2024届河北省保定市第十三中学数学九年级上册期末经典试题含解析

2024届河北省保定市第十三中学数学九上期末经典试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

ɪ-若AX'设A=/1‘B=受‘C=T‘贝"、B、C的大小顺序为（）

A.A>B>CB.A<B<CC.C>A>BD.A<C<B

2.由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（）

⅛⅛⅛

主视图左视图仰视图

3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.平行四边形B.圆C.等边三角形D.正五边形

4.函数y=∕+J=的自变量X的取值范围是()

x-3

A.χ≠3B.χ≠2C.x≤2D.x≤2S.x≠3

5.若关于X的一元二次方程方程（k-l）x2+2x-l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.⅛>0B.A>0且厚1C.A≤0且M≠-lD.*>0

6.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）

X&®O

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，点P为。O外一点，PA为。O的切线，A为切点，PO交。O于点B,ZP=30o,OB=3,则线段BP的长为

()

OP

A.3B.3√3C.6D.9

8.下列说法正确的是()

A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点

B.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

C.明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的时间降雨

D.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

9.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是()

10.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便

进出，在垂直于住房墙的一边留一个Im宽的门，花圃面积为80n?,设与墙垂直的一边长为xm,则可以列出关于X

的方程是()

0.

A.x(26-2x)=80B.x(24-2x)=80

C.(χ-l)(26-2x)=80D.x(25-2x)=80

11.下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是()

A.任意选2个人，恰好生肖相同B.任意选2个人，恰好同一天过生日

C任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同D.任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同

12.将抛物线y=3/先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为()

A.y=3(x+iy+2B.y=3(x+l)2—2C.y=3(x-l>+2D.y=3(x-l)2-2

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能

接触到的最大面积为.

14.在直角坐标平面内有一点A(3,4),点A与原点O的连线与X轴的正半轴夹角为圆那么角α的余弦值是.

15.若点P(m,-2)与点Q(3,n)关于原点对称，贝!](m+")"""=・

16.计算，近-的结果是.

17.设工卜X2是关于X的方程Λ2+3X-5=0的两个根，则xι+x2-xι∙X2=.

18.如图，若被击打的小球飞行高度〃(单位：川)与飞行时间f(单位：S)之间具有的关系为/∕=20r-5*,则小

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，在长为32,〃，宽为20,"的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要

使道路的面积比草坪面积少440c∕√.

(2)求道路的宽.

20.(8分)天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和8型两行环保节能公交车

共10辆，若购买4型公交车1辆，5型公交车2辆，共需40()万元；若购买A型公交车2辆，8型公交车1辆，共需

350万元，

(1)求购买A型和5型公交车每辆各需多少万元？

(2)预计在该条线路上4型和8型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和8型

公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于65()万人次，则该公司有

哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

21.(8分)如图，AB是。。的直径，切。。于点3,点P是。。上的一个动点(点P不与A,B两点重合)，连接

AP,过点O作。。〃A尸交于点Q,过点尸作尸EJ_A3于点C,交。O的延长线于点E,连接尸。，OP.

(1)求证：ZXBOQ义△尸。2；

⑵若直径AB的长为L

①当PE=时，四边形BOPQ为正方形;

②当PE=时，四边形4E0P为菱形.

22.（10分）如图，在ΔABC中，AB^AC,NA=36°.

(1)在AC边上求作一点。，使得Δ5OCSA4BC.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，求证：O为线段Ae的黄金分割点.

23.(10分)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树

顶端H的仰角为45,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G

的仰角NGEF为6(),点A、B、C三点在同一水平线上.

(1)求古树BH的高；

(2)求教学楼CG的高.

24.(10分)一个不透明口袋中装有6个红球、9个黄球、3个绿球，这些球除颜色外没有任何区别.从中任意摸出一个

球.

(1)求摸到绿球的概率.

(2)求摸到红球或绿球的概率.

25.(12分)如图，抛物线=.一..c与轴交于一，，二两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴上是否存在一点［,使KI：的周长最小？若存在，请求出点I.,的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)设抛物线上有一个动点p,当点n在该抛物线上滑动到什么位置时，满足q..二夕并求出此时点P的坐标.

