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文档简介

第六章数列

§6.1数列的概念

【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是

自变量为正整数的一类特殊函数.

•落实主干知识

佚口识梳理)

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列{小}的第n项由与它的序号”之间的对应关系可以用

通项公式

一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

递推公式

表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列{④}的把数列{如}从第1项起到第〃项止的各项之和,称为数列{斯}

前〃项和的前〃项和,记作S”即S〃=ai+公+…

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

递减数列其中〃eN*

an+\<an

项与项间的

常数列a,i+\=a

大小关系n

从第二项起,有些项大于它的前一项,

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列{”“}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,〃})到实数集R的函数,其自变量是底

号〃,对应的函数值是数列的第〃项%,记为4"=式").

【常用结论】

[51,n=L

1.已知数列{斯}的前“项和S”则斯=。°

[5„—5»-1,B2.

2.在数列{%}中,右斯最大,贝!I,(〃》2,“GN);右a”最小,贝比(〃22,

7?SN,).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)数列的项与项数是同一个概念.(X)

⑵数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.(V)

⑶任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(X)

(4)若数列用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点.(V)

【教材改编题】

1.(多选)已知数列{”“}的通项公式为4=9+12”,则在下列各数中,是{〃“}的项的是()

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由数列的通项公式得,G=21,“2=33,02=153.

2.已知数列{斯}的前"项和为S”且5“=层+〃,则G的值是()

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由题意,S2=22+2=6,SI=1+1=2,所以42=S2—Si=6—2=4.

3.在数歹ij1,1,2,3,5,8,13,21,x,55,…中,x=.

答案34

解析通过观察数列各项的规律,发现从第三项起,每项都等于它前两项之和,因此x=13

+21=34.

・探究核心题型

题型一由④与S,的关系求通项公式

例1⑴已知数列3}的前“项和为S",勾=2,S"+1=2S*—1,则410等于()

A.128B.256C.512D.1024

答案B

解析♦.•S"+i=2S"-1,...当”22时,S„=2S„-i-l,两式相减得知+1=2%.当〃=1时,m

+“2=2ai—1,又0=2,二42=1.,数列{〃")从第二项开始为等比数列,公比为2.则6/10=02X28

=1X28=256.

(2)已知数列{飙}的前鼠项和为S”,且满足S“=2"+2—3,则斯=.

[5,n=1,

答案12.|,〃22

解析根据题意,数列{&}满足S“=2"+2—3,

当〃22时,有斯=&—SL1=(2"+2—3)—(2/1—3)=2"+],

[5,n=}9

当〃=1时,有。]=$=8—3=5,不符合a“=2〃I故%=。〃+]

[2,〃.—2.

思维升华s„与斯的关系问题的求解思路

(1)利用斯=S“一S“-1(〃22)转化为只含S”,S”T的关系式,再求解.

(2)利用5"—5“-1=期("》2)转化为只含小,斯t的关系式,再求解.

跟踪训练1(1)已知正项数列{斯}中,丽+亚+…+丽=硬/,则数列{斯}的通项公式

为()

A.=〃B.斯=

n层

=

C.an=2D.^n~2

答案B

解析—卜尸〃

y[a\+y[a2T-----日斯-1=^2~'22),

两式相减得丽=及/九(〃一1)

-2—=〃(心2),

.•・〃〃=/(〃22),①

।x2

又当〃=1时,声=—^—=1,«i=l,适合①式,

2

tzn=n,〃£N*.

(2)设*是数列{〃,,}的前〃项和,且田=-1,〃〃+i=S,5什],则S“=.

答案T

解析因为a”+l=S”+l—Sn,Cln+\=SnSn+1,所以由两式联立得S〃+i—5〃=5〃5〃+1.因为S〃W0,

所以卷一甘一=1,即甘一一!=一1.又1=—1,所以数列佶)是首项为一1,公差为一1的等

差数列.所以《'=-1+(〃-1)X(—1)=—”,所以s“=一

ft

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2设[x]表示不超过x的最大整数,如[―3.14]=-4,[3.14]=3.已知数列{斯}满足:m=l,

小+尸如+〃+l(〃eN*),则七+上+丹…+表】等于()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由a〃+i=〃,1+〃+1,得〃”一1=〃(〃22).又m=l,

所以斯=(斯―斯-1)+(。〃-1—斯-2)H----卜(。2—=〃+(〃-1)+(〃-2)T---卜2+1=

〃(/+1)

-2-(心2),

当n=\时,a\=\满足上式,

则『丽币=2『市

所以5+/…+丘

=2X11~2+2~3+'"+2023-2024,

=2X(1-忐)

_2023

-1012-

所以…+自小'2023"

_1012_=1.

