2023-2024学年河南省安阳市高三（上）调研数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年河南省安阳市高三（上）调研数学试卷（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

L扁=（）

1,1.nil.小1,1.门11.

AA.--F-iB.———iC.——+-iD.————i

44444444

2.已知集合Z={x|Q21},8={%氏2<9},则[一3,+8）=（）

A.CRUCIB）B.CR（AUB）C.ADBD.A{JB

3.己知圆经过点4（4,4）,B（-2,4），C（4,一4）,则该圆的半径为（）

A.4B.5C.8D.10

4.对于任意实数x,用枕]表示不大于x的最大整数,例如：[兀]=3,[0.1]=0,[-2.1]=-3,

则“田〉切”是“%>y”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.己知函数/'（x）=cos（3x一令，若将y=f（x）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后所得

的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（）

A—B-C—D

-105-10

6.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生

夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体

育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆.现安排包含甲、乙在

内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆

至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（）

A.96B.144C.240D.360

7.把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面

.现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也

相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（）

Al：?；：B.l：?」C.1..ID.1—

34382822

8.若a,£为锐角，且a+£=3，则tana+tan£的最小值为（）

A.2y/~2-2B.1C.2<3-2D.<3-1

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知一组样本数据*1，X2,x3,X1O(X1<0<X3<…<Xio)中，&与样本平均数相

等，无6=0.则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比的来的样本数据的方差小？

()

A.X1C.%6

B.x5D.x10

10.己知函数〃>)=鼻，则()

A.f(x)在定义域上单调递增

B./(无)没有零点

C.不存在平行于x轴且与曲线y=/(x)相切的直线

D.f(x)的图象是中心对称图形

11.如图所示，在棱长为2的正方体4BCD-力iBiGQ中，P是线段

GA上的动点，则下列说法正确的是()

A.平面平面ABCO

B.存在点P,使BP=2

C.存在点P,使直线B记与所成角的余弦值为|

D.存在点P,使点4C到平面BBiP的距离之和为3

12.已知双曲线E：接一*l(a>0">0)的右焦点为F(6,0),以坐标原点0为圆心，线段OF

为半径作圆与双曲线E在第一、二、三、四象限依次交于4B,C,。四点，若cos乙40F=亨，

则()

A.\AC\=\BD\=12B.COSNAOB=-殍

C.四边形4BC0的面积为32/2D.双曲线E的离心率为苧

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知抛物线y2=2p%(p>0)的焦点为F,直线y=4与抛物线交于点M,且|MF|=4,则

P=•

14.在△ABC中，~BD=^BC,E是线段4。上的动点，设方=xg?+y诟(x,y6R)，则2x+

3y=----------

15.已知数列｛an｝满足an+i=3an+2,a3+a2=22,则满足an>160的最小正整数几=

16.已知定义在R上的函数/'(x)及其导函数/'(x)满足/''(>:)>-f(x),若/(仇3)=%则满足

不等式门为>号的x的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

如图，在平面四边形ZBC。中，^BAD=90°,D=60°,AC=4,CD=3.

(I)^tcosz.CylD；

(11)若48=*，求BC.

18.(本小题12.0分)

记递增的等差数列｛Qn｝的前71项和为Sn,已知$5=85,且。6=7%.

(I)求时和sn；

(n)设%=—求数列也｝的前n项和

ar1an+1

19.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱中，AC=2BC=CCX=2,D,E,尸分别是棱①的，BC,AC

的中点，AACB=60°.

(I)证明：平面4B。〃平面FEG；

(n)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：冬+\=1(01＞匕＞0)过点(2,3),且C的右焦点为F(2,0).

(I)求。的离心率；

(II)过点尸且斜率为1的直线与C交于M,N两点，P直线％=8上的动点，记直线PM,PN,PF

的斜率分别为kpM，kPN,kPF,证明：kPM+kPN=2kPF.

21.(本小题12.0分)

小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都

不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，

补考都合格的考试过关，否则不过关.已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p(0＜p＜

1),且每个科目每次考试的结果互不影响.

(I)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f(p),求f(p)的最大值点Po.

(11)以(1)中确定的po作为P的值.

(i)求小李这项资格考试过关的概率；

(ii)若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E(X).

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=黑7meR且m*0.

(I)若当x6(0,兀)时，f(x)21恒成立，求m的取值范围;

(II)若士1，X26(0,兀)且其1H%2，使得/'01)=/。2)，求证：与+尤2＞宗

答案和解析

1.【答案】B

_i_i_i12-2i_2-2i_11.

【解机】解：^3-(i+i)2(i+i)-~2^2i~(2+20(2-2i)~~~4~4l-

故选:B.

