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文档简介
第六章数列
§6.1数列的概念
【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数.
•落实主干知识
佚口识梳理)
1.数列的有关概念
概念含义
数列按照确定的顺序排列的一列数
数列的项数列中的每一个数
如果数列{小}的第n项由与它的序号”之间的对应关系可以用
通项公式
一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
递推公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{④}的把数列{如}从第1项起到第〃项止的各项之和,称为数列{斯}
前〃项和的前〃项和,记作S”即S〃=ai+公+…
2.数列的分类
分类标准类型满足条件
有穷数列项数有限
项数
无穷数列项数无限
递增数列
递减数列其中〃eN*
an+\<an
项与项间的
常数列a,i+\=a
大小关系n
从第二项起,有些项大于它的前一项,
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{”“}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,〃})到实数集R的函数,其自变量是底
号〃,对应的函数值是数列的第〃项%,记为4"=式").
【常用结论】
[51,n=L
1.已知数列{斯}的前“项和S”则斯=。°
[5„—5»-1,B2.
2.在数列{%}中,右斯最大,贝!I,(〃》2,“GN);右a”最小,贝比(〃22,
7?SN,).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
(1)数列的项与项数是同一个概念.(X)
⑵数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.(V)
⑶任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(X)
(4)若数列用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点.(V)
【教材改编题】
1.(多选)已知数列{”“}的通项公式为4=9+12”,则在下列各数中,是{〃“}的项的是()
A.21B.33C.152D.153
答案ABD
解析由数列的通项公式得,G=21,“2=33,02=153.
2.已知数列{斯}的前"项和为S”且5“=层+〃,则G的值是()
A.2B.4C.5D.6
答案B
解析由题意,S2=22+2=6,SI=1+1=2,所以42=S2—Si=6—2=4.
3.在数歹ij1,1,2,3,5,8,13,21,x,55,…中,x=.
答案34
解析通过观察数列各项的规律,发现从第三项起,每项都等于它前两项之和,因此x=13
+21=34.
・探究核心题型
题型一由④与S,的关系求通项公式
例1⑴已知数列3}的前“项和为S",勾=2,S"+1=2S*—1,则410等于()
A.128B.256C.512D.1024
答案B
解析♦.•S"+i=2S"-1,...当”22时,S„=2S„-i-l,两式相减得知+1=2%.当〃=1时,m
+“2=2ai—1,又0=2,二42=1.,数列{〃")从第二项开始为等比数列,公比为2.则6/10=02X28
=1X28=256.
(2)已知数列{飙}的前鼠项和为S”,且满足S“=2"+2—3,则斯=.
[5,n=1,
答案12.|,〃22
解析根据题意,数列{&}满足S“=2"+2—3,
当〃22时,有斯=&—SL1=(2"+2—3)—(2/1—3)=2"+],
[5,n=}9
当〃=1时,有。]=$=8—3=5,不符合a“=2〃I故%=。〃+]
[2,〃.—2.
思维升华s„与斯的关系问题的求解思路
(1)利用斯=S“一S“-1(〃22)转化为只含S”,S”T的关系式,再求解.
(2)利用5"—5“-1=期("》2)转化为只含小,斯t的关系式,再求解.
跟踪训练1(1)已知正项数列{斯}中,丽+亚+…+丽=硬/,则数列{斯}的通项公式
为()
A.=〃B.斯=
n层
=
C.an=2D.^n~2
答案B
解析—卜尸〃
y[a\+y[a2T-----日斯-1=^2~'22),
两式相减得丽=及/九(〃一1)
-2—=〃(心2),
.•・〃〃=/(〃22),①
।x2
又当〃=1时,声=—^—=1,«i=l,适合①式,
2
tzn=n,〃£N*.
(2)设*是数列{〃,,}的前〃项和,且田=-1,〃〃+i=S,5什],则S“=.
