2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级（上）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级第一学期月考数学

试卷（9月份）

一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求）

1.计算阻=（）

V2

A.4B.2C.2/2D.V2

2.式子丁有W7工在实数范围内有意义，则X的取值范围是（)

A.x<2B.xN2C.x=2D.x<-2

3.下列二次根式中，与-5我是同类二次根式的是（）

A-A/18B.Vo?2C.5/20

4.已知a=J5-l,b=J则。与6的关系（）

A.a=bB.ab=\C.a=-bD.ab=-1

5.已知a-人=2JE-1，〃。=勺”，则（〃+l）（b-1）的值为（)

A._MB.3Mc.3百-2D-V3-1

6.如果关于尤的一元二次方程以2+公+2=0的一个解是x=1,则代数式2023-a-b的值为

()

A.-2021B.2021C.-2025D.2025

7.观察式子:V4X9=736=6­«X«=2X3=6；

VO.25X0.04=V0.01=0.1

VO.25xVO.04=0.5X0,2=0.h由此猜想•瓜(。》0,40)•上述探

究过程蕴含的思想方法是（）

A.特殊与一般B.整体C.转化D.分类讨论

8.下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3G-3）=（x-3）2的过程：

缘缘：芳芳：

两边同除以（x-3）得：移项，得：3（x~3）-（x-3）2=0,

3=x-3,提取公因式，得：（1-3）（3-x-3）=0,

解得：x=6..,.x-3=0或3-x-3=0,

解得：xi=3,%2=0.

下列判断正确的是（)

A.缘缘和芳芳都错B.缘缘错，芳芳对

C.缘缘和芳芳都对D.缘缘对，芳芳错

9.若关于x的一元二次方程*-2）N+2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围（）

7777

A.k<—B.k>—C.且％/2D.k<—且

0OOO

10.如图，在△A8C中，ZABC=90°,AB=Scm,BC=6cm,动点P,。分别从点A,B

同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为lcw/s,点。的速度为2cm/s,点Q

移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使428。的面积为15c/«2,则点P运动的

时间是（）

A.2sB.3sC.4sD.5c

二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）

H.计算｛（产的值是.

12.已知0,贝Ijx—L=.

13.若根式亚£2与471为同类最筒二次根式，则或7五等于.

14.若关于X的一元二次方程h2-3x+2=0有实数根.则k的取值范围

是.

15.如图，在一个边长为Scm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形

（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度

忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是54c",则小正方形的边长为cm.

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.计算：

⑴痛+百$X氏

⑵加专风-（宗昌-2岛；

⑶V6+（表+^'）+5/50;

（4）（一1）-712+（1-V2）°-IA/3-2|.

17.解方程：

（1）5x（x-3）=2（x-3）；（因式分解法）

（2）x2-4x+5=0；（公式法）

（3）x2-2x-4=0；（配方法）

（4）4（x2-%）=-1.（适当方法）

18.己知a,b,c满足|a-近|+（c-7I§）2=0

（1）求a,h,c的值；

（2）以a,b,c为边能否构成直角三角形？请说明理由.

19.已知关于x的方程fcv2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

（1）求*的取值范围；

（2）若方程的一个根是-1,求方程的另一个根及左的值.

20.平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为

每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每

顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶.设每顶头盔

降价x元，平均每周的销售量为y顶.

（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是;

（2）若售价为每顶50元，求每周的销售利润；

（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？

21.阅读与思考

互为有理化的一对无理根的一元二次方程

我们知道，在一元二次方程ar2+6x+c=0（a¥0,a,Z?,c是有理数）中，当△＞（）时，

该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为XI=-b+Vb2-4ac,==

2a

-b-J；"-4ac.若Jb2-4ac是一个无理数，则莺，&也都是无理数，我们把乃和及

这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根.

2

例如：一元二次方程X-3X+1=0的两根为xi¥吸,X2=,它们就是互为有

理化的一对无理根.

又如：方程/=7的两根X[=4＞，乂2=一行也是互为有理化的一对无理根.

判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件:

①XI和尤2是两个无理数；②XI是一个有理数.

如：*]用5_，X2出平•是无理数，

日3+、西、,3-4尺_

且XI、2『一＞＜F一―--------

/.X!,X2是互为有理化的一对无理根.

显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为上，积为q.

aa

任务:

(1)填空：材料中的加=，n=.

(2)求一元二次方程N-x-5=0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对

无理根.

(3)若方程x2+px+q=0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为1r应，直接写出

方程x2+px+q—0的另一根及p,q的值.

22.如图所示，四边形ABC。为矩形，AB=6cm,AD=4cm,若点。从A点出发沿A。以

law/s的速度向。运动，P从8点出发沿3A以2”“/s的速度向A运动，如果尸、。分别

同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止.设运动的时间为r(s).

