结构的内力、位移及影响线计算-影响线（建筑力学）

20.4间接荷载作用下的影响线20.4间接荷载作用下的影响线在前几节的讨论中,我们都假定荷载直接作用在结构上，但在实际工程中,不少结构是通过结点间接地承受荷载的作用的。例如在图(a)所示的桥面支承体系中,桥面荷载通过纵梁下的横梁传递到主梁。纵梁是一系列简支梁,横梁是纵梁的支座,而它们本身又是由主梁AB支承的。20.4间接荷载作用下的影响线对主梁而言，横梁相当于结点。不管纵梁上的荷载如何变化，主梁所受的荷载的位置（结点）是不变的。在房屋结构中，作用于楼面上的荷载通过楼板下的次梁传递给主梁，也属于这种情况。主梁所受的这种荷载称为间接荷载，或结点荷载。下面根据机动法的原理，以主梁上面F截面的内力为例，研究间接荷载作用下的影响线的作法。20.4间接荷载作用下的影响线为了清楚地表示机构位移的几何关系,我们将图(a)所示的结构体系用图(b)的计算简图来代替。先看MF的影响线。将主梁在截面处截断后加上一个铰,使所得机构在MF的方向上发生单位虚位移,如图(b)中的虚线所示。20.4间接荷载作用下的影响线由机动法的原理可知,如果荷载直接作用于主梁,则MF的影响线（直接荷载）就是以AB为基线的折线AF

B；而现在荷载作用于纵梁，所以MF的影响线（结点荷载）是以ab为基线的折线ac

d

e

b。20.4间接荷载作用下的影响线由图示几何关系可知，间接荷载作用下的影响线有以下两个特点：（1）间接荷载作用下的影响线在相邻结点之间为直线。（2）间接荷载作用下的影响线和直接荷载作用下的影响线在结点处的纵标相等。20.4间接荷载作用下的影响线根据上述两个特点，可按以下方法作间接荷载作用下的影响线：（l）作直接荷载作用下的影响线。（2）将各结点投影到所得的影响线上，再在相邻的投影点之间连以直线，就得到间接荷载作用下的影响线。上述第(2)步可以看成是对直接荷载作用下的影响线的一种“修饰”：如果在相邻结点之间影响线不是直线，就将它“修饰”成直线。20.4间接荷载作用下的影响线按照以上方法，作结点荷载作用下MF的影响线，如图(c)所示。其中虚线代表“修饰”后被取代的部分。同理可作结点荷载作用下FSF的影响线，如图(d)所示。20.4间接荷载作用下的影响线由图(d)可以看出，无论F在结点D和E之间的什么位置，FSF的影响线都是相同的。两个相邻结点之间的梁段称为一个节间。在间接荷载的情况下，同一节间各个截面的剪力相同，称为节间剪力。因此FSF也可以用FSDE表示，FSF的影响线就是FSDE的影响线。20.4间接荷载作用下的影响线20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图一、简支梁的绝对最大弯矩1．简支梁的绝对最大弯矩的概念

在给定的移动荷载作用下，简支梁每个截面的弯矩都会有一个最大值。这些最大值是截面位置的函数，将每个截面弯矩的最大值再进行比较，其中的最大值(“即最大值中的最大值”)称为简支梁的绝对最大弯矩。绝对最大弯矩就是梁在给定移动荷载下所可能发生的最大弯矩，它对简支梁的设计是十分重要的。20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图2．简支梁的绝对最大弯矩的计算

从简支梁的绝对最大弯矩的概念可知，简支梁的绝对最大弯矩是简支梁每个截面的弯矩最大值中的某一个，因此，该值首先必须是某截面的弯矩最大值。根据上节的结论，不难判断，当移动荷载是一个集中力时，必须将该荷载移动到简支梁的中点，使简支梁产生

当移动荷载是分布长度不定、可在结构上任意布置的均布荷载时，则当将均布荷载布满简支梁时，使简支梁产生

如果移动荷载是一组大小和间距都不变的平行集中力，则绝对最大弯矩必然发生在某个集中力作用下的截面。问题是这个集中力是哪一个？将该力移动到什么位置会产生简支梁的绝对最大弯矩？通过大量分析计算表明，简支梁的绝对最大弯矩总是发生于梁的中点附近，因此只有那些在梁的中点引起最大弯矩的荷载，在其作用下的截面才会产生绝对最大弯矩。20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图如图所示，设移动荷载为一组大小和间距都不变的平行集中力，力系中的某个力FK能使梁的中点引起最大弯矩。求出力系的合力FR，FR距离FK为a，移动荷载使FK距离支座A为x，由平衡方程∑MB=0，得支座A处的反力为：FK作用点处的弯矩为：式中∑M左为

FK以左的梁上荷载对FK作用点之矩的代数和。由于荷载间距保持不变，故∑M左是与x无关的常数。为求M的极值，可令

（20—6）20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图上式表明，当所确定的临界荷载FK与梁上荷载的合力FR对称于梁跨中点的位置时，FK作用截面上的弯矩达到最大值。最大值为

