山东省烟台招远市第二中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(含答案)

~2024学年度第二学期期中月考高一数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．若复数为实数，则a的值为（）A． B．0 C．1 D．22．复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知G，O，H在△ABC所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为△ABC的（）A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心4．已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．5．若O为△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状为（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形6．在中，已知，，则（）A． B． C． D．7．在△ABC中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（）A．2 B． C． D．8．在斜△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知复数，，下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则z在复平面内对应的点在一个圆周上C．若，则D．若，则10．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的有（）A．为定值B．当时，为定值C．的最大值为12D．的取值范围是11．已知有两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个任意排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列说法正确的有（）A．S有3个不同的值B．若，则与无关C．若，则与无关D．若，，则与的夹角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是关于x的实系数方程的一个根，则的值为________13．若△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的值为________14．如图，在△ABC中，已知，，AB，BC边上的中线CE，AF交于点D，则________四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量，满足，，．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求以，为邻边的三角形的面积；（3）求．16．（15分）已知，，，函数的最小正周期为．（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，求△ABC周长的取值范围．17．（15分）已知点G是边长为2的正△ABC的中心，线段DE经过点G分别交边AB，AC于点D，E，设，，其中，．（1）求的值；（2）求△ADE面积的最小值，并指出相应的m，n的值．18．（17分）在△ABC中，已知，，，设点P为边BC上一点，点Q为线段CA延长线上的一点．（1）当且P是边BC上的中点时，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长;（2）设，若，求线段AQ长度的最小值．19．（17分）定义非零向量．若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．（1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点A运动时，求的取值范围；（3）已知向量的“伴生函数”在时的取值为．若在△ABC中，，，若点O为该三角形的内心，求的最大值．2023~2024学年度第二学期期中月考高一数学参考答案及评分标准一、选择题ADCD CABC二、选择题9．AB 10．ABD 11．ACD三、填空题12． 13． 14．四、解答题15．解：（1），， 2分，; 4分（2）由（1）知，， 6分的面积为 8分（3）由（1）知， 10分， 12分． 13分16．解：（1）因为，，则， 1分， 3分故， 5分因为最小正周期为，所以，所以，故， 6分由，，解得，，所以的单调递增区间为，． 7分（2）由（1）及，即，又，所以，解得 9分又△ABC为锐角三角形，即即，解 11分， 13分又，，， 14分，所以△ABC周长的取值范围为． 15分17．解：（1）延长AG交BC与F，由G是正三角形ABC的中心，得F为BC的中点， 1分则， 2分由，，得， 4分又D，G，E三点共线，所以，即． 6分（2）△ABC是边长为2的正三角形，则，， 7分． 8分由，则， 9分，，解得， 10分． 11分设，则， 12分则， 14分当且仅当，即时取等号，所以当，即时，取得最小值． 15分18．解：（1）设，，当，得A是QC的中点， 1分又P是BC的中点时，则M是△CBQ的重心， 2分 3分 4分（2）设，则， 6分， 8分由，得：， 10分，因为且（），所以即， 12分， 13分令，则， 15分当且仅当即时取到等号，所以t的最大值是，又，故AQ线段的最小值为． 17分19．解：（1）因为向量为函数的“源向量”，所以， 1分则方程在上有且仅有四个不相等的实数根，所以，在上有且仅有四个不相等的实数根， 2分令，①当时，②当时，，所以 4分其图象为：结合，，，最大值为3故当在上有且仅有四个不相等的实数根时，k的取值范围为 6分（2）由题意得：，其中，当，即时，取最大值，故， 8分则， 9分