答案T
解析因为a”+l=S”+l—Sn,Cln+\=SnSn+1,所以由两式联立得S〃+i—5〃=5〃5〃+1.因为S〃W0,
所以卷一甘一=1,即甘一一!=一1.又1=—1,所以数列佶)是首项为一1,公差为一1的等
差数列.所以《'=-1+(〃-1)X(—1)=—”,所以s“=一
ft
题型二由数列的递推关系求通项公式
命题点1累加法
例2设[x]表示不超过x的最大整数,如[―3.14]=-4,[3.14]=3.已知数列{斯}满足:m=l,
小+尸如+〃+l(〃eN*),则七+上+丹…+表】等于()
A.1B.2C.3D.4
答案A
解析由a〃+i=〃,1+〃+1,得〃”一1=〃(〃22).又m=l,
所以斯=(斯―斯-1)+(。〃-1—斯-2)H----卜(。2—=〃+(〃-1)+(〃-2)T---卜2+1=
〃(/+1)
-2-(心2),
当n=\时,a\=\满足上式,
则『丽币=2『市
所以5+/…+丘
=2X11~2+2~3+'"+2023-2024,
=2X(1-忐)
_2023
-1012-
所以…+自小'2023"
_1012_=1.
命题点2累乘法
YI—1
例3在数列{““}中,0=1,斯=一二0”.|(〃)2,〃GN*),则数列{斯}的通项公式为
答案期=:
〃11
解析an=—1斯-]("22),
.〃一2一一31
•,a〃—\〃__]4”-2,。〃-2九__2"〃-3,•••,。22“L
以上(〃一1)个式子相乘得,
12n-1a\1
。“=〃1不27•3….----n——=n一.n
当〃=1时,0=1,符合上式,・,•斯=1.
思维升华(1)形如an+1—如=的数列,利用累加法.
(2)形如如把=/5)的数列,利用a/t=ai^—'-22)即可求数歹q{为}的通项公式.
斯。2dn-l
跟踪训练2(1)在数列{斯}中,出=2,a“+i=a“+ln(】+O,则斯等于()
A.2+lnnB.2+(九一l)ln〃
C.2+n\nnD.1+«+lnn
答案A
〃+1
解析因为斯+i—a“=ln—厂=ln(〃+l)—In小
所以“2—ai=ln2—In1,
&3-s=ln3—In2,
卬一〃3=ln4—In3,
an—an-\=\nn—\n(n—1)(〃22),
把以上各式相加得斯一czi=lnn—In1,
则小=2+ln〃(九22),且°]=2也满足此式,
因此斯=2+]n〃(〃£N*).
(2)已知数列的,毁,…,」人,…是首项为1,公比为2的等比数列,则log2a”=________.
ci\dn~\
答案迎严
解析由题意知,m=l,巫=1乂2"-1=2"一|(〃22),
dn~\
n(n-l)
所以斯=-^-X区」X…X这Xqi=2"「X2"—?x…义1=22(〃22),当〃=1时,m=l适
Cln-\2见
合此式,
所以10g2%=""\
题型三数列的性质
命题点1数列的单调性
例4设数列{斯}的前”项和为S",且V"WN",即+|>斯,S.2S6.请写出一个满足条件的数列
{斯}的通项公式。”=.
答案n-6,〃CN*(答案不唯一)
解析由X/*eN*,“可知数列{&“}是递增数列,又见》&,故数列{m}从第7项开始为
正.而“6W0,因此不妨设数列是等差数列,公差为1,。6=0,所以%=〃-6,“CN’(答案
不唯一).
命题点2数列的周期性
例5若数列{斯}满足。]=2,即+1=]_",则〃2024的值为()
A.2B.-3C.-3D.g
答案D
1-11
1+21—31211+3
解析由就意知,。]=2,政=]_2=3,。3=]+3=-2*44=T=W'"5=i"=2,。6
—1+21-3
1+2]
=
=1__2—3,…,因此数列{〃〃}是周期为4的周期数列,所以〃2024=4505x4+4=。4=?
命题点3数列的最值
例6已知数列{斯}的通项公式为斯=初与,其最大项和最小项的值分别为()
A.1,—yB.0,—C**D.1,—Yj-
答案A
解析因为“6N*,所以当1W〃W3时,斯=”将<0,且单调递减;当〃24时,斯=5土>(),
且单调递减,所以最小项为。3=$1-=一:,最大项为〃4=|J"=1.
思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法,根据如+1一m的符号判断数列{斯}是递增数列、递减数列还是常数列.
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
跟踪训练3(1)观察数列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…,则该数列的第11
项是()
A.1111B.11C.In11D.sin11
答案C
解析由数列得出规律,按照I,In2,sin3,是按正整数的顺序排列,且以3为循环,
由11+3=3余2,所以该数列的第11项为In11.
