2023-2024学年辽宁省高一年级下册3月联合考试数学试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省高一下册3月联合考试数学试题

一、单选题

1.已知向量5=(2,-3),6=(4乂)，c=(-l,l),若(。+勖)与(3a-c)共线，则实数4=()

7979

A.—B.-----C.5D.—5

1414

【正确答案】B

【分析】由向量共线的坐标表示求解.

【详解】依题意，a+2b=(10,-3+24),34-c=(7,-10),

因为(。+2匕)〃(3a—e),所以—100=—21+14/1,

解得义=-7=9.

14

故选：B.

2.命题“Vxe(2,”)，ln(x—l)+f+4>4炉的真假以及否定分别为()

A.真，HrG(2,+oo),ln(x+l)+x2+4<4x

B.彳用，VXG(2,+OO),ln(x+l)+x2+4<4x

C.假，3XG(2,-f-oo),ln(x+l)4-x2+4<4x

D.真，VXG(2,+OO),ln(x+l)4-x2+4<4x

【正确答案】A

【分析】由对数函数性质判断其真假，再由命题的否定的定义判断.

【详解】ln(x-l)+x2+4>4x<=>ln(x-l)+(x-2)2>0,

则当x>2时，ln(x-l)>0,(x-2)2>0,故原命题为真,

其否定为3xw(2,+o)),ln(x-l)+x2+4<4x,

故选：A.

3.如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运

动，角速度为看”//s,5s时到达点"（知几），则/=（）

丄

D.~2

【正确答案】C

【分析】由正弦、余弦函数的定义以及诱导公式得出

【详解】设单位圆与'轴正半轴的交点为厶,则力“。/4，厶83’所以/“”喏‘

故选：C

4.ABC中，点。满足AB=4O8，点E满足CE=2。，则AE=（）

2115112

A.——CA+-CBB.-CA-CBC.——CA+-CBD.——CA+-CB

3326233

【正确答案】C

【分析】由平面向量的线性运算法则求解.

【详解】如图，

AE=AC+CE=AC+-CD-AC+-（AD-AC）=-AC+-AB

33、>32

=--CA+-CB--CA=--CA+-CB.

32262

故选：C.

4

5.已知“=logu3,b=e°.c=log089,则a，b,c的大小关系为（）

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

【正确答案】D

【分析】根据对数函数与指数函数的性质，借助中间值2,0比较.

405

【详解】依题意，a=logL53>logL52.25=2,0<Z»=e°-<e<2,c=log0,89<0,.

故选：D.

4...n

-,tan<0,cos(7t-a)+sina-tan(z=()

-4+733

7

【正确答案】B

【分析】由诱导公式得sina,由平方关系求得cosa,然后再由诱导公式化简后代入计算.

【详解】依题意，cos（T+a）=cos貧+a1=sina=g,

因为tanc<0,所以cosa二-Jl-sin%=-且,

7

®（cos（7r-a）+sinf-^-a\tana=-cosa+sina=.

故选：B.

7.已知函数“x）Togi（26—5）,若VX”X2«2,+«））,当x产超时，一/⑷<0,则

5%1一/

实数。的取值范围为（）

一41、「5、「5）

A.-,+<»IB.[1,+℃）C.-,+℃ID.-,+ccI

【正确答案】D

【分析】利用复合函数的单调性法则转化为函数"=2ar-5在（2,+8）上单调递增，然后利用

一次函数单调性及对数函数定义域列不等式求解即可

【详解】依题意，函数/（x）在（2,+8）上单调递减.令〃=2奴-5,由复合函数单调性可知,

2a>05

函数〃=2^-5在（2,+8）上单调递增，故4i。,则受'故实数〃的取值范围为

*•

故选：D

（x-a）（x-2tz）,x<1,

8.已知函数十）卡一宀a,N恰有2个零点，则实数，，的取值范围是（）

IX

A.(^o,0]B.S，0)u(0,1)

1

C.-00,—D.(-8,0]u

2

【正确答案】D

【分析】由f(x)在区间[1，—)上单调递减，分类讨论4=0,4>0,。<0三种情况，根据零

点个数求出实数。的取值范围.

