2023-2024学年湖北省武汉市江夏区翠微中学九年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市江夏区翠微中学九年级（上）月考数学试

卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.x（x+1）=0C.x2-4y=0D.x2—|=5

2.一元二次方程2/+5x=6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,5,6B.5,2,6C.2,5,-6D.5,2,-6

3.一元二次方程x（x-3）=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.一元二次方程式一4;（-1=0配方后可化为（）

A.（%+2）2=3B.（x+2产=5C.（%—2）2=3D.（x—2）2=5

5.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（

每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（）

A.5B.6C.7D.8

6.某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为

X,那么％满足的方程是()

A.100(1+x)2=392

B.100+100(1+%)2=392

C.100+100(1+x)+100(1+2x)=392

D.100+100(1+x)+100(1+x)2=392

7.现要在一个长为40m,宽为266的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地

方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为9507n2,那么小道的宽度应

是（）

A.1m

B.1.5m

C.2m

D.2.5m

8.将抛物线y=/平移得到抛物线y=（x+2）2+3,下列叙述正确的是（）

A.向右平移2个单位，向上平移3个单位B.向左平移2个单位，向下平移3个单位

D.G为工轴，〃为y轴

10.下列说法：①若一元二次方程/+bx+a=0有一个根是a（aM0）,则代数式a+b的值是一1；②若/>

6ac,则关于x的一元二次方程ax?+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若b=a+2c,则关于x的

一元二次方程a/+必+c=0一定有两个不相等的实数根；④已知两实数m,n满足+3m-9=0,

9n2-3n-l=0,且mn¥l,则皿等业的值为-6.其中正确的有（）

*

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.点P（—3,1）关于原点的对称点P'的坐标是.

12.关于x的一元二次方程*2-2x+m=0的一个根为—1,则m的值为.

13.如图所示，在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸180cmJ

边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5280cm2,设金色纸

边的宽为xcm,则可列方程.（化为一般式）

14点P2（2,y2）>23（5,丫3）均在二次函数y=-产+2x+c的图象上，则为,y2>X的大小关系

是.

15.二次函数y=kx2-3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是.

16.若a,b为一元二次方程久2-7x-1=0的两个实数根，则2a2+3ab+8b-6a值是.

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.解方程：

①产—2%—5=0.（公式法）

@2x（%+3）=x+3.

四、解答题(本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题8.0分)

某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57,

每个支干长出多少小分支？

19.(本小题9.0分)

如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为

17m),另外三边利用学校现有总长34m的铁栏围成.

(1)若围成的面积为144nl2,试求出自行车车棚的长和宽;

(2)能围成面积为1607n2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

，///八

D

20.(本小题9.0分)

已知：关于工的一元二次方程/一2(攵一1)%+攵2=0有两个实数根与，%2.

(1)求々的取值范围；

(2)若区+&I=-6,求k的值.

21.(本小题9.0分)

如图，抛物线%=-九)2+k与x轴交于点4与y轴交于点B,直线的解析式为丫2・

(l)a=，h=,k=；

(2)当一2VXV2时，yi的取值范围是；

(3)当月＜%时，入的取值范围是.

22.(本小题9.0分)

网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销

售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者.已知该

板栗的成本价格为6元/的，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y=-100x+5000.经销售

发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/g.设板栗公司销售该板栗的日获利为w(元).

(1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；

(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

23.(本小题10.0分)

［学习概念］有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.

［理解运用］

(1)如图1,在对余四边形4BCD中，连接AC,40=30。，/.ACD=115°,AB=AC,求/BAD的度数；

(2)如图2,在凸四边形4BCD中，DA=DB,DA1DB,^2CD2+CB2=CA2^i,判断四边形4BCD是否为

对余四边形？并证明你的结论；

［拓展提升］

(3)如图3,在对余四边形4BCD中，乙4=45。，^ADB+/.DBC=90°,8c=6.求4B+CD的长.

24.(本小题10.0分)

己知抛物线y=jx2+bx+c的顶点(0,1).

(1)该抛物线的解析式为:

(2)如图1,直线y=kx+kt交无轴于4,交抛物线于B、C,BE_Lx轴于E,。尸1%轴于尸，试比较AE•力尸与6

的大小关系.

(3)如图2,0(0,2),M(l,3),抛物线上是否存在点N,使得NM+ND取得最小值，若存在，求出N的坐标,

若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A.ax2+bx+c=0,当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意：

B.x(x+1)=0,是一元二次方程，符合题意；

C.x2-4y=0,是二元二次方程，不符合题意；

。.尤2_?=5,是分式方程，不符合题意；

X

故选:B.