命题点2累乘法

YI—1

例3在数列{““}中,0=1,斯=一二0”.|(〃)2,〃GN*),则数列{斯}的通项公式为

答案期=:

〃11

解析an=—1斯-]("22),

.〃一2一一31

•,a〃—\〃__]4”-2,。〃-2九__2"〃-3,•••,。22“L

以上(〃一1)个式子相乘得,

12n-1a\1

。“=〃1不27•3….----n——=n一.n

当〃=1时,0=1,符合上式,・,•斯=1.

思维升华(1)形如an+1—如=的数列,利用累加法.

(2)形如如把=/5)的数列,利用a/t=ai^—'-22)即可求数歹q{为}的通项公式.

斯。2dn-l

跟踪训练2(1)在数列{斯}中,出=2,a“+i=a“+ln(】+O,则斯等于()

A.2+lnnB.2+(九一l)ln〃

C.2+n\nnD.1+«+lnn

答案A

〃+1

解析因为斯+i—a“=ln—厂=ln(〃+l)—In小

所以“2—ai=ln2—In1,

&3-s=ln3—In2,

卬一〃3=ln4—In3,

an—an-\=\nn—\n(n—1)(〃22),

把以上各式相加得斯一czi=lnn—In1,

则小=2+ln〃(九22),且°]=2也满足此式,

因此斯=2+]n〃(〃£N*).

(2)已知数列的,毁,…,」人,…是首项为1,公比为2的等比数列,则log2a”=________.

ci\dn~\

答案迎严

解析由题意知,m=l,巫=1乂2"-1=2"一|(〃22),

dn~\

n(n-l)

所以斯=-^-X区」X…X这Xqi=2"「X2"—?x…义1=22(〃22),当〃=1时,m=l适

Cln-\2见

合此式,

所以10g2%=""\

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4设数列{斯}的前”项和为S",且V"WN",即+|>斯,S.2S6.请写出一个满足条件的数列

{斯}的通项公式。”=.

答案n-6,〃CN*(答案不唯一)

解析由X/*eN*,“可知数列{&“}是递增数列,又见》&,故数列{m}从第7项开始为

正.而“6W0,因此不妨设数列是等差数列,公差为1,。6=0,所以%=〃-6,“CN’(答案

不唯一).

命题点2数列的周期性

例5若数列{斯}满足。]=2,即+1=]_",则〃2024的值为()

A.2B.-3C.-3D.g

答案D

1-11

1+21—31211+3

解析由就意知,。]=2,政=]_2=­3,。3=]+3=-2*44=T=W'"5=i"=2,。6

—1+21-3

1+2]

=

=1__2—3,…,因此数列{〃〃}是周期为4的周期数列,所以〃2024=4505x4+4=。4=?

命题点3数列的最值

例6已知数列{斯}的通项公式为斯=初与,其最大项和最小项的值分别为()

A.1,—yB.0,—C**D.1,—Yj-

答案A

解析因为“6N*,所以当1W〃W3时,斯=”将<0,且单调递减;当〃24时,斯=5土>(),

且单调递减,所以最小项为。3=$1-=一:,最大项为〃4=|J"=1.

思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法,根据如+1一m的符号判断数列{斯}是递增数列、递减数列还是常数列.

(2)解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.

跟踪训练3(1)观察数列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…,则该数列的第11

项是()

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由数列得出规律,按照I,In2,sin3,是按正整数的顺序排列,且以3为循环,

由11+3=3余2,所以该数列的第11项为In11.

2/7—19

(2)已知数列{斯}的通项小弓〃7[,”WN*,则数列{斯}前20项中的最大项与最小项分别为

答案3,-1

解析出2〃~—7197=2^〃—―21片+2=1+广277,当〃211时,一2?7>。,且单调递减;当1W〃W1O

2/2—212/1—212/1—212/1—21

2

时,5言<0,且单调递减.因此数列{斯}前20项中的最大项与最小项分别为第11项,第

10项.。]]=3,〃]()=—1.