（20—7）

对每个能使梁中点产生最大弯矩移动集中荷载，都按以上的方法进行考察，即先求出梁上各力的合力FR，再计算出合力FR与所考察的力FK之间的距离a，由式(20—7)计算相应的Mmax

，从中选出最大的值即为绝对最大弯矩。20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图因此，计算简支梁的绝对最大弯矩可按如下的步骤进行：（1）用上一节所述临界荷载的判定方法，求出使梁跨中截面产生最大弯矩的临界荷载FK。（2）使FK与梁上全部荷载的合力FR对称于梁的中点布置。（3）计算该荷载位置时FK作用截面上的弯矩，即为绝对最大弯矩。

还应当注意，FR是梁上实有荷载的合力。在安排FR与FK的位置对荷载进移动时，可能会有荷载离开梁，此时需要重新计算合力FR的数值和位置。而移动荷载的合力FR作用线的位置，可根据合力矩定理来确定。例20-4简支梁受吊车荷载作用如图(a)所示，试求其绝对最大弯矩。20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图解：（1）判断使梁跨中截面

C上产生最大弯矩的临界荷载。按临界荷载判别式（20-4），试算轮2上F=30kN的荷载，有20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图（2）求移动荷载的合力及其作用位置

FR

=30+30+20+10+10=100kN设合力FR距临界荷载FK（即F2）之距离为a，根据合力矩定理，将各力对轮2压力F2作用点取矩，可得：

－FR·a＝－20×2－10×４－10×6＋30×2＝－80kN

m∴

a=0.8m合力FR在临界荷载FK（即F2）的右侧，如图（b）。（3）将荷载移动到图（b）所示位置，使临界荷载FK（即F2）与合力FR对称地放置在梁中点的两侧。此时轮2作用力F2离支座A的距离为20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图绝对最大弯矩发生在轮2作用下的截面上。根据公式(20-7)，绝对最大弯矩为20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图二、简支梁的内力包络图1．简支梁的内力包络图的概念

在设计承受移动荷载的结构时，必须求出每一截面上内力的最大值（最大正值和最大负值）,连接各截面上内力最大值的曲线称为内力包络图，可以分为弯矩包络图和剪力包络图。内力包络图反映了各个截面上内力的上下极限，是结构设计中重要的资料，在吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁的设计中都要用到。20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图2．简支梁的内力包络图的求作

在某些较简单的情况下，可以求得量值Smax(x)和Smin(x)的数学表达式，因而不难作出

S

的包络图。如图(a)所示，如果梁的自重恒荷载不计，活荷载为单个移动集中力F时，不难得出简支梁与左支座距离为

x

的截面C，当F作用于C点时，得最大弯矩为

，而最大剪力为

；当F作用于支座结点时，最小弯矩为Mmin=0；当F作用于C点左侧时，最小剪力为

。因此梁的弯矩包络图为一条直线（等于0）和一条二次抛物线，剪力包络图为两条平行直线，如图(b)、(c)所示。如图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图

但是在大多数情况下，要求得

Smax(x)和

Smin(x)的数学表达式是比较困难的，通常的做法是将梁按跨度等分为若干段，对每一个等分点求出量值

S

的最大值和最小值，再用描点法用光滑的曲线得到量值

S的包络图。例20-5简支梁受移动的吊车荷载作用如图(a)所示，已知F1=

F2=

F3=

F4=82kN，作其内力包络图。解：先作弯矩包络图（1）将梁按跨度分成十等分，每等分的长度为1.2m；（2）依次绘出这些分点截面上的弯矩影响线并确定相应的最不利荷载位置，利用影响线求出各自的最大弯矩（过程略）；（3）按照上节的内容介绍，求出梁的绝对最大弯矩（临界荷载F2）FR

=82×4=328kN，a=0.75m，20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图（4）将上面各等分点的最大弯矩以及绝对最大弯矩都用竖标表示，并连成光滑曲线，就得到该梁的弯矩包络图，如图(b)所示。20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图

其次作剪力包络图，仍将梁按跨度分成10等分，依次绘出这些等分点截面上的剪力影响线并确定相应的最不利荷载位置，利用影响线求出各自的最大正剪力和最大负剪力（过程略）。将它们都用竖标表示，并连成光滑曲线，就得到该梁的剪力包络图，如图(c)所示。20.6简支梁的绝对最大弯矩与内力包络图

在工程上，考虑到剪力为次要内力，所以其包络图可以近似画出，即只求出两个端截面的最大正剪力与最大负剪力，直接用直线相连，得到近似剪力包络图，如图（d）所示。20.7连续梁的影响线与内力包络图20.7连续梁的影响线与内力包络图一、连续梁的影响线

