专题3-5 二次函数压轴：焦点与准线动点面积含参二次函数（原卷版）

专题3-5二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函数TOC\o"1-4"\n\h\z\u【题型1】焦点与准线例题12－1例题12—2湘潭市·中考真题广东深圳·中考真题四川自贡·中考真题宜宾·中考真题山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题2023·辽宁鞍山中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·江苏南通中考真题2023·辽宁锦州中考真题2023·辽宁盘锦中考真题【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题2022·吉林中考真题广东深圳·中考真题2023·辽宁大连中考真题2022·四川绵阳中考真题【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题2023年浙江省丽水市中考真题2023年江苏省南通市中考真题2023年江苏省淮安市中考真题2022•北京中考真题2022•安顺中考真题2022•长沙中考真题2022•广州中考真题2022•贵阳中考真题2022•天津中考真题2022•嘉兴中考真题2022•杭州中考真题2022•连云港中考真题二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线 结论1：对于抛物线焦点坐标为，准线为直线焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是只是为了焦点坐标便于计算．至于形如的抛物线可化为顶点式然后通过由平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM⊥FN．证明：设，，则，∴，∴FM⊥FN．结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN与y轴交于点，．【题型1】焦点与准线例题12－1已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等．如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值．

例题12—2我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线 (1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．湘潭市·中考真题如图，点P为抛物线上一动点(1)若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作于M．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立?若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．广东深圳·中考真题如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求解抛物线解析式；（2）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．四川自贡·中考真题如图，已知直线AB与抛物线相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点(1)求抛物线C函数表达式；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离?若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．宜宾·中考真题在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．(1)求抛物线的解析式；(2)知为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．山东滨州·中考真题如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．2023·湖北鄂州中考真题某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；【技能训练】(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．请阅读上面的材料，探究下题：(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．2022·湖北鄂州中考真题某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO＝AM；（3）探究：①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．湖南张家界·中考真题如图，已知二次函数a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．(1)求a值并写出二次函数表达式；(2)求b值；(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB＝MC；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由． 【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

2023·辽宁鞍山中考真题如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

2023·黑龙江绥化中考真题如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

2023·江苏南通中考真题如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（

）

A．54 B．52 C．50 D．482023·辽宁锦州中考真题如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

2023·辽宁盘锦中考真题如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是．

2022·吉林中考真题如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．(1)当点在边上时，的长为；（用含的代数式表示）(2)当点落在边上时，求的值；(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．广东深圳·中考真题如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；2023·辽宁大连中考真题如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴交直线于点．与的重叠面积为．关于的函数图象如图2所示．

(1)的长为_______________；的面积为_______________．(2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．2022·四川绵阳中考真题如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题已知二次函数．(1)当时，①求该函数图象的顶点坐标．②当时，求的取值范围．(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．2023年浙江省丽水市中考真题已知点和在二次函数是常数，的图像上．(1)当时，求和的值；(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；(3)求证：．2023年江苏省南通市中考真题定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；(3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围．2023年江苏省淮安市中考真题已知二次函数（为常数）．(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，①则的值是_________，点的坐标是_________；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．2022•北京中考真题在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．2022•安顺中考真题在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（-2（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，5①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数2022•长沙中考真题若关于x的函数y，当t-12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y=2x（x≥1），求函数y的“共同体函数”（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2022•广州中考真题已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4m5≤x≤2022•贵阳中考真题已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．2022•天津中考真题已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，