截面的几何性质-面积矩（建筑力学）

截面的几何性质截面的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形，与截面的几何性质有关。所谓截面的几何性质是指与构件截面形状和尺寸有关的几何量。如在拉（压）杆应力、变形和强度计算中遇到的截面面积Ａ，就是反映截面几何性质的一个量。在下面讨论扭转和弯曲的强度和刚度计算时，还将用到另外一些几何性质。本项目集中介绍这些几何性质的定义和计算方法。一、面积矩的定义图5-1为一任意截面的几何图形（以下简称图形）。在图形平面内选取直角坐标系如图5-1所示。在图形内任取一微面积dＡ，图5-1其坐标为（ｙ，ｚ）。将乘积ｙdＡ和ｚdＡ分别称为微面积dＡ对ｚ轴和ｙ轴的面积矩或静矩，而把积分∫ＡｙdＡ和∫ＡｚdＡ分别定义为该图形对ｚ轴

面积矩和ｙ轴的面积矩或静矩，用符号Sｚ和Sｙ来表示，即：Sｚ＝∫ＡｙdＡ

Sｙ＝∫ＡｚdＡ由面积矩的定义可知，面积矩是对一定的轴而言的，同一平面图形对不同的轴，面积矩不同。面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其单位为m3或mm3。（5-1）

截面的几何性质二、面积矩与形心将式（5-1）代入平面图形的形心坐标公式（4-7），得ｙｃ＝SｚＡｚｃ＝SｙＡ或改写为Sｚ＝Ａ·ｙｃSｙ＝Ａ·ｚｃ面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。当图形对ｙ、ｚ轴的面积矩已知时，可用式（5-2）求图形形心坐（5-2）（5-3）标；反之，若已知图形形心坐标，即可根据式（5-3）计算图形对ｙ、ｚ轴的面积矩。图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，则该轴一定通过图形形心。三、组合截面面积矩的计算工程结构中有些构件的截面是由几个简单图形组成的，如工字形、T形和槽形等。这类截面称为组合截面。由面积矩的定义可知，组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和，即Sｚ＝∑Sｚi＝∑ＡiｙiSｙ＝∑Sｙi＝∑Ａiｚi式中，Ａi和ｙi、ｚi分别为各简单图形的面积和形心坐标。（5-4）

截面的几何性质标；反之，若已知图形形心坐标，即可根据式（5-3）计算图形对ｙ、ｚ轴的面积矩。图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，则该轴一定通过图形形心。三、组合截面面积矩的计算工程结构中有些构件的截面是由几个简单图形组成的，如工字形、T形和槽形等。这类截面称为组合截面。由面积矩的定义可知，组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和，即Sｚ＝∑Sｚi＝∑ＡiｙiSｙ＝∑Sｙi＝∑Ａiｚi式中，Ａi和ｙi、ｚi分别为各简单图形的面积和形心坐标。（5-4）【例5-1】T形截面如图5-2所示，图中各部分尺寸单位为m。试求阴影部分面积对通过形心且与对称轴ｙ垂直的ｚ0轴的面积矩。解：因T形截面形心位置未知，故应首先确定形心位置，然后根据组合截面面积矩的计算公式，计算阴影部分对ｚ0轴的面积矩。（1）求T形截面形心位置。取正交参考坐标轴ｙ、ｚ，因ｙ轴为对称轴，所以ｚｃ＝0，只须计算ｙｃ值。将图形分成形心分别为ｃ1和ｃ2的两个矩形，它们的面积和形心ｙ坐标为Ａ1＝0.6×0.12＝0.072（m2）Ａ2＝0.2×0.4＝0.08（m2）ｙ1＝0.06mｙ2＝0.12＋0.2＝0.32（m）

由式（4-12）得ｙｃ＝∑Ａiｙi/Ａ＝（Ａ1ｙ1＋Ａ2ｙ2）/（Ａ1＋Ａ2）＝（0.072×0.06＋0.08×0.32）/（0.072＋0.08）＝0.197（m）（2）计算阴影部分面积对ｚ0轴的面积矩。将阴影部分图形分成形心分别为ｃ1和ｃ3的两个矩形，应用式（5-4）计算面积矩时，应注意式中ｙi为各部分面积的形心在ｙOｚ0正交坐标系下的坐标Ａ1＝0.072m2Ａ3＝0.2×（0.197－0.12）＝0.0154（m2）ｙ1＝－（0.197－0.06）＝－0.137（m）ｙ3＝