2/7—19
(2)已知数列{斯}的通项小弓〃7[,”WN*,则数列{斯}前20项中的最大项与最小项分别为
答案3,-1
解析出2〃~—7197=2^〃—―21片+2=1+广277,当〃211时,一2?7>。,且单调递减;当1W〃W1O
2/2—212/1—212/1—212/1—21
2
时,5言<0,且单调递减.因此数列{斯}前20项中的最大项与最小项分别为第11项,第
10项.。]]=3,〃]()=—1.
课时精练
且基础保分练
F?——1
1.已知小=干,那么数列{如}是()
A.递减数列B.递增数列
C.常数列D.摆动数列
答案B
解析%=1一鬲,将所看作关于〃的函数,〃6N*,易知数列{〃“}是递增数列.
2.已知数列{斯}的前〃项和S”满足S5=S“+i(〃WN*),且0=2,那么“7等于()
A.128B.16C.32D.64
答案D
解析因为数列{斯}的前〃项和S“满足S5=S«+i(〃eN*),ai=2,
所以S“+i=2S“即架=2,所以数列{&}是以2为公比,以2为首项的等比数列,所以S“
6
=2X2"—=2".所以当"》2时,a“=S“-S"T=2"-2"-i=2"r.所以a7=2=64.
3.已知数列{斯}满足s=l,a„-a„+i=na„a„+i(nGN*),则如等于()
层一〃/一〃+222
Aa。IB«cC,D«o]c
22n~n几一〃十2
答案D
解析由题意,得」—-;=〃,则当〃22时,;一」一=〃一1,」—一」一=〃一2,…,;一
111"2—〃I旌2-n“2—"+2
y=l,所以十一十=1+2+…+(〃-1)=-^(〃22),所以'+1=Z—,即a„
Cl]ClnCl]乙Un乙乙
22
="2_〃+2("22),当〃=1时,〃]=1适合此式,所以—〃+)
4.设数列{如}满足:671=2,如+1=1—5,记数列{&}的前"项之积为P",则尸2024等于()
A.-2B.-1C.1D.2
答案C
解析“1=2,知+|=1—得。2=1,。3=—1,44=2,45=1,…,所以数列{小}是周期为3
LL
的周期数列.且尸3=-1,2024=3X674+2,所以?2024=(-1严*042=1.
5.大衍数列,来源于我国的《乾坤谱》,是世界数学史上第一道数列题,主要用于解释中国
传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第
41项为()
A.760B.800C.840D.924
答案C
222
解析由题意得,大衍数列的奇数项依次为MI—1,―3—1,―5—1,…,易知大衍数列的第41
412—1
项为一十=840.
6.(多选)已知数列{小}的通项公式为期=(〃+2)(9",则下列说法正确的是()
A.数列{%}的最小项是m
B.数列{为}的最大项是04
C.数列{斯}的最大项是的
D.当“25时,数列{小}递减
答案BCD
解析假设第〃项为⑹的最大项,则忆即卜所以
叱矶,[(〃+2&(〃+3)(沪,
〃这5,65
,〜又〃WN',所以几=4或〃=5,故数列{斯}中。4与。5均为最大项,且。4=。5=9,
当〃,5时,数列{〃〃}递减.
7.S〃为数列{斯}的前〃项和,且log2(S〃+l)=〃+l,则数列伍〃}的通项公式为.
⑶〃=1,
答案心2
解析由log2(S“+l)="+l,得S.+1=2"+|,当〃=1时,0=S|=3;当〃》2时,a.=S.一
3,n—\,
S,i=2",显然当"=1时,不满足上式.所以数列{”“}的通项公式为引=
2,“32.
8.若数列{%}的前〃项和S.=”2—10〃(〃eN*),则数列{如}的通项公式如=,数列
{"即}中数值最小的项是第项.
答案2n—113
解析•.$=〃2—10〃,...当〃22时,a“=S“一Si=2〃一11;
当”=1时,0=5|=—9也适合上式..*.a„=2«-ll(neN*).
记,人")="即=〃(2〃-11)=2"2—11",此函数图象的对称轴为直线“=?,但"GN”,
...当〃=3时,逃")取最小值数列{M“}中数值最小的项是第3项.
9.在①"a”」一(〃+l)a”=〃("+l);②S"=2〃2—1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上,
并解答.
