中考数学复习《与圆相关的综合题》专项测试卷(带答案)

第页中考数学复习《与圆相关的综合题》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆．（1）如图1，⊙O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；（2）如图2，若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2，又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；（3）设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）2．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），（1）求该抛物线的解析式；（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（﹣9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求证：直线CD是⊙M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）4．如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A﹣D﹣C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s），其中1≤t＜2．（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值．变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y．（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由．5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．_________，_________；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）_________；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：①当r=_________时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；②当r=_________时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．（1）求证：∠APO=∠BPO；（2）求证：EF是⊙O2的切线；（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M•O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．9．如图：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴，E为垂足，E点的横坐标为2．（1）求直线CD的解析式；（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当﹣6＜t＜2时，求y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．10．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．（1）求点C、D及点M的坐标；（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．11．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：①反向延长射线OM；②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；③连接CB；④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．12．已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．（1）当m=4时，①填空：B的坐标为_________，C的坐标为_________，D的坐标为_________；②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．13．已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？14．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒．（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切？（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由．15．如图，已知抛物线m的解析式为y=x2﹣4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．（1）求证：点D一定在抛物线n上．（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．16．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．（1）求s与t的函数关系式；（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．17．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．18．请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．19．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．求证：AC2=AG•AF．（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF•GA=GH•GC．请你帮李明给出证明．（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．20．如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？21．如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）（1）点E的坐标是_________；（2）三角形ABE的面积是_________；（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？22．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．（1）若PC=PD，求PB的长．（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．