前面各节在静定结构的范围内介绍了影响线的概念、作法及其应用，本节简单讨论连续梁的影响线和内力包络图的作法问题。连续梁属于超静定结构，其内力或反力的影响线与静定结构的影响线相比有明显的不同，静定结构的影响线一般为直线或折线，而连续梁的影响线一般为曲线。因此，要定量地作出连续梁的影响线是比较困难的，但有时我们并不需要准确地知道连续梁影响线各点的纵标，而只需要定性地掌握影响线的大致形状，用来确定最不利荷载位置，所以不必求出影响线竖标的数值。因此，对于连续梁的影响线，通常采用机动法绘制影响线的轮廓。20.7连续梁的影响线与内力包络图20.7连续梁的影响线与内力包络图

以图(a)所示的连续梁为例。如果要作反力FRB的影响线，首先撤除与FRB相应的约束，得到图(b)所示的超静定次数降低一次的梁；其次，使该梁在FRB的正方向上发生单位虚位移。

分别设图(a)和图(b)分别为“状态1”和“状态2”，则根据功的互等定理，状态l的荷载和反力在状态2的相应虚位移上所做的外力虚功，等于状态2的荷载和反力在状态1的相应虚位移上所做的外力虚功，所以有：－1×y+FBy×1=0，即：FBy=y。20.7连续梁的影响线与内力包络图其中

y

是状态2中与单位荷载相应的位移。当单位荷载F=1在梁上移动时，FBy和y都是荷载位置

x

的函数，它们的图形分别是FBy的影响线和图（b）所示的变形曲线，所以所得的梁的变形曲线就是FRB的影响线。（FBy=y）20.7连续梁的影响线与内力包络图【注】：连续梁是超静定结构，撤除一个多余约束后只是将梁的超静定次数降低了一次，但并没有变为机构，所以上述方法称为“机动法”并不妥当，可以称为“挠曲线类比法”。连续梁内力（弯矩和剪力）的影响线也可以用挠曲线类比法来作，只要将反力与位移互等定理中“反力”演变为“约束力”，即可得出相应的结论。因此，同理可以得到连续梁的其他影响线。20.7连续梁的影响线与内力包络图如图所示20.7连续梁的影响线与内力包络图二、连续梁的影响线的应用

作出了连续梁的影响线，就可以根据影响线的正负确定活荷载的最不利布置情况，从而计算连续梁在活载作用下需求量值的最大正值与最大负值。

分析上面绘制的连续梁的影响线，连续梁最不利活载的布置规律如下：20.7连续梁的影响线与内力包络图（1）求某支座反力时（图b），应在该支座相邻两跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。20.7连续梁的影响线与内力包络图（2）求某跨跨中截面上的最大正弯矩时（图b），应在该跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。（3）求某支座截面上的最大负弯矩时（图a），应在该支座相邻两跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。20.7连续梁的影响线与内力包络图（4）求某支座截面上的最大剪力时，活载布置与求该截面上的最大负弯矩时相同。

总之，在量值影响线的正值部分布满活载，可使该量值得到最大正值；在量值影响线的负值部分布满活载，可使该量值得到最大负值。20.7连续梁的影响线与内力包络图三、连续梁的内力包络图

连续梁的内力包络图的概念与前面讨论过的简支梁的内力包络图相同：内力包络图上任一点的纵标表示在给定荷载（包括恒荷载和活荷载）作用下该截面可能发生的内力的最大值或最小值。以如图（a）所示受均布恒载及均布活载作用的连续梁（三跨等截面连续梁，各跨跨度均为6m，梁上承受的恒载为q＝20kN/m，均布活载为p＝40kN/m）说明如何求作。20.7连续梁的影响线与内力包络图1．弯矩包络图

当连续梁受均布活载作用时，各截面上弯矩的最不利荷载位置是在若干跨内布满荷载。若对于连续梁的每一跨单独布满活载的情况逐一绘出其弯矩图，然后就任一截面，将这些弯矩图中的对应的所有正弯矩值相加，则可得在活载作用下该截面上的最大正弯矩值；同样，将对应的所有的负弯矩值相加，则可得在活载作用下该截面上的最大负弯矩值。20.7连续梁的影响线与内力包络图

因此，对于均布活载作用下的连续梁，绘制其弯矩包络图的步骤如下：（1）绘出恒载作用下的弯矩图，如图（b）所示。（2）依次按每一跨上单独布满活载的情况，逐一绘出其弯矩图，如图（c、d、e）所示。（3）将各跨分为若干等分，对每一分点处的截面，将恒载弯矩图中各截面的竖标值与所有各个活载弯矩图中对应的正（负）竖标值叠加，便得到各截面的最大（小）弯矩值。20.7连续梁的影响线与内力包络图如第一跨中点的最大弯矩与最小弯矩：支座2的最大弯矩与最小弯矩20.7连续梁的影响线与内力包络图（4）将上述各最大（小）弯矩值按同一比例用竖标表示，并以曲线相连，即得到弯矩包络图，如图（f）所示。