【详解】函数F(x)在区间[1,+8)上单调递减，且方程(x-a)(x-2a)=o的两根为42a.

若a=0时，由/。)=0解得x=0或x=1,满足题意.

若。>0时，a<2a,/(1)=«>0,当x-+8时，/(x)<0,即函数f(x)在区间口,内)上只

有一个零点，因为函数f(x)恰有2个零点，所以2a.i且

当°<0时，/(1)=«<0,此时函数/(x)有两个零点，满足题意.

综上，4€(—8,0]<J5」)

故选：D

二、多选题

9.已知数据办,*2，，尤”的中位数为。，众数为〃，平均数为T,方差为S2,若数据

7X,-9,7X2-9,,7斗-9的中位数、众数、平均数、方差分别为d，h',二，/，则下列说

法正确的是()

D22

A.a=aB.b'=lb-9C.=7x-9-s'=ls

【正确答案】BC

【分析】根据给定条件，利用中位数、众数的定义判断，利用平均数、方差的定义计算判断

作答.

【详解】依题意，因为新数据组是数据不々，，/中的每个数乘以7,再减去9的差，

因此原数据与新数据都按从小到大进行排列，顺序对应完全相同，则“'=7a-9,b'=lb-9,

A错误，B正确；

_i"—fi"i"_

而*=一2%，贝！Jx=—工(7玉-9)=-[(7Zz)-9〃]=7x-9,C正确；

〃占]nJ=l〃1=1

22

又S2=丄£（&-X）,贝IJ』=丄£K7x,-9）-7f=丄£49（七一x）=49d,D错误.

〃/=1〃/=!几i=l

故选：BC

10.已知log/+log諦=°,则下列说法一定正确的是（）

3

,na2

A.（2"）"=2"B.a-e=bC.b=aD.log,a=log8ab

【正确答案】BCD

【分析】利用对数的运算性质化简方程得6=巒，结合指数的运算性质逐一判断即可

【详解】依题意，-log3a+-1log,/>=0,即log3b=log3a,,则匕=巒且a,b>。，故C项正

确；

对于A项，（2"丫=2"2=22、23故A项错误：

na2

对于B项，a-^=a=b，故B项正确；

2

对于D项，log2a=log8ab«3log；,a=log,a/?<=>£>=«,故D项正确.

故选：BCD

11.已知a,h^R,则必21的必要不充分条件可以是（）

2222

A.ab>aB.aV>8C.«>p-D.a+b>2

【正确答案】CD

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

,、[a>0[a<0

【详解】解：对于A：由即/b-aNO,即（油-la",所以厶、，或一，，

[ab>i[ab<\

故充分性不成立，由姉之1,若〃<0时，^\a2b<a,故必要性不成立，故A错误；

对于B：由a'/Zzg,可得而之2,由曲之2推得出故充分性成立，故B错误；

对于C：由/•可得之1,所以必或而WT,故充分性不成立，反之当〃〃之1时，

可得a为2±l,所以故必要性成立，故C正确；

对于D：由巒+6?22得不至1」曲21,如a=2,6=0满足Y+〃22但a〃=0,即充分性不

成立，反之当必21时可得/+从22必22故必要性成立，即巒+〃22是而21的必要不充

分条件，故D正确；

故选：CD

12.函数y=〃x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=〃x)为奇函

数，该结论可以推广为：函数y=的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函

2

数y=/(x+。)一匕为奇函数.已知函数g(x)=7T-----(加＞。).()

2+m

A.若加=1,则函数y=g(x)-l为奇函数

B.若加=1,则g(一10)+g(—9)+…+g(9)+g(IO)=2O

C.函数g(x)的图象必有对称中心

2

D.VxeR,g[log2(2m)+xj+g[log2(2/H)-X]<—

【正确答案】ACD

【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点尸(4,3成中心对称图形的

充要条件是函数y=/(x+a)-b为奇函数.对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.

选项C,直接利用定义判断，求出对称中心点.选项D,不等式恒成立问题，根据g(x)的函数

性质证明即可.

