新教材数学人教A版学案4-4-2第1课时对数函数的图象和性质（一）

4．4.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质(一)必备知识·探新知基础知识知识点1对数函数的图象及性质0＜a＜1a＞1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数思考1：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x，…，为什么一定过点(1，0)?(2)在下表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a>1x>1？0<x<1？0<a<1x>1？0<x<1？提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点(1，0)．(2)底数x的范围y的范围a>1x>1y>00<x<1y<00<a<1x>1y<00<x<1y>0知识点2反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域正好互换．思考2：函数y＝log2x与y＝(eq\f(1,2))x互为反函数吗？提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数．基础自测1．下列说法正确的个数是(C)(1)对数函数的图象都过定点(0，1)．(2)对数函数的图象都在y轴的右侧．(3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<eq\f(1,2).A．0 B．1C．2 D．3[解析]对于(1)，对数函数的图象都过定点(1，0)，不正确；对于(2)，由对数函数的图象可知正确；对于(3)，由对数函数的单调性可知，0<2a<1，所以0<a<eq\f(1,2)，正确．2．函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是(B)A．2 B．1C．0 D．－1[解析]y＝log2x在(0，2]上单调递增，∴ymax＝1，故选B．3．函数y＝log3x与y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的图象关于x轴对称．4．(2020·河南永城实验中学高一期末测试)函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2，0)．[解析]令x－1＝1，∴x＝2，则y＝0，故函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2，0)．关键能力·攻重难题型探究题型一利用对数函数的单调性比较大小例1比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.[分析](1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？(2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？(3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？[解析](1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以eq\f(1,log0.23)＜eq\f(1,log0.24)，即log30.2＜log40.2.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.[归纳提升]比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．【对点练习】❶(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(D)A．b＜a＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜a(2)(2021·遵义高一检测)已知：a＝log65，b＝π0.3，c＝lneq\f(1,2)，则下列结论正确的是(D)A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b[解析](1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.(2)a＝log65<log66＝1，b＝π0.3>π0＝1，c＝lneq\f(1,2)<ln1＝0.∴b>a>c，故选D．题型二对数函数的图象例2已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是(B)A．a4<a3<a2<a1B．a3<a4<a1<a2C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a1[分析]由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断．[解析]在图中作一条直线y＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1,y＝loga3x))，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直线y＝1与曲线C3：y＝loga3x的交点坐标为(a3，1)．同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4，1)，(a1，1)，(a2，1)．由图象可知a3<a4<a1<a2，故选B．[归纳提升]1．对数函数底数对图象的影响其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b.2．关于定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．【对点练习】❷(1)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是(B)(2)利用作图工具作出的a＝1.5，4，eq\f(1,7)时的对数函数y＝logax的图象如图所示，请你判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为(C)A．1.5，4，eq\f(1,7) B．4，1.5，eq\f(1,7)C．eq\f(1,7)，1.5，4 D．eq\f(1,7)，4，1.5[解析](1)由lga＋lgb＝0得ab＝1，则f(x)与g(x)的单调性一致，故选B．(2)由于对数函数的图象规律知C1为减函数，对应a1＝eq\f(1,7)，C2图象在x＝1的右侧高于C3，所以a2<a3，故a2＝1.5，a3＝4.故选C．题型三与对数函数相关的定义域和值域角度1求函数的定义域例3函数y＝eq\r(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）)的定义域是(D)A．[1，＋∞) B．(eq\f(2,3)，＋∞)C．(1，＋∞) D．(eq\f(2,3)，1][解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）≥0，,3x－2>0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2≤1，,3x－2>0，))∴eq\f(2,3)<x≤1，故选D．角度2简单的值域问题例4若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为eq\f(\r(2),4)．[解析]由题意得f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝eq\f(\r(2),4).[归纳提升]1.求对数型函数的定义域时常用的模型2．与对数函数值域相关的问题(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法．(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．【对点练习】❸(1)函数y＝eq\r(lg（x＋2）)的定义域为[－1，＋∞)；(2)若函数f(x)＝4＋log2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝4．[解析](1)要使函数有意义，须使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（x＋2）≥0，,x＋2>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2≥1，,x＋2>0，))解得x≥－1.(2)∵y＝log2x是R上的增函数，∴x＝a时f(x)取最大值，即f(x)max＝4＋log2a＝6，即a＝4.题型四反函数例5(1)已知函数f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)，则g(eq\f(1,2))的值为(A)A．－1 B．1C．12 D．2(2)若f(x)为y＝3－x的反函数，则f(x－1)的图象大致是(C)[分析](1)由已知函数解析式求得x，再把x与y互换可得原函数的反函数．[解析](1)由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，∴原函数的反函数为g(x)＝log2x，则g(eq\f(1,2))＝log2eq\f(1,2)＝－1.故选A．(2)由y＝3－x.解得x＝－log3y，∴该函数的反函数为y＝－log3x，即f(x)＝－log3x，而f(x－1)的图象是f(x)的图象右移1个单位，故选C．[归纳提升]互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数．(2)互为反函数的定义域与值域互换．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．【对点练习】❹若函数g(x)是函数f(x)＝(eq\f(1,2))x，x∈[－2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为[eq\f(1,2)，4]．[解析]函数f(x)＝(eq\f(1,2))x，x∈[－2，1]的值域为[eq\f(1,2)，4]，因为函数g(x)是其反函数，所以函数g(x)的定义域为[eq\f(1,2)，4]．课堂检测·固双基1．(2020·山东金乡县高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6，3)，则f(2)的值为(B)A．－2 B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]由题意得3＝loga8，∴a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.2．(2020·河北沧州市高一期中测试)函数y＝eq\f(1,\r(3－x))＋lg(2x＋1)的定义域(D)A．(eq\f(1,2)，3] B．(eq\f(1,2)，3)C．(－eq\f(1,2)，3] D．(－eq\f(1,2)，3)[解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x>0,2x＋1>0))，∴－eq\f(1,2)<x<3，故选D．3．y＝2x与y＝log2x的图象关于(B)A．x轴对称 B．直线y＝x对称C．原点对称 D．y轴对称[解析]函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．4．对数函数y＝logax与y＝logbx的图象如图，则(C)A．a<0，b<0B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1D．0<a<1，0<b<1[解析]y＝logbx为增函数，故b>1，y＝logax为减函数，故0<