课时精练

且基础保分练

F?——1

1.已知小=干,那么数列{如}是()

A.递减数列B.递增数列

C.常数列D.摆动数列

答案B

解析%=1一鬲,将所看作关于〃的函数,〃6N*,易知数列{〃“}是递增数列.

2.已知数列{斯}的前〃项和S”满足S5=S“+i(〃WN*),且0=2,那么“7等于()

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因为数列{斯}的前〃项和S“满足S5=S«+i(〃eN*),ai=2,

所以S“+i=2S“即架=2,所以数列{&}是以2为公比,以2为首项的等比数列,所以S“

6

=2X2"—=2".所以当"》2时,a“=S“-S"T=2"-2"-i=2"r.所以a7=2=64.

3.已知数列{斯}满足s=l,a„-a„+i=na„a„+i(nGN*),则如等于()

层一〃/一〃+222

Aa。IB«cC,D«o]c

22n~n几一〃十2

答案D

解析由题意,得」—-;=〃,则当〃22时,;一」一=〃一1,」—一」一=〃一2,…,;一

111"2—〃I旌2-n“2—"+2

y=l,所以十一十=1+2+…+(〃-1)=-^(〃22),所以'+1=­Z—,即a„

Cl]ClnCl]乙Un乙乙

22

="2_〃+2("22),当〃=1时,〃]=1适合此式,所以—〃+)

4.设数列{如}满足:671=2,如+1=1—5,记数列{&}的前"项之积为P",则尸2024等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析“1=2,知+|=1—得。2=1,。3=—1,44=2,45=1,…,所以数列{小}是周期为3

LL

的周期数列.且尸3=-1,2024=3X674+2,所以?2024=(-1严*042=1.

5.大衍数列,来源于我国的《乾坤谱》,是世界数学史上第一道数列题,主要用于解释中国

传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第

41项为()

A.760B.800C.840D.924

答案C

222

解析由题意得,大衍数列的奇数项依次为MI—1,―3—1,―5—1,…,易知大衍数列的第41

412—1

项为一十=840.

6.(多选)已知数列{小}的通项公式为期=(〃+2)(9",则下列说法正确的是()

A.数列{%}的最小项是m

B.数列{为}的最大项是04

C.数列{斯}的最大项是的

D.当“25时,数列{小}递减

答案BCD

解析假设第〃项为⑹的最大项,则忆即卜所以

叱矶,[(〃+2&(〃+3)(沪,

〃这5,65

,〜又〃WN',所以几=4或〃=5,故数列{斯}中。4与。5均为最大项,且。4=。5=9,

当〃,5时,数列{〃〃}递减.

7.S〃为数列{斯}的前〃项和,且log2(S〃+l)=〃+l,则数列伍〃}的通项公式为.

⑶〃=1,

答案心2

解析由log2(S“+l)="+l,得S.+1=2"+|,当〃=1时,0=S|=3;当〃》2时,a.=S.一

3,n—\,

S,i=2",显然当"=1时,不满足上式.所以数列{”“}的通项公式为引=

2,“32.

8.若数列{%}的前〃项和S.=”2—10〃(〃eN*),则数列{如}的通项公式如=,数列

{"即}中数值最小的项是第项.

答案2n—113

解析•.$=〃2—10〃,...当〃22时,a“=S“一Si=2〃一11;

当”=1时,0=5|=—9也适合上式..*.a„=2«-ll(neN*).

记,人")="即=〃(2〃-11)=2"2—11",此函数图象的对称轴为直线“=?,但"GN”,

...当〃=3时,逃")取最小值数列{M“}中数值最小的项是第3项.

9.在①"a”」一(〃+l)a”=〃("+l);②S"=2〃2—1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上,

并解答.

若数列{"”}的前〃项和为S”,“i=l,且数列{为}满足.

⑴求。2,。3;

(2)求数列{小}的通项公式.

注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

解⑴选择①:s—2ai=lX2,则“2=4.

2〃3-3〃2=2X3,则的=9.

