2023-2024学年江苏省南京市高三（上）学情调研数学试卷（零模）（9月份）（含解析）

2023.2024学年江苏省南京市高三（上）学情调研数学试卷（零

模）（9月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合/=(x\x2—4x+3<0},B=[x\2<%<4],则力AB=()

A.{x|3<%<4]B.{x|l<%<3]C.{x\2<%<3}D.{x|l<%<4]

2.复数z=芸的虚部为()

A.2B.-2C.2iD.-2i

3.(x—|)4展开式中的常数项为()

A.6B.-6C.24D.-24

4.在△ABC中，。为4B边的中点，记刀=沅，CD=n，则方=()

A.m—2nB.m+2nC.2m+nD.—m+2n

5.设。为坐标原点，A为圆C：M+y2一4x+2=o上一个动点，贝！UAOC的最大值为（）

6.在正方体ABCD-AiBiGDi中，过点8的平面a与直线&C垂直，贝加截该正方体所得截面

的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

7.新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向

室外.假设某房间的体积为先,初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为皿已知某款新风机工

作时•，单位时间内从室外吸入的空气体积为DO>1）,室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函

数关系为P©=（1—吟+珠e-",其中常数4为过滤效率.若该款新风机的过滤效率为吉

且t=1时室内空气中颗粒物的浓度是1=2时的|倍，则"的值约为

（参考数据：仇2X0.6931,仇3右1.0986）（）

A.1.3862B.1.7917C.2.1972D.3.5834

8.若函数/（%）=sin（tocosx）-1（3>0）在区间（0,2兀）恰有2个零点，则3的取值范围是（）

A.（0片）B.6年）C.《摩）D.a+8）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.若a<0<b,且a+b>0,则（）

A.1>-1B.\a\<\b\

C.J+1>0D.(a-l)(fa-1)<1

10.有一组样本数据*1，*2,x3>x4<xs>已知=10,Zi=lXi=30,则该组数据的()

A.平均数为2B.中位数为2C.方差为2D.标准差为2

11.在AABC中，乙4cB=90。，AC=BC=2y/~2,。是4B的中点.将△AC。沿CD翻折，得到

三棱锥&一8。。，则()

A.CD1A'B

B.当ADIBD时，三棱锥A-BCD的体积为|

C.当4B=2「时，二面角A-CD—B的大小为竽

D.当〃。8=争寸，三棱锥A'-BCO的外接球的表面积为207r

12.函数/"(x)及其导函数/'(%)的定义域均为R,且/(x)-/(—x)=2x,//(l+x)+f(l-

x)=0,则()

A.y=/(x)+x为偶函数B.〃为的图象关于直线x=1对称

C.f(0)=1D.f\x+2)=f(x)+2

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知角a的顶点为坐标原点，始边与％轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4),则sin(>+

a)=-------

14.某批麦种中，一等麦种占90%,二等麦种占10%,一、二等麦种种植后所结麦穗含有50

粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为

«+2)'"、"'则S8=.

ain为偶数,

16.已知双曲线C；真一,=1®>0,6>0)的左、右焦点分别为a,Fz，P是C右支上一点，

线段PF1与C的左支交于点M.若"PF?=*且仍”|=严21，贝UC的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知公比大于1的等比数列｛an｝满足:a1+%=18,a2a3=32.

(1)求｛an｝的通项公式;

(2)记数列｛与｝的前n项和为%，若无=2%-即，neN*,证明：｛如是等差数歹I」.

an

18.(本小题12.0分)

记△48C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知as讥B+VJbcosA=0.

(1)求4;

(2)若a=3,sinBsinC=求^4BC的面积.

19.(本小题12.0分)

某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的4B两门学科成绩作为样本,将他们

的4学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好.已知他们中B学科

良好的有50人，两门学科均良好的有40人.

(1)根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这

次考试学生的4学科良好与B学科良好有关;

B学科良好B学科不够良好合计

4学科良好

4学科不够良好

合计

(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中4

B学科均良好的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

n(ad-bc)2

附：K2—,其中踪=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(本小题12.0分)

如图，四边形4BCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆。上，。4=BF=C，AD=3,点G是

线段BF的中点.