(1)当f为何值时，△PDQ的面积为6CT??2?

(2)是否存在，使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由.

cB

方,3+272=1+2+2^2=12+2V2+(V2)2=(l+>/2)2-继续进行以下的探索：设

22

Q+Z?&=(m+nV2产(其中相，〃都是正整数)，则有a+bj^=m+2n+2mn"/2--e•

。=加+2〃2,b=2，n〃,这样就得出了把类似。+匕底的式子化为平方式的方法.

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

(1)当〃，b,m,〃都是正整数时，若。-久而二(m-m/S)2，用含〃?，〃的式子分别

表示a,b,得a=,b=；

(2)利用上述方法，填空：21-4J弓=(-屁)2；

(3)如果。-6机二(m-nJG)2,且小丑〃都是正整数，求。的值.

参考答案

一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求）

1.计算需=（）

A.4B.2C.272D.72

【分析】先化简分子，再约分即可得.

解：原式=卒_=2,

V2

故选：B.

【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的常用方法.

2.式子后工在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x<2B.x^2C.x=2D.x<-2

【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案.

解：；式子&^+77二在实数范围内有意义，

，2-x20,x-220,

解得：x—2.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.

3.下列二次根式中，与-5我是同类二次根式的是（）

A.而B.V072C.技D.需

【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与泥是同类二次根式，本题得以

解决.

解：Jo.2>/20,

...与-5正是同类二次根式的是丁正，

故选：A.

【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数

化到最简，再找哪几个数是同类二次根式.

4.己知b~yf^+1,则a与匕的关系()

A.a—bB.ab=1C.a=-bD.ab=-1

【分析】本题可先将b分母有理化，然后再判断〃、方的关系.

解：=我-11.,.a—b.

故选：A.

【点评】本题主要考查了分母有理化的计算方法，在分母有理化的过程中，正确找出分

母的有理化因式是解决问题的关键.

5.已知。-6=2百-1,岫=百，则(“+1)"-1)的值为()

A.B.3百C.373-2D.-1

【分析】把原式化简为含外、a-匕的形式，再整体代入计算.

解：；。-匕=2百-1,ab=6,

(a+1)(Z?-1)=ab-a+b-1

=ah-(a-h)-1

=M-(2百-1)-1

=一百.

故选：A.

【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次

根式.

二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.

6.如果关于x的一元二次方程c*+版+2=0的一个解是x=l,则代数式2023-a-b的值为

()

A.-2021B.2021C.-2025D.2025

【分析】由题意知，a+b+2=0,则。+。=-2,根据2023-。-6=2023-(a+b),计算

求解即可.

解：由题意知，Q+Z?+2=0,

:・a+b=-2,

A2023-a-b

=2023-(a+b)

=2023-(-2)

=2025.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关

键.

=

7•观察式子：V4X9=^36=6»74x炳=2X3=6；JTAA-=-9n",

V1004V40020

德X居+'嗡；Vo-25X°-04=VOT=0.1，

VO.25xV0.04=0.5X0.2=0.1>由此猜想后=4•瓜(。》0,心0).上述探

究过程蕴含的思想方法是()

A.特殊与一般B.整体C.转化D.分类讨论

【分析】根据题意确定蕴含的思想方法.

解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，

故选：A.

【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、数学思想，正确区分所学的数学思想是解题

的关键.

8.下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程：

缘缘：芳芳：

两边同除以(x-3)得：移项，得：3(JC-3)-(x-3)2=0,

3=x-3,提取公因式，得：(x-3)(3-x-3)=0,

解得：x=6.-3=0或3-x-3=0,

解得：x\—3,X2—0.

下列判断正确的是(

A.缘缘和芳芳都错B.缘缘错，芳芳对

C.缘缘和芳芳都对D.缘缘对，芳芳错

【分析】根据等式的基本性质和解一元二次方程的方法和步骤判断即可.

解：缘缘：根据等式的基本性质可知等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立,

•."-3的值不确定是否等于0,

，缘缘的解方程错误；

芳芳：提取公因式，得：(x-3)(3-X+3)=0,

•••芳芳的解方程错误.

故选：A.

【点评】本题考查解一元二次方程.掌握解一元二次方程的方法和步骤并正确计算是解

题关键.

9.若关于x的一元二次方程（k-2）N+2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围（）

A.k<—7B.k>《7C.%<’7且22D.k<—7且AW2

oooo

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k-2W0且△=22-4*-2）

X320,然后解两个不等式得到它们的公共部分即可.

解：根据题意得A-2W0且△=2?-4（攵-2）X320,

解得且k丰2,

3

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等

式是解此题的关键.

