,CGR,则“ac1>be1”是“a>b”的条件.

【答案】充分非必要

【分析】利用aH〉历2可推出。，人，而。，/，不能推出。。？〉^^,判断出命题的关系.

【详解】由族?〉历2可推出a>b,而不能推出改2>/,比如。=0时,ac2=be2

则“a/>从■?”是“a>b”的充分非必要条件.故答案为：充分非必要.

【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查不等式的性质，属于基础题.

2）设xeR,则“丁=x”是“x=i”的条件（从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既

不充分也不必要条件”选一个填空）.

【答案】必要不充分

【分析】利用必要不充分条件的定义可得答案.

【详解】％2=x等价于x=l或无=0

则X?=X不能推出X=1,而尤=1可以推出％2=x

即=x”是“x=l”的必要不充分条件故答案为：必要不充分

考法02

【典例2】1）已知〃：-4<x—a<4,g:（x-2）（3—x）>0,若夕是。的充分条件，则。的取值范围为

【答案】-

【分析】由g是2的充分条件，列出不等式组，解出。的取值范围.

【详解】命题4cx<。+4,q:2<x<3

a—4«2

若9是，的充分条件，则〈”.，解得.故答案为：

a+423

2)集合A={x|%2—8x+15=O},B={x|ax-l=O},

(1)当a=l,集合A是B的什么条件？

(2)若A是8的必要不充分条件，求a的值.

【答案】(1)既不充分也不必要条件；(2)a=0或,或工

35

【分析】

(1)当a=l时，分别化简集合A和8,利用定义可判断出集合A是8的既不充分也不必要条件;

(2)分5和两种情况，利用4是8的必要不充分条件，求出“的值.

【详解】

(1)当”=1时，A={x|f_8x+15=0}={3,5},B={X|X-1=0}={1}

则集合A是B的既不充分也不必要条件；

(2)当a=0时，B=@,满足题意；

当awO时，B=若A是8的必要不充分条件，则,=3或，=5,解得或'

aa35

综上可得：a=O或1或1

35

【点睛】

本题考查充分必要条件，考查集合间的关系，考查分类讨论思想，属于中档题.

考法03

【典例3】已知。屏0,求证：々3+//+/^々2-62=0是。+。=］的充要条件.

(提示：a3+&3=(a+&)(a2-afr+Z>2))

【答案】证明见解析

【分析】设/凉+炉+油-岸炉=0,q.q+b=l.先证充分性(p=>g),再证必要性(q=p),命题可得证.

【详解】

设p：a3+b3+ab-a2-b2=0,q：a+b=1.

(1)充分性(p=q)：

322222222

因为a^h^-ab-a-b=0,所llk(a-^b)(a-ab+b)-(a-ab-^b)=Offi|J(a-ab+b)(a-^-b-1)=0,

(1V3

区为1〃厚0,a2-ab^b2=a—b+—按>0,

I2J4

所以a+b-\=0,即a+b=\.

(2)必要性(q=p)：

因为a+b=1,所以b=l・a,所以fl3+&3+dfe-a2-Z>2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2

=a3+l-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,

综上所述，a+b=\的充要条件是。3+b3+46-〃242=0

【点睛】

方法点睛：在证明充要条件时，需从充分性和必要性两个方面证明.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.设A,3是两个集合，则“AI8=A”是“A=8”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C.

【解析】由题意得，AI8=A=A=8,反之，A=8=AIB=A,故为充要条件，选C.

2

2.已知xeR,则“x<2”是“一〉1”的()

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

利用充分、必要条件的定义和不等式的基本性质进行判定即可

【详解】

222

当了=-1时，"x<2”成立，但一<0，故"一<1"，故"x<2”不是“一〉1”的充分条件，

XXX

2x-22

“一〉1”等价于——<0=0<x<2,即一>1能推出x<2,

XXX

22

.<％<2”是“一〉1”的必要条件，故是“一〉1”的必要不充分条件，故选:B.

XX

【点睛】

本题考查充分、必要条件的判定，关键是注意两点：（1）在不等式两边同乘以一个正数，不等号不变，同

乘以一个负数，不等号的方向改变.（2）在判定不充分条件时，只需要举出一个反例即可，在判定必要性时,

可以假定条件不成立，推出与结论相矛盾的结论即可.

3.设xwR,则“0<x<2”是“_?<8”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由0<x<2与&互相推出的情况结合选项判断出答案.

【详解】QX3<8>:.X<2

由0<x<2可以推出x<2,而工<2不能推出0<x<2

则“0<x<2”是“d<8”的充分而不必要条件，故选：A

4.“》2_2尤_3=0”是"k3”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不必要也不充分

【答案】B

【分析】解方程3=0,再利用定义来判断即可.

【详解】

由Y—2x—3=0可得（x-3）（x+l）=0,即x=3或x=-l

则“％2_2工_3=0”是“户3”的必要不充分条件，故选：B

5."唐0'‘是'"0"()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件的定义进行判断得出选项.