连续梁的弯矩包络图有两条曲线组成，其中一条为各截面上的最大正弯矩，另一条为各截面上的最大负弯矩。20.7连续梁的影响线与内力包络图2．剪力包络图连续梁的剪力包络图绘制步骤与弯矩包络图相同，其过程为：（1）绘出恒载作用下的剪力图，如图（a）所示。（2）依次按每一跨上单独布满活载的情况，逐一绘出其剪力图，如图（b、c、d）所示。（3）将各跨分为若干等分，对每一分点处的截面，将恒载剪力图中各截面的竖标值与所有各个活载剪力图中对应的正（负）竖标值叠加，便得到各截面的最大（小）剪力值20.7连续梁的影响线与内力包络图如支座1左侧截面上的剪力值为在支座2右侧截面上的剪力值为20.7连续梁的影响线与内力包络图

由于在均布恒载与活载作用下剪力的最大值（包括正、负最大值）均发生在支座两侧截面上。因此，通常只将各跨两端靠近支座处截面上的最大剪力值和最小剪力值求出，在跨中用直线相连，得到近似剪力包络图。

从剪力包络图可以看到，剪力包络图也应有两条曲线组成。20.7连续梁的影响线与内力包络图1．影响线反映了结构中某一物理量与单位荷载位置之间的函数关系，因此它成为研究移动荷载的一个重要工具，同时也可用来计算各种固定荷载作用下结构的内力。要从影响线与内力图的对比中理解两者的区别，从而正确理解影响线的概念。小结2．掌握用静力法和机动法绘制静定梁的反力、内力的影响线。（1）静力法是以单位移动荷载F＝１的作用位置x为变量，利用静力平衡条件列出某量值与x之间的关系，即影响线方程，然后由影响线方程绘出该量值的影响线。（2）用机动法绘制结构某量值的影响线，只需将与该量值相对应的约束去掉，代之以该量值，并使该量值的作用点（面）沿该量值的正方向发生单位虚位移，则由此得到的虚位移图就是该量值的影响线。要把这两种方法结合起来，灵活运用，充分发挥它们各自的优点。小结3．移动荷载最不利位置的确定和最大影响量的计算问题对于结构设计是十分重要的。首先要根据影响线的概念和叠加原理掌握最大影响量产生的条件以及确定荷载最不利位置的一般原则，其次要理解某些特殊情况（三角形影响线）下求荷载临界位置的方法。4．内力包络图和简支梁绝对最大弯矩对于梁的设计同样是十分重要的。要着重理解它们的概念，了解作内力包络图和求简支梁绝对最大弯矩的方法。小结20.1影响线的概念建筑力学移动荷载与影响线移动荷载与影响线【学习目标】1.了解移动荷载与影响线的概念；2.掌握用静力法绘制单跨静定梁的影响线；3.理解用机动法作梁的影响线；4.掌握利用影响线求量值；5.理解移动荷载最不利荷载位置的概念；6.掌握量值在移动荷载作用下的极值的计算；7.理解简支梁的绝对最大弯矩的概念及其计算；8.理解简支梁的内力包络图的概念及其绘制；9.理解连续梁的内力包络图的概念及其绘制。【学习目标】20.1影响线的概念20.1影响线的概念一、移动荷载的概念在前面各章所讨论的荷载，其大小、方向和作用点都是固定不变的，称为固定荷载。在这种荷载作用下，结构的支座反力和内力都固定不变。但在实际工程中，许多结构还可能承受移动荷载的作用。所谓移动荷载，是指作用在结构上的荷载，其大小和方向是不变的，但是其作用位置随时间的改变而改变。如图所示，在桥梁上行驶的汽车（或火车和活动的人群），以及在吊车梁上行驶的吊车等，均为移动荷载。20.1影响线的概念二、由于移动荷载作用而引起的相关问题在移动荷载作用下，结构的量值（如支座反力和内力等）都将随荷载作用位置的移动而变化。因此，必须研究这种变化规律，确定量值达到最大值时荷载的位置，并依此计算出量值的最大值，作为结构设计的依据。在工程实际中，所遇到的移动荷载通常是均布活载或一系列间距保持不变的平行集中荷载。但是在研究这些移动荷载对结构作用产生的影响时，不需要也不可能对所有的移动荷载进行研究。20.1影响线的概念三、如何研究移动荷载为了使研究的问题简化，先研究一个单位集中荷载（F＝1）在结构上移动时，某一量值（某个支座反力或内力的值）的变化规律，再根据叠加原理，进一步确定在各种移动荷载作用下该量值的变化规律以及最不利的荷载位置。定义：在一个单位移动荷载作用下，表示结构某一量值（随荷载位置的改变）变化规律的图形，称为该量值的影响线。下面先通过一简支梁介绍影响线的概念。20.1影响线的概念如图(a)所示为一简支梁，其上作用一单位移动荷载F＝1。现讨论支座反力FAy与FBy的变化规律。取A点为坐标原点，以x

