四川省遂宁市射洪中学2023-2024学年高二下学期第一次半月考数学试题

射洪中学高2022级文科班高二下期第一次半月考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的（）A.最小值为0，最大值为B.最小值为0，最大值为C.最小值为，最大值为D.最小值为0，最大值为2【答案】B【解析】【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.【详解】，所以在区间上单调递增，因此的最小值为，最大值为.故选：B2.已知，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义可得答案.【详解】.故选：D3.已知数列、都是等差数列，、分别是它们的前项和，并且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的求和公式得出，利用等差数列下标和的性质可得出，即可得出结果.【详解】由等差数列前项和公式得，由等差数列的基本性质得.故选：C.【点睛】本题考查两个等差数列项之和的比值，灵活利用等差数列的前项和公式以及等差数列性质求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.4.在等比数列中，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由下标和性质求出，再由下标和性质计算可得.【详解】由，得，则.故选：B5.若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.【详解】，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最值，则有，解得.故选：C.6.若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在上有解即可得出结果.【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．7.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解.【详解】由函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故选：C.8.已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（）A.32 B.33 C.44 D.45【答案】C【解析】【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求，运算求解即可.【详解】当为偶数时，，令，且n为偶数，解得，故n的最大值为44；当为奇数时，，令，且为奇数，解得，故n的最大值为43；综上所述：n的最大值为44.故选：C.【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项：1.适用条件：数列中出现等形式时，常用利用并项求和求；2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理.二､多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数共有两个极小值点【答案】BCD【解析】【分析】利用导函数的图象，根据导数的符号判断单调性，根据极值和极值点的概念可得答案.【详解】当时，，当时，，所以函数在上先减后增，故A错误；当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数在处取得极大值，故C正确；因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，则函数共有两个极小值点，故D正确.故选：BCD10.下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得.【详解】对于A：，则，故A正确；对于B：，则，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：，则，故D错误；故选：ABC11.已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中正确的是（）A.B.C.成等比数列D.“”是“成等差数列”的充要条件【答案】ABD【解析】【分析】对A、B、D，结合与的关系，将与互相转化计算即可得；对C，举出反例当时其不成立即可得.【详解】对A：，故A正确；对B：，故B正确；对C：当时，有，等比数列不能有项为，故C错误；对D：当时，，故由“”可得“成等差数列”，当成等差数列时，可得，即有，即，可得，即由“成等差数列”可得“”，故“”是“成等差数列”的充要条件，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则的最小值为D.若方程有两个实根，则【答案】BD【解析】【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.【详解】定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，，，，在区间和内各存在一个零点；当时，，，恒成立；有且仅有两个不同的零点，A错误；对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，若当时，，则，C错误；对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，作出图象如下图所示，结合图象可知：，D正确.故选：BD.第II卷（非选择题）三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列满足，若，则__________.【答案】##【解析】【分析】由题意可得数列等比数列，得到首项与公式后借助等比数列前项和公式计算即可得.【详解】由，且，故数列为首项为的等比数列，设其公比为，则，即，故.故答案为：.14.已知函数在处取得极值5，则__________.【答案】【解析】【分析】由极值及极值点的定义可得、，计算即可得.【详解】，则有，解得，，解得，故.故答案为：.15.函数，则__________.【答案】【解析】【分析】由计算可得，则有，计算即可得解.【详解】，故，则，故.故答案为：.16.若点，则两点间距离最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】由题意可得点在直线上，点在曲线上，在曲线上找到与直线平行的切线，则该切线与直线的距离即为的最小值.【详解】点在直线上，点在曲线上，即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，过上的点作的切线，可得，令，可得，故该切线为，则直线与的距离即为的最小值，此时，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于观察出点在直线上，点在曲线上，则可借助求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值得到的最小值.四､解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求函数单调区间；（2）求在上的最值.【答案】（1）函数递增区间为和，递减区间为（2）最大值，最小值．【解析】【分析】（1）根据f(x)导数的正负即可求其单调区间；（2）根据f(x)在上的单调性即可求其最值．【小问1详解】函数，．当或时，；当，故函数递增区间为和，递减区间为.【小问2详解】由(1)可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，，则在上的最大值，最小值．18.已知函数，在点处的切线方程是.（1）求的值；（2）设函数，若函数只有1个零点，求的取值范围.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助导数研究函数的单调性后计算即可得.【小问1详解】，则，，解方程组，可得，即，；【小问2详解】由，，故，，，故当或时，，当时，，即在、上单调递增，在上单调递减，又，，若函数只有1个零点，则有或，即或.19.记数列的前项和.（1）证明：为等差数列；（2）若数列的前项和，证明.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得；（2）求出数列的通项公式后借助裂项相消法可求出，结合数列的单调性即可得证.【小问1详解】当时，，则，故，即，当时，有，即，故数列是公差、首项均为2的等差数列；【小问2详解】由数列是公差、首项均为2的等差数列，故，故，则，故，又在时单调递减，故随的增大而增大，故，即有.20.函数.（1）若函数在区间上单调递增，求取值范围；（2）当时，讨论函数在区间上的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，求出，即可求出参数的取值范围；（2）首先利用导数求出函数在定义域上的单调性，再分、两种情况讨论，即可得到函数在区间上的单调性.【小问1详解】因为，则，依题意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以，即的取值范围为.【小问2详解】当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时在区间上单调递减，当时在区间上单调递减，在上单调递增.21.数列，满足，且，数列是公差为的等差数列.（1）求；（2）求的前项和为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，即可得到的通项公式，即可得到，即，再由作差法计算可得；（2）利用错位相减法计算可得.【小问1详解】因为，且，所以，所以，又数列是公差为的等差数列，所以，即可，所以，当时，所以，所以（），经检验当时也成立，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以，所以，所以.22.已知函数