(1)证明：EG〃平面LMF；

(2)求直线EF与平面D4F所成角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

己知。为坐标原点，F(l,0)是椭圆C：捻+，=l(a>b>0)的右焦点，过户且不与坐标轴垂

直的直线/交椭圆C于4B两点.当4为短轴顶点时，△AOF的周长为3+4?.

(1)求C的方程；

(2)若线段48的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P,Q,M为线段4B的中点，求|PM|•|PQ|的

取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(汽)=aex—x—a,其中a>0.

(1)若a=l,证明：/(%)>0；

(2)设函数g(x)=%/(%),若％=0为g(x)的极大值点，求Q的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为集合4={x|x2-4x+3W0}={x|lSxS3},B=(x\2<x<4],

所以an8=(x|2<x<3}.

故选：C.

化简集合4根据交集的定义计算即可.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2.【答案】B

3-i_(3T)(1T)

【解析】解:由题意可得z1+i=(l+i)(l-i)

故其虚部为：-2

故选B

由复数的代数运算可化简复数，可得其虚部.

本题考查复数代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由二项式定理的通项公式可知，。一$4展开式中通项公式7；+：1=以74一厂(一$『=

(-2)卬4-2r,

当4-2r=0时，展开式为常数，此时r=2,

展开式的常数项为：4=4玛=24.

故选：C.

直接利用二项式定理的通项公式，令工的指数为0,即可求出常数项.

本题考查二项式定理通项公式的应用，注意正确应用公式是解题的关键，考查计算能力.

4.【答案】D

【解析】解：A4BC中，。为2B边的中点，

因为5=沅，CD=n,

所以加=；67+而),

则方=2CD-CA=2n-m.

故选：D.

由已知结合向量的线性表示即可求解.

本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：圆C：/+丫2-4%+2=0的圆心为(2,0),半径为r=

由题意可得当。4为圆C的切线时，乙4OC取得最大值.

在直角三角形40C中，^OAC=90°,

sin/AOC=箓=＞容，

解得乙4OC=

故选：C.

求得圆C的圆心和半径，可得当。4为圆C的切线时，NAOC取得最大值，解直角三角形AOC可得所

求最大值.

本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：如图所示，正方体48。。一4/传1。1中，连接4C、BJ、C1。、BD,

■：AAr_L平面ABC。，BDu平面ABC。，AAX1BD,

XvAC1BD,AC,A4i是平面A41c内的相交直线，BD_1平面441。，

•：AtCu平面A4C,•••BD1AXC,同理可得BC】1AXC,

BDnBCi=B,A^C_L平面BG。，

即4BC】D所在平面是经过点B与垂直&C的平面，

因此，平面a截该正方体所得截面的形状为三角形，A正确.

故选：4.

根据题意，利用线面垂直的判定与性质，证出ABCiD所在平面是经过点B与垂直&C的平面，即

可得到本题的答案.

本题主要考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质等知识，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由题意得P(D=端+瑞eTp(2)=端+券

因为p(l)=,p(2),

所以旦+处e-"=3(旦+如e-2与

"「以5"o+5Voe2(5%+5%,)，

整理得8e--12e-2V=1,

令e-v—n,

因为。>1,所以n=e-〃€(0,3，

则12n2—8n+l=0,解得n=；(舍去)或n=2，

故e"=A,解得u=ln6=ln2+ln3«1.7917.

6

故选：B.

由题意表达出p(l),p(2),由p⑴=|p(2)列出方程，求出e-=右两边取对数，计算出答案.

本题考查了对数的基本运算，指数与对数的转化，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：令t=3cosX,•・•XE(0,2兀)：,te[—60,3),

则函数f(x)=sin(cocosx)-l(co>0)在区间(0,2兀)恰有2个零点，

等价于sint-1=0在£G[一助3)有两个根，

由于％W(0,7T)U(兀,27T)时，t=3COSX有两个根，

所以原题等价于y=s出3t6(-3,3)与y=1有一个公共点，如图：

故选:B.

利用换元法，结合三角函数图象列出限制条件，即可得出答案.

本题考查函数的零点，三角函数的图象与性质的综合应用，属难题.

9.【答案】BD

【解析】解：,.,QVO<b,且。+力>0,

b>—a>0,即可得一1V，VO,A错误；

由可得|a|V网，B正确；

因为工+:=空<0,所以工+C错误；

ababab

因为(a—l)(b—1)—1=ab—(a+b)<0,所以(a—1)[b-1)<1成“，D正确.

