2022高考数学(全国新高考一卷)真题及答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）

适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建（语数外）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若集合M={x|Vx<4},N={x|3x>1）,则MCN=（）

A.{x|0<x<2}B,{x|l<%<2}

C.{x|3<%<16}D.{x||<x<16}

【答案】D

【解析】集合M=国近<4},N={x|3x>1},则A/nN={x|；«x<16}.故选D.

2.若i（l-z）=l,贝！|z+z=（）

A.-2B,-1C.1D.2

【答案】D

【解析】对原始两边同时乘以i得：z—l=i,即z=l+i,所以1=l-i,即z+I=2,

故选D.

3.在中，点D在边49上，BD=2DA.记淳i=m,CD=n,则而=（）

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】因为方=石5+而=郎+3而，又因为而=而一而，所以方=一25+

3CD,即而=-2m+3n.故选B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的

面积为180.0卜加2。将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（夕«2.65）

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

【答案】C

22

【解析】由题意Sj140.0km,S2180.0km,h（157.5—148.5）km9km,带入

棱台体积V=；（E+S2+心瓦）力，公式可得：V，1.4x109/7?.故选c.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为

【答案】D

【解析】总事件数共C；=g^=21，

第一个数取2时，第二个数可以是3,5,7；

第一个数取3时，第二个数可以是4,5,7,8；

第一个数取4时，第二个数可以是5,6；

第一个数取5时，第二个数可以是6,7,8；

第一个数取6时，第二个数可以是7；

第一个数取7时，第二个数可以是8；

所以八3+4+2+3+1+1="=二

21213

TT777

6.记函数/（%）=sin（cox+—）+b（3>0）的最小正周期为T,若VT<n,且y=/（%）的

函数图像关于点咛,2）中心对称，则丐）=

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【解析】0=红€（2,3），y=/（x）的函数图像关于点（空,2）中心对称，则有6=2,且

T2

f（,—）=2,所以sin（甘G+?）+2=2，则,69+?=2攵跖攵cZ；解得&=,由

0w（2,3）得欠=2,6y=|,故/（工）=sin（*•工+工）+2=-1+2=1.

1

1b=-

7.设。=0.1^°,9c=—In0.9,则

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

r

x

[解析]令a=xe9b=----,c=-ln(l-x)

1-x

①Ina-ln/?=x+lnx-[lnx-ln(l-x)]

.1_v*

y=x+ln(l-(0,0.1]；y-1----------<0,

\-x\-x

所以y<0,所以lna-lnZ?W0,所以

(2)a-c=xex+ln(l-x),xG(0,0J]

1_(l+x)(l—x)，—l

y=xex+ex

\—X1—X

令k(x)=(l+x)(l-x)e*-1,所以&(彳)-(1-彳2-2x)ex>0,

所以k(x)>k(0)>0,所以y>0,

所以a-c>0,所以a>c.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36n,且

3则该正四棱锥体积的取值范围是

A.[18,—]B.[0，肛]C.停，的JD.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为高为〃，底面中心到各顶点的距离为〃2,

cos。=3+'G[1—则/=6cos6,加=/•sin夕=6sin8cos夕，

2x3x/622

什潦F史端”=6^6,s底[x2小2，〃=2/

COS。

故丫=!5底・/?=gx2m%=144(sinecos2e)2,

令y=sin^cos20=sin6(1-sin2。)=x(l-x2)=-x3+x,x=sin0e[—,

y=-3工2+1,故<o,xw(理,弓]»>0,

2

即Vmax=144ymas=144X*X(%2]2=F，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知正方体ABCD—A4G2，则

A.直线BC,与DA,所成的角为90

B.直线BC,与CA,所成的角为90

C.直线BG与平面所成的角为45

D.直线BC］与平面ABC。所成的角为45

【答案】ABD

【解析】在正方体ABC。—A4GR中，因为BCt±\By,所以

8G，平面AgCD,所以6。］，0^，5C,±CA］,故选项A,B均正确；

设AGn42=O.因为4G_L平面56QQ,所以直线8G与平面5片2。

所成的角为NG80,在直角△GBO中，sin/GBO=,=；，故/£8。=30。，

故选项C错误；直线8孰与平面ABCD所成的角为/。产。=45°,故选项D正确,

综上，答案选ABD.

