2023-2024学年北京市顺义区高一年级上册期中考试数学质量检测模拟试题（含答案）

2023-2024学年北京市顺义区高一上学期期中考试数学质量检测

模拟试题

一、选择题(每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

।设集合/三{x|x<3x-l},8={x|_]<x<3},则=()

A.(-l,+oo)B.；,3)C.(一8,3)D.

【正确答案】B

【分析】化简结合4再应用交集的运算即可.

1(\\

【详解】集合Z三{x[x<3x-l}={x|x>—}，8={x[—l<x<3},则/口8=-,3.

212,

故选：B

2.下列函数是偶函数且在(0,+8)单调递减的是()

A.y—B.y=x

C.y——D.y=—+1

x

【正确答案】D

【分析】由函数的单调性与奇偶性直接判断.

【详解】对于A,y=x2是偶函数，在(0,+o。)上单调递增，不符合题意；

对于B,丁=》是奇函数，在(0,+8)上单调递增，不符合题意；

对于C,y=1是奇函数，在(0,+8)上单调递减，不符合题意；

X

对于D,y=—V+1是偶函数，在(0,+8)上单调递减，符合题意；

故选：D.

3.若〃x)与g(x)是同一个函数，且/(x)=x,则g(x)可以是()

2

2T

A.g(x)=(Vx)B.g(x)=VxC.g(x)=ED.g(x)=—

x

【正确答案】B

【分析】根据相同函数的判断法则，定义域和对应法则要相同去判断A、D选项函数的定义域与

已知函数不同，C选项函数的对应法则和已知函数不一样，B选项对应法则和定义域和已知函数

都一样，即可得出答案.

【详解】解：/(x)=x的定义域为七

A选项：8(》)=(《)2定义域为［0,+8),与/(》)=”的定义域不同，所以/(X)与g(x)不是同一

个函数，A错误；

B选项：g(x)=#，=x，其定义域为R，所以/(x)与g(x)是同一个函数，B正确；

C选项：g(x)=G'=|x|,与/(x)=x对应法则不一样，所以/*)与g(x)不是同一个函数，C

错误；

2

D选项：8(幻='的定义域为(一8,0)50,+。。)，与/(》)=》的定义域不同，所以/⑶与g(x)

X

不是同一个函数，D错误.

故选：B

4.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加

I分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费.通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图像可表示

S，、

0.6-0-

-O—

0.4-1

B.-O-C.

0.2i-------

O36t

【正确答案】B

【详解】

【分析】由题意知，当0<t43时，S=0.2.

当3ctM4时.，S=0.2+0.1=0.3.

当4<tW5时，S=0.3+0.1=0.4.

所以对应的函数图像为B.

故选B.

5.己知基函数［(x)=x"图像经过点(3,则下列命题正确的有()

A.函数/(x)为偶函数

B.函数/(x)为增函数

C.若x>l,则

D.若。则〃号)

【正确答案】A

【分析】代点求出解析式，即可判断A,B,C,作差法判断D.

【详解】将点口］代入函数/(x)=x",得［=3"，则。=-2,

即〃x)=x-2,所以是偶函数，且在(0,+8)单调递减，A正确，B错误;

当x>l时，-4<1,BP/（x）<l,C错误；

X

当。<…时坐心M詈）=热身+至

if14八118

若另—+——7------衣>0,整理得7+7〉/,\2,

2（玉x2）（芭+马）玉》2（%+》2）

化简得（生牛）：+（玉+：2）2

>8,

玉马

即证明（*+：2）+&+｝）=1+生+4+耳+生+1>8成立,

X；X：X]X；Hx2

022,

利用基本不等式，----H—TH—7H----+122+2j?+2=8,

x}x}x2x2

12XX；x,22玉〔。

因为。<玉<与，故等号不成立,・・.1+--2+-y+-y+—L+l>8

石Xj芯x2

即小¥»》《¥）D错误.

故选：A

6.已知夕：x..4应：（2—x）（x+l）<0,如果。是4的充分不必要条件，则左的取值范围是（）

A.[2,»）B.（-oo,-l]

C.[1,+8）D,（2,+oo）

【正确答案】D

【分析】先将q化简，再根据充分不必要条件可判断得解.

【详解】•••（2—x）（x+l）<0,解得X<-1或x>2,

q:x<-4或x>2,

因为〃是4的充分不必要条件，即,对应的集合是,对应集合的真子集,

:.k>2.

故选：D.

