高考三角函数复习专题

三角函数复习专题一、核心学问点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴★★2.正、余弦定理：在中有:①正弦定理：（为外接圆半径）留意变形应用②面积公式：③余弦定理：二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）留意隐含条件的应用：1＝2x＋2x。（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝－等。（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入协助角。θ＋θ＝(θ＋)，这里协助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由＝确定。2.解答三角高考题的策略。（1）发觉差异：视察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）找寻联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。三、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试文15）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，，．（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域．2．（2011年西城期末文15）已知函数.（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；（Ⅱ）若，求的值域.考点二：三角函数的图象和性质3.（2011年东城区期末文15）函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求的最小正周期与解析式；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换4．（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心5.（2011年丰台区期末文15）已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值与相应的x值．6、（2011朝阳二模文15）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期与函数的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求的值.7、（2011东城二模问15）（本小题共13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域．考点六：解三角形8．（2011年朝阳期末文15）已知△中，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，求当取最小值时，值.9．（2011年石景山期末文15）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若，，求的值．10、（2011东城一模文15）在△中，角，，的对边分别为，，分，且满意．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求△面积的最大值．11、(2011丰台一模文15).在△中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b222．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，推断△的形态．12、(2011海淀一模文15).在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，且.(Ⅰ)求； 13、（2011石景山一模文15）．在中，角，，所对应的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，，．（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得……………2分………3分 …………4分 （Ⅱ）………6分………………7分………………8分 ………9分…………12分 的值域是………………13分2．（2011年西城期末理15）已知函数.（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；（Ⅱ）若，求的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点在角的终边上，所以，，………………2分所以………………4分.………………5分（Ⅱ）………………6分，………………8分因为，所以，………………10分所以，………………11分所以的值域是.………………13分3.（2011年东城区期末理15）函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求的最小正周期与解析式；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得，，所以．……2分所以．当时，，可得，因为，所以．……5分所以的解析式为．………6分．……10分因为，所以．当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．……13分相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；；;φ代点法4．（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1）...3分（只写对一个公式给2分）....5分由，可得......7分所以......8分.......9分（2）当，换元法..11即时，单调递增.所以，函数的单调增区间是...13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值与相应的x值．解：（Ⅰ）．意义……4分因为，所以，．……6分所以．所以………7分当时，，无范围探讨扣分所以当，即时，，…10分当，即时，．………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期与函数的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求的值.解:……1分……2分.和差角公式逆用………………3分（Ⅰ）函数的最小正周期.……5分令，……6分所以.即.所以，函数的单调递增区间为.……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得，…9分两边平方，得同角关系式所以…………11分因为，所以.所以.……13分解法二：因为，所以.…………9分又因为，得.……10分所以.……11分所以，.诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域．解：（Ⅰ）因为，且，所以，．角的变换因为．所以．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以此结构转化为二次函数值域问题因为，所以，当时，取最大值；当时，取最小值．所以函数的值域为．8．（2011年朝阳期末理15）已知△中，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，求当取最小值时，值.解：（Ⅰ）因为，和差角公式逆用所以.………3分因为，所以.所以.………5分因为，所以.…………7分（Ⅱ）因为，…8分所以.…10分所以当时，取得最小值.此时（），于是.同角关系或三角函数定义……12分所以.……………13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若，，求的值．解：（Ⅰ）．4分．…6分当时，即时，的最大值为．…8分若是三角形的内角，则，∴．令，得，此处两解解得或．……10分由已知，是△的内角，且，∴．…11分又由正弦定理，得．……13分10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△中，角，，的对边分别为，，分，且满意．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求△面积的最大值．解：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理，得．边化角整理得．所以．在△中，．所以，．（Ⅱ）由余弦定理，．所以均值定理在三角中的应用所以，当且仅当时取“=”．取等条件别忘所以三角形的面积．所以三角形面积的最大值为．……13分11、(2011丰台一模理15).在△中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b222．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，推断△的形态．解：（Ⅰ）在△中，因为b222，由余弦定理a2=b22-2可得．(余弦定理或公式必需有一个，否则扣1分)……3分∵0<A<π，（或写成A是三角形内角）……4分∴．……5分（Ⅱ）…7分，……9分∵∴∴（没探讨，扣1分）…10分∴当，即时，有最大值是．…11分又∵，∴∴△为等边三角形．……13分12、(2011海淀一模理15).（本小题共13分）在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，且.(Ⅰ)求； 解：（I）因为，,,…1分代入得到，.…3分因为,…4分所以.角关系………5分（）因为，由（I）结论可得：.…7分因为，…………8分.…………9分由得，…11分