若数列{"”}的前〃项和为S”,“i=l,且数列{为}满足.
⑴求。2,。3;
(2)求数列{小}的通项公式.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
解⑴选择①:s—2ai=lX2,则“2=4.
2〃3-3〃2=2X3,则的=9.
2
选择②:a2=S2-Si=2X2-l-l=6.
〃3=§3一$2=2X32—1-2X22+1=10.
(2)选择①:由nan-1—(/?+1)an=+1),
斯-2T
所喈堞-篙+署——a\~\~a\=n-1+1=〃,
n~2
2
所以an=n.
选择②:当〃22时,〃“=S〃一S,L1=2〃2-I—[2(〃-1)2—1]=4〃一2;
当〃=1时,tzi=Si=l,不符合上式,
[1,〃=1,
故{斯}的通项公式为斯=,。
14/2—2,一丁2,
10.(2023・长沙模拟)已知数列{c.}满足a斗〃GN*,S“为该数列的前〃项
和.
⑴求证:数列用为递增数列;
(2)求证:Sn<l.
证明⑴因为□=]"]
2crt+|-1cn-\
所以c〃K0,
两边分别取倒数可得1一」一=1一4,
整理可得一匚_:=(:_1)2>0,
所以数列{F}为递增数列.
G1+1«reC,Ll-l+lC„-1+1I,I
⑵由[可仔;——1,即1一C"+7,
Cn-lCn+l_1Cn-lCn+\-lCn-\
]
所以金=嬴》
cn—\
所以S〃=Cl+c2T----\~Cn
___L_
C2—1C\—1C3-1C2-1Q+l-1Cn-1
Cn+]—\C\-\Cn+]-l'
又所以C"+iG(O,
C〃C1\Az
所以一L-r<-i,即so.
Cn+l—l
应综合提升练
11.在数列{知}中,〃1=1,a=(nf飙),〜=(a〃+i,〃+1),且。,5,则©oo等于()
A.B.一4与C.100D.—100
答案D
解析因为a=(n,a)b=(a+\,n+1),且a_Ld所以na+\+(n+l)a=0所以
n9nnn9Cln〃
所以资=—彳谓…,臂=—喘.以上各式左右分别相乘,得等=—100,因为0=1,
ci\1azz〃99yyci\
所以0oo=-100.
12.(2022•全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗
环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数歹1{d}:
fei=i+~»岳=1+―彳,fe=I+%~,…,依此类推,其中以©N*伏=1,2,…).则
久+一
«3
()
A.b\<b5B.03Vb8
C.86<〃2D.b4Vb7
答案D
解析方法一当〃取奇数时,
由已知加=1+;,历=1+-----1—
«i।।
«1+----------7
—
«2+。3
因为-----,所以>加,
«].161
------r
如+一
的
同理可得加>打,bs>bi,•••,于是可得">%>65>岳>…,故A不正确;
当”取偶数时,由已知岳=I+'Y
仇=1+j
a\+j-
四+j-
⑥+«/4
因为----Lj-,所以b2Vb4,
0.1+r
ay+—
04
同理可得b4Vb6,b6Vb8,…,于是可得岳<Z?4Vb6V88〈…,故C不正确;
因为;7,所以仇>〃2,
«i.1
«1+—
«2
同理可得加>仇,儿泌6,bi>b8,
又加>历,所以仇>以,故B不正确;故选D.
方法二(特殊值法)
不妨取碑=1(4=1,2,…),则加=1+;=2,
历=i+」-y得=1+渭,
1+T
/?3=H==T=i+H,
所以庆=1+t=1
,,,1,,513
打=1+豆=1+十至,
1Q21
『+百=
%=1+13'
,.,1,,1334
加="瓦=1+五=亓
例,=1,+,石1=1,+,而21=五55.
逐一判断选项可知选D.
13.已知数列{内}中,前〃项和为且s“="当”,则区的最大值为.
答案3
解析'."S„=^T^a,„.•.当时,斯=5"-5"-1=4^斯一咛」如-1,可化为乌-="=4=1
十三,由函数y=三在区间(1,+8)上单调递减,可得当〃=2时,07取得最大值2.....
n1a〃一1
的最大值为3.
