高一数学提高篇讲义(涵盖必修1,2,4,5)【答案精解】

一集合与函数1.1集合及其运算集合的三要素：、、集合的表示方法：、、几个特别集合：、、、、、4、区间表示数集：元素与集合之间的关系元素与集合：是集合的元素记为，不是集合的元素记为。集合与集合：是的子集，记作或。是的真子集，记作或。规定是任何集合的，是任何非空集合的。个元素的集合有个子集，个真子集，个非空真子集。集合的运算：（1）交集(2)并集(3)补集【典型例题】(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，假如k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“孤立元”，这三个元素肯定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中全部元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中全部元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511已知集合A＝{x|x＝a＋eq\f(1,6)，a∈Z}，B＝{x|x＝eq\f(b,2)－eq\f(1,3)，b∈Z}，C＝{x|x＝eq\f(c,2)＋eq\f(1,6)，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．解析：用列举法找寻规律．答案：AB＝C4、设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．5、(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人宠爱篮球运动，10人宠爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不宠爱，则宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都宠爱的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12【巩固练习】1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.答案：BA4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：②5．设a，b都是非零实数，y＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(ab,|ab|)可能取的值组成的集合是________．解析：分四种状况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，探讨得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}6．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，明显m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：17．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，留意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：88．满意{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．解析：A中肯定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：39．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件10．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____.解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}11．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：312．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}13．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}14．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁UA)∩B＝________.解析：∁UA＝{0,1}，故(∁UA)∩B＝{0}．答案：{0}15．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁UN)＝________.解析：依据已知得M∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}16．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}17．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n18．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}19．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋eq\f(x,y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的全部元素之和为________．解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10，故全部元素之和为18.答案：1820．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}={(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－2y＋4＝0.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.21．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的全部子集是________．解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}1.2函数函数的单调性：函数的奇偶性：函数的周期性：函数的对称性：函数的图像：基本初等函数：7、函数的零点：【典型例题】1、设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋bx＋c(x≤0)))，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________个．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝c,4－2b＋c＝－2))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0))).由数形结合得f(x)＝x的解的个数有3个．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0)))32、函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________．解析：∵0<a<1，y＝logax为减函数，∴logax∈[0，eq\f(1,2)]时，g(x)为减函数．由0≤logax≤eq\f(1,2)eq\r(a)≤x≤1.答案：[eq\r(a)，1](或(eq\r(a)，1))3．函数y＝eq\r(x－4)＋eq\r(15－3x)的值域是________．解析：令x＝4＋sin2α，α∈[0，eq\f(π,2)]，y＝sinα＋eq\r(3)cosα＝2sin(α＋eq\f(π,3))，∴1≤y≤2.答案：[1,2]4．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.解：(1)x∈R，f(x)<b·g(x)x∈R，x2－bx＋b<0Δ＝(－b)2－4b>0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，①当Δ≤0即－eq\f(2\r(5),5)≤m≤eq\f(2\r(5),5)时，则必需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)))－eq\f(2\r(5),5)≤m≤0.②当Δ>0即m<－eq\f(2\r(5),5)或m>eq\f(2\r(5),5)时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1<x2)，若eq\f(m,2)≥1，则x1≤0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≥1,F(0)＝1－m2≤0))m≥2.若eq\f(m,2)≤0，则x2≤0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,F(0)＝1－m2≥0))－1≤m<－eq\f(2\r(5),5).综上所述：－1≤m≤0或m≥2.5．(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对随意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，则下列结论正确的是________．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)解析：由已知eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：①6．