弯曲的强度和刚度计算-梁横截面上的正应力（建筑力学）

弯曲的强度和刚度计算弯曲的强度和刚度计算

一般情况下，梁的横截面上既有剪力Ｑ又有弯矩Ｍ。由图6-1可知，梁横截面上的剪力Ｑ应由截面上的微内力τ·ｄＡ组成；而弯矩Ｍ应由微内力σ·ｄＡ对ｚ轴之矩组成。因此，当梁的横截面上同时有弯矩和剪力时，横截面上各点也就同时有正应力σ和剪应力τ。本项目主要研究等直梁在平面弯曲时，其横截面上这两种应力的分布规律、计算公式及相应的强度和刚度计算。

平面弯曲时，如果某段梁各横截面上只有弯矩而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。如果某段梁各横截面不仅有弯矩而且还有剪力，此段梁在发生弯曲变形的同时，还伴有剪切变形，这种平面弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。下面以矩形截面梁为例，研究纯弯曲梁横截面上的正应力。一、实验观察与分析与圆轴扭转一样，梁纯弯曲时其正应力在横截面上的分布规律不能直接观察到，需要先研究梁的变形情况。通过对变形的观察、分析，找出它的分布规律，在此基础上进一步找出应力的分布规律。

梁横截面上的正应力

矩形截面模型梁如图6-2(ａ)所示，实验前在其表面画一些与梁轴平行的纵线和与纵线垂直的横线。然后，在梁的两端施加一对力偶，梁将发生纯弯曲变形，如图6-2(ｂ)所示。这时将观察到如下的一些现象：①所有纵线都弯成曲线，靠近底面(凸边)的纵线伸长了，而靠近顶面(凹边)的纵线缩短了；②所有横线仍保持为直线，只是相互倾斜了一个角度，但仍与弯曲的纵线垂直；③矩形截面的上部变宽，下部变窄。根据上面所观察到的现象，推测梁的内部变形，可作出如下的假设和推断：(1)平面假设。在纯弯曲时，梁的横截面在梁弯曲后仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。(2)单向受力假设。将梁看成由无数根纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。由平面假设可知，梁变形后各横截面仍保持与纵线正交，所以剪应变为零。由应力与应变的相应关系知，纯弯曲梁横截面上无剪应力存在。上部的纵线缩短，截面变宽，表示上部各根纤维受压缩；下部的纵线伸长，截面变窄，表示下部各根纤维受拉伸。从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变化中，中间必有一层长度不变的过渡层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，见图6-2(ｃ)。中性轴将横截面分为受压和受拉两个区域。

弯曲的强度和刚度计算三、正应力公式的使用条件(1)由正应力计算公式的推导过程知，它的适用条件是：①纯弯曲梁；②梁的最大正应力不超过材料的比例极限。(2)横力弯曲是平面弯曲中最常见的情况。在这种情况下，梁横截面上不仅有正应力，而且有剪应力。梁受载后，横截面将发生翘曲，平面假设不成立。但当梁跨度与横截面高度之比ｌ/ｈ大于5时，剪应力的存在对正应力的影响甚小，可以忽略不计。所以，式(6-1)在一般情况下也可用于横力弯曲时横截面正应力的计算。(3)式(6-1)虽然是由矩形截面推导出来的，但对于横截面为其他对称形状的梁，如圆形、圆环形、工字形和Ｔ形截面等，在发生平面弯曲时，均适用。【例6-1】简支梁受均布荷载q作用，如图6-7所示。试求：①截面D上a、b、c三点处正应力；②此截面上的最大正应力σmax；③画出截面D上的正应力分布图。

解：（1）作梁受力图,求支座约束力。取整个梁为对象，作受力图,如图6-7(b)所示。由平衡方程求得支座约束力为

FA=FB=5.25(kN)（2）求截面D的弯矩。M=FA×1－q×1×1/2=5.25×1－3.5×1×1/2=3.5(kN·m)（3）计算截面D上a、b、c三点的正应力。截面对中性轴的惯性矩为Iz=bh3/12=1/12×120×1803=58.3×106(mm4)a、b、c三点的坐标分别为ya=－70(mm),yb=0,yc=50(mm)由公式求三点处的正应力分别为σa=Mya/Iz=3.5×106×(－70)/58.3×106=－4.2(MPa)σb=Myb/Iz=3.5×106×0/58.3×106=0σc=Myc/Iz=3.5×106×50/58.3×106=3(MPa)（4）计算截面D上的最大正应力。梁截面是以中性轴为对称轴，所以最大拉应力值等于最大压应力值。因截面D处为正弯矩，所以梁截面上部边缘为最大压应力位置，下边缘为最大拉应力位置。抗弯截面系数为Wz=bh2/6=1/6×120×1802=6.48×105(mm3)由公式求最大正应力，即σmax=M/Wz=3.5×106/6.48×105=5.4(MPa)（5）画截面D上弯曲正应力分布图。截面D上弯曲正应力分布图如图6-7(c)所示。

弯曲的强度和刚度计算二、正应力计算公式纯弯曲梁横截面上任一点处正应力的计算公式为：σ＝Ｍｚｙ/Ｉｚ(6-1)式(6-1)表明：梁横截面上任一点的正应力σ与该截面上的弯矩Ｍｚ和该点到中性轴ｚ的距离ｙ