根据一元二次方程的概念判断即可.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次

方程.

本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元

二次方程是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：方程整理得：2x2+5x-6=0,

则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,5,-6,

故选：C.

方程整理为一般形式，找出所求即可.

此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为a/+bx+c=0(a。0).

3.【答案】A

【解析】解：x(x-3)=0,

x=0,x—3=0,

=01%2=3,

即方程有两个不相等的实数根，

故选4.

根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程.

4.【答案】D

【解析】解：%2—4%—1=0,

x2-4x=1,

x2—4x+4=1+4,

(x-2)2=5,

故选：D.

移项，配方，即可得出选项.

本题考查了配方解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：设应该邀请x个球队参加，

由题意得：—1)=21,

解得：x=7或x=-6(舍去)，

即：应邀请7个球队参赛.

故选：C.

设应该邀请X个球队参加，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，X个球队比赛总场数为即

可列方程.

本题考查的是一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题

的关键.

6.【答案】D

【解析】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为X,

根据题意可列方程：100+100(1+%)+100(1+X)2=392,

故选：D.

根据“第三季度生产零件数=七月生产零件数+八月生产零件数+九月生产零件数”可列方程.

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：设小道的宽度为

依题意得：(40-2x)(26-x)=950,

整理得：X2—46x+45=0,

解得：X]=1,X2=45.

又40—2x>0,

•••x<20,

：.x=1.

故选：A.

设小道的宽度为xm,则剩余部分的面积与长(40-2x)m、宽(26-x)ni的矩形面积相等，结合种植花草的

面积为950根2,即可得出关于万的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合(40-2x)为正值即可确定小

道的宽度.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=/向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=

(x+2)2.

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=(x+2)2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=(%+

2)2+3；

故选：D.

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题

关键.

9.【答案】D

【解析】解：•••抛物线的开口向下，

・•・Q<0,

・•・抛物线与y轴的负半轴相交，

•,」2为X轴，，4为、轴・

故选：D.

根据抛物线的开口向下，可得a<0,求出对称轴为：直线x=2a,则可确定〃为y轴，再根据图象与y轴交

点，可得出，2为X轴，即可得出答案.

本题考查了二次函数的性质，开口方向由a确定，与y轴的交点由c确定，左同右异确定b的符号.

10.【答案】C

【解析】解：①若一元二次方程/+bx+a=0有一个根是a(a十0),则a?+bxa+a=0

整理得出：a(a+b+l)=0,

则代数式a+b=-l,故此说法正确；

②:.b2>6ac,

:"b2>4ac,即炉—4ac>0,

・•・关于％的一元二次方程a/+以+c=0一定有两个不相等的实数根，故此说法正确;

③若b=Q+2c,那么4=b2—4QC=(Q+2c)2—4ac=a2+4c2,

•・•当aH0,

・・.4>0,故此说法正确；

(4)•・,两实数n满足m?+3m—9=0,9n2—3n—1=0,且nmH1,

.1.m,工可看作方程/+3x-9=0的两实数根，

n

1-mc

••・m+y—3,-=-9,

皿萼也=m+%+工=_3_9=—12.故此说法错误；

nznn

故正确的有3个，

故选：C.

①将a代入方程得出a+b的值即可；②利用％2>6ac,分析△得出即可；③利用b=a+2c,分析△得出即

可；④把TH,；可看作方程/+3尢-9=0的两实数根，则根据根与系数的关系计算代数式的值即可.

此题主要考查了根的判别式以及根与系数的关系，解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式」的关系

是解决本题的关键.

11.【答案】(3,-1)

【解析】解：点P(—3,l)关于原点的对称点P'的坐标是(3,-1).

故答案为：(3,-1).

根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都是互为相反数关系可得答案.

此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

12.【答案】-3

【解析】【分析】

本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

根据关于x的方程/-2x+m=0的一个根是一1,将x=1代入可以得到小的值，本题得以解决.

【解答】

解：：关于%的方程/-2x+m=0的一个根是—1,

1+2+m=0>

解得m=-3,

故答案为：—3.

13.【答案】x2+65X-320=0

【解析】解：•.•挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,

•••可列方程为(80+2x)X(50+2%)=5280,

化简得/+65x-320=0,

故答案为：x2+65%-320=0.

易得挂图的长和宽，那么相应的等量关系为：挂图的长x宽=5280,把相关数值代入，化简即可.

考查用一元二次方程解决有关图形面积的问题，得到挂图的长和宽是解决本题的关键.