26.小明家饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温y(°C)与开机时间》(分)

满足一次函数关系)，当加热到100。C时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y(°C)与开机时间x(分)成反

比例关系，当水温降至20C时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下

列问题：

(1)当0≤xW8时，求水温y(C)与开机时间x(分)的函数关系式；

(2)求图中f的值；

(3)若小明上午八点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为20C后即外出散步，预计上午八点半散步回

到家中，回到家时，他能喝到饮水机内不低于3(ΓC的水吗？请说明你的理由.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1,B

【分析】根据±=2=E,设x=la,y=7a,z=5a,进而代入A,B,C分别求出即可.

275

【详解】解：∙.∙±=）=E,设x=la,y=7a,z=5a,

275

...A=————=____—__=1,

"x+y+z2a+la+5a2’

„x+z2a+5a

B=-------=-----------=1,

yrla

_x+y-z2a+7a-5a

C=------------=------------------=1.

X2a

ΛA<B<C.

故选：B.

【点睛】

本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出X,y,Z的值进而求出是解题的关键.

2、A

【解析】分析：从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后

层数，综合三视图可得到答案.

解答：解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；

从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，

从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，

故选A.

3、B

【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各项分析判断即可.

【详解】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正

确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故

D错误.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

4、C

【解析】根据二次根式被开方数大于等于0,分式分母不等于0列式计算即可得解.

【详解】由题意得，2—x≥0且x-3∕0,

解得：x≤2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表

达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

5、B

【解析】根据一元二次方程定义，首先要求办2+法+C=O的二次项系数不为零,再根据已知条件,方程有两个不相等

的实数根,令根的判别式大于零即可.

【详解】解:由题意得，k-∖≠0

解得，k≠l;

且△=/-4ac>0,

即22+4化一1)>0,

解得上>0.

综上所述，左>0且％≠1.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式,理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键.

6、B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形.第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个

图形是中心对称图形不是轴对称图形.

故选B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

7、A

【分析】直接利用切线的性质得出NOAP=90。，进而利用直角三角形的性质得出OP的长.

【详解】连接OA,

TPA为。。的切线,

二ZOAP=90o,

VZP=IO0,OB=I,

ΛAO=1,则OP=6,

故BP=6-1=1.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键.

8、B

【分析】根据概率的求解方法逐一进行求解即可得.

【详解】A.无论一颗质地均匀的骰子多少次，每次抛掷出5点的概率都是‘，故A错误；

B.抛掷一枚图钉，因为图钉质地不均匀，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，故B正确；

C明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的可能性降雨，故C错误

D∙某种彩票中奖的概率是1%,表明中奖的概率为1%,故D错误

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了对概率定义的理解，熟练掌握是解题的关键.

9、B

【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，只有选项B符

合条件.故选B.

10>A

【分析】设与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为（26-2x）m,根据题意可列出方程.

【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为（26-2x）m,

根据题意得：X（26-2x）=1.

故选A.

【点睛】

本题考核知识点：列一元二次方程解应用题.解题关键点：找出相等关系，列方程.

11、A

【分析】根据概率的意义对各选项分析判断即可得解.

【详解】任选2人，恰好同月过生日的概率为上，

12

A任选2人，恰好生肖相同的概率为二，

12

B任选2人，恰好同一天过生日的概率为工一，

365

C任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同的概率为,，

D任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同的概率为

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键.

12>A

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可.

【详解】抛物线y=3∕先向左平移1个单位得到解析式：y=3(x+l)2,再向上平移2个单位得到抛物线的解析式

为：y=3(x+l)2+2.

故选：A.

【点睛】

此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、6ʌ/ɜ+π.

【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可

得能接触到的最大面积.

当圆形纸片运动到与NA的两边相切的位置时，

过圆形纸片的圆心。作两边的垂线，垂足分别为。，E,

连接4。，

则RtAAoo中，NoAO=30。，0D=l,AD=√3»

ɪ/3

ΛSAADO=—OD-AD=—,

22

:・S四边形AOoE=2SAADO=ʌ/ɜ9

TNDOE=I20。，

:∙S电形DoE=—，

，纸片不能接触到的部分面积为:

3(√3-γ)=3方-π

SΔABC=~×6×3-^3=9-y3

.∙.纸片能接触到的最大面积为：

9√3-3√3+π=6√3+π.