【详解】对于选项A,记3)=8(*)-1=z.

因为〃(-刈=冷==記=-〃(力，所以〃(x)为奇函数，故选项A正确；

对于选项B,由选项A可知人(-尤)+何》)=0,从而g(-x)+g(x)=2,

所以g(-10)+g(-9)+…+g(9)+g(10)=2xl0+g(0)=21,故选项B错误；

对于选项C记p(x)=g(x+a)-b.若p(x)为奇函数，则VxeR,

/?(-x)+/?(x)=O,即g(-x+d)+g[x+a)=2b,

所以三片土声£=2〃，即23+2-+2m=b(2­+〃?)(2宀+m).

上式化简得VxeR，2"(I-痴乂2'+2T)+2加-加？-＞4"=0.

a=log2m

则必有

・对称’故选项C正确;

因此当机＞0时,

/2

对于选项D,由选项C可知，g(log,/M+x)+g(log,〃2-x)=—.

m

当〃?>0时，g(x)是减函数，log2(2m)=1+log2m>log2m,所以

2

^[log2(2m)+x]+5[log2(2/n)-x]<^(log2m+jr)+g(log2/?z-x)=—,

故选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.已知A,B,C三点共线，若D4=2/l£)8+3C3，贝U.

【正确答案】g##0.5

【分析】由CB=QB-Z)C及A，8,C三点共线的等价条件，即可列出方程，求得答案.

【详解】因为C3=OB-£)C，

所以£>A=22OB+3cB=2/lQB+3(OB-OC)=(2/l+3)QB-3OC,

又A,B,C三点共线，所以22+3—3=1,得2=；.

故g

14.已知扇形的周长为12cm,面积为8cm二则扇形圆心角的弧度数为.

【正确答案】4或1

【分析】根据题意设出扇形的圆心角，半径与弧长，通过扇形的周长与面积的公式，列方程

可求得半径与弧长，进而可求出圆心角.

7+2厂=12

【详解】设圆心角为a,半径为小弧长为/,贝D1,。，

—Zr=8

2

解得r=2,/=8或r=4,1=4,

所以a='=4或1.

r

故4或1.

15.若集合A={X|3X2-14X+1640},8=卜|之子＞。］,则A；8=.

【正确答案】

【分析】分别求出集合中不等式的解集，再根据集合的交集运算，即可得到本题答案.

【详解】因为3X2-14X+1640,所以(X—2)(3X—8)40,得24X4，所以A=1X|24X4,

又因为^^>0,所以x(3x-7)>0,得x<0或x>:,所以B=[x]x<0蛆

x313J

所以AcB={x

故卜lg<W}

16.己知正数a,厶满足Iog6(2«+36)=log3b+log69-l=k)g2a+k)g69-k)g23,则

lg(2a+3/>)-lg(10a)-lg(10/>)=.

【正确答案】-2

【分析】设log6空现=1。83:=1〃2?=乙对数式改写为指数式，求得8关系，然后由

对数的运算法则变形化简求值.

【详解】因为log6(2a+3b)=log,b+log69-1=log2a+log69-log23,

所以1呜(2a+36)=log,1+log()9=log21+log69,

Hn,2a+3bba

即!og6---=咋3-=>og2~，

,人]2a+3bba,2a+3b,b,a,

设logo---=log-=log-=r,则---=6,-=3(,彳=2',

91313933

2。+38abr口一…,

所以—--=—=6,B|J2a+3b=ab,

故lg(2a+36)-lg(10a)-lg(10/0=lg察当=2

故-2.

四、解答题

17.某校高中年级举办科技节活动，开设A,B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，

且将25%的同学去A会场，剩下的同学去8会场.已知A,8会场学生年级及比例情况如下

表所示：

T^r一

高一冋一*高三

A会场50%40%10%

B会场40%50%10%

记该校高一、高二、髙三年级学生所占总人数的比例分别为X,y,Z,利用分层随机抽样的

方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.

（1）求x：y：z的值;

（2）若抽到的B会场的髙二学生有75人，求“的值以及抽到的4会场高一、高二、高三年级

的学生人数.

