2023-2024学年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校九年级(上)

开学数学试卷

一、选择题(本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.对角线互相垂直平分的四边形是()

A.平行四边形、菱形B.矩形、菱形C.矩形、正方形D.

菱形、正方形

2.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中41+

42的度数是()

A.30°B.60°C.90°D.120°

A.(1,1)B.(1,-1)C.(1,-2)D.(2,-2)

6.已知菱形的面积为120cni2,一条对角线长为10cm,则这个菱形的周长为cm.()

A.13B.24C.52D.60

7.下列命题中，真命题是()

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D.两条对角线相等的四边形是矩形

8.如图，平行四边形ABCD,从下列四个条件①ZB=BC,

②乙4BC=90。，③AC=8。，④力CJLBD中选两个作为补充条

件，不能确定平行四边形4BCD为正方形的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

9.如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（）

A.ZiBDE和△£）6的面积相等

B.四边形4E0F是平行四边形

C.若48=BC,则四边形4EDF是菱形

D,若=90°,则四边形4EDF是矩形

10.如图，在矩形AOBC中，。为坐标原点，。4、OB分别在％轴、y轴

上，点B的坐标为（0,3C）,/-ABO=30°,将AABC沿4B所在直线

对折后，点C落在点。处，则点。的坐标为（）

A"|,|O

B.（2,|，3）

c.（|F）

D.（|,3-|O

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.因式分解：一a=

12.若一个正方形的对角线的长为6cm,则这个正方形的面积是cm2.

13.菱形的周长为20cm,两邻角的比为2：1,则较短的对角线的长为cm.

14.如图，在菱形4BCD中，对角线AC、BC相交于点0,E为BC

中点，则与OE相等的线段有.

15.如图，四边形力BCD是正方形，延长ZB至U点E,使AE=AC,则

NBCE的度数是.

E

AR

16.如图，矩形4BCD中，对角线4C,BD相交于点。，AD=2g

Z.COB=60°,BFLAC,交4c于点M,交CD于点F,延长F。交4B于

点E,则下列结论:①F。=FC；②四边形EBFD是菱形;③△OBE三4

CBF：④MB=3.其中结论正确的是.

三、解答题（本大题共8小题，共70.（）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

（2.x—1V%+1

解不等式组：卜-4<,并把它的解集表示在数轴上.

11111I■■।।»

一5一4一3—2—10123456

18.（本小题6.0分）

先化简，再求值：[（x+2y）2-（3x+y）（3x-y）-5y2]+（2办其中x=-g,y=1.

19.（本小题6.0分）

己知：如图，在正方形48co中，E为C。边上的一点，尸为BC的延长线上一点，且CE=CF.ABCE

与ADCr全等吗？请说明理由.

20.（本小题8.0分）

如图，在平行四边形4BC0中，E是40边上一点，且4E=AB,连接BE.

（1）尺规作图：作乙4的平分线4尸交BC于尸，交BE于G（不需要写作图过程，保留作图痕迹）;

(2)若8E=8,AB=5,求4尸的长.

21.（本小题8.0分）

如图，在平行四边形4BC0中，两条对角线相交于点0,EF经过。且垂直于4C,分别与边4D、

BC交于点F、E.

(1)求证：四边形4ECF为菱形;

(2)若ZD=3,CD=口,且乙4DC=45。，求平行四边形的面积;

⑶在(2)的条件下求菱形4EC尸的周长.

22.(本小题8.0分)

如图，在矩形4BC0中，E、F分别是边AB、CO上的点，AE=CF,连接EF,BF,E尸与对角

线"交于。点，且BE=BF,4BEF=24BAC.

(1)求证：0E=OF；

(2)若8c=2/3，求4B的长.

AE

23.(本小题14.0分)

如图，在Rt/iABC中，^ACB=90°,过点C的直线MN//AB,。为力B边上一点，过点。作CE

BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.

(1)求证：CE=4D；

(2)当。在4B中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)若。为23中点，则当乙4的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.

D

24.(本小题14.0分)

已知正方形ABCD的边长为4..

(1)如图1,点P在直线4D上运动，连接PC,将线段PC绕点C按顺时针旋转90。得到CE,连接BE.

①若点P与4重合，则8E=.

②若BE=9,求4P的长.