故答案为6ʌ/ɜ+π.

【点睛】

此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式.

14,ɜ

5

【解析】根据勾股定理求出OA的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可.

【详解】Y点A坐标为(3,4),

OA=ʌʃɜ24-42=5，

3

：.cosα=—,

5

3

故答案为W

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边;

正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.

15、-1

【分析】根据坐标的对称性求出m,n的值，故可求解.

【详解】依题意得m=-3,n=2

••.(机+〃)2°19=(—1)2°19-1

故填：-1∙

【点睛】

此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知直角坐标系的坐标特点.

16、2√3

【分析】先算开方，再算乘法，最后算减法即可.

【详解】√27-3^

=3艮巫

3

=36-6

=2√3

故答案为：26.

【点睛】

本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数的混合运算法则是解题的关键.

17、1

【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论.

【详解】解：∙.∙χι,Xi是关于X的方程V+3χ-5=0的两个根，

根据根与系数的关系，得,xι+xι=-3,xix∣=-5,

则X∣+X∣-X∣Xι=-3-(-5)=1,

故答案为1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出xι+x∣=-3,x∣x∣=-5是解题的关键.

18、1.

【分析】根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.

【详解】解：依题意，令/2=0得：

∙∙.0=207-5产

得：f(20-5f)=0

解得：t=0(舍去)或f=4

.∙.即小球从飞出到落地所用的时间为4$

故答案为1.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度

为O时的情形，借助二次函数解决实际问题.此题较为简单.

三、解答题（共78分）

19、(1)540Cm2；(2)Im

【分析】（1）根据地面的长宽得到地面的面积，再根据草坪面积加道路面积等于地面面积列方程，求解即可得到答案;

（2）设道路的宽为山〃，根据题意列方程求解即可得到答案;

【详解】解：（1）设草坪面积为XCm,

得x+(x-44())=32x20,

解得x=540,

所以，草坪面积为540C"2.

（2）设道路的宽为W

原图经过平移转化为图1.

32m

20m

图1

因此，根据题意得（32—y）（20-y）=540

整理得（丁-2）。-50）=0

解得x=2或x=5（）（不合题意，舍去）

因此，道路的宽为2机.

【点睛】

考查了一元二次方程、一元一次方程的实际应用应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式.本题中按原图进行

计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解.

20、（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元.（2）购买A型公交车8辆，则8型公交

车2辆费用最少，最少总费用为UOO万元.

【解析】（1）设购买A型公交车每辆需X万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2

辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；

(2)设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10-a)辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10

辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可.

【详解】(D设购买4型公交车每辆需X万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得

x+2y=4QQ

2x+y-350'

解得《PC=Ioo

y=150

答：购买A型公交车每辆需100万元，购买8型公交车每辆需150万元.

(2)设购买A型公交车4辆，则B型公交车(10-α)辆，由题意得

IOOa+150(10-«),,1220

60α+l∞(10-α)..650'

no好

解得：—≤α≤-,

54

因为α是整数，

所以a=6,7,8；

则(10-α)=4,3,2；

三种方案：

①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100x6+150x4=1200万元；

②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：IOoX7+150x3=1150万元；

③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：I(M)X8+150x2=UOO万元；

购买A型公交车8辆，则8型公交车2辆费用最少，最少总费用为UOO万元.

【点睛】

此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等

式组解决问题.

21、(1)见解析；(2)①6,②6√i∙

【分析】⑴根据切线的性质得NO8Q=9(F,再根据平行线的性质得NAP。=/?。。，ZOAP=ZBOQ,加上NOΛ4

=ZOAP,贝(∣NPOQ=NBOQ,于是根据“SAS”可判断aBOQgZkPOQ;

(2)①利用4BOQg△尸OQ得到NoPQ=NoB。=90。，由于OB=OP,所以当NBoP=90。，四边形。尸。8为正方形,

此时点C、点E与点。重合，于是PE=PO=6；②根据菱形的判定，当OC=AC,PC=EC,四边形AEOP为菱形，

则OC=L(M=3,然后利用勾股定理计算出PC,从而得到PE的长.