利用复数的运算化简求解即可.

本题考查复数的基本运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为4={x|V"T21}={x|x21}，B=(x\x2<9}={x|—3<%<3},

所以AUB=[-3,+oo).

故选：D.

先求出集合4B,再利用集合的基本运算判断即可.

本题主要考查了集合的运算与不等式的解法，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由于圆经过点4(4,4),8(-2,4),C(4,一4),

^&AB2+AC2=BC2,故该圆的直径为BC,

易知NB4C=90°,所以该圆的直径为|BC|=J(4+2尸+(—4一49=10，

所以半径为5.

故选：B.

直接利用两点间的距离公式整理得AB?+AC2=BC2,进一步求出圆的半径.

本题考查的知识要点：圆的定义，两点间的距离，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中

档题.

4.【答案】A

【解析】解：若[x]>[y],则必有网>y>[y]>结合x>㈤可得x>y,

所以a[x]>[y]w是“x>y”的充分条件；

反之，若x>y,取x=1.2,y=1.1,可知肉=[y],即[x]>[y]不成立.

因此“[用>[y]”是“x>y”的充分不必要条件，4项符合题意.

故选：A.

根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可得到本题的答案.

本题主要考查了取整函数的应用、充分必要条件的定义与判断等知识，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：/(x)=cos(3x-6的图象向左平移m个单位长度后，

得到的图象对应函数g(x)=cos[3(x+m)-=cos(3x+

因为y=g(x)的图象关于坐标原点对称，

所以3巾一看="+卯62),即m=|+g(kCZ),

因为m>0,故当k=0时，m取得最小值

故选：B.

由三角函数图象变换求出g(x),再结合余弦函数的性质即可求解.

本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，

其余的一人一组，

另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组.再把4组人分到4个场馆，

所以安排方法种数为(废+盘)用=240.

故选：C.

利用排列组合的简单计数即可求解.

本题考查了排列组合的简单应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：现有一个正三棱锥、一个正四棱链、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的

最大值也相等，

设3个正棱锥的高均为九，轴截面面积的最大值均为S.

设正三棱锥的底面边长为a,当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，所以s='a/i，

4

可得正三棱锥的体积为匕=工Sa=里空.设正四棱锥的底面对角线长为2b,

139h

当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大，所以S=bh,

可得正四棱锥的体积为/=-Sb=这，

“33九

设正六棱锥的底面边长为c,当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大，所以S=ch,

可得正六棱锥的体积为匕=-x^-c2h=空■.

0322h

所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为手：f，即1：孕：3.

93228

故选：C.

设3个正棱锥的高均为八，轴截面面积的最大值均为S.设正三棱锥的底面边长为a,当轴截面与底面

的一条棱垂直时，轴截面面积最大；设正四棱锥的底面对角线长为2b,当轴截面经过底面的一条

对角线，轴截面面积最大；设正六棱锥的底面边长为c,当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，

轴截面面积最大.由此能求出正三棱锥、正六棱锥的体积之比.

本题考查简单几何体的结构特征及相关计算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

8.【答案】4

【解析】解：已知a,0为锐角，且a+/?=：,

tana+tanp

则tan(a+S)=

1-tanatan/?

即1—tanatan^=tana+tan/?,

所以(1+tana)(l+tern3)=1+tana+tan(i+tanatan[i=14-(1—tanatanp^+tanatanp=

2,

又(14-tana)(l+tan/?)<(尹""宇土。，畤2,

2

BIJ(tana+tanp+2)

9Z-4'

得(tana+tanp+2)2>8,

显然tana+tanp+2>0,

所以tana+tern。+2>2V-2，当且仅当tana=tan/?=—1时等号成立，

所以tana+tcm£的最小值为2>A1-2.

故选:A.

由两角和的正切公式，结合基本不等式求解即可.

本题考查了两角和的正切公式，重点考查了基本不等式的应用，属中档题.

9【答案】AD

【解析】解：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故无1和打0

符合条件；

去掉相，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，

故&不符合条件；去掉%6,样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件.

故选：AD.

利用样本的平均数与方差直接求解.

本题考查样本的平均数与方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解:对于4/'(x)的定义域为(—8,0)11(0,+8),

当x<0时，则/(x)>0,

当x>0时，ex>1,则/(x)<0,

显然/(%)在定义域上不是单调递增，故A错误；

对于B,令/(x)=0,得峭=0,无解，所以/(x)没有零点，故8正确；

对于C,求导得令广(为=0,得靖=0,无解，

所以不存在平行于x轴与曲线y=/(x)相切的直线，故C正确；

对于。，/(-x)==-TV-注意到f(x)+/(-%)=一1，

■L——C入€——1

所以f(x)的图象关于点(0,-》中心对称，故。正确.

