2023-2024学年佛山市顺德区高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年佛山市顺德区高二数学上学期期中考试卷

2023-11

（试卷满分150分；考试时间120分钟）

第I卷（选择题部分，共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

y=­

1.直线2的倾斜角为（）

A.18。B.0C.90D.不存在

2.点”（3,—2』）关于*轴对称的点的坐标是（）

A.g（3,2,-1）c.（—3,2,1）口,（一

3.抛掷一枚质地均匀的硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（）

£121

A.2B.9C.10D.10

4.已知向量，，J,女是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k,n=+则底”的值为

（）.

A.7B.-20c.28D.11

5.已知随机事件A和5互斥，且尸（&。8）=°6,尸⑻=0.3,则尸（可等于（）

A.。8B.0.7C.0$D.0.2

6.己知直线/的斜率则该直线的倾斜角口的取值范围为（）

A.[34」B.L3」14J-4」D.L6」[4J

7.如图，在正三棱柱AB。-中，若AB=BBI=2,则点C到直线44的距离为（）

A/14714V14

4

A.据B.2C.3D.

8.饕餐纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代

至西周早期.将青铜器中饕餐纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，

1

有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3

次跳动后恰好沿着饕餐纹的路线到达点B的概率为（）

_L113

A.16B.§C.4D.8

二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知。=（一2,-3,1）,b=（2,0,4）,。=（一4,-6,2）,则（）

A.a!!cB.aVbQallbD.bLC

10.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全

是男生”（）

A.是互斥事件B.不是互斥事件C.是对立事件D.不是对立事件

11.已知直线2》+>+3=°,则下列说法正确的是（）

A.直线过点（T/）B.直线的斜率为-2C.直线在无上的截距为-3D.直线在'上的截距为-3

12.如图，在棱长为2的正方体A'。一A4G2中，p为线段4c的中点，Q为线段8G上的动点，则

下列结论正确的是（）

A.存在点Q,使得B.存在点Q,使得产。工平面的50

兀

C.三棱锥Q-APO的体积是定值D.存在点Q,使得PQ与AD所成的角为7

第II卷（非选择题部分，共90分）

三、填空跟.本题共4小题，每小题5分，共20分

13.从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为

14.无论实数九取何值，直线3一1卜+（2+3）k（彳-11）=°恒过定点

2

15.己知是夹角为60。的两个单位向量，则4=6+02与人=。-令的夹角是

16.如图，某正方体的顶点A在平面a内，三条棱AB,AC,AD都在平面a的同侧.若顶点8,C,D

到平面a的距离分别为血，上,2,则该正方体的表面积为

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量“=（〃"），＞=（1，-3）.

（1）求使得事件“〃，万”发生的概率；

（2）求使得事件」“KW，，发生的概率.

18.已知三角形的三个顶点是A（4，°），3（6,7）,C（0,3）,

（1）求边AC所在的直线方程；

（2）求边AB上的高所在直线的方程.

19.已知A,B两个盒子中分别装有仅颜色不同的4个红球2个白球和2个红球2个白球.

（1）若甲从A盒中抽取2个球，求两个球颜色不同的概率；

（2）若甲从A盒中，乙从B盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3个红球

的概率.

20.如图，在正四棱柱AB%A4GA中，M=2AB=2BC=2,M是棱上任意一点.

BC

（1）求证：AM±BD.（2）若M是棱CG的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值.

3

21.如图，已知四棱锥尸-MCO的底面是菱形，对角线AC,80交于点°,Q4=3,OB=4OP=3,OP1.

PM^-MC

底面ABCD,设点M满足2

(1)求直线PA与平面BDM所成角的正弦值;

⑵求点P到平面BDM的距离.

22.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.薨，屋

盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍蔓是茅草屋顶.”现有一个刍薨如

图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形，形=4,EF//AB,

AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3

(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN；

(2)当点N在线段AD上时(包含端点)，求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围.

4

1.B

【分析】由直线方程得出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可解题.

71

y——

【详解】直线2的斜率为0,所以倾斜角为°.

故选:B.

2.B

【分析】数形结合得到关于x轴对称的点的坐标.

【详解】点.3—2,1）关于x轴对称的点的坐标是32,T）.

故选：B

3.A

【分析】由正面向上或正面向下可能性相同，即可得出答案.

