2023-2024学年江西省南昌市高一年级下册3月联考数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省南昌市高一下册3月联考数学试题

一、单选题

124

1.已知awR则“cosa=一一"是"a=22%+一MwZ”的()

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】由题意可知a=2A力士后,AwZ,再根据充分必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】因为cosc=—g,解得a=2br土与,ZeZ,

12万

.•.“80£=-]”是“々=2而+号,&€2”的必要不充分条件.

故选：B.

2.为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为3:7:5,现

用分层抽样的方法抽取容量为〃的样本，其中老年教师有18人，则样本容量”=

A.54B.90C.45D.126

【正确答案】B

根据分层抽样的概念即可求解.

3

【详解】依题意得:7=二义”=18,解得”=90,即样本容量为9。故选B

3+5+7

本题考查分层抽样的应用，属基础题.

3.一个扇形的圆心角为150。，面积为牛，则该扇形半径为()

A.4B.1C.>/2D.2

【正确答案】D

【分析】利用扇形的面积公式：5=1«/?2,即可求解.

【详解】圆心角为0=150=当,设扇形的半径为R,

6

Sc=-1-aR»-»-,>n5—4=1-x5—乃—R2-,

2326

解得R=2.

故选：D

本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.

11Q

4.己知事件A,8,C两两互斥，若P（A）=二，P（C）=-,P（Au8）=不，则P（8uC）=（）.

82八71

A.—B.-C.—D.一

153153

【正确答案】B

【分析】根据事件A,B,C两两互斥，求出P（B）=；,进而利用P（BuC）=P（B）+P（C）

求出答案.

Q11

【详解】因为事件4,B,C两两互斥，所以尸（8）=P（Au8）-P（A）唯♦=

1I?

所以尸（BuC）=P（B）+P（C）=§+§=§.

故选：B.

5.某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成

绩，抽取总样本量为50,男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测

高一年级学生的数学平均成绩约为（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

【正确答案】C

【分析】根据分层抽样求岀应抽取男生和女生的人数，求岀平均数即可.

【详解】由题意，应抽取男生5°x记篙6=30（人），

应抽取女生5°*上通=2。（A）,

所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为“飞=116（分）.

故选：C

6.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜

色，则所选颜色中含有白色的概率是（）

2111

A-3B.]C-4D"?

【正确答案】B

【分析】先求出基本事件总数，再求出所选颜色中含有白色的基本事件个数，由此利用等可

能事件概率计算公式计算即可.

【详解】从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有｛黄白｝，｛黄蓝｝,

｛黄红｝，｛白蓝｝，｛白红｝，｛蓝红｝,共6种.其中包含白色的有3种，选中白色的概率为

故选B.

本题考查古典概型求概率的问题，考查了列举法的应用，属于基础题.

7.已知yb=d°=咯5，则a，b,C的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【正确答案】A

【分析】由幕函数性质比较，并与1比较，c与1比较.

【详解】由在①收)上是减函数得2《<(/，且q尸<(6°=1,

.5.31

而C=log37>log37=l,：.a<b<c,

2222

故选：A.

8.已知/(x)=log.(>/771+x)+l,其中a>0且awl,贝ijf(2)+f(-2)=()

A.0B.4C.2D.log”4

【正确答案】C

【分析】令〃x)=g(x)+l,g(x)=log“(G1+x),由g(x)+g(-x)=O可得g(x)是奇函

数，从而利用奇函数的性质即可求解.

2

【详解】解：令〃x)=g(x)+l,g(x)=log,(&+l+x),g(-x)=log(,(Vx+l-xj,

则g(x)+g(-x)=0,即g(-x)=-g(x),

所以g(x)是奇函数,g⑵+g(-2)=0

所以〃2)+〃—2)=g(2)+l+g(—2)+l=2.

故选：C.

二、多选题

9.(多选)已知xCA,则下列等式恒成立的是()

A.sin(—x)=siru

C.+贡）=-siavD.cos（x—^）=~cosx

【正确答案】CD

【分析】根据诱导公式即可判断.

【详解】解析sin（一冗）=一siiu,故A不成立;

sin羊-X=—cosx,故3不成立;

cos/=—sinx,故C成立;

cos（x—加）=­cosx,故。成立.

故选：CD

本题考查了三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题.

10.下列叙述正确的是（）

A.某人射击1次，“射中7环"与"射中8环”是互斥事件

B.甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标"与"没有人射中目标"是对立事件

C.抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于g

D.若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5,则乙同学成绩比较稳定

【正确答案】AB

【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，独立重复试验中事件的发生互不影响，方差的含

义，即可判断各项的正误.

【详解】A：根据互斥事件的定义，由于“射中7环”与“射中8环”不可能同时发生，即它们

为互斥事件，故正确；

B：根据对立事件的定义，甲、乙两人各射击1次，要么”至少有1人射中目标“，要么"没有

人射中目标”，这两个事件不能同时发生而且它们必有一个会发生，故正确；

C：由于抛硬币是独立重复试验，任意一次试验岀现正面或反面的概率都为故错误；

D：方差越小代表成绩越稳定，即甲同学的乘积稳定，故错误.