表示荷载作用点的位置，y向坐标表示相应反力FAy或FBy的值，反力规定向上为正。基础层教学教学20.1影响线的概念根据平衡方程∑MB＝0，得：（0≤x≤l）根据平衡方程∑MA＝0，得：（0≤x≤l）上式表示量值FAy(FBy)与荷载位置参数x之间的函数关系，我们称之为量值FAy(FBy)的影响线方程。据此绘出的图形就是量值FAy(FBy)的影响线。显然,量值FAy(FBy)的影响线是一条直线。令x＝0，得FAy＝1,FBy＝0；再令x＝l，得FAy＝0,FBy＝1。由此定出两点,再连成直线,即得支座反力FAy与FBy的影响线如图(b)、（c）所示。影响线形象地表明了量值FAy与FBy随荷载F＝1的移动而变化的规律。20.1影响线的概念四、影响线的意义：作出了FAy与FBy的影响线，就可以利用影响线求得具体荷载作用在任意位置时支座反力FAy与FBy的数值。如图（a）所示，若梁受汽车荷载作用,在某一时刻汽车轮压力F1和F2的作用位置如图，则根据叠加原理，支座反力FAy为：

FAy=F1

y1+F2

y220.1影响线的概念式中：y1、y2——荷载F1和F2所对应的量值FAy影响线的竖标，在影响线图中，是无量纲的量。20.5影响线的应用20.5影响线的应用

绘制影响线的目的是利用它求出结构在移动荷载作用下的最大反力和最大内力，为结构设计提供依据。为此，首先需要解决两方面的问题：一是当已知实际荷载作用在结构上时，如何利用某量值的影响线计算该量值的数值；二是如何利用量值影响线确定实际移动荷载对该量值的最不利荷载位置。下面分别加以讨论。一、计算实际荷载作用下量值的具体值

绘制影响线时，考虑的是单位移动荷载。根据叠加原理，可利用影响线求实际荷载作用下产生的总影响量。20.5影响线的应用1．集中力作用下量值的计算

如图（a）所示，设有一组集中荷载F1、F2、F3作用于简支梁上，剪力FSC影响线在各荷载作用点处对应的竖标分别为y1、y2、y3，如图(b)所示。显然，根据叠加原理，在这组荷载作用下的FSC的数值为FSC＝F1y1＋F2y2＋F3y320.5影响线的应用

一般地，若有一组集中荷载F1，F2，…，Fn同时作用于结构上，而结构的某量值

S的影响线在各荷载作用点对应处的竖标分别为y1，y2，…，yn，则根据叠加原理有FSC＝F1y1＋F2y2＋……+Fnyn＝∑Fiyi（12—1）20.5影响线的应用20.5影响线的应用2．均布荷载作用下量值的计算

如图(a)所示，若简支梁AB在梁上的DE段承受均布荷载

q

的作用，则可将微段

dx上的荷载

qdx看作集中荷载，它所引起的

S值为yqdx，如图(b)所示。根据叠加原理，在AB段均布荷载作用下的引起的量值

S

值为（12—2）式中：

q——与承受均布荷载段DE对应的影响线图形的面积。20.5影响线的应用

上式（12—2）表示均布荷载引起的量值

S

值等于荷载集度

q

乘以受载段的影响线面积

q

。应用此式时，规定

q

向下为正，

q的正负号与影响线的相同。

显然，当结构上有若干集中力与均布荷载同时作用时，其影响量为：FSC＝∑Fiyi+∑qiωi（12—3）20.5影响线的应用

例20-1利用影响线求图（a）所示简支梁在图示荷载作用下截面C上剪力FSC的数值。解：（1）作剪力FSC影响线，并按照几何关系求出影响线上与荷载对应的相应的竖标值，如右图（b）所示。设影响线正号部分的面积为ω1，负号部分的面积为ω2

。20.5影响线的应用如图（2）根据公式计算截面C上剪力FSCFSC＝Fy+q（

1＋

2）

20.5影响线的应用

思考：本例若要求集中力作用下的D左截面（或右截面）的剪力，又该如何求？其中20kN的集中力，其对应影响线竖标应取哪个值？

应注意，若求D左截面的剪力，此时集中力F=20kN相对于所求的截面（

D左截面），处于其右边，所以对应于集中力F=20kN的影响线竖标应取右边的影响线竖标值（+1/2）。20.5影响线的应用二、量值的最不利荷载位置的确定与量值的极大值计算

对于确定的结构，在确定的移动荷载作用下，当荷载在结构上移动到某一位置时，结构中的某一物理量

S

取得最大值，则对于S而言，荷载的这一位置称为最不利位置，相应的

S值就是该移动荷载作用下S的最大影响量。应当指出，当S的影响纵标可取负值时，S在给定移动荷载作用下的“最大负值”即绝对值最大的负值也是应该关心的，荷载相应于S的最大负影响量的位置也可以是一个最不利位置。