2

选择②:a2=S2-Si=2X2-l-l=6.

〃3=§3一$2=2X32—1-2X22+1=10.

(2)选择①:由nan-1—(/?+1)an=+1),

斯-2T

所喈堞-篙+署——a\~\~a\=n-1+1=〃,

n~2

2

所以an=n.

选择②:当〃22时,〃“=S〃一S,L1=2〃2-I—[2(〃-1)2—1]=4〃一2;

当〃=1时,tzi=Si=l,不符合上式,

[1,〃=1,

故{斯}的通项公式为斯=,。

14/2—2,一丁2,

10.(2023・长沙模拟)已知数列{c.}满足a斗〃GN*,S“为该数列的前〃项

和.

⑴求证:数列用为递增数列;

(2)求证:Sn<l.

证明⑴因为□=]"]

2crt+|-1cn-\

所以c〃K0,

两边分别取倒数可得1一」一=1一4,

整理可得一匚_:=(:_1)2>0,

所以数列{F}为递增数列.

G1+1«reC,Ll-l+lC„-1+1I,I

⑵由[可仔;——1,即1一C"+7,

Cn-lCn+l_1Cn-lCn+\-lCn-\

]

所以金=嬴》

cn—\

所以S〃=Cl+c2T----\~Cn

___L_

C2—1C\—1C3-1C2-1Q+l-1Cn-1

Cn+]—\C\-\Cn+]-l'

又所以C"+iG(O,

C〃C1\Az

所以一L-r<-i,即so.

Cn+l—l

应综合提升练

11.在数列{知}中,〃1=1,a=(nf飙),〜=(a〃+i,〃+1),且。,5,则©oo等于()

A.B.一4与C.100D.—100

答案D

解析因为a=(n,a)b=(a+\,n+1),且a_Ld所以na+\+(n+l)a=0所以

n9nnn9Cln〃

所以资=—彳谓…,臂=—喘.以上各式左右分别相乘,得等=—100,因为0=1,

ci\1azz〃99yyci\

所以0oo=-100.

12.(2022•全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗

环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数歹1{d}:

fei=i+~»岳=1+―彳,fe=I+%~,…,依此类推,其中以©N*伏=1,2,…).则

久+一

«3

()

A.b\<b5B.03Vb8

C.86<〃2D.b4Vb7

答案D

解析方法一当〃取奇数时,

由已知加=1+;,历=1+-----1—

«i।।

«1+----------7

«2+。3

因为-----,所以>加,

«].161

------r

如+一

同理可得加>打,bs>bi,•••,于是可得">%>65>岳>…,故A不正确;

当”取偶数时,由已知岳=I+'Y

仇=1+j

a\+j-

四+j-

⑥+«/4

因为----Lj-,所以b2Vb4,

0.1+r

ay+—

04

同理可得b4Vb6,b6Vb8,…,于是可得岳<Z?4Vb6V88〈…,故C不正确;

因为;7,所以仇>〃2,

«i.1

«1+—

«2

同理可得加>仇,儿泌6,bi>b8,

又加>历,所以仇>以,故B不正确;故选D.

方法二(特殊值法)

不妨取碑=1(4=1,2,…),则加=1+;=2,

历=i+」-y得=1+渭,

1+T

/?3=H==T=i+H,

所以庆=1+t=1

,,,1,,513

打=1+豆=1+十至,

1Q21

『+百=

%=1+13'

,.,1,,1334

加="瓦=1+五=亓

例,=1,+,石1=1,+,而21=五55.

逐一判断选项可知选D.

13.已知数列{内}中,前〃项和为且s“="当”,则区的最大值为.

答案3

解析'."S„=^T^a,„.•.当时,斯=5"-5"-1=4^斯一咛」如-1,可化为乌-="=4=1

十三,由函数y=三在区间(1,+8)上单调递减,可得当〃=2时,07取得最大值2.....

n1a〃一1

的最大值为3.

14.已知[幻表示不超过x的最大整数,例如:[2.3]=2,[-1.7]=—2.在数歹ij{a“}中,a„=[lgn],

记S"为数列{“")的前"项和,则“2024=;$2024=.