【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，

则第10次出现正面向上的概率为万，

故选：A.

4.C

【分析】由向量,，j,无是一组单位向量，且两两垂直，得，1=5=闲=1且3）=*=，/=。，然后利

用向量的数量积的运算性质求解机

【详解】向量；，人上是一组单位向量，且两两垂直，

所以『月/=%=1且，/=/*=>%=0.

因为机=8/+3Zn=—i+5j—4k

所以加•〃=（8）+3Q・（—i+5/—44）=40—12=28

故选：C.

【点睛】此题考查平面向量的数量积运算性质的应用，属于基础题

5.B

【分析】因为A和8互斥，由尸（&3）=尸（4）+尸（3）=°6求出尸⑷,再由尸W可=尸⑷+尸（可=1即

可得到答案.

【详解】因为A和8互斥，

所以「（AB）=P（A）+P（B）=0.6

又产⑻=0.3,

所以*4）=03,

5

因为尸(AR=P(A)+P®=I,

所以尸0)=1-尸⑷=1-03=0.7

故选:B.

6.B

【分析】运用斜率公式将转化为TWtanawg(ce［0,7r)),解不等式即可.

【详解】直线倾斜角为。，则£注0,兀)，

由一1W左工有可得一1Wtana<G,

rrx兀i「3兀、

a€

所以34.

故选：B.

7.B

【分析】取AC的中点°,以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

［详解］取AC的中点O,则BO,AC,80=石，

以。为原点，°员℃的方向分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A(OTO)闻后0,2),C(0,l,0)

所以4月=(6,1,2),C4=(O,—2,O)

2_A/2

刀T万

所以14在AB'上的投影的长度为

_V14

d=

故点C到直线4耳的距离2

故选：B.

8.B

【分析】先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可.

【详解】点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，

6

则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），

（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），

符合题意的只有（下，下，右）这1种，

P=-

所以3次跳动后，恰好是沿着饕餐纹的路线到达点8的概率为8.

故选：B.

9.ABD

【分析】A选项，由。=2。得到A正确；BD选项，计算数量积为0得到垂直关系；C选项，设。=的，

得到方程，方程无解，C错误.

【详解】A选项，因为。=2",所以Z/无，A正确；

B选项，因为GA=-2X2+（-3）X0+1X4=0,所以心久B正确；

'2=-2k

＜0=-3左

C选项，设^=入，则,无解，故。*不平行，C错误；

D选项，小。=（2,0,4）-（-4,-6,2）=-8+0+8=0,故D正确.

故选：ABD

10.AC

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可求解.

【详解】从3男2女中人选2名同学，一共会出现的抽取情况为：2男，或者2女，或者1男1女，

至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件.

故选：AC

11.BD

【分析】根据直线2x+y+3=。，对各个选项分析判断即可求出结果.

【详解】选项A,因为2X（-1）+1+3=2*0,即直线不过点（T』），所以选项A不正确；

又由2x+y+3=0,得到＞=-2龙-3,所以直线斜率为-2,在＞上的截距为-3,所以选项BD正确，

JQ—3__

又由直线2x+y+3=°,令y=0,得到一2,所以选项c错误，

故选：BD.

12.B

【分析】A由如/42、BR尸°=尸即可判断；B若。为贻中点，根据正方体、线面的性质及判定

即可判断；C只需求证BG与面APD是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.

【详解】A：正方体中8D//BQ,而P为线段AG的中点，即为用2的中点,

7

所以即丁尸。=尸，故附,PQ不可能平行，错;

B：若。为明中点,则加〃”,而城…,故尸。…,

又4£>_1面48耳4,45u面ABgA,则A3_LAO,故PQ_LA£),

AB^AD=A^44,4。匚面4月。1。则PQ1面AqG。

所以存在Q使得PQ1平面AB'C'D,对；

C：由正方体性质知：BCJ曲,而AR面APD=A,故与面人也不平行,

所以Q在线段8G上运动时，到面APD的距离不一定相等,

故三棱锥°-APO的体积不是定值，错；

D：构建如下图示空间直角坐标系刀一孙z,则A(2,0,0),尸(U,2),Q(2-a,2,a)且owaw2,

所以D4=(2,0,0),PQ=(l-a,l,a-2)若它们夹角为

_______2(1—〃)

cos0=||zH-ol

2x7(l-tz)2+l+(a-2)2■\/2,Ja~-3a+3

则

\t\]

cos6=

万

令/=1-Q£[-1,1],则

8

,znnC0s6e

当贝卜L，),

「1n\-E(-00,-11COS0G(0,——]

当,=()则cos6=0；当，£[一1,0),则/'」，2

71G

cos————

所以62不在上述范围内，错.

