2023-2024学年北京市延庆区八年级上学期期中考试数学试卷含详解

延庆区2023-2024学年第一学期期中试卷

初二数学

考生须知

1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号.

3.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试卷用黑色签字笔作答.

一、选择题（共16分，每题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.若二次根式‘%一2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（

)

A.xw2B.x>2C.x>2D.x<2

.m-ny_2xXV2

2.在-----一中，分式的个数是（）

2兀'x+2'71'y

A.1B.2C.3D.4

3.下列二次根式中与逐是同类二次根式的是（)

B.回C.V45D.V50

4.不改变分式的值,下列各式变形正确的是（)

bb+2-a-b.工”b2%\2x2

A.-=----B.-----=-1C.D.=

aQ+2a+ba-bIyIV

5.下列计算，正确是（)

A.必^=—2B.舟C.3V2-V2=3D.

孙

6.如果把分式中的x和），的值同时扩大为原来的5倍，那么分式的值（）

2x-3y

缩小为原来的1倍

A.扩大为原来的5倍B.

C.不改变D.扩大为原来的25倍

7.下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.丛C.后D.V27

2

8.当x分别取一2023,—2022,-202—0,1,：111时，计算分式x二-」l

23202120222023x2+l

的值，再将所得结果相加，其和等于（)

B.1C.0D.2023

二、填空题（共16分，每题2分）

9.计算:(5我2=

10.当x_____时，分式工匚有意义；当x_______时，分式>\值零.

x+32x-3

11.计算：-^-+—=_____________.

lab4a

12.计算：(1)=____；(2)-6ab^—=____.

a42a

13.比较大小：(1)276一5；(2)-75一-V2(填“>”"=”或“<”).

14.若｛in-2+|〃+3|=0,则m+n的值为

15.已知x,y是两个连续的整数，且x＜同〈y,则2x+y的平方根是.

3

a-b

16.定义新运算如果2©x=3,那么x的值为

b(Q<h)

b-a

三、解答题（共68分，第17题8分，第18题5分，第19题4分，第20题7分，第2L23题，每

题5分，第24・25题，第27题，每题6分，第26题4分，第28题7分）

17.计算:

(2)显6+阮+6

18计算：y/—8—J(-3)2+|V2—1|.

19.计算：(g+l)(G-1)+痴.

20.计算：

/、Qb

(1)+-----；

a-bb-a

/八m2-4tn-2m+2

(2)z-4-------------.

4+4m+nr2m-2m-\

21.计算：fl—

(x+1)x+1

2x

22.解方程：一+——=1

xx+3

5x4-23

23.解分式方程：——=-

X+xX+1

X-35

24.先化简，再求值：---(X+2一一三)其中X=G-3.

25.列方程解应用题：

小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统为他们推荐了两条路线方案，方案一全程75km,方案二全程

90km.汽车在方案二行驶的平均速度是在方案一行驶的平均速度的1.8倍，预计在方案二行驶的时间比方案一行

驶的时间少半小时，求汽车在方案一行驶的平均速度.

26.利用如图4x4方格，每个小正方形的边长都为1.

图1图2

(1)请求出图1中阴影正方形的面积与边长；

(2)请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长.

27.阅读材料：

小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+20=(1+&)2.这样

就可以将J3+20进行化简，

即：J3+20=J(l+0)2=1+0.

善于思考的小明进行了以下探索：

对于。+2折，若能找到两个数机和“，使M=a且加〃=扬，贝!1。+2折可

变〃/+n'+2mn＞即变成(加+〃)一,从而使得Ja+2筋=^(m+n)2=〃?+〃.

(其中小b,m,〃均为正整数)

例如：V4+2^=1+3+273=(4)2+(省＞+2石=(1+石产，

,4+26=J(l+G)2=1+3

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)化简A/6+26；

(2)化简"5-2«；

(3)若后H后=2+6，求”的值.

28.给出如下的定义：如果两个实数m6使得关于大•的分式方程:+1=〃的解是工=——成立，那么我们就把实

xa+b

数mb称为关于x的分式方程色+1=6的一个“方程数对”，记为口，b］.例如：。=2,〃=一5就是关于x的分

X

式方程且+1=〃的一个“方程数对"，记为［2,-5］.

X

(1)判断数对①［3,-5］,②［一2,4］中是关于x的分式方程色+1=6的“方程数对”的是：(只填序

X

号)

(2)若数对［〃，3-〃］是关于X分式方程0+1=人的“方程数对”，求〃的值；

X

(3)若数对［帆—％,k］H-1且mHO,Zxl)是关于x的分式方程q+1=。的“方程数对”，用含山的代

X

数式表示上

延庆区2023-2024学年第一学期期中试卷

初二数学

一、选择题（共16分，每题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.若二次根式J—在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x#2B.x>2C.x>2D.x<2

【答案】C

【分析】根据二次根式被开方数是非负数即可求解.