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，ymax＝13.答案：137．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，eq\f(1,2))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，eq\f(1,2))时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0<a<1.μ＝2(x＋eq\f(1,4))2－eq\f(1,8)，则减区间为(－∞，－eq\f(1,4))．而必定有2x2＋x>0，即x>0或x<－eq\f(1,2).∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq\f(1,2))．答案：(－∞，－eq\f(1,2))8、(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：09、(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．解析：因为f(x)满意f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：f(－25)<f(80)<f(11)10．已知定义在R上的函数f(x)满意f(x)＝－f(x＋eq\f(3,2))，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________.解析：f(x)＝－f(x＋eq\f(3,2))⇒f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：011、(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1.答案：(1，+∞)12、设函数，是公差为的等差数列，，则（）B、C、D、13、(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，则a、b、c的大小关系是________．解析：a＝log3π>1，b＝log2eq\r(3)＝eq\f(1,2)log23∈(eq\f(1,2)，1)，c＝log3eq\r(2)＝eq\f(1,2)log32∈(0，eq\f(1,2))，故有a>b>c.答案：a>b>c14、(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y＝x的是________．解析：y＝x＝eq\r(3,x2)是偶函数，∴解除②、③，当x>1时，＝x>1，∴x>x，∴解除①.答案：④15、(2010年济南市高三模拟考试)函数y＝eq\f(x,|x|)·ax(a>1)的图象的基本形态是_____．16、(2009年高考安徽卷改编)设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是_____．17、(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________.解析：先画出f(x)＝4x－x2的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4.答案：418、已知函数f(x)＝lgeq\f(kx－1,x－1)(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围．解：(1)由eq\f(kx－1,x－1)>0及k>0得eq\f(x－\f(1,k),x－1)>0，即(x－eq\f(1,k))(x－1)>0.①当0<k<1时，x<1或x>eq\f(1,k)；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<eq\f(1,k)或x>1.综上可得当0<k<1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(eq\f(1,k)，＋∞)；当k≥1时，函数的定义域为(－∞，eq\f(1,k))∪(1，＋∞)．(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴eq\f(10k－1,10－1)>0，∴k>eq\f(1,10).又f(x)＝lgeq\f(kx－1,x－1)＝lg(k＋eq\f(k－1,x－1))，故对随意的x1，x2，当10≤x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，即lg(k＋eq\f(k－1,x1－1))<lg(k＋eq\f(k－1,x2－1))，∴eq\f(k－1,x1－1)<eq\f(k－1,x2－1)，∴(k－1)·(eq\f(1,x1－1)－eq\f(1,x2－1))<0，又∵eq\f(1,x1－1)>eq\f(1,x2－1)，∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈(eq\f(1,10)，1)．19、已知函数f(x)满意f(logax)＝eq\f(a,a2－1)(x－x－1)，其中a>0且a≠1.(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合；(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝eq\f(a,a2－1)(at－a－t)，∴f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)．∵f(－x)＝eq\f(a,a2－1)(a－x－ax)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函数．当a>1时，eq\f(a,a2－1)>0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是R上的增函数；当0<a<1，eq\f(a,a2－1)<0，ax是减函数，－a－x是减函数，∴f(x)是R上的增函数．综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R上的增函数．(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<m2－1，,－1<1－m<1，,－1<m2－1<1.))解得m∈(1，eq\r(2))．(2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x)<f(2)，∴f(x)－4<f(2)－4，要使f(x)－4的值恒为负数，只需f(2)－4≤0，即eq\f(a,a2－1)(a2－a－2)－4≤0，解得2－eq\r(3)≤a≤2＋eq\r(3)，∴a的取值范围是2－eq\r(3)≤a≤2＋eq\r(3)且a≠1.【巩固练习】1、(2009年高考北京卷)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,－x，x>1.))若f(x)＝2，则x＝________.解析：依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log322、(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0,x＋6，x<0))，则不等式f(x)>f(1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f(x)>f(1)＝3时，令f(x)＝3，解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集为0≤x<1或x>3.当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－3<x<0或x>3.综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}3．(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满意f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(4－x)，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x＞0，))则f(3)的值为________．解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－24．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))∴－4<a≤4.答案：－4<a≤45．若函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(eq\f(3,4)，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__．解析：∵f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(eq\r(a)，＋∞)上为增函数，∴eq\r(a)≤eq\f(3,4)，0<a≤eq\f(9,16).答案：(0，eq\f(9,16)]6．(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax(x<0)，,(a－3)x＋4a(x≥0)))满意对随意x1≠x2，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0成立，则a的取值范围是________．