下面按移动荷载的形式分别讨论如何利用影响线来确定最不利荷载位置。20.5影响线的应用

1．如果移动荷载只是一个集中力，它的最不利位置显然就是影响线纵标绝对值最大的截面（即影响线的顶点对应的截面）；2．如图所示，如果移动荷载是分布长度不定、可在结构上任意布置的均布荷载（这种荷载有时也称为可移荷载），则它的最不利位置就是在影响纵标为正的部分布满荷载或在影响纵标为负的部分布满荷载（如右图c、d），这两种最不利位置分别对应于最大正影响量和最大负影响量。

3．如图（a）所示，若移动荷载是长度固定的均布移动荷载，则在三角形影响线的情况下，根据式（20—2），最不利荷载位置是使均布荷载对应的面积

q为最大。如图（b）所示，可以证明，只有当yC=yD时，

q才能最大。因此，最不利荷载位置是使均布荷载两端点对应的影响线竖标相等的位置。20.5影响线的应用20.5影响线的应用

4．如图（a）所示，移动荷载为一组大小和间距都不变的平行集中力，此时应先找出荷载的临界位置，再从若干个临界位置中确定最不利荷载位置。

所谓临界位置，就是当量值

S

的影响量取得某一极值时移动荷载的作用位置。对于移动荷载为一组大小和间距都不变的平行集中力的情况，临界位置一般是数值较大且其左右荷载排列紧密的荷载位于影响线最大竖标处的附近。20.5影响线的应用

当所求量值的影响线图形为三角形时，研究表明，只有当移动的一组集中力中的某一个力FK移动到影响线的峰值（顶点）位置时，才可能使该量值达到极大值，该荷载FK称为临界荷载。FK应满足以下条件：（20—4）式中：∑F左

、∑F右临界荷

载FK以左、以右的荷载之和。

公式（20—4）的意义：如果一组移动荷载中的某一个荷载，当其向左移动计入左边时，左边的平均荷载比右边大；当其向右移动计入右边时，右边的平均荷载比左边大，则该荷载即为临界荷载。显然，公式（20—4）两个不等式中的等号不会同时成立。

注：1.有时满足式（20—4）的临界荷载可能不止一个，此时必须将相应的极值分别算出，进行比较。产生最大值的那个荷载位置才是最不利荷载位置，相应的极值即为所求量值的最大值。2.要注意在荷载移动过程中是否发生有荷载从结构上被移动下来，若有，则用式（20—4）进行判别临界荷载时需要重新计算：∑F左

或∑F右。20.5影响线的应用

所以，对移动荷载为一组大小和间距都不变的平行集中力，其确定最不利荷载位置以及计算量值最大值的过程为：（1）初步判定临界荷载。临界荷载一般是数值较大且其左右排列紧密的荷载。（2）将可能的临界荷载放置于影响线的顶点。判定此荷载是否满足式(20—4)，若满足，则此荷载为临界荷载FK，荷载位置为临界位置，若不满足，则此荷载位置就不是临界位置。（3）将满足式（20—4）的每个临界荷载分别移动到影响线峰值，相应各自求出对应量值的一个极值，然后从各个极值中选出最大值。与此相对应的荷载位置即为最不利荷载位置。20.5影响线的应用20.5影响线的应用5．如图所示，当移动荷载中既有集中力系又有均布荷载时，则如果临界荷载为集中力(图a)，则容易证明，在此情况下临界荷载的判别式仍为式(20-4)；如果荷载的临界位置是均布荷载跨越三角形影响线的顶点(图b)，则临界位置的判别式是（即左边的平均荷载等于右边的平均荷载）：20.5影响线的应用例20-2如图(a、b)所示，静定梁受吊车荷载的作用。已知F1＝F2＝450kN，F3＝F4＝350kN，求支座B处的最大反力。20.5影响线的应用解：（1）确定临界荷载先试F2：如图b所示，当将F2移动到B点时，F4将移出梁的C端，因此对照判别式（20—4）：满足判别式，所以F2是临界荷载再试F3：如图d所示，当将F3移动到B点时，

F1还未能移上梁的A端，因此对照判别式（20—4）：也满足，所以F3也是临界荷载。20.5影响线的应用（2）作支座反力FBy的影响线，先将F2移动到B点，如图（b），求出影响线相应的竖标值，如图（c），根据公式（20—1）得：

再将F3移动到B点，如图（d），求出影响线相应的竖标值，根如图（c），据公式（20—1）得：（3）比较两者可知，当F2作用于B点时为最不利荷载位置，此时有FBymax＝771.55kN。20.5影响线的应用例20-3如图(a)所示，简支梁受列车荷载作用，其中F1=F2=F3=F4=F5=220kN，均布荷载q的分布长度为30m，q=92kN/m，试利用影响线求截面C的最大弯矩。20.5影响线的应用解：（1）确定临界荷载先试F4：将F4移动到C点，则

