正弦定理、余弦定理（第1课时）高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第1课时

余弦定理正弦定理、余弦定理课程目标

1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？若已知三角形的两边及其夹角，如何求其他的边角呢？下面我们来研究一下这个问题。CABabCABabc我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.复习三角形中的边角关系1、角的关系2、边的关系3、边角关系大角对大边，小边对小角三角形中的边角关系

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.一、什么叫做解三角形

在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ABCabcbac二、余弦定理二、余弦定理

三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．应用：已知两边和一个夹角，求第三边．二、余弦定理的变形应用：已知三条边求角度．应用：配方法的使用变形二变形一(角变互化）想一想：

余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．1.用余弦定理判断三角形的类型：

2.在ΔABC中，等式AC=AB+BC两边同乘AC，可得AC2=AB·AC+BC·AC

三、余弦定理的应用（射影定理）【练习】【练习】【练习】巩固练习BC等腰三角形作业：2.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．作业：

2.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．【思路点拨】利用余弦定理把边与角的关系转化为边与边的关系．通分整理得：a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0.展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理，知△ABC是直角三角形．余弦定理及其推论：利用余弦定理可以解决的问题：1、已知两边和夹角求第三边。