答案34965

解析Van=[lgn],

.,.当1W〃W9时,«„=[lgn]=0;

当10W〃W99时,a„=[lgn]=l;

当I00W〃W999时,斯=[lg〃]=2;

当1000W〃W9999时,斯=[电网=3.

/.a2024=[Ig2024]=3,S2024=9X0+90X1+900X2+1025X3=4965.

应拓展冲刺练

15.(2023・郑州模拟)己知数列伍/满足痣=2,a2n=a2i+2"(〃WN*),仇+1=侬+(—1)"("WN*),

则数列{如}第2024项为()

A.2|0|2-2B.2|013-3

C.21°"—2D.21°11-3

答案B

解析由侬+1="2”+(—1)"得"2"-1=42"-2+(-1)"〃22),又由"2"=〃2"-1+2"得

如=。*2+2"+(—D"-i(wGN*,心2),

所以44=42+22+(-1),46=44+23+(—1)2,a«=a(,+24+I)3,…,02024=«2022+21012

12l23|0,2

十(—1)1将上式相加得a2024=a2+(-l)+(-l)+-+(-D°"+2+2+-+2=2

+岑孝工…-3.

1—2

2

16.在数列{〃”}中,已知m=l,nan—Sn=tvan-1—5n-1(H2,〃£N*),记儿=%,〃为数列

{与}的前〃项和,则72025=.

会安1025

u木1013

解析由iran—S,t=r^an-1—SM-1(H>2,nCN*),

2

得层如一(5„—S〃T)=nan-i,

所以(层一1)斯=rvan-\,

华=”x士.

nn—1n~v1

令C〃=*,则Cn=Cn-\义消不

Cn_n

所以

Cn-\n+\

由累乘法得安系,

又c\=a\=\,

所以°尸系’所以詈=看,

所以如=7百,

所以历产第=又磊5=2*(,击),

所以4025=2X0+…;)=2X(1-忐)=2025

2026,1013-

§6.2等差数列

【考试要求】1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式.3.能在具体的

问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函

数、二次函数的关系.

・落实

【知识梳理】

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地,如果一个数列从第1项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个

数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母a表示,定义表达式

为斯一斯7=或常数)5日2,〃eN*).

(2)等差中项

由三个数a,A,6组成等差数列,则A叫做。与匕的等差中项,且有2A=〃+A

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式:an=a\+(n—\}d.

⑵前n项和公式:S产网+---2~~d或'

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广:an=am+n,mCN").

(2)若{如}为等差数列,且&+/=〃2+〃(k,/,m,〃GN*),则a”.

(3)若{%}是等差数列,公差为d,则a*,a*+m,a&+2,",…(&,niGN*)是公差为迦_的等差数列.

⑷数列S",S2m~Sm>S3,"—52"”…也是等差数列.

(5后"-|=(2"—1)4".

(6)等差数列{如}的前n项和为S.,为等差数列.

【常用结论】

1.已知数列{”“}的通项公式是a“=p"+q(其中p,q为常数),则数列{小}一定是等差数列,

且公差为p.

2.在等差数列{小}中,«)>0,d<3则S“存在最大值;若0<0,40,则S”存在最小值.

3.等差数列{如}的单调性:当d>0时,{”“}是递增数列;当d<0时,{斯}是递减数列:当

d=0时,{斯}是常数列.

4.数列{斯}是等差数列OS,=A〃2+B"(A,B为常数).这里公差d=2A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数

列.(X)

⑵数列{斯}为等差数列的充要条件是对任意〃GN*,都有2a“+1=m+%+2.(V)

(3)在等差数列{a,J中,若4,“+斯=即+的,则/w+"=p+q.(X)

(4)若无穷等差数列{”“}的公差J>0,则其前〃项和S“不存在最大值.(V)

【教材改编题】

1.在等差数列{斯}中,己知“5=11,倘=5,则410等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

11=ai+4c/,[ai=19,

解析设等差数列{斯}的公差为d,由题意得,,解得,

,5=ai+7d,[a=—2.

-'.an——2/1+21..'.67io—2X10+21--1.

2.设等差数列{斯}的前〃项和为S“,若$4=8,58=20,则麴+00+如+。12等于()

A.12B.8C.20D.16

答案D

解析等差数列{"〃}中,$4,Sf,—St,S12-$8仍为等差数列,即8,20—8,ag+aio+a”+“12

为等差数列,所以49+010+011+02=16.