14.【答案】丫2>%>y-3

【解析】解：二次函数〉=一/+2%+(:的对称轴为：刀=一者不=1,

由对称性得，P1(-1J1)关于对称轴对称的点Q的坐标为(3/1),

va=-1<0,

・•・在对称轴的右侧，即X>1时，y随X的增大而减小，

「02(2,，2)，「3(5,、3)，Q(3,yi)，

•••丫2>%>丫3，

故答案为：y2>yi>y3.

求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性，可知在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，再利用对称性得

出P1关于对称轴对称的点Q的坐标，再进行比较即可.

考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解决问题的前提，求出对称轴是关犍.

15.【答案】卜£^且卜丰0

4

【解析】解：•••二次函数丁=/£/一3》+1的图象与％轴有公共点，

•••△=(-3)2-4kx1>0,

解得：k<l，

又y=kx2-4%4-2是二次函数，

・•・k。0,

・•.k的取值范围是k<5且kH0.

故答案为：卜33且上羊0.

先根据二次函数的定义得到k00,再根据抛物线与％轴的交点问题得到△=(-3)2-4/cxl>0,然后解不

等式即可得到k的值.

本题考查了抛物线与工轴的交点：对于二次函数y=ax?+6工+是常数，QHO),4=Z?2-4QC决定

抛物线与％轴的交点个数：当4=〃一4ac>o时，抛物线与％轴有2个交点；当4=〃-4ac=0时，抛物

线与％轴有1个交点；当4=炉-44V0时，抛物线与％轴没有交点.

16.【答案】55

【解析】解：,.・a,b为一元二次方程/一7久一1=0的两个实数根，

2

Aa—7a—1=0»a+b=7,ab=-1»

・・.M=7。+i,

:.2a2+3ab+8b—6a

=2(7a+1)+3ab+8b—6a

=8(a+b)+3ab+2

=8x7+3x(-1)+2

=56-3+2

=55,

故答案为：55.

根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出十一7。一1=0,a+b=7,ab=-l,求出Q2=7Q+1,

再代入求出即可.

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系和求代数式的值等知识点，能求出a+b=7,。匕=-1和

小=7。+1是解此题的关键.

17.【答案】解：①•.・a=1,b=-2,c=-5,

.・.4=匕2—4ac=(-2)2—4x1X(-5)=4+20=24,

:./=1+x2=1-

②2x(%+3)=%+3.

移项得：2x(%+3)-(%+3)=0,

分解因式得：(%+3)(2%-1)=0,

%+3=0或2x—1=0,

解得%1=-3,x2=

【解析】①利用公式法求出解即可；

②先将方程右边的项移到左边，再利用因式分解法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；(2)

将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个

一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

18.【答案】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，

根据题意列方程得：X2+X+1=57,

解得：x=7或x=-8(不合题意，应舍去)；

•••x=7；

答：每支支干长出7个小分支.

【解析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出/个分支，

则主干、支干和小分支的总数是/+%+1,即可列方程求得x的值.

此题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能

够熟练运用因式分解法解方程.

19.【答案】解：(1)设则BC=(34-2x)m,

依题意得：x(34-2%)=144,

整理得：x2-17x+72=0,

解得：%!=8,%2=9.

当x=8时，34-2%=34-2x8=18>17,不合题意，舍去；

当％=9时，34-2%=34-2x9=16<17,符合题意.

答：自行车车棚的长为16m,宽为9m.

(2)不能，理由如下：

设4B=ym,则BC=(34-2y)m,

依题意得:y(34-2y)=160,

整理得：y2-17y+80=0.

•••4=(-17)2-4x1x80=-31<0,

该方程没有实数根，

即不能围成面积为1607n2的自行车车棚.

【解析】⑴设4B=x?n,则BC=(34-2x)m,根据矩形车棚的面积为144m2,即可得出关于x的一元二次

方程，解之即可得出工的值，再结合可利用的墙长为177n即可确定车棚的宽，再将其代入(34-2吟中可求出

车棚的长；

(2)设2B=ym,则BC=(34-2y)m,根据矩形车棚的面积为160巾2,即可得出关于y的一•元二次方程，由

根的判别式4=-31<0,即可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为160m2的自行车车棚.

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方

程；(2)牢记“当4<0,方程没有实数根”.

20.【答案】解：(1)•••方程有实数根，

.1.4=[2(/c-I)]2-4/c2>0,

解得k<1.

(2)由根与系数关系知：户++

又%+x2\=%i%2—6,化简代入得|2(々-1)1=k2—6,

2(k—1)V0,

*e•—2(k—1)——6,

解得心=一4,心=2(舍去)

・•・k=-4.

【解析】(1)根据方程有两个实数根可以得到4N0,从而求得/c的取值范围；

(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求A的值即可.

