正弦定理和余弦定理的应用举例高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

熟练掌握正、余弦定理．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高度和角度等问题．解三角形的实际应用举例【学习目标】

【重点与难点】求解距离、高度和角度等问题．(重点)从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．(难点)

1．2．1．2．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角，如图所示．测量中的有关概念、名词、术语1．上方下方方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图所示)．2．方位角的其他表示——方向角(1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示)．3．想一想：用三角形知识解决高度，角度问题的关键是什么？提示

关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后求解．测量中的有关概念、名词、术语的应用(1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出示意图．(3)方位角α的范围是0°<α<360°，方向角β的范围是0°<β<90°.1．解三角形应用题的一般步骤2．用三角形解实际问题的技巧有些实际问题常抽象成解三角形问题，一般有以下两种类型：(1)已知量与未知量集中在一个三角形中可用正弦定理或余弦定理直接求解．(2)已知量与未知量涉及两个(或多个)三角形时，在已知条件下，弄清哪个三角形可解，为解其他三角形需求可解三角形的哪个边(角)．有时需设出未知量，由已知条件列出方程，然后解方程得出所要求的解．

3．题型一测量距离问题某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？[思路探索]欲求AD，应先求出AB；从△ABC中求AB，还需求出AC；在△ABC中求AC，只需求出sinB；在△BCD中，可求出cosB,进而求出sinB问题即可解决．【练习1】由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．∴AD＝AB－BD＝15(千米)．∴故此人在D处距A还有15千米．

如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(

)．【练习2】答案

A题型二

测量高度问题【练习1】A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD(精确到整数)．[思路探索]解答本题可先求出∠BDA，然后由正弦定理求出AD即可．【练习2】规律方法解决测量高度问题的一般步骤是：(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．

地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基线AB，AB＝200m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.【练习3】题型三

测量角度问题【练习1】审题指导

本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查学生对实际应用问题的理解分析能力，同时也考查了学生的计算能力．【练习2】【题后反思】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得一建筑物顶端C对于山坡的坡度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高度为50m，求此山相对于地平面的倾斜角的余弦值．【练习3】函数与方程思想是高中数学的一条主线，函数思想就是在解决问题时，用函数的观点去观察、分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来加以研究，从而解决问题．本节正、余弦定理的应用问题为函数思想的应用搭建了一个很好的平台，利用正、余弦定理实现边角转化，将问题转化为函数关系，某些最值、范围等问题就可顺利解决．方法技巧函数与方程的思想在一次反恐演习中，某特警在一条笔直的公路上追击前方20公里的一恐怖分子，此时恐怖分子正在跳下公路，沿与前方公路成60°角的方向以每小时8公里的速度逃跑，已知特警在公路上的速度为每小时10公里．特警决定在公路上离恐怖分子最近时将其击毙，问再过多少小时，特警向恐怖分子射击．[思路分析]根据人物的不同位置，分情况列出相距最近的表达式，利用二次函数求最值的条件即可求所需时间．【示例】解设开始时特警在B地，恐怖分子在A地，t小时后两人分别到达Q，P两地，特警到达A地需2小时，分别画出示意图．图1图2(1)当0≤t≤2时，如图1，在△APQ