【正确答案】（1）17:19:4；

（2）/1=200；高一年级人数为25,高二年级人数为20,高三年级人数为5.

【分析】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为mb,c,列表表示出去48会场

的各年级人数，由此可得比例x：y：z；

（2）由3会场的高二学生人数求得样本容量〃，按比例求得抽到的4会场高一、高二、高

三年级的学生人数.

【详解】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,

则去A会场的学生总数为0.25（a+6+c）,

去B会场的学生总数为0.75（“+6+c）,

则对应人数如下表所示：

直一自—,

高.冋一■冋二

A会场0.125(a+〃+c)0.1(a+Z?+c)0.025(a+6+c)

B会场0.3(a+/?+c)0.375(tz+Z?+c*)0.075(〃+b+c)

贝y:z=0.425（a+b+c）:0.475（a+0+c）:0.l（a+b+c）=17:19:4,

（2）依题意，wx0.75x0.5=75,解得〃=200,

故抽到的A会场的学生总数为50人,

则高一年级人数为50X50%=25,

高二年级人数为50x40%=2（）,

高三年级人数为50x10%-5.

4

18.已知函数/("=£匚1+。为奇函数.

⑴求〃的值；

(2)用单调性的定义证明：/(x)在R上单调递减.

【正确答案】(1)。=-2

(2)证明见解析

【分析】(1)利用奇函数的定义建立方程求解即可；(2)根据单调性的定义证明即可.

【详解】(1)依题意，xeR，/(-x)+/(x)=O,

4444e2v-/八

即Hn一z------1—------F2a=-z------1—r------F2a=4+2a=0,

e2t+le2t+le2v+le2x+l

解得a=-2.

4

(2)由(1)可知，/(x)=^--2.

不妨设为＜々，则/(内)一/(々)=27-2-141T-21

CI"1kCi"1J

_f+]-e2&+]一(e“"+1)/+1)1-e')，

因为X1<七，y=e"为单调递增函数，所以e2*2>e2w>0,

故/(3)一/(々)>0，即”菁)>“切，

故f(x)在R上单调递减.

19.近年来，受金融市场以及股票市场的影响，越来越多人选择使用支付宝进行理财I下图

统计了A地区使用支付宝进行理财的理财者的相关年龄.

(1)求A地区使用支付宝进行理财的理财者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表)；

（2）若使用分层抽样的方法从年龄在［30,50）的所有理财者中随机抽取6人，再从这6人中随

机抽取2人，求恰有1人年龄在［30,40）的概率.

【正确答案】（1）36

⑵色

15

【分析】（1）把每组的频率乘以该组区间的中点值相加即可得到平均年龄；

（2）先求出两个组的人数，再列出所有基本事件和满足条件的事件，即可得到本题答案.

【详解】（1）由题可得，所求年龄的平均数为

25x0.03x10+35x0.04x10+45x0.02x10+55x0.01x10=7.5+14+9+5.5=36.

（2）依题意，年龄在［30,40）的理财者抽取4人，记为甲、乙、丙、丁，

年龄在［40.50）的理财者抽取2人，记为戊、己，

则从甲、乙、丙、丁、戊、己中随机抽取2人，所有可能结果为｛甲,乙｝,｛甲,丙｝,｛甲,丁｝,

｛甲，戊｝，｛甲，己｝，｛乙，丙｝,｛乙，丁｝，｛乙成｝,｛乙,己｝,｛丙,丁｝,｛丙，戊｝，｛丙，己｝，｛丁，戊｝,

｛丁，己｝，｛戊，己｝,共15种,

其中满足条件的有｛甲，戊｝，｛甲，己｝，｛乙，戊｝，｛乙，己｝,｛丙，戊｝，｛丙，己｝,｛丁,戊｝,｛丁,己｝,

O

共8种，故所求概率P=1.

20.已知函数/（犬）=工2-4/代+6机.

（1）若/（x）有两个零点，求实数机的取值范围；

⑵当xe［0,3］时，求的最小值.