故选：B

3

13.10##0-3

【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】从5条线段中任取3条,则有Id&},{2,4,8},{2,4,10},{2,6,8},{2,6,10},{2,8,10},{4,6,8},

{4,6,10},{4,8,10},{6,8,10},共10个基本事件；

_2_

其中三条线段能够成三角形的基本事件有：{4,6,8},{4,8,10},{6,8,10},共3个；.•.所求概率'一历

3

故答案为：io.

14.（2厂3）

【分析】将直线方程化为“（2x+yT）—（尸3k11）=°,进而分析求解.

【详解】由（2"T九+（"+3），一（"一11）一°,可得4（2%+,一1）一（1-3y-11）=0,

j2x+y-l=0卜=2

令1x-3y-ll=0,解得jy=-3,所以直线（2九-1）%+（兄+3），-（九-11）=。恒过定点（2,-3）,

故答案为：（2厂3）.

71

15.3##90

【分析】分别求出"=9+02与6=刍-%的数量积与各自的模，利用数量积公式求解即可.

【详解】由题4例2是夹角为60。的两个单位向量,

9

所以a力=H+e)(e/eJ=卜卜同二。

COSe=MM=0A_兀

设a,。夹角大小为a，且。，兀],则\a[\b\,所以一了

兀

故答案为：2

16.54

【分析】取空间的一个基底｛"''ACA"｝,设正方体的棱长为a,"是平面a的一个方向向上的单位法

向量.由题得AB，ACAO在〃方向上的投影向量的长度分别为6，2,得

n=\(42AB+^[3AC+2AD\]；|=1

。',，由门，得。=3,即可求得正方体的表面积.

【详解】设正方体的棱长为〃，取空间的一个基底｛A'‘"'''"),设〃是平面&的一个方向向上的单位

法向量.

由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(龙/"),使得"=xA3+yAC+zAO.

由题意，AB，AC43在“方向上的投影向量的长度分别为0,6，2.

(\L

十口AD-FfnnI+zAD]-AB=y/2_2_Wx--T

于是"•A3—>/2,即I/，即nAZZ=。2,o即na.

A/32

z=~

同理，a,a

n=^(y/2AB+y/3AC+2AD]|H|=1二也/+3/+4<?=1

从而。一',，由门，得

\y[2AB+yl3AC+

其中

=72AB2+3AC2+4A/2A£>-AB+4AD2+2s/6AC-AB+4^AC-AD

I-----.JCIX

二,2/+3/+4/,即/-,解得“=3,所以正方体的表面积5=66=54.

故答案为：54

【点睛】思路点睛：考虑到可以利用空间向量表示条件中的点到平面的距离，所以选择基底，设单位法

72

向量解决问题，得mAB=亚，gp(xAB+yAC+zAD)-AB=y/2；求得a：即可得到

n=-^(y[2AB+^AC+2AD)

。'),再根据数量积的运算律计算可得.

10

1£

17.(1)18.(2)6.

【分析】（1）由题意，得到m、n的取值集合，可得点（m,n）的总取法有36种，当"，"时，解得m与

n的关系，即可得满足条件的（m,n）的个数，代入概率公式，即可得答案.

（2）当卜卜W时，解得m与n的关系，即可得满足条件的（m,n）的个数，代入概率公式，即可得答案.

【详解】（1）由题意知，{1,2,3,4,5,6}、"€{123,4,5,6},故⑺，n）所有可能的取法共36种.

当皿时,得m-3n=0,即m=3n,满足条件共有2种：（3,1）,（6,2）,

所以事件的概率3618.

LI<1^1

(2)当।「I।时，可得m2+n2W10,共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6种情况,

其概率366.

【点睛】本题考查古典概型概率求法，解题的关键是列出基本事件的个数，属基础题.

32

y=——兀+3y=——x+3

18.（1）4（2）-7

【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率，进而由斜截式即可求解方程，

（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.