【详解】由题意可知，。原0可得到存0且厚0,而今0,推导不出。厚0,所以“。屏0”是“存0”的充分条件，

故选：A

6.已知ip:0cx<3,q:(x+l)(x-2)<0,那么p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】

利用充分不必要条件的定义求解即可.

【详解】

由(x+l)(x—2)<0,解得由p不可以推出%«也不能推出p,所以p是q的既不充分也不

必要条件.故选：D

题组B能力提升练

1.下列说法正确的是()

A.aeQ是aeR的充分不必要条件

B.|x|=|y|是x=y的必要不充分条件

C.>1是1的充分不必要条件

D.a+/?<0是a<0,b<0的必要不充分条件

【答案】ABD

(分析】分别利用充分不必要条件和必要不充分条件的定义进行判断即可.

【详解】

对于A,aGQ是aeR的充分不必要条件，正确；

对于B,|x|=|川等价于尤=±y是尤=y的必要不充分条件，正确：

对于C,/>1等价于》>1或》<一1是》>1的必要不充分条件，错误;

对于D,。+〃<0是。<0/<0的必要不充分条件，正确；

故选：ABD

2.下列说法中正确的是（）

A.MI8=8”是“3=0”的必要不充分条件

B.“尤=3”的必要不充分条件是“》2—2k一3=0”

C.“加是实数”的充分不必要条件是““是有理数”

D.1乂=1"是“x=l”的充分条件

【答案】ABC

【分析】根据充分条件、必要条件的定义对各选项中命题的正误进行判断.

【详解】

由AI5=5得5=A,所以“8=0”可推出“Af8=8"，反之不成立,A选项正确；

解方程f―2x—3=。，得x=—1或x=3,所以，“x=3”的必要不充分条件是“J—2x—3=0"，B选项

正确：

“加是有理数”可以推出"加是实数”，反之不一定成立，C选项正确；

解方程凶=1,得％=±1,则5|=1"是“％=1”必要条件，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时要充分利用充分条件、必要条件的定义，有时也可以转化为

集合的包含关系来进行判断，考查推理能力.

3.设N+，一元二次方程——4x+〃=0有整数根的充要条件是〃=.

【答案】3或4

【解析】因为一元二次方程*2—4x+〃=0有整数根，所以有A=16—4〃20,0</7<4,故满足条件

的〃=1,2,3,4,方程有整数根时，〃=3或4.

4.已知p:-2WxW10,q-.\-m<x<\+m^m>^,且q是°的必要不充分条件，则实数，〃的取值范围

是.

【答案】［9,+8）

【分析】

设将满足p,q的.r的集合即为A,B.已知条件转化为AUB,根据集合间的关系列式可解得结果.

【详解】

•••力是〃的必要不充分条件”的等价命题是：P是4的充分不必要条件.

设A={x|-24x<10},3={工|1一根<%<1+加,m>0}.

因为，是夕的充分不必要条件，所以At)8.

m>0,

.・.<1一犯,一2,(两个等号不能同时取到),

1+771.10.

m>9.

故答案为：［9,+30).

【点睛】

本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件，考查了集合间的关系.

5.若0:/+彳-6=0是4：ax+l=0的必要不充分条件，则实数。的值为.

【答案】—或一

23

【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.

【详解】

p:x2+x-6=0,即x=2或x=—3.

Q:CIX+1=0,

当。=0时，方程无解；

当时，x=--.

a

由题意知〃至4,qnp,故Q=0舍去；

当〃H()时，应有—=2或—=—3,解得。=—或。=—.

aa23

综上可知，。=一，或。=一.

23

故答案为：或—.

23

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用.

6.若“1<x<2”是_依+3<()”的充分非必要条件，则实数a的取值范围为.

【答案】［4,+8)

【分析】

设/(%)=/-奴+3,由题意可知，不等式/(x)<0对任意的尤e(l,2)恒成立，可得出关于。的不等式

组，解出即可.

【详解】

设=f-公+3,由于"l<x<2”是“/一6+3<0”的充分非必要条件，

/(l)=4-a<0

则不等式f(x)<0对任意的xe(l,2)恒成立，所以，解得a24.

/(2)=7-2«<0

因此，实数4的取值范围是［4,+8).

故答案为：［4,+8).

【点睛】

本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了二次不等式在区间上恒成立问题的求解，考查运算求

解能力.

7.已知命题命题q：(x+a)(x—l)<0.若〃是9的充要条件，则。的值是.

【答案】1

2v2T

【分析】解不等式工工<1,根据不等式三i<1与不等式(x+a)(x—l)<0的解集相同可求得实数。的

值.

【详解】

解不等式二<1，即2._(t1)=四<0,解得

x-1x-\x-1

由于P是9的充要条件，则不等式(x+a)(x—l)<0的解集为(T，l)，

.•.一1是关于x的方程(x+a)(x-l)=O的一根，则(。-1)(一1-1)=0,解得a=l.

故答案为：1.

【点睛】本题考查利用充要条件求参数，考查分式不等式的解法以及利用一元二次不等式的解求参数，考

查运算求解能力.

题组C培优拔尖练

1.设命题a:A={X|X2+4X=O},命题£：5={x|x2+2(a+l)x+l-a=o},若a是夕的必要条件,

但a不是£的充分条件，求实数。的取值组成的集合.