7.奇函数/(x)在(0,+功上单调递增,且/⑴=0,则不等式的解集为()

X

A.(-l,0)U(l,+oo)B.(-oo,-l)u(0,l)

C.(-l,0)U(0,l)D.(-oo,-l)U(l,+oo)

【正确答案】D

【分析】

本题首先可根据奇函数的性质将不等式转化为红包〉0，然后分为x>l、0<x<l、-l<x<0、

X

x<-1以及x=l、-1五种情况进行讨论，根据函数单调性和奇偶性判断出函数值的大小，即可

得出结果.

【详解】因为函数/(X)是奇函数，

所以"—x)=-/(x)，不等式/(力一/(一力>0即空㈤>0,

XX

因为奇函数/(X)在(0,+8)上单调递增，且/。)=0,

所以当x>l时，/(x)〉0,此时之3〉0，

X

当0<x<l时，/(x)<0,此时攵㈤<0；

X

当一l<x<0时，/(x)>0,此时^iQ<o；

X

当》<一1时，/(%)<0,此时也立>0,

X

.,2f(x)

当X=l、T时，J\L=0,

x

综上所述，不等式/(X)一/(一”)〉0的解集为(―8,-1)U(1,4W),

X

故选：D.

解抽象函数解不等式方法：（1）化简不等式；（2）确定函数的单调性；（3）画出函数的草图，或

求出函数的零点；（4）根据图象或单调性，求出不等式的解.

8.已知函数/（x）=燧2-如l1,“mxeRJ（x）20”为假命题，则实数加的取值范围是（）

A.(-4,0]B.(-4,0)

C.(-oo,^l)U(0,4-oo)D.(-co,-4)u[0,4-00)

【正确答案】A

【分析】由“6:eR,加X?-〃吠―120''为假命题，得至『'7》61<,"a2—加工—1<0”为真命题，利

用判别式法求解.

【详解】因为优一120''为假命题，

所以“VxGR,mx2--1<0”为真命题，

当加=0时，-1<0成立；

m<0

当mw0时，</、2，解得-4<加<0,

A=（一加）+4m<0

综上：一4<加工0,

所以实数团的取值范围是（-4,0].

故选：A.

--ux—7,x«1

9.已知函数/（力=k，在R上单调递增，则实数〃的取值范围是（）

一,X>1

、X

A.[-4,0）B.（—oo?—2]C.（~°0,0）D.[-4,-2]

【正确答案】D

【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.

-x2-ax-7,x<1

【详解】由函数/（x）=,a在R上单调递增函数,

x>l

则满足卜<0，解得—4Wa4—2,即实数a的取值范围为[-4,-2].

-I2-a-1<a

故选：D.

10.定义新运算㊉：当aNb时，。㊉6=。；当a<b时，a¥b=b2,则函数

/'(x)=(l㊉x)x-(2㊉x),xe[-2,2]的最大值等于()

A.-IB.1C.6D.12

【正确答案】C

【分析】当-24xKl和l<x«2时，分别求出函数/(x)的表达式，然后利用函数单调性或导

数求出函数〃x)的最大值.

【详解】解：由题意知

3

当-22时，f(x)=x-2,当l<x<2IKt,f(x)=x-2,

又(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域上都为增函数，，f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.

故选C.

该题考查的是有关新定义运算以及函数最值的求解问题，在解题的过程中，需要对题中所给的条

件正确转化，再者就是对函数最值的求解方法要灵活掌握.

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

11.函数/(x)=2—+J〜的定义域为.

【正确答案】[—2,1)U(l,+8)

【分析】根据函数的解析式，列出函数解析式满足的不等式组，即可求得答案.

【详解】要使/(X)=-^--+V277有意义，

X—1

(x—1H0

则〈c八，解得xN-2且X#1,

2+x>0

则其定义域为.[—2,1)U(l,+8)

故［-2,DUO,+8)

12-j(-3>+(乃—3)°-*+(gy=--------

【正确答案】一4

【分析】根据指数幕的运算性质求解即可.

【详解】耐?+(兀_3)°—£+(值)

2

=囱+1-(2乎-4

3x2

=3+1-23-4=-22=-4-

故答案为.-4

13.已知函数/(x)为R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=x2+-,则/(-1)=.

x

【正确答案】—2

【分析】利用奇函数的定义即可求解.

【详解】当x>0时，/(x)=x2+-,故/(1)=1+1=2.

X

•.,/。)为奇函数，；./(—1)=—/。)=—2.

故答案为：—2.

14.若偶函数［(x)在［0,+8)上单调递减且/(1)=0,则不等式/(%-3)20的解集是.

【正确答案】［2,4］

【分析】先对〃x-3"0化简为/"一3"/(1),然后利用函数/'(X)为偶函数并结合其单调

性质从而求解.