3.设等差数列{6}的前〃项和为S”.若0=10,54=28,则S“的最大值为.

答案30

解析由0=10,S4=44I+64=28,解得d=-2,所以S,="ai+必了*"&=一"+]]〃.当〃

=5或6时,S”最大,最大值为30.

■探究核心题型

题型一等差数列基本量的运算

例1(1)(2023•开封模拟)已知公差为1的等差数列{%}中,底=4346,若该数列的前n项和5„

=0,则n等于()

A.10B.11C.12D.13

答案D

解析由题意知(。|+4)2=31+2)(〃|+5),“a1+2=0,解得。1=—6,n—13.

(2)(2020・全国H)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块

圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下

一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,

且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

答案C

解析设每一层有〃环,由题意可知从内到外每环之间构成d=9,0=9的等差数列.由等

-

差数列的性质知S",S2n-Sn,S3”"S2"成等差数列,且(S3,L$2")一(S2,LS")=”24,则9/=729,

得"=9,

27X26

则三层共有扇面形石板S3“=S27=27X9+r^X9=3402(块).

思维升华(1)等差数列的通项公式及前八项和公式共涉及五个量n,d,a„,Sn,知道其

中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).

(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项功和公差d.

跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨

水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、

春分日影长之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为

(一丈=十尺=一百寸)()

A.一尺五寸B.二尺五寸

C.三尺五寸D.四尺五寸

答案B

解析由题意知,从冬至日起,依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{斯},

设公差为d,

•.•冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,

ai+a4+m=3ai+9d=315,

9X8

S9=94I+0d=855,

“1=135,

解得

d——10,

芒种日影长为02=ai+lld=135-llXlO=25(寸)=2尺5寸.

(2)数列bW是等差数列,且0=1,。3=一;,那么42024=.

解析设等差数列,言)的公差为4因为G=l,俏=一彳,所以高=1,高=3.所以

2222022

3=1+24,解得4=1.所以不门=1+"-1=",所以期=1-1•所以“2024=而立一1=一九成

1011

=­|012-

题型二等差数列的判定与证明

例2(2021•全国甲卷)已知数列{斯}的各项均为正数,记S”为{斯}的前〃项和,从下面①②③

中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①数列{斯}是等差数列;②数歹I{低}是等差数列:③。2=30.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

解①③0②.

已知{斯}是等差数列,。2=30.

设数列{斯}的公差为d,

则“2=3ai=ai+d,得1=2出,

所以Sn=na\+^2^d—rrai.

因为数列{如}的各项均为正数,

所以低=/r标,

所以低3-低=5+1而一而=磊(常数),所以数歹叫低}是等差数列.

①②今③.

已知{%}是等差数列,{遮,}是等差数列.

设数列{m}的公差为d,

则Sn—na\+“。\1)4=%4+(0-9几

因为数列{低}是等差数列,所以数歹北低}的通项公式是关于“的一次函数,则m—亨=0,

即d=2ai,所以ai=a\+d=?>a\.

②③0①.

已知数列{低}是等差数列,“2=30,

所以Si=ai,$2=。1+。2=4的.

设数列{低}的公差为d,d>0,

2

则y[每一小[=y[诉=d,得ai=df

所以,=小i+(〃-1)d=nd,

所以S产R/2,

所以a〃=S〃-S〃T=〃2»—(〃-1)2/=2隔一是关于几的一次函数,且/满足

上式,所以数列{小}是等差数列.

思维升华判断数列{〃〃}是等差数列的常用方法

(1)定义法.

(2)等差中项法.

(3)通项公式法.

(4)前n项和公式法.

跟踪训练2己知数列{m}的各项都是正数,N*.

⑴若{〃〃}是等差数列,公差为小且仇是如和MH的等比中项,设屯=忌+|一居,nEN*,求

证:数列{c〃}是等差数列;

(2)若H+冠+肩3----卜屈=S*S〃为数列{〃〃}的前几项和,求数列{〃”}的通项公式.

