2023-2024学年天津市高一年级下册月考数学试题

2023-2024学年天津市高一下册3月月考数学试题

一、单选题

1.下列各式中不能化简为AO的是（）

A.-（C8+MC）-（0A+8M）B.-BM-DA+MB

C.（AB-DC）-CBD.AD-（CD+DC）

【正确答案】B

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】对于A：-（CB+MC）-（DA+BM^=-（CB+MC+DA+BM^

=-（CB+BM+MC+DA]=-DA=AD,故A正确；

对于B：-BM-DA+MB=MB-DA+MB=-DA+2MB^故B错误；

对于C：（AB-DC]-CB=AB-DC-CB=AB+CD+BC=AD,故C正确；

对于D：AD-（CD+DC）=AD-O=AD,故D正确；

故选：B

2.下列命题中不正确的是（）

A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

B.正四棱锥的侧面都是正三角形

C.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台

D.以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几

何体是圆台

【正确答案】B

【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D.

【详解】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；

对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；

对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；

对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成

的几何体是圆台，故D正确.

故选：B.

3.已知A8=a+56,BC=-2a+86,CD=3(a-b),则(

A.AB,C三点共线B.A,C,。三点共线

C.AB,。三点共线D.B,C,。三点共线

【正确答案】C

【分析】根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.

【详解】对于A:不存在实数几，使得=故ARC三点不共线；

对于B:AC=AB+BC=-a+\3b,CD=3(。一切,不存在实数，，使得AC=/ICZ)，故AC。

三点不共线；

对于C:BD=BC+CZ)=-2a+8/7+3(a-b)=a+5b，故AB=BD，所以A,B,。三点共线；

对于D:不存在实数；I,使得5c=28,故民三点不共线；

故选：C

4.在-A3C中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosC=()

A.—B.-C.--D.--

4343

【正确答案】C

由正弦定理知，a:b;c=2:3;4,利用余弦定理求解即可.

【详解】在.ABC中，sinA:sin3:sinC=2:3:4,

由正弦定理可知，a:b:c=2k:3k:4k,

故选：C.

关键点睛：在二A8C中，sinA:sinB:sinC=a:Z):c.

5.已知向量"=(1,2),6=(私3),若a_L(2a-4，则。与/，夹角的余弦值为()

A6n2石「回n3回

551010

【正确答案】B

【分析】首先求出2a-〃的坐标，依题意可得入(2。-6)=0,根据数量积的坐标运算得到方

八a,b

程，即可求出优的值，设&与人夹角为。，根据。30=函计算可得.

【详解】因为。=（1,2）,6=（憾3）,

所以2。一》=（2—m,1）,因为4，（24一卜），

所以a-（2a-Z>）=lx（2-/n）+2x1=0,解得加=4,

所以。=（4,3）,

八ab1x4+2x32亚

设。与3夹角为6,则s'匹丽Nyx"V：亍'

即展与6夹角的余弦值为华.

故选：B

6.A3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,根据下列条件解三角形，其中有两解

的是（）.

A.。=3,6=6,A=30°B.6=6,c=4,A=120°

C.a=4出,6=6,A=60°D.a=2,6=3，A=30°

【正确答案】D

【分析】已知两边和其中一边的对角解三角形时要分类讨论，当己知角是锐角时，要把。sinA

与久〃比较大小，作出相应判断；已知两边和夹角有且只有1解；根据以上对选项判断即

可.

【详解】解：对于A,&sinA=6xsin30°=3=a,故只有1解.

对于B,已知两边夹角有且只有1解.

对于C,6sinA=6xsin60o=36，3百<6=6<a=4石，故有1解.

33

又寸于D,fesinA=-,-<a=2<b=6,故有2解.

22

故选：D.

考查三角形解的个数，已知两边和其中一边的对角解三角形时要注意分类讨论，基础题.

7.在JWC中，若6=1,A=60。，的面积为G，则。=（）

A.13B.V13C.2D.加

【正确答案】B

【分析】先用面积公式求出c,再用余弦定理求出。

【详解】在一43C中，b=l,A=60°,的面积为劣,

所以SABC=g6csinA=；x1x=6,解得：c=4.

由余弦定理得:

/=廿+。2-2"cosA=l+16—4=13,

所以"=Vl3.