故选：BCD.

讨论x>0以及x<0时的函数值，判断4令〃x)=0,方程无解，判断B；求出函数的导数，得

到导函数不为0,判断C;求出函数的对称中心，判断D.

本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及函数的对称性，是中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：对于4因为8当_L平面4BC0,所以平面_1_平面48。。，故A正确；

对于B,当点P与G重合时，BP取最小值2，工，故不存在点P，使BP=2,故B错误；

对于C,当点P与5重合时，直线BiP与BCi所成角等于乙BC/i，COS4BD1B]=热=字，

当点P与G重合时，直线B1P与所成角等于ZBD14,COS4BD14=a=W，

DUI3

所以直线BiP与曲所成角的余弦值的取值范围是[隼与，而|故C正确；

对于D,当点P与5重合时，点A,C到平面B&P的距离之和最大，最大值为4C=2「<3,故

不存在满足条件的点P，故。错误.

故选：AC.

由线面垂直的性质定理即可判断4当点P与Ci重合时，BP取最小值2，无，从而判断B；分别求出

当点P与Cl重合时，当点P与5重合时直线81P与BC1所成角，从而可判断C；当点P与。1重合时，

点4C到平面的距离之和最大，从而看判断Z).

本题主要考查空间位置关系的判断，异面直线所成角的求法，点到平面距离的求法，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于4由双曲线E：卷一，=l(a>0,6>0)的右焦点为F(6,0),

所以圆的半径为6,由对称性可知4c和8。是圆。的两条直径，所以|4C|=田。|=12,故A正确；

对于B,若cos乙40?=4，则可得cos乙400=cos2乙4OF=2x(与2)2-1=］而乙4。。与

乙40B互补，

所以cos乙4。8=—cosZ-AOD=一£,故8错误；

对于C,由已知得sm乙40。=J1—1)2=勺子，

所以四边形4BCD的面积为:x|4C|x\BD\sin^A0D=32/2故C正确；

代_「=1

对于。，记双曲线的半焦距为C(C>0),联立足庐,

.x2+y2=a24-Z)2=c2

解得y=土之芷，贝bin乙40F=及咨，再由己知可得sin/AOF=I1-(―)2=工，

ccy33

所以冬=0所以写=11一与=1

3cl3cL3

:.：.e=-=故D正确.

a22a2

故选：ACD.

由已知可得力C和BD是圆。的两条直径，可判断4利用二倍角余弦公式可求得cos乙4cB判断B；

利用已知可求sin乙40B,进而求得面积可判断C；联立双曲线与圆的方程，可求sin乙40F,进而可

求双曲线的离心率判断D.

本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力，属中档题.

13.【答案】4

【解析】解：把y=4代入抛物线方程y2=2px(p>0),得M哈,4),

根据抛物线的定义有|MF|=与+；=4,解得p=4.

4P

故答案为：4.

由题意可得M的坐标，进而利用|MF|=4,可求得p.

本题考查抛物线的方程与性质，属基础题.

14.【答案】2

【解析】解：如图所示，因为前=：能，所以艰=5而，/A

所以而=xCA+|y而，///xA

因为4,E,。三点共线，s^—~~/---------

所以％+|y=1,

所以2x+3y=2.

故答案为：2.

由平面向量的线性运算可得k=xE?+|y而，再由A,E,。三点共线得x+|y=1,从而求出

答案.

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

15.【答案】5

【解析】解：因为数列｛册｝满足an+i=3an+2,a3+a2=22.

噬;;六U解得窗又。2=3%+2,所以1

另一方面由cin+i=3an4-2,可得即+i+1=3(an+1),

所以｛%,+1｝是首项为由+1=2,公比为3的等比数列，

所以即=2x3“T-1,

易知｛册｝是递增数列，又a%=2x27-1=53,a5=2X81-1=161,

所以满足册>160的最小正整数n=5.

故答案为：5.

根据己知推得｛an+1｝是首项为国+1=2,公比为3的等比数列，进而得到数列｛an｝的通项公式,

即可求解结论.

本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题.

16.【答案】(仇3,+8)

【解析】解：由题意，对任意X6R,都有f'(x)>--(乃成立，即((x)+/(x)>0,

构造函数g(x)=exf(x),则g'(x)=f'(x)ex+f(x)ex=ex[f'(x')+/(%)]>0,

所以函数g(x)在R上单调递增.不等式f(x)>会即蜡即g(x)>l,

因为f(，n3)=I，所以g(m3)=ein3/(/n3)=3x4=1,

故当x>1n3时，g(x)>g(bi3)=1,

所以不等式g(x)>1的解集为(，九3,+8),

即所求的x的取值范围为(m3,+8).