10.如图，在AABC中，NABC=90°,AB=Scm,BC=6cm,动点P,。分别从点A,B

同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为lc，"/s,点Q的速度为2c〃?/s,点。

移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为155?2,则点尸运动的

时间是（）

A.2sB.3sC.4sD.5s

【分析】设出动点尸，。运动，秒，能使△PBQ的面积为15m2,用，分别表示出BP和

BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答.

解：设动点尸，。运动f秒后，能使△PB。的面积为15c4,

则8尸为（8-f）cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得，

—X（8-f）X2r=15,

2

解得A=3,f2=5（当f=5时，80=10,不合题意，舍去）.

二动点P,Q运动3秒时，能使△PB。的面积为15c病.

故选：B.

【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动

点问题.

二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）

H.计算J（13产的值是4\万-1.

【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并即可.

解：原式=&-1+3&

=4圾-1.

故答案为4&-1.

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次

根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.

12.已知2,则x-』=4.

【分析】先化简x的值，利用倒数表示上=y-2,再把X、上值代入代数式求值.

XX

解西+2，

=A/5-2，

x

原式=西+2一（«-2）=4.

故本题答案为：4.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值以及分式求值的计算.

13.若根式也羡■与为同类最筒二次根式，则白彳等于

【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解.

解：..•根式A/2X-3与471为同类最简二次根式,

.*.2x-3=x+l,

•<*Vx+14=V4+14==3V2-

故答案为3企.

【点评】本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次

根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式.

14.若关于x的一元二次方程履2-3x+2=o有实数根.则k的取值范围是且任0.

【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到ZWO且△=(-3)2-4Z2O,

然后求出两不等式的公共部分即可.

解：；关于x的一元二次方程履2-3x+2=0有实数根，

...%#0且4=(-3)2-840,

解得%得且它0.

故答案为：■且

o

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根与A=R-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当AVO时，方程无实数根.

15.如图，在一个边长为8cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形

(阴影部分即剪掉的部分)，剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子(纸板的厚度

忽略不计)，且折成的长方体盒子的表面积是54c标,则小正方形的边长为1a”.

【分析】设小正方形的边长为xc〃?，则小长方形的宽为长为4c/n,利用折成的长方

体盒子的表面积=大正方形的面积-2X小正方形的面积-2X小长方形的面积，可列出

关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

解：设小正方形的边长为则小长方形的宽为Xtro,长为/x8=4(cm),

根据题意得：8X8-Zr?-2X4x=54,

整理得：/+4尸5=0,

解得：%l=l,X2=-5(不符合题意，舍去)，

小正方形的边长为1cm.

故答案为：1.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.计算：

⑴府+百$X万

⑵加专风-（宗昌-2后）；

⑶V6+（表啥'）+屈；

（4）（-£）-712+（1-V2）°-IA/3-2|.

【分析】（1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可；

（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；

（3）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后分母有理化，最后合并即可；

（4）先根据绝对值和零指数累的意义计算，然后把任化简后合并即可.

解：（1）原式=,48+3-栏x12+2五

=4-

=4+76；

⑵原式=2后-容-加+代

=&+喙；

（3）原式=&+退9+56

76

君，+5加

=号产近

=6（百-72）+5正

=6百-6A/2+5V2

=6百-我；

（4）原式=-a-25/34-1+5/3-2

=一百.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

法则、零指数事的意义是解决问题的关键.

17.解方程:

(1)5x(x-3)=2(x-3)；(因式分解法)

(2)/-4x+5=0；(公式法)

(3)JC2-2x-4=0；(配方法)

(4)4(x2-x)=-1.(适当方法)

【分析】(1)先移项，再因式分解即可求解；

(2)先由题意得”=1,b=-4,c=5,再根据A=按-4ac=(-4)2-4X1X5=-4

VO得出方程无实数解；

(3)先将常数项移到方程右边.再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将

方程左边化成完全平方式，最后再开方即可求解；

(4)先方程两边同时除以4,再移项，得乂2七+=0,则有(x-1「=0,然后开平方

即可求解.

解：(1)移项，得5尤(x-3)-2(x-3)=0,

分解因式，得(x-3)(5x-2)=0,

x-3=0或5x-2=0,

・t2

・・xi=3,Xo=T"5

(2)9：a=l,b=-4,c=5,

・•・A=b2-4ac=(-4)2-4X1X5=-4<0,

・,・原方程无实数根；

(3)移项，得，x2-2x=4

x2-2x+l=4+1

(x-1)2=5

X-1=±超

Xj=1-V5,X2=1-V5；

(4)4(x2-x)=-1

.1

•F=X2节.

【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法：直接开平方

法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键.

18.已知a,Ac满足|a-近|+7^+(5行)2=0

(1)求a,b,c的值；

(2)以a,b,c为边能否构成直角三角形？请说明理由.

【分析】(1)利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定“，b,c的值

即可；

(2)根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解.