故选：B.

BAACACBC八BCBAI

8.在，"C中,----------+-----------=0,则“MC为（）

18cl\BC\|BC||BA|-2

A.直角三角形B.三边均不相等的三角形

C.等边三角形D.等腰非等边三角形

【正确答案】D

【分析】根据向量数量积的代数表示和运算，判断一45C的形状.

BAACACBC

【详解】----------+-----------=0,

18cl\BC\

，AC.（8A+BC）=0=2ACBO=0,（点D是AC的中点）,

.•..ABC是等腰三角形,

BCBKBCBA

又cosB=—,即cosB="-,

22

・•.B2

B£（0,7T）,

3

二.ABC是等腰非等边三角形.

故选：D

9.如图，在；A3c中，ZBAC=y,AD=2DB，P为CD上一点、,且满足AP=mAC+；A3,

若|AC|=2,k4=3,则APCQ的值为（）

C.1D.2

【正确答案】c

2k1

【分析】由题意设CP=RCO,则可得AP=（1—+再结合AP=wAC+]A3可

12--

求出〃?=],再表示出CO=1A3-AC,再结合已知条件可求得AP.C。的值.

【详解】由题意设CP=A8，

2

因为AO=2O8，所以AO=§A3,

所以AP=AC+CP=AC+）tC。

=AC+k（AD-AC）

2

=AC+k（-AB-AC）

2k

=（1一攵）AC+—A3,

3

因为AP=%AC+LAB,

2

,,[1

rI—k=mm=—

所以2幺1,解得；，

3-2k=-

'I4

所以AP=LAC+,A8,

42

因为CQ=AQ-AC=gA8-AC,|AC|=2,网=3,2BAC=%,

所以AP.CO=（；AC+：A8｝（gA8-AC）

121二21-

=-AB——AC——ABAC

343

=-x32-—x22--x3x2x—=1,

3432

故选：C.

10.圆。的直径A3=2,弦E『=l,点尸在弦£F上，则PA：P8的最小值是（）

【正确答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到HVPB=pO1-l,再由圆的性质，得到1Poi

的最小值，即可得出结果.

【详解】由题意可得，

PA，8=(PO+OA)(PO+O8)=(PO+OA).(PO-QA)=附『_网，=|尸0(-1,

为使|。”最小，只需OPLEF,根据圆的性质可得，此时尸为EF中点时，

又所“因此

所以P4P8的最小值为

4

故选：D.

二、填空题

11.在JRC中，若a=l,C=60,c=G,则A的值为.

【正确答案】30井吟

0

【分析】利用正弦定理计算可得.

【详解】因为a=l,C=6(),c=百，由正弦定理三=三，即_L=_更_,

sinAsinCsinAsin60

所以sinA=:，因为0<A<120,

2

所以A=30.

12.与A8=(2,3)共线反向的单位向量坐标.

27133岳'

【正确答案】

13'--13-

AB

【分析】首先求出AB的模，再根据一词计算可得;

【详解】解：因为A8=(2,3),所以,8卜也不=JB,所以与AB=(2,3)共线反向的单

13.如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15。，山脚A处的俯角

为45。，已知ZBAC=6O°,求山的高度8C=m.

【正确答案】600m

【分析】先根据已知条件求解出AM,ZACM的大小，然后在△ACM中利用正弦定理求解出

AC,再根据AC3C的关系求解出8C.

【详解】因为NM4A45。,/。48=60。，所以NM4c=180。一45。-60。=75°,所以

NMC4=180°—75°-60°=45°,

又因为刈400$45。=M£>=40001,所以M4=400&m，

又因为一不=二匕，所以AC=400』m，

sm60°sin45°

所以BC=ACsin60o=4006x@=600m,

2

故答案为.6(X)m

关键点点睛：解答本题的关键是将八4皿中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解

出AC的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度BC的目的.

14.在.ABC中，角4,8,C的对边分别为a,6,c,若8=2A,a=l,b=6则边c=.

【正确答案】2

【分析】首先根据正弦定理一^=2—得到A=B，从而得到。=9,再利用勾股定理计

sinAsin2Ao2

算c即可.

【详解】由题知：----=:—=>sin2A=V3sinA=>2sinAcosA=>/3sinA,

sinAsin2A

因为sinA>0,所以cosA=且.