(2)如图2,点P在边4D上(P不与A,D重合)运动，且PA>PD,连接P8、PC.将线段PB绕点P

逆时针旋转90。得到PM,将线段PC绕点P顺时针旋转90。得到PN,设PD=x,MN=y,求y关

于x的函数表达式.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分性质进行分析从而得到正确答案.

本题考查平行四边形及特殊平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性

质是解题关键.

【解答】

解：4、不正确，平行四边形的对角线不一定互相垂直；

8、不正确，矩形的对角线不一定互相垂直；

C、不正确，矩形的对角线不一定互相垂直；

。、正确，两者的对角线均具有此性质；

故选O.

2.【答案】C

【解析】解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，

所以，zl+Z2=90°.

故选：C.

根据直角三角形两锐角互余解答.

本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BC0是矩形，

AO=BO=CO=DO.

•・•Z.AOD=120°,

・•・Z.AOB=60°.

是等边三角形.

・•.AO=AB=6,

AC=2AO=12,

故选：C.

依据矩形的性质可知△AOB是等边三角形，所以力。=48=6,则AC=24。=12.

本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，矩形中对角线相等且互相平分，进而得

到等边三角形是解本题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：「x—540,

***x5.

故选：C.

根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案.

本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：:a,c两点关于%轴对称

4c和BD互相垂直平分

•••BD=2

：.AC=2

•.•点C在第四象限

二点C的坐标为：(1,一1)

故选艮

因为正方形力BCD,所以AC和BD互相垂直平分，易知BC=2,则力C=2,而点C在第四象限，所

以点C的坐标为：(1,-1).

本题考查了对角线的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，是基础知识要熟练掌握.

6.【答案】C

【解析】解：•••菱形的一条对角线长为10cm,面积为120cm2,

二另一对角线长为=24(cm),

根据勾股定理，菱形的边长为Y122+52=13(cm),则菱形的周长=13x4=52(cm).

故选：C.

根据菱形的面积可求得另一条对角线的长,再根据勾股定理求得其边长，从而就不难求得其周长.

本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：4两条对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，符合题意；

8、两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意；

C、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，不符合题意；

。、两条对角线相等的四边形是矩形，错误，不符合题意.

故选：A.

分别根据平行四边形，菱形，正方形，矩形的判定定理解答即可.

此题考查的是命题与定理，正确把握矩形、菱形、正方形以及平行四边形的区别是解题关键.

8.【答案】B

【解析】解：4、••・四边形ABCD是平行四边形，

当①4B=BC时，平行四边形ABC。是菱形，

当②乙4BC=90。时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；

8、•••四边形4BCD是平行四边形，

当②41BC=90。时，平行四边形4BC0是矩形，

当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形4BC0是正方形，故此选项错误，符合题意;

C、•••四边形是平行四边形，

当①4B=BC时，平行四边形4BCD是菱形，

当③4C=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；

。、•・泗边形4BCD是平行四边形，

二当②乙4BC=90。时，平行四边形48CD是矩形，

当④ACLBD时，矩形力BCD是正方形，故此选项正确，不合题意.

故选:B.

利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可.

此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确?翼握正方形的判定方法是解题关

键.

9.【答案】C

【解析】解：4连接EF,

•••£）、E、F分别是4力⑶。各边中点，

EF//BC,BD=CD,

设EF和8C间的距离为九，BzDAC

,,eS〉BDE=3BD,h,S»DCE=5co,九，

ShBDE=S^DCF，

故本选项不符合题意；

B；：D、E、F分别是△力BC各边中点，

DE//AC,DF//AB,

：.DE//AF,DF//AE,

二四边形AEDF是平行四边形，

故本选项不符合题意；

C.7D,E、F分别是△ABC各边中点，

.-.DE=^AC,DF=；AB,EF=

若48=BC,则。F=EF,无法判断。E与OF是否相等，

二无法判断四边形AEDF是菱形，

故本选项符合题意；

•四边形4EDF是平行四边形，

••・若=1=90°,则四边形4E0F是矩形，

故本选项不符合题意；

故选：C.

根据平行四边形的判定，矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可.

本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握三角

形的中位线定理是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：•••四边形40BC是矩形，乙IB。=30。，点B的坐标为（0,3，3），r\

,2LCAB=30°,

-m

BC=AC-tan300=3/3x4

点c落在点。处，—乙二_

•••将△4BC沿力B所在直线对折后,

A1。.