⑴证明由题意得居=斯斯+1,

则c〃一扇+1居一”〃+1。〃+2〃,修―2dan+i,

因此Cn+1—C〃=2d(〃八+2—。〃+1)=2,(常数),

・,・{金}是等差数列.

⑵解当〃=1时,加=届,・・%>0,・・・〃1=L

H+应+屈H----F星=SW,①

当〃22时,H+信+W+…+肩-1=5与-1,②

①一②得,冠=解一忌T=(S〃一S〃—I)(S〃+SLI).

:•星尸'+S〃—1=2S〃一〃”,③

ci\~1也符合上式,工当〃22时,。一i=2S”一1—cin-1,④

⑤)④)《号届OJI1—2(S〃—Sn1)-ClnH-Cln1—〃-I—4“+。〃-1,

•a”+a”-1>0,••aaa”-11>

数列{%}是首项为1,公差为1的等差数列,可得斯=〃.

题型三等差数列的性质

命题点1等差数列项的性质

例3⑴已知在等差数列{斯}中,若痣=8且log2(2«•….2%)=22,则$3等于()

A.40B.65C.80D.40+log25

答案B

解析log2(2"‘•…-2"")=log22"‘+log2202H------Flog22a"=m+a2H------Fan=1106—

”行I_血|013(ai+ai3)13(〃6+痣)“

22,所以。6—2o,则Si3——2—65.

(2)已知数列{d}都是等差数列,且G=2,h\=-3,aj—hj=n,则。2024一历024的值

为.

答案4051

解析令避=跖一%,因为{斯},{儿}都是等差数列,所以{金}也是等差数列.设数列{c.}的

公差为d,由已知,得ci=ai—bi=5,c?—17,则5+6</=17,解得d=2.故a2024—历024=C2024

=5+2023X2=4051.

思维升华等差数列项的性质的关注点

(1)在等差数列题目中,只要出现项的和问题,一般先考虑应用项的性质.

(2)项的性质常与等差数列的前〃项和公式为=也抖相结合.

跟踪训练3(I)若等差数列{〃“}的前15项和$5=30,贝1|2的一。6—00+04等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析,."Si5=30,.,.果01+苗5)=30,

・・。]+。15=4,・・2a8=4,・・。8=2.

2。5-。6—。10+。14=〃4+。6-—0。+。14=〃4—。1()+。14=〃10+。8—。10=〃8=2.

(2)(2023•保定模拟)已知等差数列{斯}满足案=一2,则下列结论一定成立的是()

答案C

解析由浅=—2得。5#0,2a5+。8=a4+〃6+〃8=3。6=0,

所以。6=0,。3+49=2。6=0,

因为的工。,&6=0,

所以a3K0,T2=-1.

〃3

命题点2等差数列前n项和的性质

例4⑴设等差数列{为},同的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的“GN*,都有*务!,

则六厂+告一的值为()

力3+。13bs+bw

29「13c19

AA-45B-29C前D.4

答案C

解析由题意可知63+加3=〃5+方11="+历5=2仇,

.414。2+〃14〃8S152X15-3279

*Z?3+Z?i365+6112bg加7154X15—35719,

(2)已知等差数列{斯}共有(2〃+1)项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则知+1的

值为()

A.30B.29C.28D.27

答案B

解析奇数项共有(〃+1)项,其和为0+,"?(〃+1)=?•(〃+1)=290,

••.(n+1)斯+1=290.

偶数项共有n项,其和为丝手•〃=竽・〃=”如+1=261,

1=290-261=29.

思维升华等差数列前n项和的常用的性质是:

在等差数列{〃”}中,数列S",S2m—S,.,S3,"-S2",…也是等差数列,且有S2n=+。2")=…

=〃(如+知+|);S2n-|=(2«—l)a„.

跟踪训练4(1)设等差数列{〃”}的前n项和为S,”若S4=20,S5=30,飙=40,贝ijm等于()

A.6B.10C.20D.40

答案C

解析由S4=20,S5=30,得“5=S5—S4=10,由等差数列的性质,得$5=30=543,故。3

=6,而的一。3=10—6=4=24,故"=2,am=40—a5+2(m—5),解得〃?=20.

(2)已知S,是等差数列{斯}的前〃项和,若切=—2020,勰一黜=6,则S2023等于()

A.2023B.-2023

C.4046

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