解：(1).|a-«|+Vb-5+()2=0，

a-a=0，6-5=0,c-V7^=0，

a=2&，b=5,c=3五；

(2)以a,b,c为边不能构成直角三角形.

理由如下：

,..“2=8,—=25,&-18,

较小的两边之和为：〃2+°2=8+18=26,

J.^+c^b2,

根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.

【点评】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零

的性质是解题的关键.

19.已知关于x的方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

(1)求Z的取值范围；

(2)若方程的一个根是-1,求方程的另一个根及/的值.

【分析】(1)因为关于x的方程h2一太-1=0有两个不相等的实数根，所以4片0且A

=〃-4ac>0,建立关于k的不等式组，解得幺的取值范围即可；

(2)根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入方程，求出k的值，再解方程即可

求得方程的另一个根.

解：(1)♦.•关于x的方程依2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

.,MW0且△=(-2)2-4M•(-1)=4+4&>0,

：.k>-1且20；

(2)•方程的一个根是-1,

：.kX(-1)2-2X(-1)-1=0,

解得％=-1,

二-x2-2x-\=0,即x2+2x+l=0,

解得为=初=-1.

即另一个根为-1.

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程的解的定义，切记

不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.

20.平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为

每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每

顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶.设每顶头盔

降价x元，平均每周的销售量为y顶.

(1)平均每周的销售量y(顶)与降价x(元)之间的函数关系式是y=100+20x；

(2)若售价为每顶50元，求每周的销售利润；

(3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？

【分析】(1)利用平均每周的销售量=100+40义每顶低的缶格,即可找出y

与x之间的函数关系式；

(2)利用每周的销售利润=每顶的销售利润又每周的销售量，即可求出结论；

(3)利用每周的销售利润=每顶的销售利润X每周的销售量，可列出关于x的一元二次

方程，解之可求出x的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可确定结论.

解：(1)根据题意得：100+40X卷=100+20工.

故答案为：100+20%；

(2)根据题意得：(50-40)[100+20X(68-50)]

=10X(100+20X18]

=10X[100+360]

=10X460

=4600（元）.

答：每周的销售利润为4600元;

（3）根据题意得：（68-X-40）（100+20%）=4000,

整理得：x2-23x+60=0,

解得：xi=3,X2=20,

当x=3时，68-x=68-3=65>58,不符合题意，舍去；

当x=20时，68-x=68-20=48<58,符合题意.

答：每顶头盔应降价20元.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）

根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列

式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

21.阅读与思考

互为有理化的一对无理根的一元二次方程

我们知道，在一元二次方程or2+bx+c=0（a#0,a,b,c是有理数）中，当A>0时，

该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为笛=f+Jb、4ac,尬=

2a

-b-Jb2-4ac.若Jb2_4ac是一个无理数,则为，M也都是无理数，我们把xi和及

2a

这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根.

例如：一元二次方程x2-3x+l=0的两根为X[若叵，X2=m，它们就是互为有理

化的一对无理根.

又如：方程N=7的两根X]=47,X2=-J7也是互为有理化的一对无理根.

判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：

①M和X2是两个无理数；②羽"2是一个有理数.

如：X[=^普，X2芸工■是无理数，

且勺,乂2=2一—」一.

・・・汨，工2是互为有理化的一对无理根.

显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为上，积为£.

aa

任务:

(1)填空：材料中的，"=---，n—1.

-2------

(2)求一元二次方程/-X-5=0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对

无理根.

(3)若方程N+px+q=。的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为1的，直接写出

方程x2+px+q=0的另一根及p,q的值.

【分析】(1)根据根与系数的关系求得即可；

(2)解方程求得方程的解即可判断；

(3)根据互为有理化的一对无理根的概念即可求得方程x2+px+q=0的另一根，利用根

与系数的关系即可求得p,g的值.

解：(1)材料中的，"="：^上•二，“=1.

2

故答案为：乏更，1.

2

(2)•/△=(-1)2-4X1X(-5)=1+21=22>0,

一元二次方程/一彳一5=0的两根为制=把座，》=上运，

22

...该方程的两根是互为有理化的一对无理根.

(3)由题意可知，方程N+px+4=0的另一根是1-e，

二-。=1+爪+1-百，q=(1+百)Q-百)，

・"=-2,q=-2.

【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，无理根的概念，熟练掌握新概念以

及根与系数的关系是解题的关键.

22.如图所示，四边形A8C£>为矩形，AB=6cm,AD=4cm,若点Q从A点出发沿以

lo〃/s的速度向。运动，P从8点出发沿3A以2aMs的速度向A运动，如果尸、。分别

同时出发，当一个点到达终点时、另一点也同时停止.设运动的时间为r(s).

(1)当/为何值时，△PDQ的面积为6c在？

(2