解析：由题意知，f(x)为减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－3<0，,a0≥(a－3)×0＋4a，))解得0<a≤eq\f(1,4).7、(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满意f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x取值范围是________．解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)<f(eq\f(1,3))，再依据f(x)的单调性得|2x－1|<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).答案：(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))8．(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－29、．(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满意f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：010．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：111．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内随意的x，满意f(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，若当2<x<3时，f(x)＝x，则f(2009.5)＝________.解析：由f(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)12．(原创题)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,a2－1＝0,a0－1＝2))无解或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,a0－1＝0,a2－1＝2))⇒a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)13、(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满意：当x≥4时，f(x)＝(eq\f(1,2))x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2.∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝(eq\f(1,2))log224＝2－log224＝2log2eq\f(1,24)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)14、(原创题)方程xeq\f(1,2)＝logsin1x的实根个数是__________．15、(2010年安徽省江南十校模拟)函数f(x)＝2x＋x－7的零点所在的区间是____．①(0,1)②(1,2)③(2,3)④(3,4)16、若函数(e是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+μ=200817、设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则（A）（B）（C）（D）18.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对随意实数都有，则的值是A.0B.C.1D.19、函数f(x)=1+log2x与g(x)=在同始终角坐标系下的图象大致是20、已知是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是21、函数的图象可能是（）22、函数的图象大致是（）A、B、C、D、二三角函数与解三角形随意角的三角函数定义三角函数线三角函数基本公式4、正弦函数、余弦函数的图像及性质正余炫定理【典型例题】例1若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，则a的值为________．解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，易得tanα＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，则a＝－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3).答案：－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3)例2(2010年南昌质检)若tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝_____________.解析：eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5).答案：eq\f(16,5)例3已知向量a＝(eq\r(3)，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，求eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))的值．解：(1)∵a∥b，∴eq\r(3)cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－eq\r(3)cosα＝2sin(α－eq\f(π,3))．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－eq\f(π,3))＝－1时，mmin＝－2.此时α－eq\f(π,3)＝eq\f(3,2)π，即α＝eq\f(11,6)π.(2)∵a⊥b，且m＝0，∴eq\r(3)sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－eq\f(\r(3),3).∴eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))＝eq\f(sinα·(－sin2α),－cosα)＝tanα·2sinα·cosα＝tanα·eq\f(2sinα·cosα,sin2α＋cos2α)＝tanα·eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(1,2).例4(2009年高考四川卷)已知函数f(x)＝sin(x－eq\f(π,2))(x∈R)，下面结论错误的是________．①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上是增函数③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数解析：∵y＝sin(x－eq\f(π,2))＝－cosx，y＝－cosx为偶函数，∴T＝2π，在[0，eq\f(π,2)]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：④例5(2010年苏北四市调研)若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－eq\f(2π,3)，eq\f(2π,3)]上单调递增，则ω的最大值为________．解析：由题意，得eq\f(2π,4ω)≥eq\f(2π,3)，∴0<ω≤eq\f(3,4)，则ω的最大值为eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)例6已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,2eq\r(3))，其中ω>0，函数f(x)＝a·b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若对随意实数x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2eq\r(3))＝sin2ωx＋eq\r(3)(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).∵相邻两对称轴的距离为π，∴eq\f(2π,2ω)＝2π，∴ω＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).(2)∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，∴x＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]，∴2eq\r(3)≤f(x)≤2＋eq\r(3).又∵|f(x)－m|<2，∴－2＋m<f(x)<2＋m.,若对随意x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋m≤2\r(3)，,2＋m≥2＋\r(3)，))解得eq\r(3)≤m≤2＋2eq\r(3).例7(2009年高考浙江卷)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不行能是________．解析：函数的最小正周期为T＝eq\f(2π,|a|)，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，视察图形中周期与振幅的关系，发觉④不符合要求．