23．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式；（2）求点A及点C的坐标；（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．24．关于图形变化的探讨：（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论_________．证明结论成立或说明不成立的理由（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2．②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论_________．证明结论成立或说明不成立的理由：（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律_________．25．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH﹣PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．26．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．27．如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．（2）设点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．求证：①CN∥AE；②四边形CGFN为菱形；③是否存在这样的t值，使BE2=CF•CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．28．如图，⊙O′经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO′交⊙O′于点P，交EF于点C，交⊙O于点Q，且EF=2，sin∠P=．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求⊙O和⊙O′的半径的长；（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．29．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．参考答案1．已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆．（1）如图1，⊙O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；（2）如图2，若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2，又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；（3）设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）解：（1）在图1中，由已知A为切点，得O1A1⊥P1A1．∴△O1A1P1是直角三角形．同理可得△O2B1P1是直角三角形．∴P1A1=，P1B1=．∴P1A1：P1B1=：=2：．（2）在图2中，连接O1A2，O2B2，P2O1，P2O3．在Rt△O2O3P2中，P2O2=4，P2B2=．同理可解，得P2O1=，P2A2=．∴P2A2：P2B2=：=：=2：．（3）提出的命题是开放性的，只要正确都可以．如：1．设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点）．则有PA：PB=2：或PA：PB是一个常数；2．在平面上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），若PA：PB=：，则点P在⊙O3上．2．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），（1）求该抛物线的解析式；（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得，c=0，由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0），将他们的坐标值分别代入解析式可得，，解得，，故该抛物线的解析式为：y=﹣2x2+4x；（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为：y=﹣2（x﹣m）2+4（x﹣m），原抛物线与平移后的解析式交于P点，则有，解得，，即P点坐标为：（，），那么△CDP的高为：，而CD=2，则S=×2×（），化简得，S=；（3）如图，四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2，B点的纵坐标为：=，那么tan∠BA′A=，故∠BA′A=∠A′BA=30°，A′E=AE==，则=正好是tan30°的值，故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF，则∠A′EF=90°，A′F==，则AF=2﹣=，F横坐标为：2+=，故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（，0）．3．如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（﹣9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求证：直线CD是⊙M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6OA=OM+MA=3+6=9A（9，0）∵OC==3∴C（0，）（2）证法一：在Rt△DCO中，∵DC==6在△DCM中，∵CM2+DC2=144DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144∴CM2+DC2=DM2∴△DCM直角三角形．∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半径∴CD是⊙M的切线．证法二：在Rt△COM中，∵sin∠MCO==，∴∠MCO=30°在Rt△DOC中，∵tan∠DCO===，∴∠DCO=60°∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径．（3）由抛物线y=x2+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得：解得：∴抛物线的解析式为：y=x2﹣12x+27．（4）存在设抛物线的对称轴交x轴于点H在（2）中已证：∴∠DCO=60°，∠CDO=30°∵抛物线的对称轴平行于y，∴∠CEF=∠DCO=60°∵OD=OA=9，∴CO垂直平分AD∴∠CAO=∠CDO=30°在Rt△AFH中，∠AFH=60°∴∠EFC=60°∴△CEF是等边三角形过点C作CG⊥EF于点G，则CG=6可得：EF=4，S△CEF=EF•CG=×4×6=12；若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），S△PAM=AM•y=3y，S△PAM：S△CEF=：3∴3y：12=：3，解得：y=4．