故选：BD.

根据题意，可得a为负数且b为正数，结合a+b>0,得到正数的绝对值较大，从而得出答案.

本题主要考查了不等式的基本性质、作差法比较实数的大小等知识，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：因为£乙看=10,

所以平均数为“优凸=2,故A正确，

又因为无法判断样本数据的具体值，所以中位数无法确定，故B错误；

方差S2=-2)2=|(SF=ixl-4*=1々+4x5)="(30—4x10+20)=2,故C正确,

所以标准差为C，故。错误.

故选：AC.

根据平均数、中位数、方差和标准差的计算公式求解.

本题主要考查了平均数、中位数、方差和标准差的定义，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于4AZBC中，乙4cB=90。，AC=BC=27-2,。是4B的中点，

CDA.AB,且48=4,pliJCD=AD=DB=\AB=2,

在三棱锥A-BCD中，CDIA'D,CD1BD,

^A'DdBD=D,A'D,BDu平面4BD,CD1平面4BD,

而ABu平面4B。，CD1A'B,故A正确；

11

对于B,当力'D1BC时，S&A，DB=/XA'DXD8=.2X2=2,

114

由于CO,平面"BD,・・・%_BCD=%T，皿昕CD=：X2X2=*故于错误;

r

对于C,当48=2，^时，AD=DB=2f

(4炉+加-(AB)2

则cos4AOB=4+4-12

2A'DDB2x2x22

而N4'DBG(O.TT),.-./.A/DB=y,

由于CDL平面A'BD,故NA'DB即为二面角A-CD-8的平面角,

••・当4'B=2C时，二面角4一CD-B的大小为w，故C正确；

对于D,当乙4。8=当时，

A'B=，（4D）2+DB2-24。•DBcos乙A'DB=74+4+4=2y/~3,

cA'B2<3

设AA'DB的外接圆圆心为O',半径为r,则2r=sin〃7）B=~^=4,得r=2,

•••CD，平面4BD,.•.三棱锥4'-BCD的外接球的球心位于过O'垂直于平面A'DB的直线上，

且在过CD的中点E垂直于CD的平面上，

设球心为0,由于OO'L平面4DB,贝lJOO'〃CD,

过E作。0'的垂线，垂足即为0,即三棱锥A-BCD的外接球的球心，

则四边形OO'DE为矩形，故0。'=ED=gc。=1,

设棱锥4'-BCD的外接球的半径为R,连接。D,

故R2=0D2=（0。）+（。切）2=1+4=5,;./?=V-5，

故三棱锥4'-BCD的外接球的表面积为4兀/?2=20兀，故。正确.

故选：ACD.

根据线面垂直的性质定理判断4根据等体积法可判断B：确定二面角A-CD-B的平面角，解三

角形可得其大小，判断C;确定三棱锥&-BC。的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求

得外接球表面积判断以

本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查多面体的体积及其外接球表面积的求法，考查空间

想象能力与逻辑思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：4选项，假设y=/(x)+x为偶函数，则有-无=/(x)+x,变形为f(x)-

/(-X)=-2%,与/'(尤)一/(-x)=2x矛盾，

故假设不成立，y=/Q)+x不是偶函数，A错误；

B选项，假设/"(X)的图象关于直线x=1对称，则有/(I+x)=/(I-x),两边求导得到((1+x)=

-f(l-x),gp/,(l+x)+f,(l-x)=0,

由于题目条件中有/'(1+乃+/(1一乃=0,故假设成立，8正确；

C选项，/(乃一/(一乃=2%两边求导得((乃+/(一为=2,令x=0得((0)+((0)=2,解得

f(0)=1,C正确；

。选项，因为f(l+x)=/(l-x),将一%-1代替x,得f(一盼=f(%+2),

又/(x)-f(-x)=2x,故/(%)-f(x+2)=2工,BP/(x+2)-/(x)=-2x,

两边求导得尸(x+2)-尸(x)=-2,f(x+2)=f(x)-2,。错误.

故选：BC.

4选项，假设y=f(x)+x为偶函数，得到—-x)=-2x,与条件矛盾，A错误；B选项，

假设的图象关于直线％=1对称，得到/(l+x)=f(l—x),求导后得到尸(l+x)+尸(1一

%)=0,满足题目条件，B正确；C选项，/(%)-/(-%)=2x两边求导得((%)+((一x)=2,赋

值得到答案;D选项,由/(1+x)=f(l-x)得到f(—x)=f(x+2),结合f(x)—/(—%)=2x得到

/(x+2)-/(x)=-2x,求导得到。错误.