故选：AB.

11.为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免，

现调查了当地的100家中小型企业的年收入情况，并根据所得数据作出了如图所示的频率分

布直方图，则下列结论正确的是（）

A.样本在区间［500,700］内的频数为18

B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税收政策，估计当地有30%的中小

型企业能享受到减免税收政策

C.样本的中位数小于350万元

D.可估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元(同一组中的数据用该组区间

的中点值为代表)

【正确答案】ABD

【分析】A选项，根据频率之和即矩形面积之和为1求出a=0.0014,从而求出样本在区间

［500,700］内的频数；

计算出年收入在300万元以内的企业的频率，判断B选项；

先判断出中位数所在的区间，进而设出未知数，列出方程，求出中位数；

求岀样本年收入的平均数，从而估计当地的中小型企业年收入的平均数.

【详解】由题图可得100x(0.001+0.002+0.0026x2+a+0.0004)=l,解得。=0.0014,

故样本在区间［500,700］内的频数为100x(0.0014+0.0004)x100=18,故A正确；

年收入在300万元以内的企业的频率为100x(0.001+0.002)=0.3,故B正确；

100x(0.001+0.002)=0.3<0,5,

100x(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0.5,

则中位数在［300,400)之间，设为爲

则（X-300）x0.0026=0.5-0.3,得x*377>350,故C错误;

样本年收入的平均数为

1(X)X(150X().(X)1+250X0.002+350x0.0026+450xO.(X)26

+550x0.0014+650x0.0004)=376(万元)，

则估计当地的中小型企业年收入的平均数为376万元，故D正确.

故选：ABD

/.、-&+2x

12.关于函数(，下列说法正确的是()

A./(x)的定义域为B.f(x)的值域为口,+°°)

C.是偶函数D.f(x)在(v,T］单调递减

【正确答案】AB

【分析】A选项，根据』+2x20求岀定义域；B选项，根据指数函数单调性求出值域；C选

项，根据函数奇偶性定义进行判断；D选项，利用复合函数的单调性满足“同增异减”得到单

调性.

【详解】对于A,由9+2》20,解得x20或xV-2,故A正确；

对于B,由-所以函数的值域为［l，xo)，故B正确；

对于C,=Ew〃x)，且定义域也不对称，

.••/(X)不是偶函数，故C错误；

对于D,在函数定义域内，函数y=/+2x在(-8,-2］上单调递减，在［0,+8)上单调递增，

/।\-＞［x^+2x

根据复合函数的单调性满足“同增异减”，得到/(月=仕在(F,-2］上单调递减，在

［0,+8)上单调递增，故D错误，

故选：AB.

三、填空题

13.已知角a的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角a终边上的一点户到原点的

距离为应，若a=：，则点P的坐标为.

【正确答案】（1,1）

【分析】根据三角函数的定义列出方程组，求出点P的坐标.

丁正

【详解】设点p的坐标为（x,y）,则由三角函数的定义得，，

兀X

7=正

X=1

y=l

故点尸的坐标为（U）.

故（1,1）

14.数据4，*2，W的方差为*；+*+后）-9,则数据2占+1,2x,+1,2鼻+1的平均数为

【正确答案】7或-5

【分析】结合方差的概念得到;［伍可+伍可+伍可=；储+君+用一9,然后化

简整理得到］=±3,又因为数据厶+1,2%+1,2%+1的平均数为公+1，带入数据即可求

出结果.

【详解】数据为，演，马的方差为s2,平均数为1，

因为数据*1，演，匕的方差为g（k+E+宕）-9,

所以g（芭_xj+12_xj+［3_x）［=g（X；+X；+X；）-9,

-x；+x；+x；+3x—2x（X|+々+X3）］=3（片+石+4）-9,

而X=；（X|+W+X3）,

所以3T+E+石+3工—6x=—（%：+%；+x；）—9,

即g（片+考+考）-〈=#+考+考）-9,故二=9,即進±3,

数据2x,+l,2X2+\,2x,+l的平均数为万+1,即2x3+l=7或=2X（-3）+1=-5

故7或-5

15.奇函数f（x）满足/［x+］）=/*）,当时/（x）=Gcosx,贝!!/（一等）的值

为•

3

【正确答案】

【分析】求出的周期，得到-等利用该函数为奇函数，求出xe(o£

时，函数的解析式，代入求值即可.

【详解】由/1+:卜/口)可知奇函数“X)的周期为不

所以+6x升原

因为该函数为奇函数，所以“r)=-/(x),

令冋畤，。，

，则一xeJ

所以〃-X)=>/3cos(-x)=Gcosj;=-/(X),

即-/(x)=6cosx,

所以/(£)=一辰。秣,xe储)

177t

所以/>/3cos—=-—

62,

3

故一二

2

-2+lnJx>00,方程/(%)=%有两个实数解，则%的范围是.

16.已知函数〃x)=<

【正确答案】{T}|J(—3,一)

由题意可知，直线y=z与函数/(X)的图象有两个交点，数形结合可得出实数4的取值范围.