故答案为：(仇3,+8).

构造函数g(x)=exf[x~),求出函数的导数,求出函数的单调性，问题转化为即g(x)>1=g(m3),

求出x的取值范围即可.

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题.

17.【答案】解：(1)在44。。中，由正弦定理得T=告,

''sinZ.CADsinD7K

所以sin皿。=?=亨=平，

由题设知NC4。<90°,

所以COSNCAD=J1-(手)2=驾；

\OO

(n)因为血C+乙CAD=90°,

所以COSNB4c=smz.CAD=噌，

o

在△ABC中，由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2ABxACcos^BAC=；+16-2x干x4x=上=

4284

所以BC=?

【解析】(I)在△4CD中由正弦定理可求得sin/CAD的值，再结合NC4D<90。与同角三角函数基

本关系即可求得；

(H)由题可求得COS4BAC,再在A4BC中由余弦定理即可求得BC的长.

本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(I)设数列的公差为d(d>0),

因为S5=5a3=85,所以(13=17,

由%=7al得,的+3d=7(a3—2d),

所以17+3d=7(17—2d),解得d=6,

所以的=%-2d=5,

九(旬+斯)九(5+6几一1)

所以Q=%+(几一l)d=5+(n—l)x6=6n—1,Sn=3n2+2n.

n22

)>

(口)由(1)得，bn=——=(6n_1)(6n+5)=efc_6^5

+_J_______^―+―_______1)=511n

6n-76n-l6n-l6n+5J-6^56n+5J-6n+5

【解析】（I）结合等差数列前几项和的性质与通项公式，求出公差d与％,再由等差数列的通项公

式与前n项和公式，得解：

（II）采用裂项求和法，即可得解.

本题考查数列的通项公式与前律项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，裂项

求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】证明：（I）在AABC中，因为E,F分别是BC,4c的中点，

所以4B〃EF.

因为4C〃4iG，AF==；毋1=DG，

所以四边形AFC1。为平行四边形，

所以AD〃FCi，

又因为40（148=4,FEflFCj=F,

所以4BD〃平面FEC「

解：（II）因为4C=2,CB=1,44cB=60。，

由余弦定理可得482=AC2+BC2_2AC.BCcos乙ACB=3,

所以AB?+BC2=人。2,由勾股定理可得AB，BC.

建立如图所示的空间直角坐标系.

故8(0,0,0),4(0,/3,0),。有堂,2)，C(l,0,0).

从而而=(0,「,0)，丽=0,?,2)，AC=(1,-/^,0).

设平面48。的法向量为范=（x,y,z）,

由件更=0V-3y=0

，得

(n-'BD=0

取x=4,贝桁=(4,0,-1)为平面4BD的一个法向量,

所以直线4C与平面ABD所成角的正弦值为富.

17

【解析】平面内两条相交直线与另一个平面平行，则平面与平面平行.

建立空间直角坐标系，利用坐标求解即可.

本题考查面面平行的证明以及线面角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：(I)由C的右焦点为尸(2,0),可得c=2,

即。2-从=4,

4Q

由点(2,3)在椭圆上，可得£+/=1，

解方程可得a=4,b=2/-3，

所以双曲线的离心率为e=£=%

a2

(H)证明：由(i)可知c的方程为^+^=1.

1612

设W(x2,y2),P(8,y0).

由题意可得直线MN的方程为y=x-2,

(y=x-2

联立，贮y2_,消去y可得77-16%-32=0,

,16+12=1

milI1632

则+%2=~9X1x2=-亍，

旷0及_30%]+2)(8-02)+(70%2+2)(8-0])

则kpM+kpN=1+

o-Xj(8-X!)(8-X2)

16%+32+2%/2一(丫()+10)(%1+又2)

64+町工2—8(%1+%2)

16yo+32+2(-%-竽优+10)=

因此kpM+kpN=2kpF.

【解析】(I)由右焦点坐标可得C，由点(2,3)满足椭圆方程可得a,b的方程，结合a,b,c的关系

式，解方程可得a,进而得到离心率；

(口)联立直线MN的方程与椭圆的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得证明.

本题考查椭圆的方程与性质，以及椭圆与直线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档

题.

21.【答案】解：(I)小李每个科目每次考试合格的概率均为p(O<p<1),且每个科目每次考试

的结果互不影响，

由题意知/(p)=3P2(1—p),0<p<1,

则f'(P)=-9p2+6p=3P(2—3p),

当0<p<|时，/'(p)>0,

当|<p<