本题主要考查抽象函数及其应用，导数的运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.

13.【答案】-1

【解析】解：由角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4),

可得r=\0P\—732+42=5,

根据三角函数的定义，可得sina="

所以sin(7r+a)=—sina=-

故答案为：-卷.

根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，即可求解.

本题考查了任意角的三角函数的定义和诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

14.【答案】0.56

【解析】解：分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件4，A2,所结麦穗含有50粒以上麦粒为

事件8,

由已知可得，P(Ai)=0.9,P(A2)=0.1,P(B|&)=0.6,P(BIA2)=0.2,

由全概率公式可得，P(B)=P(B4)+P(BA2)

=P(4)P(BMi)+P(A2)P(BIA2)=0.9X0.6+0.1X0.2=0.56.

故答案为:0.56.

根据已知设出事件，由已知得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可求解.

本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题.

15.【答案】y

【解析】解：由即=［而团'"为奇数’，可得：

(an_i，n为偶数，

a2222

i=a2=CI19a3=a4=a3,a5=a6=as,a7=a8=a7f

7777

所以58=2x(而+公+初+而)

1111111

=2x(1-3+3-5+5-7+7-9)

816

2nX9=T

故答案为：引

根据递推式直接递推即可得出前8项，再用裂项相消法求和.

本题考查数列递推式求通项，考查裂项相消求和，属基础题.

16.【答案】「

【解析】解：因为点P是C右支上一点，线段P0与C的左支交于点M,且|PM|=\PF2\,Z.F1PF2=l，

所以△PMF2为等边三角形，所以|PM|=\PF2\=|MF2|

由双曲线定义得|P0|-伊加=|PM|+|MFi|-\PF2\=|M&|=2a,

又由IMF2I-IMF/=\MF2\-2a=2a,解得附目=4a,

则|PM|=\PF2\=\MF2\=4a且1PF/=\PM\+\MFX\=4a+2a=6a,

222

在4&PF2中，由余弦定理得cos^=@L士回)二/L=1,

32x4ax6a2

整理得C2=7M,所以双曲线的离心率为e=；=C.

故答案为：yT~7-

根据题意和双曲线定义求得|PM|=\PF2\=\MF2\=4a且|P&|=6a,在^中，利用余弦定

理列出方程，化简得到。2=7。2,即可求得双曲线的离心率.

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

17.【答案】解：(1)方法1：设公比为q,

由等比数列性质得出片】卡。吗=%

gq-Q©=32

解瞰1或r=j6,

匕=2[q=-

p乂q>d1>•<,｛他(?==22,

n

因此an==2.

方法2：设公比为q,

•・•｛卅｝是等比数歹！b：・a2a3==32,

又a1+a4=18,解得J1二M或烂-黑

又q>1,二『1-3二q3=8,q=2.

(a4=16

n-1n

因此a”—a1q=2.

nn+1

(2)由⑴得Sn=2bn-2,Sn+1=22n+1-2,

n+1n

两式作差可得Sn+1-Sn=2bn+1-2-(2bn-2),

nn

即%+i=2bn+1-2-2bn,整理得%+i-2bn=2,n€N*.

方程同除以"+i得，褊一线=J,即警

uL

Z乙乙ttn+ln

•••数列强是公差为；的等差数列.

a

n乙

【解析】(1)方法1：由等比数列性质得到关于首项和公比的方程组，求出解得《】。之，得到通项

公式;

方法2：根据等比数列性质计算出从而求出公比，得到通项公式;

(2)根据％与质的关系式得到辐-第=；,从而结合⑴知”一空=寺，(nG/V*),得到结论.

aL

2乙乙an+ln

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程思想方法，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为asinB+/?bcos/=0,

由正弦定理得s讥AsinB+l^sinBcosA=0,

因为sbiB>0,

所以sim4+\/-3cosA=0,即tern/=-V~~3,

由A为三角形内角，得4=手

所以磊=肃=&=2/7，

2

所以Z?=2\/~~3sinBic=2y/~3sinC,

因为a=3,sinBsinC=7,

4

所以be=(27~~3)2xsinBsinC=3,

所以△4BC的面积为S=besinA=[x3x

2224

【解析】(1)根据题意，利用正弦定理化简得sbM+，3cos4=0,得到位加4=-<3,即可求解；

(2)由正弦定理得到b=2，Is讥B,c=2CsinC,结合题意，求得be=3,进而求得△ABC的面

积.