「3

【正确答案】⑴（-e,0］u—

（2）答案见解析

【分析】（1）由"》）有两个零点，得AW0,解不等式即可求得本题答案；

（2）先求出函数对称轴，然后分别求出当2〃?40,0<2m<3,2〃注3时，函数对应的最小

值即可得到本题答案.

【详解】(1)依题意，A=(-4"?)2-4・66之0,

,、3

则2nr-3〃?>0,解得tn<0^tn>—,

r3

故实数〃7的取值范围为-,+<»).

(2)依题意，“X)的对称轴方程为x=2m.

当2mV0,即a40时，/(X)在［0,3］上单调递增，此时“X)的最小值为"0)=6%

当0<2〃?<3,即0<机时，f(x)在［0,2,〃)上单调递减，在(2,〃,3］上单调递增，此时/(x)

的最小值为/(2m)=-4m2+6m；

当2加23,即修2万时，/(x)在［0,3］上单调递减，此时/(x)的最小值为/(3)=9-6帆.

3

综上，当相<0时，/(x)的最小值为6"?,当。<〃?<；时，/(九)的最小值为-4疗+6〃z,当

,让5时，“X)的最小值为9-6,”.

21.(1)已知关于x的不等式(1一加)，+"*22在［-In2,ln2］上恒成立，求实数m的取值范

围；

(2)已知二次函数〃x)的顶点为(—2,0),且曲线y=/(x)与直线y=2x+3相切，若函数

g(x)=ln［〃x)-W在区间［2,y)上单调递增，求实数氏的取值范围.

【正确答案】⑴S，。］；⑵S，8).

121「11

(1)分离m得利4工--+1,令==/,则〃?《产-2/+1且-.2,令〃⑺=产一21+1,

ee7e1_2」'丿

则利,利用二次函数的性质求出厶(/)而„即可.

(2)设〃x)=a(x+2)2,联立直线y=2x+3与/(x)=a(x+2)2令△=(),求得。的值，可

得g(x)=ln［/+(4-Z)x+4］根据复合函数同增异减可得/(x)=f+(4—A)x+4在区间

［_isA<2

［2,+8)上单调递增，且即2即可求解.

22+(4-JI)X2+4>0

【详解】(1)由(1-冋/+0--2对于xe［-ln2,ln2卜恒成立，

17

得加43一七+1对于xe［-ln2,ln2H亘成立，

令二=f,则mMf2-2f+i,因为xe[-ln2,ln2],故feg,2,

令〃⑺=*一2/+1,则〃后帖）脸,

〃⑺=/—〃+l]；4Y2）的对称轴为.=1,

所以7=1时，72（/）^=/?（!）=1-2+1=0,故加40,

即实数加的取值范围为（,，3，

（2）设/（x）=a（x+2）2,将y=2x+3代入，^2x+3=ax2+4ar+4a,

BPax2+（4a-2）x+4a-3=0,△=（4a-2『一4a（4a-3）=0,即4〃一4=0,

解得：a=l,于是/（x）=V+4x+4,

g（x）=ln|^/（x）-Ax]=ln^x2+（4-%）x+4],

令心）=寸+（4-%）_¥+4,

贝|]8（K）=111]』+（4-左）1+4]是由卜=111，和《力=*2+（4-%）工+4复合而成，

y=Inf单调递增，

要使函数g（x）在区间[2,y）上单调递增，

只需（）=<+（4-初*+4在区间[2,+8）上单调递增,且GL>0,

严42

即｛2,解得：k<8,

22+（4-）t）x2+4>0

故实数4的取值范围为（―,8）.

思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围

若不等式“X,彳）20（xe。）（4是实参数）恒成立，将f（x,»20转化为4Ng（x）或

24g（x）（xw。）恒成立，进而转化为42g（x）mx或;14go.（xe。），求g（x）的最值即可.

22.我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）

中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量

称为声强/（W/cmD.但在实际生活中，常用声音的声强级。（分贝dB）来度量.为了描

述声强级。（dB）与声强/（W/cmD之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据：

组别1234567

声强/(W/cm2)10'"2x10"3x10-"4x10-"1O'10①9x10-7

声强级。(dB)1013.0114.7