答案：④例8、如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)；②函数f(x)的振幅为2eq\r(3)；③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝eq\f(7,12)π；④函数f(x)的单调递增区间为[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]；⑤函数的解析式为f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2,3)π)．解析：据图象可得：A＝eq\r(3)，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)⇒T＝π，故ω＝2，又由f(eq\f(7π,12))＝eq\r(3)⇒sin(2×eq\f(7π,12)＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－eq\f(2π,3)，故f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2π,3))，依次推断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝eq\f(7π,12)是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤例9(原创题)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，假如存在实数x1，使得对随意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．解析：明显结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sin(ωx＋eq\f(π,4))，则2010≥eq\f(\f(2π,ω),2)⇒ω≥eq\f(π,2010).答案：eq\f(π,2010)例10(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图可知，eq\f(T,2)＝2π－eq\f(3,4)π，∴T＝eq\f(5,2)π，∴eq\f(2π,ω)＝eq\f(5,2)π，∴ω＝eq\f(4,5)，∴y＝sin(eq\f(4,5)x＋φ)．又∵sin(eq\f(4,5)×eq\f(3,4)π＋φ)＝－1，∴sin(eq\f(3,5)π＋φ)＝－1，∴eq\f(3,5)π＋φ＝eq\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φ<π，∴φ＝eq\f(9,10)π.答案：eq\f(9,10)π例11(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．解析：∵f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，∴eq\f(2π,ω)＝π，故ω＝2.又f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))∴g(x)＝sin[2(x＋eq\f(π,8))＋eq\f(π,4)]＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x.答案：向左平移eq\f(π,8)个单位长度例12(2010年深圳调研)定义行列式运算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)cosx,1sinx))的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．解析：由题意，知f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝2sin(x－eq\f(π,6))，其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－eq\f(π,6)＋m)，平移后其对称轴为x－eq\f(π,6)＋m＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，故m的最小值为eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)例13(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sineq\f(πx,2)≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：当0≤x≤1时，y＝sineq\f(πx,2)的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．当k>0，kx≤sineq\f(πx,2)时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sineq\f(πx,2)≥kx.答案：k≤1已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α、β均为锐角，则β等于________．解析：∵α、β均为锐角，∴－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\r(1－sin2(α－β))＝eq\f(3\r(10),10).∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosα＝eq\r(1－(\f(\r(5),5))2)＝eq\f(2\r(5),5).∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(2),2).∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)例14eq\f(cos2α,1＋sin2α)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)的值为________．解析：eq\f(cos2α,1＋sin2α)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(cos2α－sin2α,(sinα＋cosα)2)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(cosα－sinα,sinα＋cosα)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝1.例15(原创题)函数f(x)＝(sin2x＋eq\f(1,2010sin2x))(cos2x＋eq\f(1,2010cos2x))的最小值是________．解析：f(x)＝eq\f((2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1),20102sin2xcos2x)＝eq\f(20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋1,20102sin2xcos2x)＝sin2xcos2x＋eq\f(2011,20102sin2xcos2x)－eq\f(2,2010)≥eq\f(2,2010)(eq\r(2011)－1)．例16(2010年南京调研)已知：0<α<eq\f(π,2)<β<π，cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5).(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋eq\f(π,4))的值．解：(1)法一：∵cos(β－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)cosβ＋sineq\f(π,4)sinβ＝eq\f(\r(2),2)cosβ＋eq\f(\r(2),2)sinβ＝eq\f(1,3)，∴cosβ＋sinβ＝eq\f(\r(2),3)，∴1＋sin2β＝eq\f(2,9)，∴sin2β＝－eq\f(7,9).法二：sin2β＝cos(eq\f(π,2)－2β)＝2cos2(β－eq\f(π,4))－1＝－eq\f(7,9).(2)∵0<α<eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,4)<β－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)，∴sin(β－eq\f(π,4))>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5)，∴sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),3)，cos(α＋β)＝－eq\f(3,5).∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)cos(β－eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq\f(π,4))＝－eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,5)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(8\r(2)－3,15).例17(2009年高考福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<eq\f(π,2).(1)若coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq\f(π,3)，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．解：法一：(1)由coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0得coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(π,4)sinφ＝0，即cos(eq\f(π,4)＋φ)＝0.