10.已知函数/(%)=x3-x4-1,则

A.f(x)有两个极值点B.有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切

线

【答案】AC

2

【解析】f\x)=3x-1,所以/(幻有两个极值点----",进而在(—00,—4)或

(序,8)上单调递增，在(一辛,4)上单调递减，两个极值点，A正确.由于

>0,

再由连续函数的单调性知，/(X)在(-8,-半)上存在一个零点，而在区间(辛,8),

函数存在极小值/(X)min>0,故在此区间.f(x)>0恒成立，即此区间不存在

零点，故/(幻只有一个零点，B错误.由/(x)+/(—x)=2可知，点(0,1)是曲线

y=/(x)的对称中心；曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程为y=2x—l,所以答案

选AC.

11.已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线CT:/=2py(p>0)上，过点8(0,-1)的直线交

C于P,Q两点，则

A.。的准线为y=—1B.直线A3与。相切

C.\OP\\OQ\>\OA^D.\BP\-\BQ\>\BA\2

【答案】BCD

【解析】将A(l,l)代入抛物线方程解得p=；,从而准线方程为丫=-；，A错误.抛物

线方程为y=%2,在A处切线的斜率为y⑴=2x1=2,切线方程为y=2x-l,B点

在切线上，从而A3与。相切，设直线尸。的斜率为攵，从而直线P。的方程为

y^kx-l,由于48是切线并且斜率为2,所以附>2.将直线方程代入。得

2

x-kx+1=0,我们设P(X］，M),。(工2，%)，从而由韦达定理知M+x2=k,xxx2=1,

进而

>OPOQ=x/2+y%

2

=(k+1)%,%2-k(x1+々)+1

.2

={k2+Y)-k2+\=2=\OA\

故C正确.

网.丽=(公+1)卒2

.2

^k2+\>5=\BA\

故D正确.

3

12.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/q—2x),

g(2+x)均为偶函数，则

A./(0)=0B.g(—f=0C./(-1)=/(4)D.g(—l)=g(2)

【答案】BC

【解析】由/(31-2幻为偶函数可知/(x)关于直线对3称，由g(2+x)为偶函数

可知：g(x)关于直线x=2对称，结合g(x)=7'(x),根据g(x)关于直线x=2对称可知

/(x)关于点(21)对称，根据/(x)关于直线光=：对称可知：g(x)关于点对称(1,0),

综上，函数/(处与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有/(0)=/(2)=r,所以A不正

确；/(一1)=./■⑴，，(4)=/(2),/(1)=/(2),故/(—1)=/(4),所以C正确.

=0,8（-1）=86，所以8正确；

又g(l)+g(2)=0,所以g(—l)+g(2)=0,所以D不正确.

故选BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（1-上）（*+4的展开式中的系数为（用数字作答）.

X

【答案】-28

【解析】原始等于（x+y）8-2（x+y）8,由二项式定理，其展开式中Vy6的系数为

X

Cs-C«=-28.

14.写出与圆V+y2=1和（X—3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程;

【答案】x=-l或丁=」7-%-235或＞=一？3x+53.（答对其中之一即可）

2424*44

【解析】由图可得，两圆外切，且均与直线4：x=-1相切，另过两圆圆心的直线/的方程

44

为丁=一%,可得/与4交点为P（—1,--），由切线定理得，两圆另一公切线4过点P，设

41一7

l-.y+-=k（x+l）,由点到直线距离公式可得工=旦=1,解得左=」,即

23'，7^7124

725

l:y=—x--.另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线4与/垂直，解得

2-2424

15.若曲线y=（》+“）"有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是;

【答案】（f,—4）U（0，+8）

【解析】易得曲线不过原点，设切点为（%,（无0+。）］），则切线斜率为

r（Xo）=（/+a+l）/。.可得切线方程为y-（xo+a）e~=（/+。+1）*（》-/），又切线

过原点，可得-Oo+a）e"=-Xo（Xo+a+l）e®,化简得+期）一。=0（*）,又切线

有两条，即*方程有两不等实根，由判别式△=/+4。>0,得a<4或a>0.

16.已知椭圆C：W+£=l（a>6>0），C的上顶点为A,两个焦点为耳，离心率为

a'b'2

过片且垂直于AF2的直线与C交于。，E两点，|OE|=6,则4ADE的周长是

【答案】13

_1V-2V2

【解析】椭圆离心率为5,不妨设C：a+3=1，且△A片工为正三角形，则直线DE斜

率％=g.由等腰三角形性质可得，恒目=怛闻，|Aq=|O/讣由椭圆性质得4ADE的周

长等价于|。目+|。闾+|£［|=4a.另设直线OE方程为y=］（x+c）,与椭圆方程联立

得13x?+8cx—32c2=0.