当y=4时，即x2﹣12x+27=4，解得x=6±∴P（6﹣，4）或（6+，4）．②若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形．③若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y）S△PAM=AM•（﹣y）=﹣3y，S△PAM：S△CEF=：3∴﹣3y：12=：3解得：y=﹣4当y=﹣4时，即x2﹣12x+27=﹣4，解得x=6±．∴P（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）．∴这样的点共有4个，∴P（6﹣，4）或（6+，4）或（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）．4．如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A﹣D﹣C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s），其中1≤t＜2．（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值．变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y．（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，设E、F出发后运动了ts时，有EF和BC平行．则BE=t，DF=2t﹣2．∴t=4﹣2t．解得t=．∴当t=s时，线段EF和BC平行．（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切．作OM⊥EF于点M，ON∥CF交EF于点N，KF∥BC交AB于点K，如图2．则OM=1，BE=t，CF=4﹣2t，EK=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，ON=[t+（4﹣2t）]=2﹣t．在Rt△OMN中，MN2=ON2﹣OM2=4t2﹣8t+3．∵△OMN∽△FKE，∴，将有关数据代入上式并整理，得2t2﹣4t+1=0解得t=．∵1＜t＜2，∴t=．∴当t=s时，线段EF与半圆相切．（3）当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化．证明：设1≤t＜2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图则BE=t，AE=2﹣t，CF=4﹣2t∴又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP∴，即点P的位置与t的取值无关．∴当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为．变式题答案：（1）如图（1），当F点在CD的延长线上，过E作EH⊥DC，交DC于F点，易证EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2，在Rt△EHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2，即22+（y+2﹣x）2=（x+2+y）2，整理得xy+2x﹣1=0，∴∵1﹣2x＞0∴∴点F在DC上的函数关系式为（）如图（2），当E点重合于D点时，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2，∴DH=DC﹣HC=2﹣x，即在Rt△EHD中，ED2=EH2+HD2，∴（x+2）2=22+（2﹣x）2，解得，如图（3），当F点在DC上，在Rt△EHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2，即22+（y﹣2+x）2=（x+2﹣y）2，整理得xy=2x﹣1，∴，∵2x﹣1＞0，∴，∴点F在DC上的函数关系式为（）；（2）如图（3），假设EF把正方形周长分成相等两部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，∴2﹣x+2+y=x+2+2﹣y整理得x=y由上面可知，=x，解得x=1，∴存在切线EF，把正方形的周长分成相等的两部分，此时x=1．5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）（1，﹣4a）；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（4分）（2）①（1，﹣4a）（5分）②∵△OAD∽△CDB∴（6分）∵ax2﹣2ax﹣3a=0，可得A（3，0）（8分）又∵OC=﹣4a，OD=﹣3a，CD=﹣a，CB=1，∴∴a2=1，∵a＜0，∴a=﹣1；故抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3（10分）③存在，（11分）设P（x，﹣x2+2x+3）∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形∴PN=AN当x＜0（x＜﹣1）时，﹣x+3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=﹣2，x2=3（舍去），∴P（﹣2，﹣5）（13分）当x＞0（x＞3）时，x﹣3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=0，x2=3；（都不合题意舍去）符合条件的点P为（﹣2，﹣5）．（14分）6．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：①当r=2时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；②当r=6时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+4，则有：a（0﹣4）2+4=0，解得a=﹣．∴y=﹣（x﹣4）2+4．根据A（4，4）可知，∠AOB=45°∵AO=AB，∴△AOB为等腰直角三角形．∴∠OAB=90°，即O、A、D三点共线，因此直线BD∥y轴，直线AC∥x轴，则有：C（12，4）D（8，8）．（2）设平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+4+h（h＞0），将C点坐标代入有：4=﹣（12﹣4）2+4+h，解得h=16∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+20当x=8时，y=12≠8，因此不能使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D．