【详解】由题意知函数/(x)为偶函数，且/(1)=0,/(x-3)>0,

所以得：/(x-3)>/(1),

又因为函数/(X)在［0,+8)上单调递减，所以得：k-3归1,

解之得：24x44,即解集为.［2,4］

故答案为.［2,4］

15.1859年，我国清朝数学家李善兰将一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼

变数，则此为彼之函数”.

①若/(-2)=/(2)，则函数/⑶是偶函数

②若定义在R上的函数/(x)在区间(-*0］上单调递增，在区间［0,+力)上单调递增，则函数fix)

在R上是增函数

③函数y=/(x)的定义域为［。,句，a<c<b,若在［a,c)上是增函数，在［c,句上是减函数，

则/⑴皿=/(c)

④对于任意的西,々€(0,+8),函数/(X)=满足小吗以切4/(土产)

上面关于函数性质的说法正确的序号是.(请写出所有正确答案的序号)

【正确答案】②④

【分析】结合函数的奇偶性，单调性，最值和基本不等式应用对选项一一判断即可.

【详解】对①，偶函数是对定义域内任意X,都有/(-力=/(力，仅取X=2时成立，不能确定是

偶函数，故①错误；

对②，定义在R上的函数/(X)在区间上(-8,0］单调递增，在区间［0,+8)上单调递增，其中

X=O时两段函数图像相接，

故函数在R上是增函数，所以②正确；

对③，函数y=/(x)的定义域为［。,目，a<c<b,若〃x)在［a,c)上是增函数，在上,句上是

减函数，不一定有/(x)max如当=>(V

AZ,X—\J

如图所示时,

y

故③错误;

2a+h

对④，由基本不等式可得/+/>>2ab，即2（/+/）之（a+b）2,进一步可得

当且仅当a=b时等号成立,

对任意用,》2€（0,+8）,则>在+后,当且仅当益=&时等号成立,

2

由f(X)=五,则/fX|+A?2/(\)+/(x.2),故④正确

v2y2

故②④.

三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

16.已知集合/={x|2SE8},B={x\\<x<6],C={x\x>a},U=R.

(1)求ZU5,04)08；

（2）若ZCC/,求a的取值范围.

【正确答案】(1)^US={x|l<x<8},@N)nB={x[l<x<2}

(2){a|a<8}

【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解;

（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.

【小问1详解】

AUB={x|2<x<8}U{x|l<x<6}={x|l<x<8}.

V={x|x<2或x>8},

&N）n8={x[l<x<2}.

【小问2详解】

,：ADC^0,作图易知，只要a在8的左边即可,

a<S.

6▲A

2a8%

的取值范围为{a|a<8}.

4

17.设函数/(x)=x+—.

(1)判断函数/(x)奇偶性；

(2)当xe(O,M)时，求函数/(x)的最小值；

(3)直接写出函数/(x)的单调增区间(不需证明过程).

【正确答案】17.奇函数18.4

[9.(—oo,-2)和(2,+oo)

【分析】(1)根据函数奇偶性定义可判断；

(2)利用基本不等式可得解；

(3)根据对勾型函数的图像可得解.

【小问1详解】

因为函数/'(X)的定义域为(-8,0)U(0,+w),

4

又/(_x)=f_1=_/(x)，

所以函数/(X)是奇函数.

【小问2详解】

•・,x>0,

4I~44

/./(x)=x+->2Jx--=4,当且仅当工=一，即x=2时等号成立,

XjJCX

所以xe(O,+。。)时，/.(X)的最小值为4.

【小问3详解】

函数/(x)的增区间为(-00,-2)和(2,+8).

18.已知函数/(x)=x2-2ax+l.

⑴若函数/(x)为偶函数，求实数。的值；

(2)若函数/(X)在(f,4］上是减函数，求实数。的取值范围；

(3)求函数/(x)在［L2］上的最小值.

【正确答案】(1)a=0

(2)［4,+oo)

2-2a,a<1

(3)/(x)mjn=<\-a~,\<a<2

5-4a,a>2

【分析】(1)由偶函数定义可直接构造方程求得。的值；

(2)由二次函数的单调性可确定对称轴位置，由此可得。的取值范围；

(3)分别在aKl,l<a<2和。之2的情况下，根据二次函数的单调性确定最小值点，进而得到

最小值.

【小问1详解】

为偶函数，，./'(-x)=/(x),即/+2改+1=--2分+1,

2a=-2a,解得.。二0

【小问2详解】

•・,/(X)的对称轴为》=4,7@)在(-00,4］上是减函数，二424,

即实数。的取值范围为［4,48).