说明即使将F4计入左边，左边的平均荷载仍小于右边，因此F4不是临界荷载。再试F5：将F5移动到C点，则因此F5满足判别式，所以F5是一个临界荷载。（2）作MC的影响线，如图(b)所示，将F5移动到C点，则根据公式（20—3），得：本例不存在其他临界位置，因此MC的最大值就是7973.4kN

m。20.5影响线的应用20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线

【引言】用机动法绘制静定梁的影响线，是以刚体虚功原理为依据，将绘制支座反力或内力影响线的问题，转化为绘制机构位移图的几何问题。上面介绍的用静力法绘制影响线的方法，在理论上可以绘制任何结构的影响线。但是，当结构形式比较复杂时，用静力法绘制就比较繁琐。在许多过程问题中，有时只需要定性地绘制出影响线的大致轮廓而不需要求出影响线的数值，此时用机动法绘制影响线就比较简单。此外，用机动法还可以校核用静力法绘制出的影响线是否正确。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线一、用机动法作简支梁的影响线下面以绘制简支梁支座反力的影响线为例，说明机动法的原理。如图(a)所示的简支梁为例，为了作反力FAy的影响线，将支座A处的竖向支杆去掉，用正向的FAy代替，得到图(b)所示的机构，这个机构在单位荷载F=1和反力FAy的作用下处于平衡状态。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线令该机构发生图(c)所示的虚位移，其中对应于FAy的位移为单位位移“1”，方向与FAy相同；对应于单位荷载F=1作用点的位移为y(x)，方向与荷载相反。这里将对应于单位荷载作用点的位移用y(x)表示，是因为荷载的作用点x是变化的，与单位荷载作用点对应的位移是x的函数。规定荷载以向下为正，反力以向上为正，机构位移以向上为正。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线根据虚位移原理，荷载F=1和FAy在虚位移上所做的总功为零，即FAy

×1－1

×

y(x)=0所以：

FAy

=y(x)

上式表明,图(c)所示的机构位移图就是FAy的影响线。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线将上一节绘制的反力影响线图与图(c)比较可见，两者是完全一致的。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线若需作MC的影响线，首先将简支梁中对应于MC的约束去掉，即将截面C处的刚性连接换成一个铰，再用正向的一对MC代替，得到一个机构，如图(a)；然后，使该机构在MC的正向上发生单位虚位移，即使得铰C

两侧的截面发生微小的单位相对转角“1”，相应的机构位移如图(b)所示。由图中的几何关系可知，左右两个支座处用虚线表示的竖标分别为a

和b

，这与上一节绘制出的MC影响线是一致的。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线用机动法作FSC的影响线，首先撤除梁中对应于FSC的约束，即将截面C处的刚性连接换成如图所示的定向（滑动）约束（需用正向的一对FSC代替），该约束允许C点两侧的截面发生竖向相对滑动但不允许它们发生相对转动和轴向的相对位移；然后，使所得机构在FSC的方向上发生单位虚位移，即使得铰C的左侧向下、右侧向上发生微小的相对单位竖向位移“1”，相应的机构位移如图(d)所示。由于截面C处定向约束的关系，左右两段梁在发生机构位移后应保持平行，这上一节绘制出的FSC影响线也是一致的。因此,用机动法绘制结构某量值的影响线,只需将与该量值相对应的约束去掉,代之以正向的该量值,并使该量值的作用点（面）沿该量值的正方向发生单位虚位移,则由此得到的虚位移图就是该量值的影响线。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线二、用机动法作如图（a）所示外伸梁的影响线1、Fby的影响线撤除支座处的支杆，使所得机构沿Fby的正方向发生单位位移，则相应的机构位移图就是Fby的影响线，如图(b)。该影响线为一直线，其纵标在支座A以左为负，在支座A

以右为正，在支座

A和B处分别等于0和1

。由几何关系可得左端C

和右端D

的纵标分别为─c/l和（l+d)/l。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线2、MC的影响线与MC相应的机构及MC的影响线（机构位移图）见图(c)。MC的影响线由单位相对转角“1”的两段直线组成，它们相交于截面C处，交点的纵标可由图示的几何关系求得为ab/l。由几何关系还可求得左端C

和右端D

的纵标分别为─bc/l和ad/l

。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线3、的影响线（B支座左截面的剪力）与相应的机构及的影响线（机构位移图）见图(d)。该影响线由相互平行且竖距为微小的相对单位竖向位移“1”的两段直线组成，这里要注意的是，由于支座B