（3）①2；②6；③当0＜r＜2时0个；当r=2时1个；当2＜r＜6时2个；当r=6时3个；当r＞6时4个．7．如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵OA=，AD=AC=2，∴C（3，0）又在Rt△AOD中，OA=∴OD==3，∴D（O，﹣3），又∵D，C两点在抛物线上，∴c=﹣3，∴b=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3；（2）∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4；∴抛物线的对称轴方程为：x=，∵BD的长为定值，∴要使△FBD周长最小，只需FB+FD最小，连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点，设直线DC的解析式为y=mx+n，有n=﹣3，得：m=，∴直线DC的解析式为y=x﹣3，由y=x﹣3，得x=，∴y=﹣2，∴F的坐标为（，﹣2）；（3）存在，设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，M在抛物线上，要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM，①当点M在对称轴的左侧时，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x，t），由BC=QM得QM=4，从而x=﹣3，t=12；故在抛物线上存在点M1（﹣3，12）使得四边形BCQM为平行四边形；②同理可知当点M在对称轴的右侧时，在抛物线上存在M2（5，12）使得四边形BCQM为平行四边形；③当点M在对称轴上时，在抛物线上存在M3（，﹣4）使得四边形BMCQ为平行四边形；（4）由（1）得B（﹣，0），BD=2，DC=6，AB=2∵BC为圆的直径，∴△BDC是直角三角形，∴在Rt△BDC和Rt△PAB中当，△BDC∽△P1AB，∴AP1==6，∴P1（，6）当，△BDC∽△P2AB，∴AP2==2，∴P2（，2）根据对称性可得P3（，﹣6）．P4（，﹣2）．∴点P的坐标为P1（，6），P2（，2），P3（，﹣6）．P4（，﹣2）．8．已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．（1）求证：∠APO=∠BPO；（2）求证：EF是⊙O2的切线；（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M•O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．解：（1）连接O2F．∵O2P=O2F，O1P=O1B，∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP，∴∠O2FP=∠O1BP．∴O2F∥O1B，得∠OO2F=90°，∴∠OPB=∠OO2F=45°．又∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠APO=∠BPO=45°．（2）延长ED交⊙O1于点H，连接PE．∵BO为切线，∴BO2=BF•BP．又∵BE=BO，∴BE2=BF•BP．而∠PBE=∠EBF，∴△PBE∽△EBF，∴∠BEF=∠BPE，∴BE=BH，有AB⊥ED．又由（1）知O2F∥O1B，∴O2F⊥DE，∴EF为⊙O2的切线．（3）MN的长度不变．过N作⊙O3的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO1N=∠EO1D，且∠NMK=∠EDO1=90°，又∵NK=O1E，∴△NKM≌△EDO1，∴MN=ED．而OO1=4，OO2=3，∴O1O2=5，∴O1A=8．即AB=16，∵EF与圆O2相切，∴O2F⊥ED，则四边形OO2FD为矩形，∴O2F=OD，又圆O2的半径O2F=3，∴OD=3，∴AD=7，BD=9．ED2=AD•BD，∴ED=3．故MN的长度不会发生变化，其长度为．9．如图：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴，E为垂足，E点的横坐标为2．（1）求直线CD的解析式；（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当﹣6＜t＜2时，求y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．解：（1）如图，∵，∴当x=2时，y=4，∴D（2，4），把D（2，4）代入y=kx+8中，得4=2k+8，解得，k=﹣2，故直线CD的解析式为y=﹣2x+8；（2）∵P点的坐标为（t，0），∴Q点的坐标为（t，t+3），∵QM∥x轴，∴M点的纵坐标为t+3，∴M点的横坐标为﹣t+，∴y=﹣t+﹣t，即y=﹣t+；（3）由直线AB、CD的解析式得：OB=3OA=6OC=4∵D（2，4）∴CE=2DE=4如图1，tan∠BAO=tan∠CDE=∴∠BAO=∠CDE∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90°设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′∵PQM为直角三角形∴PM为直径设⊙O′与x轴交于H，MH⊥AC，四边形PQMH为矩形如图2，当⊙O′与直线CD相切时PM⊥CD∴∠ADC=∠PMC=90°∴PM∥AB又∵QM∥AC∴四边形AQMP为平行四边形∴AP=QM即：﹣t+=t+6得：t=﹣∵QA=MP=QH∴∠O′QD=2∠QAC∵∠QAC≠45°∴∠O′QD≠90°，过O′作O′N⊥AD于N则O′Q＞O′N∴⊙O′与直线AB相交∴此时⊙O′与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．如图3，当⊙O′与直线AB相切时，同理可得四边形QMCH为平行四边形，QM=CH=PH∴AP+2QM=10即t+6+2（﹣t+）=10解得：t=同理，过O′作O′T⊥CD于T，则O′Q=O′M＞OT∴此时⊙O′与直线CD相交，∴当t=时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点；若⊙O′经过点D，∵PM是直径，∴∠PDM=90°，∵﹣6＜t＜2∴PDM＜90°（不符合题意）∴⊙O′不经过点D，综上所述：t=或t=时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点．10．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．（1）求点C、D及点M的坐标；（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴点C、D的坐标是C（﹣1，0），D（4，0），=1.5，∴点M的坐标是（1.5，0），故答案为：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；（2）如图，连接AM，则AM=2.5，在Rt△AOM中，AO===2，∴点A的坐标是（0，2），∵PA与⊙M相切，∴AM⊥PA，∴∠MAO+∠PAO=90°，又∵∠AMO+∠MAO，∴∠AMO=∠PAO，在△AOM与△POA中，，∴△AOM∽△POA，∴=，即=，解得PA=；（3）存在．