又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))．依题意，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)，又T＝eq\f(2π,ω)，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋eq\f(π,4)]，g(x)是偶函数当且仅当3m＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即m＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,12)(k∈Z)．从而，最小正实数m＝eq\f(π,12).法二：(1)同法一．(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))．依题意，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3).又T＝eq\f(2π,ω)，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋eq\f(π,4)]．g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，亦即sin(－3x＋3m＋eq\f(π,4))＝sin(3x＋3m＋eq\f(π,4))对x∈R恒成立．∴sin(－3x)cos(3m＋eq\f(π,4))＋cos(－3x)·sin(3m＋eq\f(π,4))＝sin3xcos(3m＋eq\f(π,4))＋cos3xsin(3m＋eq\f(π,4))，即2sin3xcos(3m＋eq\f(π,4))＝0对x∈R恒成立．∴cos(3m＋eq\f(π,4))＝0，故3m＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴m＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，从而，最小正实数m＝eq\f(π,12).例18设函数（Ⅰ）求的最大值，并写出访取最大值是的集合；（Ⅱ）已知中，角的对边分别为若求的最小值.【答案】（Ⅰ）……的最大值为……分要使取最大值，故的集合为……分注：未写“”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.假如两者都不符合也扣1分.（Ⅱ）由题意，，即化简得……分，，只有，…分在中，由余弦定理，……………分由知，即，当时取最小值……………分【巩固练习】1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝eq\f(\r(2),2)；当a<0时，点P(a，－a)在其次象限，sinα＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)2.（原创题)若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，则a的值为________．解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，易得tanα＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，则a＝－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3).答案：－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3)3.已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)4．函数f(x)＝sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,2))＋sineq\f(2,3)x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．解析：f(x)＝coseq\f(2x,3)＋sineq\f(2x,3)＝eq\r(2)sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,4))，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝eq\f(2π,\f(2,3))＝3π，∴eq\f(T,2)＝eq\f(3π,2).答案：eq\f(3π,2)5.(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝________.解析：eq\f(T,2)＝eq\f(11,12)π－eq\f(7,12)π＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3.又(eq\f(7,12)π，0)是函数的一个上升段的零点，∴3×eq\f(7,12)π＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，代入f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，得A＝eq\f(2\r(2),3)，∴f(0)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6.假如tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则eq\f(sin(α＋β),cos(α－β))＝________.解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则eq\f(sin(α＋β),cos(α－β))＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3,1－3)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)7.设α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，β∈(0，eq\f(π,4))，cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，α－eq\f(π,4)∈(0，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，∴sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5).∵β∈(0，eq\f(π,4))，∴eq\f(3π,4)＋β∈(eq\f(3π,4)，π)．∵sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，∴cos(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－eq\f(π,4))＋(eq\f(3π,4)＋β)]＝－cos(α－eq\f(π,4))·cos(eq\f(3π,4)＋β)＋sin(α－eq\f(π,4))·sin(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(3,5)×(－eq\f(12,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65)，即sin(α＋β)＝eq\f(56,65).8.已知向量m＝(2cos，1)，n＝(sin，1)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1.(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝，f(B)＝，求f(C)的值．解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cos，1)·(sin，1)－1＝2cossin＋1－1＝sinx.∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[－1,1]．(2)∵f(A)＝，f(B)＝，∴sinA＝，sinB＝.∵A，B都为锐角，∴cosA＝＝，cosB＝＝.∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.∴f(C)的值为.9.已知角α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.(1)求tan(α＋eq\f(π,4))的值；(2)求cos(eq\f(π,3)－2α)的值．解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，又α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴tanα＝eq\f(4,3)，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，(1)tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(\f(4,3)＋1,1－\f(4,3))＝－7.(2)cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25)，cos(eq\f(π,3)－2α)＝coseq\f(π,3)cos2α＋sineq\f(π,3)sin2α＝eq\f(1,2)×(－eq\f(7,25))＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(24,25)＝eq\f(24\r(3)－7,50).10.