2

由弦长公式|£）目=J/+1—x2|=yjk+\•J（X|+々）2—4%］工2

/日।八zflr,8c2128c_48］3

得I。同=./—+1,J（-'~）~---------=­c=6.即Anc——，4A。=8oc=13.

V3V1313138

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

S1

17.（10分）记S0为数列｛4｝的前〃项和，己知％=1,｛*｝是公差为一的等差数列.

a“3

（1）求伍“｝的通项公式；

（2）证明：—+—+—<2.

6%a„

cS1

【解析】：（1），=4=1,所以2=1，所以｛、｝是首项为1,公差为一的等差数列,

6a„3

「Lr、iS“rf、1〃+2r*.—।I_〃+2

所以—=1+（〃-1）•一二----,所以=-----an.

an333

“c»_Lcc〃+2〃+1

当"N2时，a“=S“—S,i=三一4一一—an_,

所以(〃—l)a“=(〃+1)。”]，即4=但5w2)；

a0Tn-\

累积法可得：为="黄(〃22)，又6=1满足该式，

所以仅“｝得通项公式为a,,=妁罗.

111~111、

(z2)——+—+•••+—=2[----+------+•••+---------J

a,a2an1x22x3〃(〃+1)

“11111

=2(1-----1---------F…-I-----)

223n〃+1

=2(1)<2

18.(12分)

cos/!qinDR

记AABC的内角A,民C的对边分别为a,b,c,已知——=-------.

1+sinAl+cos28

2乃

(1)若。=——，求B：

3

(2)求"打的最小值.

C

【解析】(1)由已知条件得：sin26+sinAsin28=cosA+cosAcos28

sin2B=cosA+cosAcos2i?-sinAsin2B=cosA+cos(A+28)

=cosfzr-(B+C)]+cos[TT—(B+C)+2B]

=-COS(B+C)4-COS[^+(B-C)]

=-2cosBcosC

所以2sin3cos3-2cos3cosC,即(sinB+cosC)cosB=0,

TT

由已知条件：1+COS26HO,则8H一，可得COSBHO,

2

1JI

所以sin8=-cosC——，B=一.

26

TTTT

(3)由(1)知sin5=-cosC>0,则8=C——，sinJ3=sin(C——)=-cosC,

22

71

sinA=sin(B+C)=sin(2C——)=-cos2C,

由正弦定理,

a2+h~_sin2A+sin?B_cos22C+cos2C

c2sin2c-sin2c

(l-2sin2C)2+(l-sin2C)

一s•_in2「C

2+4sin4C-5sin2C2..c

=---------；--------=-z—+4sin2c-5

sirTCsin2C

22、——•4sin2C-5=472-5

Vsin2C

当且仅当sii?c=也时等号成立，所以竺学1的最小值为4&一5.

2c2

19.(12分)

如图，直三棱柱ABC—44cl的体积为4,△&8C的面积为2日.

(1)求A到平面46c的距离；

(2)设。为A。的中点，AA,=AB,平面A6C_L平面A65A，

求二面角4一6£>—C的正弦值.

【解析】(1)设A到平面ABC的距离为〃，用两种方法计算4-AM的体积:

w--tv_XV_2

VVV

Al-ABD-5Al-ABC~%ABC-AlBlCl一不

1/_1c,_V2.

VA,-ABD--S^BDh~~八

故由可得/?=J5.

33

(2)由于B与，平面ABC,从而CB上BB],又因为人用,4出，所以AgJ■平面

ABC,进而所以C6_L平面,所以CBLAB,此时我们设

1J2

AA.=AB^a,BC=b,由已知条件得一4。=4,—ab=2^2,解得。=匕=2.

22

由勾股定理可知AC=AB1=Cg=2JL进而△ABC为等边三角形，NAgC=60°,

我们已经知道A片，平面8OC,那么由对称性有C8]，平面ADB,从而二面角的正

弦值即为A4与Cg的夹角的正弦值，aPsin60°=—.

20.(12分)

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和

不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在

未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示

事件“选到的人患有该疾病"，“勺⑷与「(叫少的比值是卫生习惯不够良好对患该疾

P(B|A)P(B|A)

病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

小计呐„P(A\B)P(A|B)

(i)证明：R--=----------：

P(A|B)P(A\B)

(ii)利用该调查数据，给出尸P(A|历的估计值，并利用⑴的结果给出R

的估计值.