如图，连接AC、AD，∴∠CAD=90°，在△ACO与△DCA中，，∴△ACO∽△DCA，∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似，此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c，则，解得，∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．11．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：①反向延长射线OM；②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；③连接CB；④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．解：（1）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵BD=CD，∴AB=AC；（2）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠B＜∠ADB=90°∠C＜∠ADB=90°∴∠B、∠C为锐角，∵AC和⊙O交于点F，连接BF，∴∠A＜∠BFC=90°∴△ABC为锐角三角形；①∵∠AOF=∠OCB又∵∠BOA=2∠OCB∴∠AOF=∠BOF∴OP为∠BOA的角平分线②∵∠MON=60°∴△AOB为正三角形∵OP平分∠MON∴AE=BE=AB∵OP平分∠BOD∴∠BOF=30°又∵AF与⊙O相切∴AF⊥AO∵AO=5∴AB=AO=5∴AE=．12．已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．（1）当m=4时，①填空：B的坐标为（4，﹣2），C的坐标为（4，﹣8），D的坐标为（0，﹣6）；②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）①B（4，﹣2）C（4，﹣8）D（0，﹣6）②设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣2，已知抛物线过D点，因此﹣6=a（x﹣4）2﹣2，解得a=﹣．抛物线的函数关系式为：y=﹣（x﹣4）2﹣2．根据对称可知：E（8，﹣6）③直线AD：y=2x﹣6，把y=2x﹣6代入y=﹣（x﹣4）2﹣2，整理得：x2=0，得x1=x2=0∴除D点外，直线AD与②中的抛物线无其它公共点．（2）设A（m，h），则B的坐标为（m，﹣h），C的坐标为（m，h﹣10）．假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，设DE与BC相交于点F，于是BF=CF=AB．∴10﹣3h=h，即h=∴AB=5∴B、P两点重合∴OB=m===．13．已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？解：（1）连接OD，DF．∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴OD=OF=t，AD=OA•cosA=．又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=．∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG与△DEG相似．∵∠B=∠GED=90°，①当∠EGD=30°，CE=2BE=2（6﹣）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t，∵△BEG∽△DEC，∴=，∴=，t=；②当∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG=t．在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6，∴CD=12﹣．∵DG∥AB，∴解得t=．答：当t为或时，△BEG与△EGD相似；（2）∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．在Rt△BC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6，BE=6﹣t．Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE•tan60°=18﹣t．当0≤18﹣t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上；当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上；（3）过点D作DM⊥AB于M．在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t．∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=36﹣t2﹣27t=﹣（t﹣）2+（＜t＜4）．所以当t=时，s取得最大值，最大值为．14．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒．（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切？（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由．解：（1）作BM⊥AD于M；∵B（6，），∴DM=6，BM=；∵A（8，0），∴AM=8﹣6=2，∴AB==4，∴P点到达终点的时间为：t=（BC+AB）÷2=5秒，此时Q在距A点5个单位处，∴P点先到达，此时t=5秒；（2）∵由（1）可知∠BAM=30°；∵AP：AQ=2：1，∴PQ∥BM，∴△PMA为直角三角形；∵AB=4，∴PQ=t，AP=2t，BP=4﹣2t，∴t±1=4﹣2t，（5分）t=3（2﹣）（7分）或t=5（2﹣）；（8分）（3）t=时，以PQ为直径的圆能与CD相切，（9分）设PQ的中点为M，过M作MN⊥y轴于N，过P点作PH⊥x轴于H；依题意得：CP+OQ=2MN10﹣2t+8﹣t=PQ即（18﹣3t）2=PQ2=（2）2+[（8﹣t）﹣（10﹣2t）]2，化简得：2t2﹣26t+77=0，（10分）t=或，又t≤5，故取t=．（12分）15．如图，已知抛物线m的解析式为y=x2﹣4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．（1）求证：点D一定在抛物线n上．（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．