概率统计在经济生活中的应用

关于概率统计在经济生活中的应用一、彩票是的概率统计问题第2页,共33页，2024年2月25日，星期天第3页,共33页，2024年2月25日，星期天第4页,共33页，2024年2月25日，星期天中奖概率计算第5页,共33页，2024年2月25日，星期天中奖概率计算第6页,共33页，2024年2月25日，星期天中奖概率计算第7页,共33页，2024年2月25日，星期天彩票中奖的期望值第8页,共33页，2024年2月25日，星期天彩票中奖的期望值(续)第9页,共33页，2024年2月25日，星期天彩票中奖的期望值(续)第10页,共33页，2024年2月25日，星期天参考文献第11页,共33页，2024年2月25日，星期天二、大数法则和中心极限定理在保险行业中的应用离散型数学期望是指随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(X=xi)之积的和称为的数学期望（设级数绝对收敛），记为E。如果随机变量只取得有限个值。随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。方差是指表示一系列数据或统计总体的分布特征的值，即方差表示的是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S2;。在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定；反之，波动方差越大，表示数据波动越不稳定。第12页,共33页，2024年2月25日，星期天连续型随机变量的数学期望与方差 连续型随机变量的数学期望与方差的意义同离散型,将和号换为积分号,p(x)是密度函数.第13页,共33页，2024年2月25日，星期天大数定律大数法则是概率论中的一个重要法则.它揭示了这样一个规律:大量的、在一定条件下重复出现的随机现象将出现一定的规律性和稳定性.如果我们对某种随机事件进行试验,当试验次数较少时,实验结果往往很不稳定,其结果依赖于个别随机事件;当试验次数较多时,实验的结果就非常稳定,而且试验结果会脱离对个别随机事件的依赖.例如将一枚均匀的硬币投向空中,正面朝上的概率为0.5.如果只扔10次硬币,可能看到有8次是正面朝上的,但如果硬币被扔成千上万次,得到正面朝上的频率越接近0.5.因此,当投掷次数越多,实际结果越接近期望结果.简而言之，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无限接近于该事件发生的概率，这一点对保险的经营有重要意义.第14页,共33页，2024年2月25日，星期天大数定律（续）由大数定律有独立同分布的大数定律设X1,X2,……,Xn独立同分布，数学期望和方差有限，则由切比雪夫不等式得到第15页,共33页，2024年2月25日，星期天大数定律的妙用大数定律架起了随机与确定的桥梁:n充分大时，构造了一个随机区间，这个区间以0.9x的概率包含E(X)在既保证误差又要保证概率的情形下，样本容量n要“充分大”。第16页,共33页，2024年2月25日，星期天中心极限定理独立同分布的大数定律设X1,X2,……,Xn独立同分布，数学期望和方差有限，则有其中Φ是标准正态分布函数。应用此定理，可以计算给定显著水平alpha的E(X)的置信区间。第17页,共33页，2024年2月25日，星期天中心极限定理之例：在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问:1)保险公司亏本的概率有多大?2)保险公司一年的利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多大?第18页,共33页，2024年2月25日，星期天第19页,共33页，2024年2月25日，星期天中心极限定理之例(续)第20页,共33页，2024年2月25日，星期天中心极限定理之例(续)第21页,共33页，2024年2月25日，星期天三、期望和方差数字特征在管理估算决策中的应用离散型数学期望是指随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(X=xi)之积的和称为的数学期望（设级数绝对收敛），记为E。如果随机变量只取得有限个值。随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。方差是指表示一系列数据或统计总体的分布特征的值，即方差表示的是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S2;。在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定；反之，波动方差越大，表示数据波动越不稳定。第22页,共33页，2024年2月25日，星期天例：某人有一笔资金,可投入三个项目:房产、地产

和商业,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为,p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表2:第23页,共33页，2024年2月25日，星期天第24页,共33页，2024年2月25日，星期天分析小结在上例中，根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差，为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少万元,但风险要小一半以上。通过以上实例说明在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。而期望和方差的数字特征含义可以帮助我们可以进行合理的选择,为我们的科学决策提供良好的依据，从而最优地实现目标。第25页,共33页，2024年2月25日，星期天四、随机变量函数在求解最大经济利润问题的应用数学原理：如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。符合特殊条件的某些可求随机变量函数，我们可以通过建立自变量x和利润期望y的函数y=f(x)，然后根据此函数和导数的关系以及极值和导数的性质得出，x取何值时得出利润y的最大值。第26页,共33页，2024年2月25日，星期天例：某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量

(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布,每售出吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?第27页,共33页，2024年2月25日，星期天第28页,共33页，2024年2月25日，星期天分析小结：上述问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。以上事例说明了一些符合特殊条件的随机变量函数（如均匀分布等），我们在求解其最大经济利润时，可以通过求解其利润期望与的自变量的二次函数最大值来解决。这样可以为经济决策提供良好的科学依据，并减小了损失，提高了经济利润。第29页,共33页，2024年2月25日，星期天五、随机个随机数之和在保险精算的理赔模型中，例如车辆保险，每次理赔的金额是一个随机变量X，每年理赔理赔的车辆数也是一个随变量N，从而每年理赔的金额也是一个随变量Y。欲根据历史，估计保险公司每年的理赔金额的均值E(Y)和方差Var(X)。这里要用到条件期望和条件方差。设X1,X2,…独立同分布，均值为u,N