14.已知[幻表示不超过x的最大整数,例如:[2.3]=2,[-1.7]=—2.在数歹ij{a“}中,a„=[lgn],
记S"为数列{“")的前"项和,则“2024=;$2024=.
答案34965
解析Van=[lgn],
.,.当1W〃W9时,«„=[lgn]=0;
当10W〃W99时,a„=[lgn]=l;
当I00W〃W999时,斯=[lg〃]=2;
当1000W〃W9999时,斯=[电网=3.
/.a2024=[Ig2024]=3,S2024=9X0+90X1+900X2+1025X3=4965.
应拓展冲刺练
15.(2023・郑州模拟)己知数列伍/满足痣=2,a2n=a2i+2"(〃WN*),仇+1=侬+(—1)"("WN*),
则数列{如}第2024项为()
A.2|0|2-2B.2|013-3
C.21°"—2D.21°11-3
答案B
解析由侬+1="2”+(—1)"得"2"-1=42"-2+(-1)"〃22),又由"2"=〃2"-1+2"得
如=。*2+2"+(—D"-i(wGN*,心2),
所以44=42+22+(-1),46=44+23+(—1)2,a«=a(,+24+I)3,…,02024=«2022+21012
12l23|0,2
十(—1)1将上式相加得a2024=a2+(-l)+(-l)+-+(-D°"+2+2+-+2=2
+岑孝工…-3.
1—2
2
16.在数列{〃”}中,已知m=l,nan—Sn=tvan-1—5n-1(H2,〃£N*),记儿=%,〃为数列
{与}的前〃项和,则72025=.
会安1025
u木1013
解析由iran—S,t=r^an-1—SM-1(H>2,nCN*),
2
得层如一(5„—S〃T)=nan-i,
所以(层一1)斯=rvan-\,
华=”x士.
nn—1n~v1
令C〃=*,则Cn=Cn-\义消不
Cn_n
所以
Cn-\n+\
由累乘法得安系,
又c\=a\=\,
所以°尸系’所以詈=看,
所以如=7百,
所以历产第=又磊5=2*(,击),
所以4025=2X0+…;)=2X(1-忐)=2025
2026,1013-
§6.2等差数列
【考试要求】1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式.3.能在具体的
问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函
数、二次函数的关系.
・落实
【知识梳理】
1.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第1项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个
数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母a表示,定义表达式
为斯一斯7=或常数)5日2,〃eN*).
(2)等差中项
由三个数a,A,6组成等差数列,则A叫做。与匕的等差中项,且有2A=〃+A
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=a\+(n—\}d.
⑵前n项和公式:S产网+---2~~d或'
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+n,mCN").
(2)若{如}为等差数列,且&+/=〃2+〃(k,/,m,〃GN*),则a”.
(3)若{%}是等差数列,公差为d,则a*,a*+m,a&+2,",…(&,niGN*)是公差为迦_的等差数列.
⑷数列S",S2m~Sm>S3,"—52"”…也是等差数列.
(5后"-|=(2"—1)4".
(6)等差数列{如}的前n项和为S.,为等差数列.
【常用结论】
1.已知数列{”“}的通项公式是a“=p"+q(其中p,q为常数),则数列{小}一定是等差数列,
且公差为p.
2.在等差数列{小}中,«)>0,d<3则S“存在最大值;若0<0,40,则S”存在最小值.
3.等差数列{如}的单调性:当d>0时,{”“}是递增数列;当d<0时,{斯}是递减数列:当
d=0时,{斯}是常数列.
4.数列{斯}是等差数列OS,=A〃2+B"(A,B为常数).这里公差d=2A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
⑴若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数
列.(X)
⑵数列{斯}为等差数列的充要条件是对任意〃GN*,都有2a“+1=m+%+2.(V)
(3)在等差数列{a,J中,若4,“+斯=即+的,则/w+"=p+q.(X)
(4)若无穷等差数列{”“}的公差J>0,则其前〃项和S“不存在最大值.(V)
【教材改编题】
1.在等差数列{斯}中,己知“5=11,倘=5,则410等于()
A.-2B.-1C.1D.2
答案C
11=ai+4c/,[ai=19,
解析设等差数列{斯}的公差为d,由题意得,,解得,
,5=ai+7d,[a=—2.
—
-'.an——2/1+21..'.67io—2X10+21--1.