【答案】(-3,0).

【分析】由a是夕的必要不充分条件得出集合4与B的包含关系而得解.

【详解】由f+4x=0得x=0或x=T,A={T,0},

由a是夕的必要条件，但a不是"的充分条件得夕4B豆P=a,从而有BA,

.•・8=0或3={T}或3={()},

当8=0时，A=4(«+l)2-4(l-a)=4a(a+3)<0,.\-3<«<0：

⑷-8(a+l)+l-a=9_9a=0

当3={T}时，：:/、/、，无解；

△=4(a+l)-4(1—a)=4a(a+3)=0

,,[\—a-0

当8={0}时，\,无解：

lJ[A=4(a+1)--4(1-d)=4a(a+3)=0

综上：实数a的取值组成的集合为(-3,0).

2.已知集合A={x[a-l<x<2a+3},8={x[-2<x<4}

(1)。=2时，求AB-.

(2)若xeA是xeB的充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)AuB={x|-2Wx<7}；(2)(-co,-4]u-1,1.

【分析】

(1)把a=2代入A确定出A，求出AB即可；

(2)由xeA是xeB成立的充分条件，得到A为3的子集，分A为空集与A不为空集两种情况求出。的

范围即可.

【详解】

(1)当a=2时，A={x[l<x<7},

则ADB={X|-2WX<7}；

(2)因为xeA是xe3成立的充分条件，.lAc8,

①若A=0,则a-122a+3,解得aWT；

ci—1<2。+3

②若Aw0,由得到，<。一1...一2

2a+3„4

解得:-1麴h—，

2

综上：。的取值范围是(—8,-4]u-1,1.

【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.已知集合4={》|一l<x<3},集合8=卜|2/+(5-2%卜—5%<0},keR

(1)若％=1时，求纵B,AB；

(2)若“xeA”是“xe8”的充分不必要条件，求实数&的取值范围.

【答案】(I)18,-gu[l,+oo),(2)[3,+oo).

【分析】

(1)若左=1,化简集合5,利用补集和并集的定义进行计算可得答案；

(2)“xeA”是"xwB”的充分不必要条件，则集合A是集合3的真子集，分女<一3,左=一？和%>-』

222

分别求出集合B,列出不等式可得实数k的取值范围.

【详解】

(1)若攵=1,8={x|2x?+3x—5<()}=]x[—5<x<l:

则=-g<j[l,+oo）,A3=（-1'，3）：

（2）“工€4”是“工€3”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集,

3={x|2x2+（5—2左）x—5左<0}={x|（x—左）（2x+5）<0}

当上<一।时，不合题意；

当上=—2时，B=0,不合题意：

2

当%>-|时，8=（—只需2之3；

综上可得：实数k的取值范围是[3,+8）.

【点睛】

结论点睛：本题考查集合的交并补运算，考查充分不必要条件的应用，一般可根据如下规则判断：

（1）若。是夕的必要不充分条件，则夕对应集合是。对应集合的真子集；

（2），是9的充分不必要条件，则，对应集合是夕对应集合的真子集；

（3）〃是9的充分必要条件，则〃对应集合与夕对应集合相等；

（4）”是。的既不充分又不必要条件，。对的集合与P对应集合互不包含.

4.已知集合A={x|x=n?-/,根,”eZ}

（1）判断8,9,10是否属于集合A；

（2）已知集合3={%|%=2攵+l,ZeZ},证明：“xwA”的充分条件是“xeB”；但“xe8”不是“xeA”

的必要条件；

（3）写出所有满足集合A的偶数.

【答案】（1）8eA,9eA,10史A；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为4幺左eZ.

【分析】

（1）由8=32-/，9=5?-4?即可证8,9eA,若10=”一川=4川+卬）（|川,而

10=1x10=2x5,列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于4

（2）由2左+1=（左+1『一左2,结合集合A的描述知2攵+lwA,由（1）8GA,而8e3，即可证结论；

（3）由集合A的描述：m2-n2=（m+n）（w-n），讨论同奇或同偶、一奇一偶，即可确定（加+〃）（加一〃）

的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.

【详解】

（1）8=32-12.9=52-42,8eA,9eA,

假设10=加一〃2,〃?,〃eZ,则（|相|+|〃|）（|山一|川）=10,且|加|+川一|川＞0,

n?n|+|n|=10f|zn|+|n|=5

A10=1x10=2x5,则〈或＜c，显然均无整数解，

l|nz|-|n|=lI网一网=2

：.W^A,

综上，有：8eA,9eA,10更A；

（2）集合B={x|x=2左+1,ZwZ},则恒有2左+1=（左+1）2—左2,

.••2A+leA,即一切奇数都属于A,又8eA,而8eB

...“工€4”的充分条件是““€3”；但“xeB”不是“xeA”的必要条件：

（3）集合A={x|x=/«2机,〃eZ},n?-I=（/〃+〃）（相一〃）成立，

①当"1,〃同奇或同偶时，〃?+〃，加一〃均为偶数，（加+