（1）证明：设n的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵n与x轴的交点为A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，﹣4），m与n关于x轴对称，∴m过A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），∴∴a=﹣1，b=0，c=4，即n的解析式为y=﹣x2+4，设点B（m，n）为m：y=x2﹣4上任意一点，则n=m2﹣4，∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，∴B、D关于原点O对称，∴点D的坐标为D（﹣m，﹣n）．由式方程式可知，﹣n=﹣（m2﹣4）=﹣（﹣m）2+4，即点D的坐标满足y=﹣x2+4，∴点D在n上．（2）解：▱ABCD能为矩形．过点B作BH⊥x轴于H，由点B在m：y=x2﹣4上，可设点B的坐标为（x0，x02﹣4），则OH=|x0|，BH=|x02﹣4|．易知，当且仅当BO=AO=2时，▱ABCD为矩形．在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02﹣4|2=22，（x02﹣4）（x02﹣3）=0，∴x0=±2（舍去）、x0=±．（7分）所以，当点B坐标为B（，﹣1）或B′（﹣，﹣1）时，▱ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D（﹣，1）、D′（，1）．因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．（3）解：设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，∴=，∴．∴EO=4﹣2．由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为S=2S△ACE=2××AC×EO=2××4×（4﹣2）=16﹣8．16．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．（1）求s与t的函数关系式；（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，得AP=3t，CQ=t．∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），OB的中点C，∴OP=OA﹣AP=10﹣3t，OQ=OC﹣CQ=OB﹣CQ=×10﹣t=5﹣t，∴S四边形APQB=S△OAB﹣S△OPQ=OA•OB﹣OP•OQ=×10×10﹣（10﹣3t）（5﹣t），∴S四边形APQB=．（2）当⊙P和⊙Q外切时，PQ=4+1=5．在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2，∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=25，∴t=2或t=5（舍去），当t=2时，s==44，当⊙P和⊙Q外切时，s=44．（3）在运动的过程中，存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切．当⊙P和⊙Q内切时，PQ=4﹣1=3．在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2，∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=9，解得t=，∴点P的坐标为（0，）．17．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3（1分）将A（﹣1，0）代入：0=a（﹣1﹣1）2﹣3，解得a=（2分）所以，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣x﹣（3分）（2）是定值，=1（4分）∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE，∴△APM∽△ABE，所以①同理：②（5分）①+②：（6分）（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB，∴EA=EB，∵∠AEB=90°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）如图，过点P作PH⊥BE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．∴PH=ME且PH∥ME．在△APM和△PBH中，∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°，∴PH=BH，且△APM∽△PBH，∴，∴①（8分）在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°，∵∠MEP+∠SEG=90°，∴∠FGE=∠MEP，∵∠PME=∠FEG=90°，∴△MEP∽△EGF，∴②由①、②知：（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）18．请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．∴Q与A重合，R与C重合．∵OP=1，AC=4，∴+=1+=．（2）连接OA，∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，∴∠OAP=30°．∴AP=．∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，∴OA∥PQ，∠PQA=90°．∴∠APQ=∠OAP=30°．∴AP=．∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，∴OA∥PQ，∠PQA=90°．∴∠APQ=∠OAP=30°．在Rt△AQP中，PQ=，同理，PR=，∴．（3）猜想．证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，∴∠ECA=90°．∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，∴AE∥PQ且∠PQA=90°．∴∠EAC=∠APQ．∴△AEC∽△PAQ．∴①同理可得：②①+②，得：+=+∴=（）=•=．过P作直径交⊙O于M，N，根据阅读材料可知：AP•PC=PM•PN=3，∴=．19．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．求证：AC2=AG•AF．（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF•GA=GH•GC．请你帮李明给出证明．（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．（1）证明：延长CG交⊙O于H，∵CD⊥AB，∴AB平分CH，弧CA=弧AH，∴∠ACH=∠AFC，又∠CAG=∠FAC，∴△AGC∽△ACF，∴=，即AC2=AG•AF．（2）证明：∵CH⊥AB，∴弧AC=弧AH，∴∠AFC=∠ACG又∠AFC=∠GFH，∴∠ACG=∠GFH，又∠G=∠G，∴△GFH∽△GCA，∴=，∴GF•GA=GC•CH．