【详解】由题意可知，直线y=z与函数f(x)的图象有两个交点，

作出直线y=k与函数/(x)的图象如下图所示:

由图象可知，当A=T或&＞一3时，直线丫=左与函数的图象有两个交点.

因此，实数左的取值范围是{T}（-3,田）.

故答案为.{T}L（—3,e＞）

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17.已知a=—1920’

（1）将a写成尸+2而依€404〃＜2兀）的形式，并指出它是第几象限角

（2）求与a终边相同的角凡满足-4兀4，＜0.

4兀

【正确答案】（1）-1920。=-12兀+三，它是第三象限的角：

【分析】（1）利用180。=兀，将角度制化为弧度制，并得到所在象限;

(2)由夕=2E+—求出当化=一1,%=-2满足要求.

3

47r

【详解】(1)因为180。=兀，故。=一1920。=—12兀+7，

・・・cccc<-4兀4兀3兀

*.*-1920°=-12TC4--,7i<—<—,

332

47r

二将a写成£+2EkeZ0M£<2兀的形式为一1920°=—12兀+」，

3

它是第三象限的角.

(2)•/。与a的终边相同，

47r

令，=2祈+7，keZ,

当k=-l,%=—2满足题意，故。=-9，

18.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和8,系统A和系统8在任意

时刻发生故障的概率分别为厶和g.

(1)求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；

(2)求系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

49

【正确答案】(1)二

【分析】(1)利用对立事件和相互独立事件的概率公式计算可得；

(2)依题意即求3次检测中有1次发生故障或0次发生故障，利用相互独立事件和互斥事件

的概率公式计算可得；

一1149

【详解】(1)解：设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1一尸9)=1-而

(2)解：设“系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件

D,则3次检测中有1次发生故障或0次发生故障，

所求概率尸(£))=3x丄+(1-丄］.

5I5)I5)125

19.如图，以CU为始边作角a与£(0<尸<。<乃)，它们的终边分别与单位圆相交于点只Q,

已知点P的坐标为

3sina-2cosa

⑴求的值;

2sina+3cosa

⑵若OP丄OQ,求sinQcos#的值.

【正确答案】（1）8

⑵|

【分析】（1）根据三角函数得定义求出角。得三角函数值，然后化弦为切即可得解;

（2）根据。尸丄OQ,可得尸=a-g,再利用诱导公式即可得解.

【详解】（1）解：因为角a终边与单位圆相交于点尸（一£，竺

所以sina=^^,cosa=-^^,tana=-2,

〜…3sina-2cosa3tana-2-6-2

所以------------=---------=-----=8o；

2sina+3cosa2tana+3-4+3

（2）解：因为。尸丄OQ,

TT

所以〃=

所以sin/cos/=sin(a-^■卜os(c-]j=-cosasina=].

20.已知函数f(x)=Ti-x(xe[0,+co)).

(1)证明：函数〃x)是减函数；

⑵若不等式（a+x）（x+l）>l对xe[0,+<x）恒成立，求实数。的取值范围.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）（1,-H»）

【分析】（1）根据函数单调性的定义，在定义域范围内取玉>马，得出f（xj</（x2）,即

可证明函数/(X)是减函数;

(2)将不等式(“+x)(x+l)>l对xe[0,+oo)恒成立，转化为j-x在[O,”)上恒成立,

利用单调性求出的最大值，即可求得实数〃的取值范围.

【详解】(1)证明：在[0,e)上任取中天，且毛>々，

则

/(x,)-/(x2)=­5-----X]-----!—+X2=-~——-+X2-X,=------------------+1(X2-X{],

1V17

x,+lx2+l-(为+1乂々+1)■|_(x1+l)(x2+l)-

.0<x2<X,,

+1>0,x2+1>0,x2-x,<0,

则[a+i)；x2+i)++F<。，即/(%)</&)，

.•./a)在0+8)上是减函数.

(2)解：(a+x)(x+l)>l对X£[0,+oo)恒成立，

：.a>—--x在[0,”)上恒成立，需a〉/。).”,

X+1

由⑴可知f(X)=£-x[0,+8)上单调递减，

"(X)max=/(。)=/^-0=1，

，。>1,即实数。的取值范围是。，+8).

21.从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm),按照区间[160,165),

[165,170),[170,175),[175,180)"180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图

所示

(1)求频率分布直方图中X的值；

(2)估计该校学生身高的平均数(每组数据以区间中点值为代表)；

(3)估计该校学生身高的75%分位数.

【正确答案】(1)0.06

(2)172.25

(3)176.25

【分析】(1)利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出X；

(2)直接利用平均数公式求岀平均数；

(3)可设该校100名生学身高的75%分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得

【详解】(1)由频率分布直方图可知5x(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=l,解得x=0.06,

(2)根据频率分布直方图，由平均数公式可得：

x=162.5x0.05+167,5x0.35+172.5x0.30+177.5x0.20+182.5x().10=l72.25

(3)[180,185]的人数占比为5x0.02=10%.

[175,180]的人数占比为5x00.4=20%.

所以该校100名生学身高的75%分位数落在口75,180].

设该校1