附长2一n(ad-bc)2P(K2>k)0.0500.0100.001

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)k3.8416.63510.828

【解析】(1)假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异,

则心甯小”…

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;

P(AB)P(AB)

P(8|A)P(B\A)P(A)隔)P(AB)P(而)

P(B|A)P(B|A)-P(丽)P(M)-P(AB)P(AB)

P(A)P(A)

P(AB)P(AB)

一(四)_P^)P(^_P(d|B)得证;

-P(M)P(AB)-P(M)P(丽一P(A\B)P(A\B),

P(B)P(B)

(ii)由调查数据可知P(A|3)=®=2,P(A|B)=—=—,

100510010

,—3Q

则P(AB)=l-P(AB)=g,P(A⑶端,

23

--

55

所以A.幽&=-

=329-

1

P(B\A)P(B\A)1

1010

21.（12分）

22

已知点A（2,l）在双曲线——?一=1（。＞1）上，直线/交C于尸，。两点，直线

a~a-\

AP,A。的斜率之和为0.

（1）求/的斜率；

（2）若tanNPAQ=2j5,求△PA。的面积.

1AB

【答案】（1）的斜率为0;（2）△24。的面积为与一

【解析】（1）将点A代入双曲线方程得4一一F—=1，化简得/—4/+4=0得：/=2,

a2a2-1

v.2

故双曲线方程为］-丁=1；

由题显然直线/的斜率存在，设/:y=Ax+m，设尸（巧，凶），。（々，必），则联立直线与双

曲线得：（2/-1）/+4左痛+2m2+2=0,故用+々=一一华二，%”2施+2

1-2k2-l2k1

必-1I必一1kx1+m-l

k"+^AQ~=0,

%）—2元？—2西一2X2-2

化简得：2心底2+(加一1一2&)(玉+%2)一4("2—1)=0,

,,2k(2m2+2)/.ci、/4km...[、八

故。心2_I+(加_]_2女)(_^?^)_4(瓶_1);0,

乙K1乙K1

即伏+1)(加+2左—1)=0,而直线/不过A点，故％=—1.

（2）设直线AP的倾斜角为a,由tanNPAQ=2J5,得tan幺丝=立，由

22

2c+NPAQ=万，得上”=tana=V^,即^^V2,

x,-2

,Vi~1rrTZ210—4>/24V2—5

联立%J二及，及力一%—1得zn玉=---，M=「一，

%,-2233

带入直线/得〃z=g，故，石+々=弓，x\xz~

而|4月=右后-2|，34=6k2―2|,

由tan/PAQ=2后，得sin/PAQ=竿，

故SAP*。=-\AP\-\AQ\smZPAQ=V2x,x-2(x,+A:)+4=.

2229

22.(12分)

已知函数f(x)-ex-ax^0g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=ht其与两条曲线y=/(幻和y=g(x)共有三个不同的交点,

并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【解析】(1)f\x)=ex-a,g'(x)=a—,

X

①aWO时，/'(x)>0恒成立，所以/(x)在R上单调递增，即/(x)没有最小值.

该类情况应舍去.

②。>0时，/'(X)在(-8,lna)上小于0,在(Ina,+8)上大于0,

所以/(x)在(-00,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增，

所以f(x)在x=Ina处有最小值为f(\na)-a-a]na,

所以g'(x)在(0,L)上小于0,在d,+oo)上大于0,

aa

所以g(x)在(0,4)上单调递减，在(4,+00)上单调递增，

aa

所以g(x)在％,处有最小值为g(3=1+M。，

aa

因为/(犬)=e'-ax和g(x)="-Inx有相同的最小值，

所以有/(Ina)=a-a\na=^(―)=l+ln〃，即。一alna=l+lna

a

因为a>0,所以上式等价于Ina-土口=0,

Q+1

令〃(%)=Inx-—―-(x>0),

x+1

/+1

则"⑴=------r>0恒成立，所以版X)上(0,+oo)单调递增，

x(x+l)

又因为以1)=0=用3)且。>0,所以。=1

(2)证明：由(1)f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,且/(%)在(一8,0)上单调递减，

在(0,+8)上单调递增，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且

/(X)min=g(X)min=L

①。<1时，此时/(X)mM=g(X)min=1>。,