3-03

【详解】（1）由题意可得*一雇每一一司

,7-072

KAR=---——..

（2）6-42,所以AB边上的高所在直线的斜率为7,

-二尤+3

由点C（0,3）,所以AB边上的高所在直线方程为、一一7苫十.

19.（1）15（2）3

【分析】（1）运用列举法计算古典概型的概率即可.

（2）由甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球,

②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球,

第二次抽到白球，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球，分别计算即可求得结果.

【详解】⑴设A盒中的4个红球分别为外,%，«3,%,2个白球分别为％%

则甲从A盒中抽取2个球的基本事件有（仆出），（％，%）,（4,4）,（4力），（4也），（的，%）,（%,%）,（外力），

（%也），（/”），（。34），（生也），（〃4，4），（〃4也），（仇也）共15个，

两个球颜色不同的基本事件有（％力），（%也），（出4）,（〃2也），（%，伉），（生也），（包，耳）,（%也）共8个,

11

所以甲从A盒中抽取2个球，两个球颜色不同的概率为15.

(2)由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况有：

„42221

1——X-X-X——-----

①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为664418,

“24221

1——X-X-X——-----

②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为664418,

n44221

P——X—X-X———

③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为66449,

n44221

p__x_x_x___

④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为一6644-9,

n11111

P---1---1--1-——

所以甲、乙共抽到3个红球的概率为1818993.

如

20.(1)证明过程见解析(2)3

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；

(2)在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.

【详解】(1)证明：以A为原点，AB,AD,A4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐

标系，

因为招=2AB=2BC=2,所以4(0,0,0),3(1,0,0),。(0,1,0),“(1,1,冽),0<m<2,

==AM-BD=(1,1,/M).(-1,1,0)=-1+1=0>所以WB6

⑵M是棱CG的中点,故C(L1，O)MU，1),则AM=(1,L1)取=(。,1,。),

设异面直线AM与BC所成角的大小为0,

回明|(1,1,1).(0,1,0)|_遭

|AM|.|BC|A/33

故异面直线AM与BC所成角的余弦值为3.

12

Vio375

21.（1）1°（2）5

【分析】（1）以°为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量"=（2°」）和向量

上4=（3,0,-3）,结合向量的夹角公式，即可求解;

LUU

（2）求得8=（°。3）,结合向量的距离公式，即可求解.

【详解】（1）解：因为平面ABCD是菱形，可得AC13D,

又因为OP,底面ABC。，ACBDU平面ABCD,所以。PLAC,OPLBD,

所以AC,3D,°尸两两垂直,

以°为坐标原点，以04°民°尸为坐标轴建立空间直角坐标系O-W,如图所示;

则A（3,0,0）,3（0,4,0）,C（—3,0,0）,D（0,T,0）,P（0,0,3）；

所以刈=（3,0,-3）,=（0,8,0）,PC=（-3,0,-3）,BP=（0,-4,3）

因为尸加=3"：所以9=^^=（一1，°，一1）,BM=BP+PM=（-1,-4,2）

DB•n=8y=0

<

设平面BDM的法向量n=（苍%z）,则BM-n=-x-4y+2z=0

令x=2,可得y=°，z=l,所以平面的一个法向量"=（2，°，1）,

PA"i3M

cos<PA,n>=

网,「30x百一10

则

\/10

所以直线9与平面3n做所成角的正弦值为io.

,\pP-r\33A/5

uuua=--i—i-L=—7==-----

（2）解：由8=（°，°，3）,所以点p到平面3nM的距离川V55

13

Vio叵

in'3

22.（1）证明见解析（2）L」

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的表达式,

进行合理变形，结合二次函数的性质求得余弦的最值，即可求得答案.

【详解】（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且E4=£D,

所以

因为EF//AB,且四边形ABCD为正方形，故ADSAfi,

所以AD_LER,而ENiEF=E,EN,EFu平面EFN,

故AD,平面EFN；

（2）设正方形ABCD的中心为O,分别取回ICE尸的中点为P，Q，S,

设点H为线段AD的中点，由（1）知瓦厂，〃，。四点共面，且平面EFH,

连接°S,0Su平面屏旧，故

又A£>u平面A5CD,故平面ABCD1平面跳HQ,

且平面ABCDc平面EFHQ=HQ,

由题意