第3讲力与曲线运动

第3讲力与曲线运动能力培养练1.(2021·河北卷,2)铯原子钟是精确的计时仪器,图1中铯原子从O点以100m/s的初速度在真空中做平抛运动,到达竖直平面MN所用时间为t1;图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动,到达最高点Q再返回P点,整个过程所用时间为t2,O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2m,重力加速度g取10m/s2,则t1∶t2为(C)A.100∶1 B.1∶100C.1∶200 D.200∶1解析:设距离d=0.2m,铯原子做平抛运动时有d=v0t1,做竖直上抛运动时有d=12g(t22)2,解得t2.(2023·全国甲卷,17)一质点做匀速圆周运动,若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比,运动周期与轨道半径成反比,则n等于(C)A.1 B.2 C.3 D.4解析:质点做匀速圆周运动,设周期为T,轨道半径为r,根据题意有T=kr,而合力等于向心力,则有F合=m4π2T2r=4F合与r3成正比,即n=3。3.如图所示,光滑水平桌面上的ABCD为矩形区域的四个顶点,某小球沿AB方向以速度v1自A点进入该区域,以后的运动过程中,小球始终受到沿AD方向的恒力F的作用,且恰能经过C点。关于小球在矩形区域内的运动,下列说法正确的是(D)A.小球由A到C可能做匀变速直线运动B.若F足够大,小球可能经过D点C.若只增大v1,小球自A点运动到DC所在直线时的时间将变短D.若只减小F,小球自A点运动到DC所在直线时的时间将变长解析:小球在A点时速度方向与恒力F垂直,则由A到C做匀变速曲线运动,选项A错误;因物体有沿AB方向的初速度,则即使力F足够大,小球也不可能经过D点,选项B错误;因小球沿力F方向做匀加速运动,且加速度a恒定,则由xAD=12at2可知,到达DC的时间不变,即使增大v1,小球自A点运动到DC所在直线时的时间也不变,选项C错误;若只减小F,则加速度a减小,则由xAD=12at4.(2023·山东德州一模)(多选)有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示,长为R的轻绳一端系着质量为m的座椅,另一端固定在轻杆的B点,以轻杆的A点为支点,使轻杆旋转起来,B点在水平面内做匀速圆周运动,轻杆的轨迹为一个母线长为L的圆锥,轻杆与中心轴线AO间的夹角为α。同时座椅在轻绳的约束下做圆周运动,轻杆旋转的角速度为ω,假设座椅稳定后,轻绳与轻杆在同一竖直平面内且二者间的夹角β=2α。则下列说法正确的是(BC)A.座椅做圆周运动的周期为πB.座椅做圆周运动的线速度与角速度的比值为(L+R)sinαC.座椅做圆周运动的线速度与角速度的乘积为gtanαD.轻绳的拉力大小为mg解析:座椅达到稳定状态后做匀速圆周运动,其周期与轻杆旋转的周期相同,周期为T=2πω,A错误;根据几何关系可知座椅做圆周运动的半径为r=Lsinα+Rsin(βα)=(L+R)sinα,座椅做圆周运动的线速度与角速度的比值即是圆周运动的半径,根据题意得v(L+R)sinα,B正确;座椅做圆周运动,根据题意有mgtan(βα)=mgtanα=mvω,座椅的线速度与角速度的乘积vω=gtanα,C正确;轻绳的拉力满足Fcos(βα)=Fcosα=mg,解得F=mgcos5.(2023·山东东营三模)如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为m的小球,在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力),小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT,小球在最高点的速度大小为v,其FTv2图像如图乙所示,则(D)A.轻质绳长为maB.当地的重力加速度为mC.当v2=c时,轻质绳的拉力大小为acbD.只要v2≥b,小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a解析:设绳长为L,小球运动到最高点时,由牛顿第二定律得mg+FT=mv2L,得FT=mv2Lmg,结合题图乙中图线可知,纵轴截距的绝对值a=mg,图线的斜率k=ab=mL,得当地的重力加速度g=am,绳子的长度L=mba,故A、B错误;当v2=c时,轻质绳的拉力大小为FT=mv2Lmg=acba,故C错误;当v2=b时,轻质绳的拉力大小为FT=0,重力提供向心力,mg=mv6.(2023·山东卷,15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能,设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示,若电磁炮正对高楼,与高楼之间的水平距离L=60m,灭火弹出膛速度v0=50m/s,方向与水平面夹角θ=53°,不计炮口离地面高度及空气阻力,取重力加速度大小g=10m/s2,sin53°=0.8。(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H;(2)已知电容器储存的电能E=12CU2,转化为灭火弹动能的效率η=15%,灭火弹的质量为3kg,电容C=2.5×104解析:(1)灭火弹做斜上抛运动,则水平方向L=v0cosθ·t,竖直方向H=v0sinθ·t12gt2代入数据联立解得H=60m。(2)根据题意可知Ek=ηE=15%×12CU2又因为Ek=12mv联立可得U=10002V。答案:(1)60m(2)10002V素养提升练7.(2023·湖南卷,2)如图甲,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是(B)A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B.谷粒2在最高点的速度小于v1C.两谷粒从O到P的运动时间相等D.两谷粒从O到P的平均速度相等解析:忽略空气阻力,抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用,加速度均为重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A错误;谷粒2做斜向上抛运动,谷粒1做平抛运动,均从O点运动到P点,故位移相同,在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动,谷粒1做自由落体运动,竖直方向上位移相同,故谷粒2运动时间较长,C错误;谷粒2做斜抛运动,水平方向上为匀速直线运动,故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度,与谷粒1比较,水平位移相同,但运动时间较长,故谷粒2水平方向上的速度较小,即最高点的速度小于v1,B正确;两谷粒从O点运动到P点的位移相同,运动时间不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D错误。