•••/-BAD=30°,AD=3y/~l,

过点。作DM轴于点M,

乙CAB=4BAD=30°,

/.DAM=30°,

口

:.DcnM/=-1/IgD=3，

:.AM=3-/-3xcos300=

AMO=19-3=I3，

点。的坐标为(|,*).

故选：A.

根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出。点坐标.

此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得出NZMM=30。是解题关

键.

11.【答案】a(a+l)(a-l)

【解析】【分析】

此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取a,再利用平方差公式分解即可.【解答】

解：原式=a(a2—1)=a(a+l)(a-1)»

故答案为矶a+l)(a—1).

12.【答案】18

【解析】解：•••正方形的对角线长为6cm,

;正方形面积为2X6x6=18cm2,

故答案为：18.

根据正方形面积公式进行求解即可.正方形是特殊的菱形,可以用对角线长度的乘积的一半计算.

本题主要考查了正方形的性质，熟知正方形面积等于对角线长度的乘积的一半是解题的关键.

13.【答案】5

【解析】解：因为两邻角的比为2：1,得到菱形的较小的角为60。，可得较短的对角线与菱形的两

邻边组成等边三角形.则较短的对角线的长为等于菱形的边长20+4=5cm.

故答案为5

根据已知可求得较小的内角为60。，从而可得到较短的对角线与菱形的一组边组成一个等边三角形,

则较短的对角线的长等于菱形的边长.

此题主要考查的知识点：(1)菱形的两个邻角互补；(2)菱形的四边相等；(3)等边三角形的判定：

有一角等于60。的等腰三角形是等边三角形.

14.【答案】EC、EB

【解析】解：•••菱形对角线垂直平分

••.△OCD为直角三角形，

vE为CD的中点，

OE=^CD=EC=EB.

故答案为EC、EB.

根据菱形对角线垂直平分的性质，可以得△OCD为直角三角形，又由E为CC的中点，可得。E=

^CD=EC=EB.

本题考查了菱形对焦互相垂直平分的性质，考查了直角三角形斜边中线长为斜边长的一半的性质,

本题中熟悉掌握三角形中位线定理是解题的关键.

15.【答案】22.5°

【解析】解：♦.•四边形4BCD是正方形，

AZ.CAE=45°=/.ACB.

"AE=AC,

：./.ACE=(180°-45°)+2=67.5°.

lBCE=/.ACE-乙ACB=67.5°-45°=22.5°.

故答案为22.5。.

根据正方形的性质可得NC4E=N4CB=45。，再根据等腰三角形的性质可求NACE度数，最后用

乙BCE=N4CE-45。即可.

本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，解决正方形的角度问题一般会涉及对角线平

分对角得到45。.

16.【答案】①②③④

【解析】解：•••四边形4BCD是矩形，

••・AC=BD,

・•・OA=OC=OD=OB,

•・・乙COB=60°,

••.△OBC是等边三角形，

OB=BC=0C,乙OBC=60°,

•・・BF1.AC,

・・・0M=MC,

・•・FM是。C的垂直平分线，

AFO=FC,故①正确；

•・・OB=CB,FO=FC,FB=FB,

・•・△OBF三ACBF(SSS),

・•・乙FOB=乙FCB=90°,

•・・乙OBC=60°,

:.乙48。=30°,

・・・乙OBM=乙CBM=30°,

:.Z-ABO=Z-OBF,

•:AB“CD,

:.Z.OCF=Z.OAEf

vOA=OC,Z.AOE=ZFOC,

•••△40EwZkC0F(ASA),

.•・OE-OF,

vOB工EF,

・•・四边形EBFD是菱形，故②正确；

,/△OBE三XOBF=LCBF,

③正确；

VBC=AD=2/-3，FM1OC,乙CBM=30°,

BM=3,故④正确；

故答案为：①②③④，

根据矩形的性质和等边三角形的判定得出aOBC是等边三角形，进而判断①正确；根据AS4证明

△40E与ACOF全等，进而判断②正确；根据全等三角形的性质判断③④正确即可.

此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答.

2%—1V%+

.【答案】解：

17V。②

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：xN—2,

.•・原不等式组的解集为：-2Wx<2,

该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:

11III，、111

一5一4—3—2—10I23456

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的

步骤是解题的关键.