2.设等差数列{斯}的前〃项和为S“,若$4=8,58=20,则麴+00+如+。12等于()
A.12B.8C.20D.16
答案D
解析等差数列{"〃}中,$4,Sf,—St,S12-$8仍为等差数列,即8,20—8,ag+aio+a”+“12
为等差数列,所以49+010+011+02=16.
3.设等差数列{6}的前〃项和为S”.若0=10,54=28,则S“的最大值为.
答案30
解析由0=10,S4=44I+64=28,解得d=-2,所以S,="ai+必了*"&=一"+]]〃.当〃
=5或6时,S”最大,最大值为30.
■探究核心题型
题型一等差数列基本量的运算
例1(1)(2023•开封模拟)已知公差为1的等差数列{%}中,底=4346,若该数列的前n项和5„
=0,则n等于()
A.10B.11C.12D.13
答案D
解析由题意知(。|+4)2=31+2)(〃|+5),“a1+2=0,解得。1=—6,n—13.
(2)(2020・全国H)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块
圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下
一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,
且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()
A.3699块B.3474块
C.3402块D.3339块
答案C
解析设每一层有〃环,由题意可知从内到外每环之间构成d=9,0=9的等差数列.由等
-
差数列的性质知S",S2n-Sn,S3”"S2"成等差数列,且(S3,L$2")一(S2,LS")=”24,则9/=729,
得"=9,
27X26
则三层共有扇面形石板S3“=S27=27X9+r^X9=3402(块).
思维升华(1)等差数列的通项公式及前八项和公式共涉及五个量n,d,a„,Sn,知道其
中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项功和公差d.
跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、
春分日影长之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为
(一丈=十尺=一百寸)()
A.一尺五寸B.二尺五寸
C.三尺五寸D.四尺五寸
答案B
解析由题意知,从冬至日起,依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{斯},
设公差为d,
•.•冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,
ai+a4+m=3ai+9d=315,
9X8
S9=94I+0d=855,
“1=135,
解得
d——10,
芒种日影长为02=ai+lld=135-llXlO=25(寸)=2尺5寸.
(2)数列bW是等差数列,且0=1,。3=一;,那么42024=.
解析设等差数列,言)的公差为4因为G=l,俏=一彳,所以高=1,高=3.所以
2222022
3=1+24,解得4=1.所以不门=1+"-1=",所以期=1-1•所以“2024=而立一1=一九成
1011
=|012-
题型二等差数列的判定与证明
例2(2021•全国甲卷)已知数列{斯}的各项均为正数,记S”为{斯}的前〃项和,从下面①②③
中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{斯}是等差数列;②数歹I{低}是等差数列:③。2=30.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解①③0②.
已知{斯}是等差数列,。2=30.
设数列{斯}的公差为d,
则“2=3ai=ai+d,得1=2出,
所以Sn=na\+^2^d—rrai.
因为数列{如}的各项均为正数,
所以低=/r标,
所以低3-低=5+1而一而=磊(常数),所以数歹叫低}是等差数列.
①②今③.
已知{%}是等差数列,{遮,}是等差数列.
设数列{m}的公差为d,
则Sn—na\+“。\1)4=%4+(0-9几
因为数列{低}是等差数列,所以数歹北低}的通项公式是关于“的一次函数,则m—亨=0,
即d=2ai,所以ai=a\+d=?>a\.
②③0①.
已知数列{低}是等差数列,“2=30,
所以Si=ai,$2=。1+。2=4的.
设数列{低}的公差为d,d>0,
2
则y[每一小[=y[诉=d,得ai=df
所以,=小i+(〃-1)d=nd,
所以S产R/2,
所以a〃=S〃-S〃T=〃2»—(〃-1)2/=2隔一是关于几的一次函数,且/满足
上式,所以数列{小}是等差数列.
思维升华判断数列{〃〃}是等差数列的常用方法
(1)定义法.
(2)等差中项法.
(3)通项公式法.
(4)前n项和公式法.
跟踪训练2己知数列{m}的各项都是正数,N*.
⑴若{〃〃}是等差数列,公差为小且仇是如和MH的等比中项,设屯=忌+|一居,nEN*,求
证:数列{c〃}是等差数列;
(2)若H+冠+肩3----卜屈=S*S〃为数列{〃〃}的前几项和,求数列{〃”}的通项公式.