本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0(aW0,Q,4c为常数)的根的判别式4=b2-4ac,当/>0时，方

程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4Vo时，方程没有实数根.

21.【答案】一114-5VyiW4.%<0或%>3

【解析】解：(1)由图象可得yi=a(x-1)2+4,

把(3,0)代入yi=a(x-I)2+4得0=4Q+4,

解得a=-1,

故答案为：—1;1;4.

(2)•.・抛物线顶点坐标为(1,4),图象开口向下，

当％=-2时，月=-(-2-1)2+4=-5,

:.-2<%<2时,一5V为44.

故答案为：—5V<4.

(3)•••点B横坐标为x=0,点4横坐标为久=3,

.,.久<0或%>3时，抛物线在直线下方，

故答案为：》<0或%>3.

(1)由图象顶点可得八与k的值，将点4坐标代入解析式求a的值.

(2)由抛物线开口向下及对顶点坐标可得y最大值为4,x=-2时y取最小值.

(3)根据图象抛物线与直线交点横坐标求解.

本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数与方程及不等式的关系.

22.【答案】解：(l)w=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x2+5600x-32000,

答：日获利W与销售单价x之间的函数关系式为w=-100x2+5600x-32000；

(2)w=-100x2+5600%-32000=-100(x-28)2+46400,

a=-100<0,对称轴为x=28,

当x=28时，w有最大值为46400元，

当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元.

【解析】(1)由日获利=(销售单价—成本)x日销售量，可求解；

(2)由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解.

本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键.

23.【答案】解：(1)四边形4BCD是对余四边形，依题意得，NB+ND=90。，

•••ZD=30°,

NB=90°-£.D=60°,

■■■AB=AC,

ABC是等边三角形，

・•・Z-ACB=乙B=60°,

・・•/.ACD=115°,

・・・乙BCD=Z.ACB+^ACD=175°,

在四边形4BC0中，乙BAD=360°-zF-Z-ACD-zD=360。一60。―175°—30。=95。；

(2)四边形ABCD是对余四边形，理由如下：

如图，过点。作DM_LCD,使CD=DM,连接CM,BM,

・••Z-ADB=90°,

•・,DA=DB,

・•・乙BAD=Z.ABD=45°,

•：DMA.CD,CD=DM,

・♦・乙DMC=乙DCM=45°,

vz.ADB=Z.CDM=90°,

・•・Z,ADB+(BDC=匕CDM+々BDC,

即乙4DC=乙BDM,

在△40C和aBOM中，

(DA=DB

\z.ADC=匕BDM,

(DC=DM

•••△40C三△BDM(S4S),

••AC=BM,

在中，CM2=CD2+DM2=2CD2,

v2CD2+CB2=CA2,

・・・CM2+CB2=8M2,

・•.△BCM是直角三角形，且乙BCM=90。，

vLDCM=45°,

・・・Z,DCB=乙BCM-Z,DCM=45°,

/.Z.DCB+乙BAD=90°,

・・・四边形/BCD是对余四边形；

(3)如图，过点B作BEJ.BC交CD的延长线于点E,交4。于点。,

E

根据题意得，4A+4C=90。，

・・・Z.A=45°,

・•・zC=zF=45°=4

vz.ADB+乙DBC=90°,Z.EBD+乙DBC=90°,

・••Z-ADB=乙EBD,

.・.OB=OD,

在△AOB和AEOD中，

Z-A=Z-E

Z-AOB=4EOD,

OB=OD

•••△/08wzxE0D(44S),

・••AB—ED,

-AB+CD=ED+CD=EC,

・•・△EBC是等腰直角三角形，月.BC=6,

AEC=VEB2+BC2=V624-62=6>/-2»

・•.AB+CD=6y/~~2-

【解析】(1)根据题意得到=60。，进而得到乙4cB=60。，则4BCD=乙4。8+乙4CD=175。，根据四边

形的内角和是360。求解即可；

(2)过点。作OM1CD,使CO=DM,连接CM,BM,根据题意得到484。=乙48。=45°,乙DMC=Z-DCM=

45°,利用S4S证明△ADC三△BDM,根据全等三角形的性质得到4C=BM,根据勾股定理及题意得到CM?+

CB2=BM2,即可得到4BCM=90。，进而得出乙DCB=45。，则4DCB+乙BAD=90。，根据题意可判定四

边形48co是对余四边形；

(3)过点8作8E1BC交CD的延长线于点E,交40于点。，根据题意得出〃="="=45。，Z-ADB=

乙EBD,则0B=。。，利用44S证明即可得到AB=£7),进而得到4B+CD=EC,最后根

据勾股定理求解即可.

此题是