【详解】•.•二次根式J工2在实数范围内有意义，

：•工—220,

/.x>2,

故选：C.

【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式右中

2.在X,二二，2中，分式的个数是（）

27tx+278y

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用分式的概念进行判断即可.

【详解】解：由哼巴，2X)"-TH

27178

2r2

分式有：——，一共2个，

x+2y

故选：B.

【点睛】此题考查了分式的定义，解题的关键是正确理解：一般地，如果A,B表示两个整式，且B中含有字母

A

（8*0）,那么式子一就叫分式.

B

3.下列二次根式中与否是同类二次根式的是（）

A.病B.V10C.745D.同

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质和同类项的定义判断求解即可.

【详解】解：A、725=5.与否不是同类二次根式，不符合题意;

B、J而与否不是同类二次根式，不符合题意；

C、屈=3不是同类二次根式，符合题意；

D、病=5夜不是同类二次根式，不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的性质、同类项的定义，解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母

的指数也相同的两个单项式叫同类项.

4.不改变分式的值，下列各式变形正确的是()

bb+2-a-b,a2-b2.(2XY2x2

A.一=----B.-----二一1C.------=a-bD.——==---T-

aa+2a+ba-bLy)y

【答案】B

【分析】根据分式的性质，结合平方差公式、分式的乘方逐项计算判断即可.

【详解】解：A、27”2,故此选项变形不正确，不符合题意；

a。+2

B、士=Y巴+叽故此选项变形正确，符合题意；

a+ba+h

aba+/?a-z?

c、~~'=()()=a+b,故此选项变形错误，不符合题意；

a-ba-b

(2XY4X2

D、故此选项变形错误，不符合题意，

Iy)y

故选：B.

【点睛】本题考查分式的性质，涉及到平方差公式、积的乘方等知识，掌握运算法则和性质是解答的关键.

5.下列计算，正确的是()

A.^(-2)2=-2B.&+近=屈C.372-72=3D.1>(-1)=1

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加减运算法则逐项判断即可.

【详解】解：A、庐1=2,原式计算错误；

B、血+&=2夜+0=3后，原式计算错误：

C、3夜-夜=2夜，原式计算错误；

D、J(T>(T)=4=I，正确,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

6.如果把分式丁之一中的X和y的值同时扩大为原来的5倍，那么分式的值（）

2x-3y

A.扩大为原来的5倍B.缩小为原来的1倍

C.不改变D.扩大为原来的25倍

【答案】A

【分析】依题意分别用5x和5y去代换原分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即可.

5x?y25AT5xyxy

【详解】由2x5x—3x5y-5（2x—3y）-2x—3y-、2x—3y'

二扩大为原来的5倍，

故选：A.

【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的

值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.

7.下列二次根式中，最简二次根式（）

A.V3B.必C.703D.历

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的定义判断即可求解.

【详解】解：A、也是最简二次根式，符合题意；

B、的被开方数中含有开的尽的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；

c、而=后的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；

D、后的被开方数含有开的尽的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含

分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

8.当x分别取一2023,-2022,—2021,...,—2,—1,0,1,-——，,——时，计算分式〜^

23202120222023x2+l

的值，再将所得结果相加，其和等于（）

A.-1B.1C.0D.2023

【答案】A

12_1

【分析】先求出x=-a和x=—（awO）时，分式r二—的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得.

【详解】解：当*=一。和》=5（。声0）时，

（-前+1±+1

4—11—/

=";------H------------T

。~+11+。~

=0

x2-l_02-1

当x=()时,

x2+l-02+1

则所求的和为0+0+0++0+（-1）=-1,

故选A.

【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.计算：（5/>=.

【答案】75

【分析】根据积的乘方进行计算即可.

【详解】（5@2=52*（可=25*3=75,

故答案为：75.

【点睛】此题考查了二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算及其应用.

10.当x____时，分式2」有意义；当x______时，分式三导值为零.

x+32X-3

【答案】①.3②.x=-l

【分析】根据分式的有意义的条件和分式为零满足的条件求解即可.

2x

【详解】解：要使分式——有意义，只需x+30O,则xw—3；

x+3

要使分式X产+3]值为零，只需％+1=0且2x—3。0,则户一1,

2x-3

故答案为：①XH—3;②》=-1.

A

【点睛】本题考查分式有意义的条件、分式等于零的条件，解答的关键是熟知分式一有意义的条件是8工0；分

B

式等于零的条件是A=0且8=0.

:----1---=

【分析】根据异分母的分式加法运算法则求解即可.

【详解】解：—+—

2ab4a

4ab4ab

2+b2

=-----，

4ah

2+h2

故答案为：

4ab

【点睛】本题考查异分母的分式加法，熟练掌握异分母的分式加法的运算法则是解答的关键.

