人教A数学必修二教案第三课时 球的表面积与体积

第三课时球的表面积与体积

(-)教学目标

.1.知识与技能

.(1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式).

.(2)培养学生空间想象能力和思维能力.

.2.过程与方法

通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.

.3.情感、态度与价值

,让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.

.(-)教学重点、难点

,重点：球的表面积与体积的计算

,难点：简单组合体的体积计算

.(三)教学方法

.讲练结合

.教学过

教学内容师生互动设计意图

程

复习柱体、锥体、台体的表面师生共同复习，教师点出

新课引入复习巩固

积和体积，点出主题.点题(板书)

师：设球的半径为R,那

1.球的体积：V=

3

么它的体积：V=-^R\它的

2.球的表面积：S=4乃居3

面积S=4万正现在请大家观

察这两个公式，思考它们都有

什么特点？

加强对公

,生：这两个公式说明球的

式的认识

探索新知体积和表面积都由球的半径R

培养学生

惟一确定.其中球的体积是半

理解能力

径R的三次函数，球的表面积

是半径R的二次函数.

,师(肯定)：球的体积公

式和球的表面积公式以后可

以证明.这节课主要学习它们

的应用.

例1如图，教师投影例1并读题，学本题较易，

圆柱的底面直径与生先独立完成.教师投影答案学生独立

高都等于球的直并点评(本题联系各有关量的完成，有利

径.求证：【

关键性要素是球的半径)于培养学

典例分析..(1)球的体生问题解

积等于圆柱体积的2；决的能力.

3

..(2)球的表面积等于圆)柱的

侧面积.

2

，证明：（1）设球的半径为R,

则圆柱的底面半径为R，高为2R.

,因为％=%R'，

Vm=7tR--2R=2^R\

2

“所以，%=4%柱•

..（2）因为S球=4^/?2,

.教师投影例2并读题，通过师生

，师：请大家思考一下这道讨论，突破

•'S圆柱侧=2万R,2/?=4乃R~，

题中组合体的结构特征.问题解决

，所以，S球二S圈柱侧.生：球内切于圆台.的关键，培

.例2球与圆台的上、下底面师：你准备怎样研究这个养学生空

及侧面都相切，且球面面积与圆台组合体？间想象能

的侧面积之比为3:4,则球的体积生：画出球和圆台的轴截力和问题

与圆台的体积之比为（）面.解决的能

A.6:13B.5:14师：圆台的高与球的哪一力.

C.3:4D.7:15个量相等？

.【解析】如图所示，作圆台的生：球的直径.

师：根据球和圆台的体积

轴截面等腰梯形ABC。，球的大圆

公式，你认为本题解题关键是

o内切于梯丘77什么？

生：求出球的半径与圆台

ABCD.T-:\\\

的上、下底面半径间的关系.

设球师投影轴截面图，边分析

边板书有关过程.

的半径为B（h

师：简单几何体的切接问

R，圆台的上、下底面半径分别为

题，包括简单几何体的内外切

厂|、厂2，由平面几何知识知，圆台的

和内外接，在解决这类问题时

高为2R,母线长为n+冷

要准确地画出它们的图形，一

VZAOB=90°,OE1.AB（E

般要通过一些特殊点，如切

为切点），

点，某些顶点，或一些特殊的

：.R2=OE2=AEBE=n•r.

2线，如轴线或高线等，作几何

由已知5年：SHI台®j=4万/?2：

体的截面，在截面上运用平面

"S+〃）2=3:4

几何的知识，研究有关元素的

.万⑺+ri）2=—R2.

3位置关系和数量关系，进而把

问题解决.

3

乜R'

:V网6-----3---------

31化2+化+昌-2R教师投影例3并读题，学

生先思考、讨论，教师视情况

=2N_2R29控制时间，给予引导，最后由

储+为尸-化g2_R213'学生分析，教师板书有关过程.本题有两

3师：计算球的体积，首先必须种解题方

故选A.先求出球的半径.由于PA、PB、法,此处采

PC是两两垂直的而且相等的用构造法

.例3在球面上有四个点尸、

三条棱，所以尸-42C可以看解题，目标

A、B、C,如果PA、PB、PC两两

成一个正方体的一角，四点P、培养学生

垂直且PA=P8=PC=a,求这个

A、B、C在球上，所以此球可联想，转化

球的体积.

视为PA、PB、PC为相邻三条化归的能

解：；PA、PB、PC两两垂直,

棱的正方体的外接球，其直径力.另一种

PA=PB=PC=a.

为正方体的对角线.方法，因要

：.以PA.PB、PC为相邻三条

应用球的

棱可以构造正方体.

性质，可在

又♦：P、A、B、C四点是球面

以后讨论.

上四点，

球是正方体的外接球，正

方体的对角线是球的直径.

A2R=y[3a,R=—a.

2

.V=3乃7?3=3不(30)3

石3

=——Tea

2

1.(1)将一个气球的半径扩

大1倍，它的体积扩大到原来的几

倍？

(2)一个正方体的顶点都在

球面上，它的棱长是acm,求球的

体积.

巩固

随堂练习(3)一个球的体积是100cm2,学生独立完成

所学知识

试计算它的表面积(乃取3.14,结果

精确到Icm?,可用计算器).

参考答案：

1.(1)8倍；(2)—nacm3

6

(3)104.

归纳

1.球的体积和表面积知识，提高

学生独立思考、归纳，然

归纳总结2.等积变换学生自我

后师生共同交流、完善

3.轴截面的应用整合知识

的能力.

4

固化练习

课后作业1.3第三课时习案学生独立完成

提升能力

备用例题

例1.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径

的一半，且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积.

【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂

直于截面小圆平面.

【解析】如图，设球心为0,球半径为/?,作00|，平面ABC于

01，由于。4=08=0C=R,则0i是△4BC的外心.

设M是AB的中点，由于AC=BC,则。

22

设0iM=x,易知0|M_LA8,则。A=五+股，0\C=CM-0tM=V6-2-x

又0\A=0\C

：.>/2777=>/6^2r-x.解得*=述

4

则0|4=0iB=0iC=—.

4

在RtZ\00p4中，0i0=/00|A=90°,0A=R,

2

由勾股定理得（?尸+（竽）2=RL解得R=蜉.

故S球而=4/R2=54乃，%=27#万.

例2.如图所示棱锥P-A8CD中，底面A8C。是正方形，边长为a,PD=

a,PA=PC=®,且P。是四棱锥的高.缸

（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

（2）求四棱锥外接球的半径./\,

A1-------------Vl

【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心图4一3一9

到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解.（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、

8、C、。五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可.球心0在过底面中心E且垂直

于底面的垂线上.

【解析】（1）设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S,连结

SA、SB、SC、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R.

VP-ABCDABCDPD=Yaaa=^a''

5

q—q—ci'\[2a=a2

JPAB~°PBC