18.【答案】解：原式=(x2+4xy4-4y2-9%24-y2-5y2)+2x

=(-8%2+4xy)+2x

=—4x+2y,

当x=-py=1时，

原式="4x(—J+2x1

=2+2

=4.

【解析】先计算括号内的乘方和乘法，再合并括号内的同类项，最后计算除法即可得.

本题主要考查整式的化简求值能力，熟练掌握整式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键.

19.【答案】解：△BCEwxDCF,理由如下：

•・•四边形是正方形，

・・・BC=DC,Z-BCD=90°,

则：Z.BCE=Z.DCF=90°

在aBCE与△DCF中，

(BC=DC

\/-BCD=乙DCF,

(CE=CF

BCE毛2DCF(SAS).

【解析】利用正方形的性质即可得到△8"与△DCF全等的条件，在利用SAS可证其全等.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握并灵活运用正方形的性质是解决问题的

关键.

20.【答案】解：(1)射线AF如图所示.

(2)•••AE=AB,AF平分4BAE,

AG-LBE1

・・.EG=BG=4,

在RtZkAGB中，vAB=5,BG=4,

AAG=V52-42=3，

•・,四边形/BCD是平行四边形，

:,AD//BC,

・•・Z-EAG=Z.AFB,

•・・AF平分

・•.Z.EAF=乙BAF,

・•・Z.EAF=Z.BAG=Z.AFB,

・•・BA=BF,

•・・BG1.AF,

:.AG=GF=3,

・••AF=6.

【解析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

(1)利用尺规作出NB4D的角平分线即可.

(2)利用勾股定理求出4G,证明B4=BF,4G=GF即可解决问题.

21.【答案】(1)证明：:EF是对角线AC的垂直平分线，

AF=CF,AE=CE,OA=OC,

••Z.EAC-Z.ECA,Z.FAC=/.FCA,

・・•四边形4BCD是平行四边形，

•.AD//BC,

：■Z.EAC=乙FCA,

:.Z.FAO=乙ECO,

在△4。尸和△COE中，

/.FAO=乙ECO

OA=OC,

^AOF=乙COE

.•.△aoFwzkCOE(Asa),

：・AF=CE,

•・•AF=CF,AE=CE,

/.AE=EC=CF=AF,

二四边形AECF为菱形；

(2)解：过C作CHIAD于H,

BEC

贝此CHO=乙CHF=90°,

vAADC=45°,

.•.△CD"是等腰直角三角形，

CH=DH=^CD=1.

•••平行四边形力BCD是面积=ADxCH=3x1=3；

(3)解：•；4D=3,DH=1,

■■.AH=2,

••・四边形4ECF是菱形，

-.AF=CF,

设4F=CF=x,则FH=2—x,

在RMCHF中，由勾股定理得：CF2=F“2+C”2,

即/=(2-X)2+12,

解得：x=J,

4

AF=CF="

4

二菱形AECF的周长=：x4=5.

4

【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得4F=CF,AE=CE,再证△AOF^LCOE,得AF=CE,

则AE=EC=CF=/F,即可得出结论；

(2)证△CDH是等腰直角三角形，得CH=DH=1,由平行四边形的面积可求解；

(3)先求4H=2,由菱形的性质得4F=CF,设AF=CF=%,则FH=2—%,在RtACHF中,由

勾股定理得出方程，解方程，进而求解即可.

本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形

的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：•.•四边形4BCD是矩形，

・•,AB//CD,

:.Z-BAC=Z-FCO.

在△AOE和△COF中，

乙BAC=LFCO,/-AOE=ZCOF,AE=CF,

•••△40EwaC0F(44S),

・•・OE=OF.

BE=BF,OE=OF,

••・BO1EFf

在Z.BEF^-Z-ABO=90°.

AOE=h.COF,

:.OA=OC.

•・•四边形/BCD是矩形，

:.Z.ABC=90°

:.OA=OB=OCf

:.Z.BAC=乙ABO.

•・•乙BEF=2(BAC,Z.BEF+Z.ABO=90°,

・・・2乙BAC+乙BAC=90°,

乙BAC=30°.