12.计算：（1）=___；（2）-6ab^—=___.

a42a

,决心、厂、b4a2

【答案】①.—；②.------

2b

【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可；

（2）根据分式的除法法则计算即可.

b

【详解】（1）原式=一：

2

（2）原式二-6。/??—T-,

3b2

b

【点睛】此题考查了分式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则及其应用.

13.比较大小:（1）2瓜_—5；（2）-75__-V2（填“〉”"=”或“<”）.

【答案】①.<②.<

【分析】（1）先利用二次根式的性质得到2#=@，5=/，再比较大小即可；

（2）利用两个负实数，哪个数的平方越大，哪个数就越小，由此判断大小关系即可

【详解】V2A/6=V24.5=后，

.,.24<25,

•••V24<V25，

276＜5＞

故答案为：＜;

（2）V5＞2,

:•旧＞近,

—yfi＜—y/2.，

故答案为：＜.

【点睛】此题考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要熟练掌握：正实数〉0〉负实数，两个正实数，哪

个数的平方越大，哪个数就越大.

14.若＞Jm-2+|«+3|=0,则m+n的值为.

【答案】-1

【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，可得*2=0,〃+3=0,解出〃?、〃的值即可.

【详解】解：由题意可得，〃?-2=0,”+3=0,

解得加=2,刀=3,

m+n=-1.

故答案为-L

【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，掌握运算法则是解题关键

15.己知x,y是两个连续的整数，且x＜回＜y,则2x+y的平方根是一.

【答案】±4

【分析】根据无理数的大小得出x和y的值，再代入2x+y计算求值，再算平方根即可.

【详解】〈而＜6

；.x=5,y=6,

2x+y=16,

,2x+y的平方根是±4,

故答案为：±4.

【点睛】本题考查了估算无理数大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值.

16.定义新运算“a©b=-a,,如果2©x=3,那么x的值为

bz，、

-：----（a〈b）

Vb-a

【答案】1或3##3或1

【分析】根据题意利用分类讨论分两种情况，当x>2或x<2,列出分式方程进行解答即可.

3

【详解】由题意得：当x<2时，——=3,

2-x

解得：x=1>

检验，X=1是原分式方程的解，

X

当x>2时，----=3,

x—2

解得：x=3,

检验，％=3是原分式方程的解，

故答案为：1或3.

【点睛】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程.

三、解答题（共68分，第17题8分，第18题5分，第19题4分，第20题7分，第21-23题，每

题5分，第24-25题，第27题，每题6分，第26题4分，第28题7分）

17.计算：

（1）+后一提;

（2）&6+屈十上.

【答案】17.4拒；

18.3A/2+2.

【分析】（1）先根据二次根式性质化简，再合并同类二次根式求解即可；

（2）根据二次根式的混合运算法则求解即可.

【小问1详解】

解：原式=2夜+40-2逝，

=4正；

【小问2详解】

解：原式=辰^+J12+3，

=3五+2.

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则.

18.计算：^/―8—^（―3）'+|V2—1|.

【答案】a-6

【分析】利用立方根、算术平方根、绝对值的定义求解即可.

【详解】解：。-8—J(-3)+|V2-1|

=-2-3+V2-l

=5/2-6-

【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、算术平方根、绝对值，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关

键.

19.计算：(6+1)(6-1)+同.

【答案】2+26

【分析】利用平方差公式和二次根式的性质进行求解即可.

【详解】解：原式=(6『-1+2君=3-1+2石=2+2君.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，注意把根式化为最简二次根式，熟练掌握平方差公式是解题的关

键.

20.计算：

,、ab

(1)+----；

a-bh-a

/c、4-4tn—2m+2

(2)-------4-------------.

4+4m+m7~2m-2tn-\

【答案】(1)1；

(2)2.

【分析】(1)利用同分母分式减法运算即可；

(2)先把除法转化为乘法运算，然后进行因式分解和约分即可求解.

【小问1详解】

解：原式=，.....―,

a-ba-b

a-h

=----，

a-b

=1；

【小问2详解】

(;n+2)(m-2)2(m-l)m+2

解：原式=-7---^2---------o-----7，

(m+2)加一2m-\

=2.

【点睛】此题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式的加减乘除运算法则及其应用.

21.计算：fl—

Vx+1)x+1

■山—・X-]

【答案】-----

X

【分析】根据分式的混合运算法则化简原式即可.

_(尢+12),x

(尤+1x+1)x+1

x-1X+1

=----------X-----------

X+1X

x-1

X

【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握混合运算法则并正确求解是解答的关键.

22.解方程：-+—=1

xx+3

【答案】x=6

【分析】方程两边都乘以最简公分母x(x+3),把分式方程化为整式方程，然后求解，再进行检验即可.