（3）答：CD2=AD•DB，AC2=AD•AB；EF•EC=EA•EB，AF•GA=AD•AB．20．如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？解：（1）可知四边形APDQ为平行四边形证明：由题知△ABC≌△DEF且△ABC△DEF为等边三角形∴∠BAC=∠EDF=60°又∵EF∥BC，MN∥BC∴EF∥BC∥MN∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°∴△DQN为等边三角形∴∠DQN=∠PDQ=60°，∴PD∥AQ∴∠BAC=∠DQN=60°，∴AP∥DQ∴四边形APDQ为平行四边形．（2）y=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+a2∴当x取时，即D点位于MN的中点位置时，四边形APDQ的面积最大，且最大值为a2．（3）当D点和圆心O重合时，四边形APDQ为菱形，理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON为等边三角形，且MO=ON，所以△MPQ≌△QON．因此OP=OQ，又因为四边形APDQ为平行四边形．所以可知四边形APDQ为菱形，由题可知，S△ABC=a2，而由（2）知S四边形APDQ=a2∴，∴S四边形APDQ=S△ABC．21．如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）（1）点E的坐标是（0，）；（2）三角形ABE的面积是；（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？解：（1）对于y=x=2，令x=0，则y=2；令y=0，则x+2=0，解得x=﹣2∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），∵正方形OBCD是OB为边长的正方形，∴O1的坐标为（1，1）设直线O1A的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），O1（1，1）分别代入得，解得，∴直线O1A的解析式为y=x+，令x=0，则y=，∴点E坐标为（0，）；（2）S△ABE=BE•OA=×（2﹣）×2=；故答案为（0，）；；（3）存在．理由如下：∵OA=OB=2，AD=4，∴△OAB为等腰直角三角形，则AB=OB=2，∵动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动，而Q点运动在线段AD上时，∴0≤t≤2，此时点P在AB上，过点P作PF⊥AD于点F，如图，∵S△APQ：S△ABE=3：4，∴S△APQ=S△ABE=×=1，∵AP=t，∴PF=AP=t，而AQ=2t，∴S△APQ=AQ•PF=×2t×t=1，∴t=1，∴AQ=2t=2×1=2，PF=1，∵AO=2，∴点Q与点O重合，即点Q的坐标为（0，0），OF=1，∴点P坐标为（﹣1，1）设直线PQ的解析式为y=mx，把P（﹣1，1）代入得1=﹣m，即m=﹣1，∴直线PQ的解析式是y=﹣x．22．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．（1）若PC=PD，求PB的长．（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．解：（1）∵PC切⊙A点于C，∴PC⊥AC，PC2=PA2﹣AC2，同理PD2=PB2﹣BD2，∵PC=PD，∴PA2﹣AC2=PB2﹣BD2设PB=x，PA=4﹣x代入得x2﹣12=（4﹣x）2﹣22，解得x=，1＜＜2，即PB的长为（PA长为＞2），（2）假定存在一点P使PC2+PD2=4，设PB=x，则PD2=x2﹣1PC2=（4﹣x）2﹣22，代入条件得（4﹣x）2﹣22+x2﹣1=4，代简得2x2﹣8x+7=0解得x=2±，∵P在两圆间的圆外部分，∴1＜PB＜2即1＜x＜2，∴满足条件的P点只有一个，这时PB=2﹣，（3）当PC：PD=2：1或PB=时，也有△PCA∽△PDB，这时，在△PCA与△PDB中或，∠C=∠D=90°，∴△PCA∽△PDB，∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延长线上），∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等，∵⊙B与PD相切，∴⊙B也与CP的延长线PE相切．23．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式；（2）求点A及点C的坐标；（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．解：（1）令y=0，则x2+bx+c=0，即x2+2bx+2c=0，根据根与系数的关系，x1+x2=﹣2b，x1•x2=2c，AD===1，整理得，4b2﹣8c﹣1=0①，又∵点B（4，1）在抛物线上，∴8+4b+c=1，整理得，c=﹣4b﹣7②，把②代入①得，4b2+32b+55=0，解得b1=﹣，b2=﹣，由图可知，抛物线x=﹣＜4，所以，b＞﹣4，∴b=﹣，把b=﹣代入②得，c=﹣4×（﹣）﹣7=10﹣7=3，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3；（2）令x=0，则x2﹣x+3=0，整理得，x2﹣5x+6=0，解得x1=3，x2=2，∵点A在点D的右边，∴点A的坐标为（3，0），令x=0，则y=3，所以，点C的坐标为（0，3）；（3）假设存在，分两种情况：如图1，①过点B作BH⊥x轴于点H，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△ABC是直角三角形，点C（0，3）符合条件，所以，P1（0，3）；②当∠ABP=90°时，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，∵A（3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，设直线BP的解析式为y=﹣x+b，则﹣4+b=1，解得b=5，∴直线BP：y=﹣x+5，联立，解得，，又∵点B（4，1），∴点P的坐标为（﹣1，6），综上所述，存在点P1（0，3），P2（﹣1，6）；（4）如图2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，∴∠OEF=∠OFE=45°，∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，∵点E在直线AC上：y=﹣x+3，∴设点E（x，﹣x+3），根据勾股定理，OE2=x2+（﹣x+3）2，=2x2﹣6x+9，所以，S△OEF=OE•OF=OE2=x2﹣3x+=（x﹣）2+，所以，当x=时，S△OEF取最小值，此时﹣x+3=﹣+3=，所以，点E的坐标（，）．24．关于图形变化的探讨：（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对