【小问3详解】

由题意知：/(x)开口方向向上，对称轴为x=a,

当时•，/⑺在［1,2］上单调递增，.•J(x)nm=/■⑴=2-2a；

当l<a<2时，〃力在［1,a)上单调递减，在(a,2］上单调递增，.•./(XL=/(。)=1一片；

当时，/(x)在［1,2］上单调递减，.•./⑺硒=/(2)=5-4a；

2-2(7,a<1

综上所述./。)疝"=<l-

5-4a,a>2

19.已知定义在区间(一1,1)上的函数/(》)=三彳为奇函数.

(1)求实数。的值；

(2)判断函数/(X)在区间上的单调性并用定义证明；

(3)解关于t的不等式/(2/-1)+/⑺<0.

【正确答案】(1)4=0

(2)单调递增，证明见解析

(3)(0,1)

【分析】(1)由题意/(0)=。=0,由此即可得解.

(2)由定义法证之即可.

(3)结合奇函数的单调性即可求.

【小问1详解】

因为定义在区间(一1,1)上的函数/(x)=W\为奇函数，

则/(O)=a=O,经验证满足题意，则a=0；

【小问2详解】

由(1)知/(x)=£*/(x)在(-1,1)上单调递增，

证明如下：设-则/⑺-/㈤:言-京丁1^瑞守,

其中X|X2-1<0,x2-xl>0,

所以/（再）一/（%2）<0,即/（西）<fM,

故函数/（X）在（-1,1）上单调递增.

【小问3详解】

由/⑵—1）+/。）<0,又/（x）为奇函数，

即/(2/—1)<—/«)=/(7),

又“X）在区间（—1,1）上单调递增，

则解得

U<i3

则解集为（0,；）.

20.2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五

项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某数码产品公司生

产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元.若该公司一年内共

生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为a（元）万元，且

100-Ax,0<x<20

=\21009000左“

当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时,

'----------^,x>20

、xx

年利润为300万元.

（1）求出左的值并写出年利润少（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式做X）;

（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

—2厂+80x—50,0<xK20

【正确答案】（1）k=2,%（x）=<2050-20%-^^,x>20

x

（2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850

万元.

【分析】（1）由题意可得阳x）=xH（x）-20x—50,由/5）=300可求出左，然后可得联x）的

解析式；

（2）利用二次函数的知识求出当0<x420时做x）的最大值，利用基本不等式求出当x>20时

阴㈤的最大值，然后作比较可得答案.

【小问1详解】

由题意可得砥x）=xR（x）-20x-50

当x=5时R(5)=100—5左，所以%(5)=5R(5)—20-5—50=500—25左一150=300

解得左=2

—2x*+80x—50,0<xK20

所以%(%)=

x/?(x)-20x-50--2050-20》-叫四,x>20

x

【小问2详解】

当0<20时，%(X)=-2X2+80X-50,其对称轴为X=20

所以当x=20时%（x）取得最大值750万元

当x>20时，

%（x）=2050-20x一^^=2050—20，+期<2050-20•2Jx•期=850万元

当且仅当x=即x=30时等号成立

x

因为850>750

所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850

万元.

21.对于正整数集合A,记N-｛a｝=｛x|xe4xwa｝,记集合X所有元素之和为S（X）,

s（0）=o.若玉€儿存在非空集合4、4,满足：①4n4=0；②4U4=N-｛》｝；

③S（4）=S（4），则称A存在“双拆”.若VxeN,A均存在“双拆”，称A可以“任意双拆”.

⑴判断集合｛1,2,3,4｝和｛1,3,5,7,9,11｝是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆和

（不必写过程，直接写出判断结果）；

（2）/=｛。|,。2,4，0，%｝，证明：A不能“任意双拆”；

（3）若A可以“任意双拆”，求A中元素个数的最小值.

【正确答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析（3）7

【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论；

（2）不妨设q＜。2＜。3＜。4＜。5，利用反证法，通过讨论集合A中去掉的元素，结合“任意双

拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立；

（3）分析可知集合A中每个元素均为奇数，且集合A中所有元素都为奇数，分析可知”27,当

〃=7时，Z=｛1,3,5,7,9,11,13｝,根据“任意分拆”的定义可判断集合A可“任意分拆”，即可得出

结论.

【小问1详解】

解：对于集合｛1,2,3,4｝,｛1,2,3,4｝-｛4｝=｛1,2,3｝,且1+2=3,

所以，集合｛1,2,3,4｝可双拆，

若在集合中去掉元素1，因为2+3/4,2+4*3,3+4片2,故集合｛1,2,3,4｝不可“