⑴证明由题意得居=斯斯+1,
则c〃一扇+1居一”〃+1。〃+2〃,修―2dan+i,
因此Cn+1—C〃=2d(〃八+2—。〃+1)=2,(常数),
・,・{金}是等差数列.
⑵解当〃=1时,加=届,・・%>0,・・・〃1=L
H+应+屈H----F星=SW,①
当〃22时,H+信+W+…+肩-1=5与-1,②
①一②得,冠=解一忌T=(S〃一S〃—I)(S〃+SLI).
:•星尸'+S〃—1=2S〃一〃”,③
ci\~1也符合上式,工当〃22时,。一i=2S”一1—cin-1,④
⑤)④)《号届OJI1—2(S〃—Sn1)-ClnH-Cln1—〃-I—4“+。〃-1,
•a”+a”-1>0,••aaa”-11>
数列{%}是首项为1,公差为1的等差数列,可得斯=〃.
题型三等差数列的性质
命题点1等差数列项的性质
例3⑴已知在等差数列{斯}中,若痣=8且log2(2«•….2%)=22,则$3等于()
A.40B.65C.80D.40+log25
答案B
解析log2(2"‘•…-2"")=log22"‘+log2202H------Flog22a"=m+a2H------Fan=1106—
”行I_血|013(ai+ai3)13(〃6+痣)“
22,所以。6—2o,则Si3——2—65.
(2)已知数列{d}都是等差数列,且G=2,h\=-3,aj—hj=n,则。2024一历024的值
为.
答案4051
解析令避=跖一%,因为{斯},{儿}都是等差数列,所以{金}也是等差数列.设数列{c.}的
公差为d,由已知,得ci=ai—bi=5,c?—17,则5+6</=17,解得d=2.故a2024—历024=C2024
=5+2023X2=4051.
思维升华等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中,只要出现项的和问题,一般先考虑应用项的性质.
(2)项的性质常与等差数列的前〃项和公式为=也抖相结合.
跟踪训练3(I)若等差数列{〃“}的前15项和$5=30,贝1|2的一。6—00+04等于()
A.2B.3C.4D.5
答案A
解析,."Si5=30,.,.果01+苗5)=30,
・・。]+。15=4,・・2a8=4,・・。8=2.
2。5-。6—。10+。14=〃4+。6-—0。+。14=〃4—。1()+。14=〃10+。8—。10=〃8=2.
(2)(2023•保定模拟)已知等差数列{斯}满足案=一2,则下列结论一定成立的是()
答案C
解析由浅=—2得。5#0,2a5+。8=a4+〃6+〃8=3。6=0,
所以。6=0,。3+49=2。6=0,
因为的工。,&6=0,
所以a3K0,T2=-1.
〃3
命题点2等差数列前n项和的性质
例4⑴设等差数列{为},同的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的“GN*,都有*务!,
则六厂+告一的值为()
力3+。13bs+bw
29「13c19
AA-45B-29C前D.4
答案C
解析由题意可知63+加3=〃5+方11="+历5=2仇,
.414。2+〃14〃8S152X15-3279
*Z?3+Z?i365+6112bg加7154X15—35719,
(2)已知等差数列{斯}共有(2〃+1)项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则知+1的
值为()
A.30B.29C.28D.27
答案B
解析奇数项共有(〃+1)项,其和为0+,"?(〃+1)=?•(〃+1)=290,
••.(n+1)斯+1=290.
偶数项共有n项,其和为丝手•〃=竽・〃=”如+1=261,
1=290-261=29.
思维升华等差数列前n项和的常用的性质是:
在等差数列{〃”}中,数列S",S2m—S,.,S3,"-S2",…也是等差数列,且有S2n=+。2")=…
=〃(如+知+|);S2n-|=(2«—l)a„.
跟踪训练4(1)设等差数列{〃”}的前n项和为S,”若S4=20,S5=30,飙=40,贝ijm等于()
A.6B.10C.20D.40
答案C
解析由S4=20,S5=30,得“5=S5—S4=10,由等差数列的性质,得$5=30=543,故。3
=6,而的一。3=10—6=4=24,故"=2,am=40—a5+2(m—5),解得〃?=20.
(2)已知S,是等差数列{斯}的前〃项和,若切=—2020,勰一黜=6,则S2023等于()
A.2023B.-2023
C.4046
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