2

【详解】(1)证明：∙∙∙3M切。。于点8,

：.OBA.BQ,

J.ZOBQ=90o,

,.,PA∕∕OQ,

：.NAPo=ZPOQ,ZOAP=ZBOQ,

而0A=0P,

：.ZOPA=ZOAP,

：.NPOQ=NB0Q,

在450Q和4P0Q中

OB=OP

-ZBOQ=ZPOQ,

OQ=OQ

：.丛BoQ会4P0Q；

（2）解：①∙.∙Z∖80Q也△尸0。，

：.NoPQ=NOBQ=90。，

当/SOP=%。，四边形OPQB为矩形，

WOB=OP,则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点。重合，尸E=Po=JA8=6；

®\'PE±AB,

：.⅛OC=AC,PC=EC,四边形AEOP为菱形，

1

TOC=-OA=3,

2

：.PC=√62+32=3√3>

.∙.PE=2PC=6百.

故答案为6,6√3.

【点睛】

本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键.

22、（1）见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质及AA定理，做AB的垂直平分线或NABC的角平分线都可，（2）利用相似三角形

的性质得到丝=g,然后根据黄金分割的定义得到结论.

【详解】解：（1）作法一：如图L

D

B匕-------------iC

图1

点。为所求作的点.

作法二：如图2.

点。为所求作的点.

(2)证明：V^BCD^ΔABC,

.BDCD

根据(D的作图方法，

得BD=AD=BC.

.ADAC

''~CD~~AD'

：.点D为线段AC的黄金分割点.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质及尺规作图，黄金分割的定义，掌握相关性质定理是本题的解

题关键.

23、(1)8.5米；(2)12+友^米

2

【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；

(2)作LCG于G.则4"/G是等腰直角三角形，四边形ER/H是矩形，设GJ=EF=HJ=x.构建方程即可解决问

题；

【详解】(1)由题意：四边形4BEO是矩形，可得Z)E=AB=7米，Ao=BE=1.5米，

在Rf/OE”中，•：NHDE=45。,

：.HE=DE=7米,

：.BH=EH+BE=8.5米,

所以古树8”的高为8.5米;

(2)作LCG于J.易证△VJG是等腰直角三角形，四边形EEzH是矩形,

...1/f=7/旧=7米,

⅛HJ=x.贝!|GJ=Ef=fi7=x,

ʌGFJF+GJ

在Rf△£：尸G中，tan60。=——=---------

EFEF

即上∑=5

X

.∙.x=⅛2

2

2

:∙CG=CF+GF=1.5+2∣+7遮=12+迪（米）;

22

所以教学楼CG的高为(12+乎)米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中

考常考题型.

11

24、(1)-；⑵K

62

【分析】(1)由题意可知绿球占总数的六分之一，因此摸到绿球的概率为六分之一,

(2)红球和绿球共有9个，占总数的二分之一，因此摸到红球或绿球的概率为二分之一.

31

【详解】解：解：⑴/球

6+9+3^6,

⑵心球或绿球3+6

3+9+62

【点睛】

本题考查随机事件发生的概率，关键是找出所有可能出现的结果数和符合条件的结果数.

25、(1)y=x2-2χ-1；(2)存在；M(1,-2)；(1)(1+2亍，4)或(1-2-,4)或(1,-4).

、一，一

【解析】(I)由于抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于A(-1,O),B(1,0)两点，那么可以得到方程χ2+bx+c=0的两根

为X=-I或X=1,然后利用根与系数即可确定b、C的值；

(2)点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M,要使MA+MC的值最小，则点M就

是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=l代入即可得到点M的坐

标；

(1)根据SNAB=2,求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标.

【详解】(1)V抛物线y=χ2+bx+c与X轴交于A(-1,0),B(1,0)两点，

，方程x2+bx+c=0的两根为X=-1或x=l,

：•-1+1=-b,

-l×l=c,

Jb=-2,C=-L

工二次函数解析式是y=x2-2x-1.

(2)・・,点A、B关于对称轴对称，

，点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，

设直线BC的解析式为y=kx+t(k≠0),

则"+f.=OJ解得：，；=：'

IC=-3卜=-3

,直线AC的解析式为y=x-1,

Y抛物线的对称轴为直线X=L

,当x=l时,y=-2,

・•・抛物线对称轴上存在点M(1,-2)符合