•••BC=2「，

•••AC=2BC=4「，

AB=VAC2-BC2=J(4/3)2-(2/3)2=6-

【解析】(1)仔细审题，根据矩形的对边平行可得4B〃CD,再根据两直线平行，内错角相等得出

NB4C=/.FCO,然后利用“角角边”证明△力。砂以COF全等，即可证明OE=OF；

(2)连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得B。1EF,再根据矩形的性质得到直角三角形，

利用直角三角形斜边中线的性质即可证明。4=0B,根据等边对等角的性质可得4B4C=乙4B。；

在Rt△BE。中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到484c=30。，根据直角三角形30。角

所对的直角边等于斜边的一半求出4C,接下来运用勾股定理即可求出力B的长.

此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

23.【答案】(1)证明：•••DELBC.

Z.DFB=90°.

•••4ACB=90°,

••・Z-ACB=乙DFB,

・•.AC//DE,

vMN//AB,即CE〃40,

・•・四边形力。EC是平行四边形，

ACE=AD.

(2)解：四边形BECD是菱形.

理由是：•••。为48中点，

:.AD=BD,

•・•CE=AD,

・•・BD=CE.

•・•BD//CE,

•••四边形8EC0是平行四边形.

•••/.ACB=90°,。为4B中点，

CD—BD,

••・平行四边形BECD是菱形.

(3)解：当乙4=45。时，四边形BECD是正方形.

理由是：v/LACB=90°,=45°,

・•・/.ABC==45°,

:.AC—BC.

■■■。为B4中点，

•••CDLAB,

乙CDB=90°,

•••四边形BECO是菱形，

:•菱形BECD是正方形，

即当24=45。时，四边形BECD是正方形.

【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相

关判定和性质是解题的关键.

(1)先证出四边形40EC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

(2)先证明四边形BECD是平行四边形，再证明CD=BD,根据菱形的判定推出即可；

(3)证出NCDB=90°,再根据正方形的判定推出即可.

24.【答案】4A/-5

【解析】解：(1)①当点P与点4重合时，由旋转的性质得：AC=EC,^.ACE=90°,

过点E作BC的垂线交BC的延长线于凡则N4FE=90°,

A(P)DE

•••四边形ABC。为正方形，且边长为4,

Z.BCA=/.DCA=45°,/.ABC=4。=90°,AB=BC=CD=4,

Z.DCE=Z.ACE-Z.DCA=45°,

•••Z.ECF=乙DCF-Z.DCE=45°,

4ECF=4ACB=45°,

在ZMBMAECF中,

NECF=Z.ACB=45°

Z.F=/.ABC=90°,

AC=EC

ACF=BC=4,EF=AB=4,

：・BF=BC+CF=8,

在RMBEF中，BF=8,EF=4,

由勾股定理得：BE=7BF?+"2=4c.

②•・•点P在直线4。上运动，

・・.有以下两种情况：

⑴当点P在DA的延长线上时，设AP=Q,

过点E作8c的垂线交8C的延长线于凡由旋转的性质得：EC=CP,^PCE=90°,

"E

PAD

F

BC

•.z.F=/.D=90°,EF//CD,

/.Z,P+/.PCD=90°,ZPCD+ZDCF=90°,Z.CEF=zDCE,

:.乙P=乙CEF,

在ACEF和△CPD中，

Z.P=Z.CEF

4F==90°,

EC=CP

・•.△CEF=^CPD(AASy

・•・EF=DP=4+a,CF=CD=4,

・・・BF=BC+CF=8,

在中，EF=a+4,BF=8,BE=9,

由勾股定理得：EF2=BE2-BF2,

即：(a+4)2=92-82=17,

a+4=+V17>

a=/17-4或（1=-Q百-4<0（不合题意，舍去）,

AP=a=V17—4.

（〃）当点P在4。的延长线上时，

过点E作8c的垂线交BC的延长线于凡由旋转的性质得：EC=CP,/.PCE=90°,

•••^ECF+Z-PCF=90°,乙PCD+乙PCF=90°,

:.Z.ECF=乙PCD,

在和△PCD中

Z-ECF=乙PCD

Z-F=Z-PDC=90%

EC=CP

:.AECF"PCD(AAS),

・・・EF=DP,CF=CD=4,

・・・BF=BC+CF=8,

△BEFvV，BF=8,BE=9,

由勾股定理得：EF=VBE2-BF2=y/~V7^

・・・DP=

^AP=AD+DP=yTT7^-4.

综上所述：4P的长度为口7-4或AH百+4.

(2)-PD=x,AD=4,其中0VXV2,

・••AP=AD—PD=4-x

过点M作力。的垂线交AD的延长线于H