本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得4学科良好的人数为100x(0.040+0.025+0.005)x

10=70,

所以2x2列联表如下:

B学科良好8学科不够良好合计

4学科良好403070

4学科不够良好102030

合计5050100

假设“0：4学科良好与B学科良好无关,

、7

此时K2=100X(30X10-40X20)=出。48>3841，

70x30x50x5021

所以我们有95%把握认为4学科良好与B学科良好有关;

⑵已知4B学科均良好的概率P=盖=|，

易知X的所有可能取值为0,1,2,3,

此时P(X=0)=以x(|)°x(|)3=急，尸(X=1)=dx|x(|)2=部,

P(X=2)=或x鼾*(|)i=蔑，P(X=3)=或x(|)3x(|)。=荔

则X的分布列为:

X0123

2754368

P

125125125125

所以E(X)=0x•+1x部+2x急+3X提=:

【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图计算可得出4学科良好的人数，补全2x2列联表，代入

公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；

(2)先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本题考查离散型随机变量分布列的期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力.

20.【答案】证明：(1)连接。E,OG,

在圆柱OE中，四边形2BCD是圆柱OE的轴截面，所以OE〃/M.

又。EC平面IMF,u平面D4F,所以OE〃平面IMF,

在AABf1中，点。，G分别是AB和BF的中点，所以。G〃/1凡

又OGC平面ZMF,AFu平面DAF,

所以OG〃平面£MF,

又OECOG=0,OE,OGu平面OEG,

所以平面OEG〃平面ZMF,

又EGu平面OEG,所以EG〃平面£MF；

解：（2）以。为坐标原点，48的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则B（0,，3,0）,£（0,0,3）,

因为48为底面圆。的直径，点F在圆。上，所以BFJ.4F,

又。4=OB=BF=C，所以4BOF=60°,因此尸弓,?,0）,

因此前=（|,号,—3），

因为ZD1平面ABF,BFu平面4BF,所以BF1AD,

又BFLAF,AFC\AD=A,AF,ADu平面ZMF,

所以8F1平面ZMF,因此丽=（―|,年,0）是平面ZMF的一个法向量，

设EF与平面所成角为氏6G[0,2],

则sin”|cos＜而而＞|=篙篙=另胃=/

所以EF与平面D4F所成角的正弦值为

【解析】⑴连接OE,OG,证明平面OEG〃平面DAF,利用面面平行性质即可证明结论：

（2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可求得答案：

本题主要考查了线面平行的判定，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题.

21.【答案】解：⑴设椭圆C的焦距为2c,因为椭圆C的焦点为F（l,0）,可得c=l,

又因为4为短轴顶点时，△40F的周长a+b+1=3+C，

又由a2=b2+l,所以a?=(2+4?—a)2+1，解得a=2,b=q，

所以椭圆C的标准方程为[+<=L

43

(2)解法一：因为椭圆C的焦点为F(l,0)，设直线ZB：y=/c(x-l).

联立方程组整理得(妹2+3)x2_Qk2x+4k2-12=0,

设8(%2/2)，则％1+到=表^,%+%=A(%1+犯)-2k=

2

则也急，肃，

2

于是线段4B的垂直平分线的方程为y=-l(x-我?-急,

,2

令y=0,可得孙=4k2+3’

由|PM|•|PQ|=

\xM~xP\■\xP\

,_3k2(〃2+1)

=(1+颉

4k2+34k2+34k2+3一(4fc2+3)2'

令t=41+3>3,则|PM|.\PQ\=塞停=3。尸)=得[-3(不-2:+1],

(4k+3)lot工。cc

因为t>3,所以;€(()£),可得—3(^)2—2；+1E(0,1),

因此|PM||P(?|=^[-3(i)2-2i+l]e(0噌).

解法二：因为椭圆C的焦点为F(l,0),设直线AB：x=my+l,

X=my+1

星先_,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

(T+T=1

设B(x2,y2),则为+为=^^，/+小