详解】解：-+—=1

xx+3

去分母得，2(X+3)+X2=X(X+3),

2X+6+J?=f+3x,

解得x=6,

检验：当x=6时，x(x+3)*0,

；.尤=6是原分式方程的解.

【点睛】本题考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求

解.(2)解分式方程一定注意要验根.

23.解分式方程：学2=3.

【答案】该分式方程无解

【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、验根得结论即可.

5x+235x+23

【详解】解：将一一=——整理得/4\=―?，

Y+xx+lx(x+l)X+1

方程两边同乘以x(x+l)得5x+2=3x,

解得x--\,

检验：当x=—1时，x(x+l)=O,

因此，x=-l不是原分式方程的解，

所以，原分式方程无解.

【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，牢记验根是解决分式方程问题的关键.

无一3S

24.先化简，再求值：一=+(x+2——1)其中户6—3.

x-2x—2

【答案】工，—.

工+33

【分析】先算括号里面的，再把除法变乘法，约分即可，最后把x的值代入计算.

九一35

【详解】解：——+(冗+2--------)

%-2x—2

x—3%2—45

=-7——---------T)

x—2x—2x—2

x—3(x+3)(x—3)

x—2x—2

x-3x-2

=------x------------------

x-2(x+3)(x-3)

1

，

x+3

1I/7

当时，原式=耳4=7r与

【点睛】本题考查了分式的化简求值，通分和约分是解此题的关键，此题是基础知识要熟练掌握.

25.列方程解应用题：

小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统为他们推荐了两条路线方案，方案一全程75km,方案二全程

90km.汽车在方案二行驶的平均速度是在方案一行驶的平均速度的1.8倍，预计在方案二行驶的时间比方案一行

驶的时间少半小时.，求汽车在方案一行驶的平均速度.

【答案】50knVh

【分析】设汽车在方案一行驶的平均速度为xkm/h,根据“方案二行驶的时间比方案一行驶的时间少半小时”列方

程求解即可.

【详解】解：设汽车在方案一行驶的平均速度为Jikm/h,则方案二行驶的平均速度为L8xkm/h,

解得x=5(),

经检验，x=5()是所列方程的解，

答：汽车在方案一行驶的平均速度为50km/h.

【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键.

26.利用如图4x4方格，每个小正方形的边长都为1.

图1图2

（1）请求出图1中阴影正方形的面积与边长：

（2）请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长.

【答案】（1）面积为10,边长为加；（2）正方形的边长为〜伤均可，画图见解析

【分析】（1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可；

（2）令正方形的边长为均可.

【详解】解（1）面积为4x4-4XL1X3=10,

2

边长为四；

（2）如图所示，正方形的边长为6,&均可.（答案不唯一，合理即可.）

\

/

【点睛】本题考查了作图，正方形性质，无理数等知识，解题的关键是理解题意，学会用分割法求正方形面

积.

27.阅读材料:

小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2夜=（1+正了.这样

就可以将J3+20进行化简，

即：53+2及=J（1+扬2=1+及.

善于思考的小明进行了以下探索：

对于&+2耳，若能找到两个数“和"，使M=。且相〃=6，则&+2四可

变为加2+〃2+，即变成（加+”）2，从而使得Ja+2扬=+=m+〃.

（其中a,b,m,”均为正整数）

例如：：4+26=1+3+26=（71）2+（百>+2月=（1+若尸，

，4+2\^=J（1+6）2=1+K•

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（I）化简《6+2石：

（2）化简，5-2几：

（3）若《a2+4下=2+垂），求”的值•

【答案】27.1+6

28.V3-V2

29.a=±3

【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；

（2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；

（3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可.

【小问1详解】

解：；6+2石=1+5+2石=『+2石+（可=（1+司，

,♦76+2"\/5=+=1+y/i；

【小问2详解】

解：：5_2#=3+2_2痴=（可_2限&+（可=（6_&『,

【小问3详解】

解：V（2+V5）2=22+2x2xV5+（V5）2=4+5+475=9+4>/5,

**-a?=9，则a=±3.

【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键.

28.给出如下的定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程2+1=匕的解是x=」_成立，那么我们就把实

xa+b

数a，匕称为关于x的分式方程幺+1=匕的一个“方程数对"，记为[a,b].例如：a=2,。=一5就是关于x的分

X

式方程@+l=b的一个“方程数对"，记为[2,-5].

X

（1）判断数对①［3,-5］,②［—2,4］中是关于x的分式方程二+1=/,的“方程数对”的是；（只填序

x

号）

（2）若数对［〃，3—〃］是关于x的分式方程幺+1=6的''方程数对"，求〃的值；

X

（3）若数对［m―hk］（加片―1且加。0,&H1）是关于X的分式方程2+1=6的“方程数对"，用含，”的代