左侧的定向约束的作用，梁的EB段和BF段只能在B点左侧发生竖向相对位移，但两段梁必须保持相互平行；另一方面，由于支座B的约束作用，BF段只能绕B点转动而不能在B点发生竖向位移，因此要使EB段和BF段在B点左侧发生单位竖向相对位移，只能使EB段在该处发生单位竖向位移。由几何关系还可求得左端E和右端F的纵标分别为c/l和─d/l。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线4、MD的影响线将截面D处的刚性连接换成铰接，梁在D左边的部分仍然是几何不变的，右边可以绕铰D作转动。MD的影响线（机构位移图）见图(e)。该影响线由两段直线组成，截面D左边的线段与梁的轴线重合，纵标为零；截面D右边的线段与梁轴线的夹角为微小的单位“1”，右端点F的纵标为─e。

20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线5、FSD的影响线将截面D处的刚性连接换成图(f)所示的定向约束，梁在D左边的部分仍然是几何不变的，右边可以相对于左边作竖向滑动。FSD的影响线（机构位移图）见图(f)。该影响线由两段直线组成，截面D左边的线段与梁的轴线重合，纵标为零；截面D右边的线段与梁的轴线平行，竖距为“l”。由MD和FSD的影响线可见，伸臂梁伸臂部分内力影响线的纵标只在有关截面到自由端之间不为零，其余部分均为零。如果将截面到自由端之间的梁段看成附属部分，其余部分看成基本部分，则上述影响线表明，当荷载在基本部分移动时，附属部分不产生内力。这与前面所述多跨静定梁的结论一致。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线三、多跨静定梁的影响线简介多跨静定梁的影响线一般是由多条线段组成折线形，如果用静力法作影响线，需要将梁分为较多的段，再用隔离体平衡法逐段求出荷载作用于该段时的影响线方程，比较麻烦。因此通常是用机动法作多跨静定梁的影响线。如图20-10所示，即为多跨静定梁的一些影响线。从图中看出：（1）各影响线均为折线；（2）弯矩影响线的量纲为[长度]，反力和剪力影响线均无量纲，因此对弯矩影响线的纵标应给出长度单位，而对反力和剪力的影响线则不必注明单位；20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线（3）图中绘出的影响线,FGy、MF和FSF属于基本部分的反力或内力,它们的影响线的纵标除支座截面外均不为零。其影响线可由作为基本部分的伸臂梁DH的相应影响线,再根据多跨静定梁的几何约束条件下简单扩充得到。（4）FBy、MC、FSC和FRSG属于附属部分的反力或内力，它们的影响线的纵标除有关附属部分外均为零。这与前面外伸梁的情况相似。（5）除了反力影响线，在支座处，各影响线的竖标都等于零。在中间铰位置，影响线图形都发生转折。而且在支座处不等于零的，只有该支座的反力影响线。20.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线图20-1020.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线图20-1020.3用机动法绘制单跨静定梁的影响线用静力法绘制单跨静定梁的影响线20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线

【引言】

绘制影响线有两种基本方法：静力法和机动法。本节先介绍用静力法绘制静定梁的支座反力和内力的影响线。静力法是以单位移动荷载F＝1的作用位置x

为变量，利用静力平衡条件求出某一量值与x

之间的关系，即影响线方程，然后根据影响线方程绘出该量值的影响线。20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线一、简支梁的影响线

简支梁的影响线，有反力影响线与内力影响线。

内力影响线又分为弯矩影响线与剪力影响线。1．反力影响线简支梁支座反力FAy与FBy的影响线已在上一节中讨论过，即当将单位移动荷载（F＝1）移动到距离支座A为x

处时，根据平衡条件，可以求得：，

（0≤x≤l）上面两式即分别是支座反力FAy与FBy的的影响线方程。20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线根据影响线方程，可以分别作出支座反力FAy与FBy的的影响线如图(b)、（c）所示。在这里，要强调，绘制梁的反力影响线时，规定把正的影响线竖标绘在基线（梁轴线）上边，负的竖标绘在基线下边，并在图中标明正负号。20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线2．弯矩与剪力影响线用静力法作简支梁AB中某一截面C的弯矩MC和剪力FSC的影响线，分两种情况考虑：1、单位荷载作用在截面C的左边，如图（a）所示。2、单位荷载作用在截面C的右边，如图（b）

所示。20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线对于第一种情况,取截面C的右边即梁的CB段为隔离体，由平衡条件可得对于第二种情况,取截面C的左边即梁的AC段为隔离体，可得20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线根据以上求得的MC和FSC的影响线方程,分别作MC和FSC的影响线，如图(c)、(d)。其中,从MC的影响线由相交于截面C处的两段直线组成,交点的纵标为ab/l；FSC的影响线在截面C处有一个间断点，它由相互平行并且竖距为1的两段直线组成，在截面C的左侧和右侧，影响线的纵标分别为─a/l和b/l。在上面作梁的弯矩影响线时，规定弯矩使梁的下侧受拉为正；在作梁的剪力影响线时，规定剪力以顺时针为正。同样规定把正的影响线竖标绘在基线（梁轴线）上边，负的竖标绘在基线下边，并在图中标明正负号。20.2用静力法绘制单跨静定梁的影响线20.2用静力法绘制单跨