2

TT

又因为OvAv/r,所以A=：.

6

所以B=2A=—,C=—,c=Jl+3=2.

故2

15.对如图所示的几何体描述正确的是(填序号).

①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一

个小三棱柱而得到；⑤此儿何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.

【正确答案】①③④⑤

【分析】根据几何体的特征并结合提供的选项进行判断.

【详解】①正确，因为有六个面，属于六面体.②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，

所以不正确.③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确，

故①©④⑤

本题主要考查几何体的识别，对各类几何体的主要特征熟练掌握是求解的关键，本题容易仅

凭直观感觉认为该几何体是四棱台，从而误认为②正确.

16.在中，〃力,。分别为内角人，B,C的对边，。为...AfiC的外心，且有

AB+BC=AC,sinC(cosA-6)+cosCsinA=0,AO=xAB+yAC,x,y&R,则

3

x-2y=.

【正确答案】-3

}TTTT

【分析】根据题意，利用三角函数的和角公式及正弦定理、余弦定理，求得8=9,A=C=g

36

再结合AO=xAB+yAC,两边分别点乘AB,AC,利用向量数量积的定义和性质，得出关于

乂丫的方程，联立方程组求得x,y的值，即可求解.

【详解】由sinC(cosA—百)+cosCsinA=0,可得sinCcosA+cosCsinA=gsinC,

即sin(C+A)=百sinC,

因为C+A=%—3,所以sin(C+A)=sin3,即sinB=6sinC,即人=百°,

又由AB+BC=-----AC，可*c+。=----b，

33

将b=代入c+a=——Z?，可得。=c,

3

£

由余弦定理得cosB=、+c2-"=+

lac2c-2

因为8e(0,m,所以B="，所以A=C=f

36

若A0=xAB+yAC,可得AO.AB=xA^4-yAC-AB，

可得，。2=加+且y.百整理得2x+3y=l,

22,

>33

又由AO-ACuxARAC+yAC：可得5c?=5/+卜3。2，即x+2y=l,

2无+3y=l

联立方程组解得x=-l,y=l,所以x_2y=_3.

x+2y=1

故答案为.-3

三、解答题

17.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=l,c=#).

(1)若6=1,求8；

TT

(2)若力=工，求从

6

【正确答案】(1)3=2

o

⑵6=2或8=1

TT2TT

【分析】（l）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出C=1或C=宁，分两种情况进

行求解，得到b=2或6=1.

【详解】（1）由余弦定理，得COSB="+L-"=1^1=且,

2ac2V32

又3«0,兀），

.・.B=-.

6

（2）由正弦定理，得sinC=24=^x'=立，

a122

VCe（O,7T）,

・兀厂2兀

..c=g或c=7・

当。=弓时，B=*

32

**-b=J3+1=2;

当c="时，A=B=工，

36

：.b=l.

综上，b=2或6=1.

18.已知向量〃与/，的夹角为。=与，且同=3,忖=2点.

⑴若履+2〃与3〃+46共线，求k；

⑵求小b，卜+司.

3

【正确答案】（1）。

（2）〃.。=一6,卜+q=石

【分析】（1）根据平面向量共线定理列出方程组，从而可得出答案；

（2）根据数量积得计算公式即可求出a-b，根据卜+。卜屁7/结合数量积得运算律即可

得解.

【详解】（1）解：若履+26与3〃+4b共线，则存在力，使得妨+26=4（3。+4〃）,

即(2-32”+(2-42)8=0,又因为向量。与人不共线,

4=一

"34=02

所以解得；所以k=|;

2-42=0

k=-

(2)解:=]&帆cos(4,5)=3>2&>------

1+4=\la2+2a-b+b2=J9-12+8=6.

19.已知向量。=(一1,一1),尸=(0』),

(1)求a在夕方向上的投影向量的坐标；

(2))若向量(故+?)〃(a+/£),求实数r的值；

(3)若向量c=(x,y),满足c=-ya+(l-x)/7,求同的值.

【正确答案】(1)(0,-1)；(2)r=±l；(3)1=&.

【分析】(1)由投影向量公式可直接求得结果；

(2)利用平面向量共线的坐标表示可构造方程求得结果