8.(2023·湖南娄底三模)(多选)如图所示,当列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道时,乘客发现在车厢顶部悬挂玩偶的细线与车厢侧壁平行。同时观察放在桌面上水杯内的水面(与车厢底板平行)。已知此弯道路面的倾角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列判断正确的是(AB)A.列车转弯时的向心加速度大小为gtanθB.列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用C.水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力D.水杯受到指向桌面内侧的静摩擦力解析:设玩偶的质量为m,玩偶受到的重力mg与细线的拉力FT的合力提供玩偶随车做水平面内圆周运动的向心力F,如图所示,由mgtanθ=ma可知,列车在转弯时的向心加速度大小为a=gtanθ,A正确;列车的向心加速度a=gtanθ,由列车受到的重力与轨道的支持力的合力提供,故列车与轨道均无侧向挤压作用,B正确;水杯的向心加速度a=gtanθ,由水杯受到的重力与桌面的支持力的合力提供,故水杯与桌面间的静摩擦力为零,C、D错误。9.(2022·河北卷,10)(多选)如图,广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上,圆心处装有竖直细水管,其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节,以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时,喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同,半径远小于同心圆半径,出水口截面积保持不变,忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是(BD)A.若h1=h2,则v1∶v2=R2∶R1B.若v1=v2,则h1∶h2=R12C.若ω1=ω2,v1=v2,喷水嘴各转动一周,则落入每个花盆的水量相同D.若h1=h2,喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同,则ω1=ω2解析:根据平抛运动的规律h=12gt2,R=vt,解得R=v2hg,可知若h1=h2,则v1∶v2=R1∶R2;若v1=v2,则h1∶h2=R12∶R22,选项A错误,B正确。若ω1=ω2,则喷水嘴各转动一周的时间相同,因v1=v2,出水口的横截面积相同,可知单位时间喷出水的质量相同,喷水嘴转动一周喷出的水量相同,但因内圈的花盆总数量较少,可知得到的水量较多,选项C错误。设出水口横截面积为S0,喷水速度为v,若ω1=ω2,则喷水嘴转动一周的时间相等,因h相等,则水落地的时间相等,则t=Rv相等;在圆周上单位时间内单位长度的水量为Q0=10.(2023·江苏卷,10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(D)解析:罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,在时间Δt内水平方向位移增加量为aΔt2,在竖直方向做自由落体运动,在时间Δt内位移增加量为gΔt2;说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定,则连线的倾角一定,故选D。11.(2023·河北唐山模拟)如图甲所示为某种弹射小球的游戏装置,水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直管AB。细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管,上端B与四分之一圆弧弯管BC相接,每次弹射前,推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定。解除锁定,小球即被弹簧弹出,水平射进细管的A端,再沿管ABC从C端水平射出。已知弯管BC的半径R=0.3m,小球的质量为m=50g,每次弹射时弹簧对小球所做的功W=0.6J。不计小球运动中机械能损失,取8=2.8,重力加速度g取10m/s2。(1)当L=0.5m时,求小球到达管口C处时的速度大小;(2)当L=0.5m时,求小球落到水平面上的位置与竖直管AB的距离;(3)调节L,小球到达管口C时管壁对球的作用力FN也相应变化,考虑到游戏装置的实际情况,L不能小于0.15m,请在图乙所示的坐标纸上作出FN随长度L变化的关系图线。(取管壁对球的作用力FN方向向上为正,并要求在横、纵坐标轴上标上必要的刻度值)解析:(1)当L=0.5m时,由机械能守恒定律得W=mg(L+R)+12mv解得vC≈2.8m/s。(2)小球做平抛运动的水平射程x=vCt,小球做平抛运动的时间为t,则L+R=12gt2小球落到水平面上的位置与竖直管AB的距离x′=x+R≈1.42m。(3)小球在C点处,由牛顿第二定律有mgFN=mvC为使小球能到达C处,须满足Wmg(L+R)≥0,L≤0.9m,所以FN=103L5FN随长度L变化的关系图线如图所示。答案:(1)2.8m/s(2)1.42m(3)图见解析难关攻克练12.(2023·山东青岛三模)如图所示,一小球(视为质点)以速度v从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出,落到斜面上的M点,且速度水平向右。现将该小球以2v的速度从斜面底端沿相同方向抛出,落在斜面上的N点。下列说法正确的是(D)A.落到M和N两点的时间之比为1∶4B.落到M和N两点的速度之比为1∶4C.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2D.运动过程中小球离斜面最远的垂直距离之比为1∶4解析:小球落到M点时速度水平向右,可将运动过程逆向,看成从M点以初速度v0水平向左的平抛运动,落地时速度v与水平方向夹角为α,落地时的位移为L,则根据平抛运动规律可得x=v0t,y=12gt2,tanθ=ytanα=gtv0,v2=v02+(gt)2,联立上面各式解得t=v=v01+4tan2θ2v02v213.(2023·河北邢台二模)(多选)如图所示,在倾角为θ=30°的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直于竖直平面PQM向外,b球初速度沿着PQ方向。则(AB)A.若将a球的初速度大小变为之前的2倍,则a球落到斜面上时,其速度大小也将变为之前的2倍B