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值。18．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础学问，考查运算实力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。解：（I）由已知可得，又正三角形的高为，从而所以函数的周期，即函数的值域为………………..6分（II）因为，由（I）有，即由，知所以故……………………12分三数列3.1数列与不等式【典型例题】数列与不等式的综合问题经常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式学问解决问题的实力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题经常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满意，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，留意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以2．放缩后成等比数列，再求和例3（2012广东）设数列的前项和为，满意，，且，，成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有。（1）∵且成等差数列∴解得（2）∵………………①∴……………………②②-①化得∵∴∴，故数列{}成首项为，公比也为的等比数列，于是有∴，（3）∵（当n=1时，取等号。）∴，∴（当且仅当n=1时，取等号。）∴3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满意：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5已知数列中，证明：放缩一：＝点评：此种放缩为常规法，学生很简洁想到，但须要保留前5项，从第6项起先放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚毅而放弃。须要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调整？放缩二：点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项起先放大，能较简洁想到，还能再进一步靠近原式？放缩三：本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生改变，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简洁，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避开运算上的麻烦。3.2数列与其他学问综合问题【典型例题】例1、已知数列为等差数列，每相邻两项，分别为方程，（是正整数）的两根.（1）求的通项公式;（2）求之和;（3）对于以上的数列和,整数981是否为数列｛｝中的项？若是,则求出相应的项数；若不是,则说明理由.1.解：(1)设等差数列的公差为d，由题意得由得由另解:由得(其余略)(2)(10分)(3)∵n是正整数,是随n的增大而增大,又＜981,＞981∴整数981不是数列｛｝中的项.例2、已知数列{}、{}满意：，an+bn=1，.(1)求：b1、b2、b3、b4、b5.(2)求数列{}的通项公式；(3)设，求实数a为何值时恒成立．1.解：（1)∵∴（2）∵∴∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列∴…...…........3分(3)∵∴=+++......+=—+—+—+......+—=—=…….....5分∴…………….............………........7分由条件可知(a—1)n2+(3a—6)n—8<0恒成马上可满意条件设f(n)=(a—1)n2+(3a—6)n—8…………….................................................................................................................………........9分a＝1时，恒成立,a>1时，由二次函数的性质知不行能成立a<l时，对称轴f(n)在为单调递减函数．.......10分∴∴a<1时恒成立综上知：a≤1时，恒成立………………........................................…............…....12分例3、公差大于零的等差数列的前项和为，且满意。（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列是等差数列，求非零常数的值；（3）在（2）的条件下，求的最大值。例4.已知函数，若数列：成等差数列.(1)求数列的通项；(2)若，令，求数列前项和；(3)在(2)的条件下对随意，都有，求实数的取值范围.22.解：(1)由求得，所以，求得.(2)，，错位相减得(3)，所以为递增数列.中的最小项为，所以.例5.已知曲线y=，过曲线上一点（异于原点）作切线(斜率为）。（I）求直线与曲线y=交于另一点；（II）在（I）的结论中，求出的递推关系。若，求数列的通项公式；（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数m，M，使得不等式m<Rn<M对一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否则请说明理由。17.解：（I）y′=（II）（III）①②②－①得：此时M=2，m=0【巩固练习】1、已知向量向量与垂直，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满意，求数列的前项和.19.解（1）向量与垂直即 …………2分是以1为首项，2为公比的等比数列…………4分。…………5分（2），，…………8分……①……②………10分由①—②得，……12分………14分2、已知等比数列{an}满意((I)求{an}的通项公式；(II)设，求数列的前n项的和.（17）解：（Ⅰ）设an＝a1qn－1，依题意，有eq\b\lc\{(\a\al(a1a2＝a\o(2,1)q＝－\f(1,3)，,a3＝a1q2＝\f(1,9)，))解得a1＝1，q＝－eq\f(1,3)． …4分所以an＝(－eq\f(1,3))n－1． …5分（Ⅱ）bn＝eq\f(n＋1,1×2)＋eq\f(n＋1,2×3)＋…＋eq\f(n＋1,n(n＋1))＝(n＋1)[eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))]＝(n＋1)[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝n． …7分记数列{eq\f(bn,an)}的前n项的和为Sn，则Sn＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n×(－3)n－1，－3Sn＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n×(－3)n，两式相减，得4Sn＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n×(－3)n＝eq\f(1－(－3)n,4)－n×(－3)n，故Sn＝eq\f(1－(4n＋1)(－3)n,16)． 3、已知各项均不相等的等差数列的前三项和为18，是一个与无关的常数，若恰为等比数列的前三项，（1）求的通项公式．（2）记数列，的前项和为，求证：19/解（1）是一个与无关的常数………2分又………4分………6分（2）…8分又因为即……12分所以：……12分4（2006年全国卷I）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解：易求（其中n为正整数）所以：5（2006年福建卷）已知数列满意 （I）求数列的通项公式； （II）证明： 解：（I）易求 （II）证明： 点评：两个高考题向我们说明白数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项（裂项法）与放缩法的结合；2.用放缩法转化为等比数列求和。6.数列中，且满意（1）求数列的通项公式；（2）设，求;（3）设,，是否存在最大的整数m，使得对随意,均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解（1）由,可知成等差数列，（2）由得∴当时，当时，故（3）==(－)∴∴要使总成立，需恒成立，即。故适合条件的的最大值为7。7.已知数列中，求证：方法一：方法二：点评：方法一用的是放缩法后用裂项法求和；方法二是通过放缩转化为等比数列求和，从数值上看方法二较方法一最终结果的精确度高，但都没超过要证明的结果3。8（2009四川高考）设数列的前n项和为，对随意正整数n,都有成立，记（1）、求数列与的通项公式；（2）、设数列的前n项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在找出一个正整数K；若不存在，请说明理由；（3）、记，设数列的前n项和为，求证：对随意正整数n都有；【解析】（I）当时，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，…………………3分（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知∴当n为偶数时，设∴当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有∴不存在正整数，使得成立。…………………8分（III）由得又，当时，，当时，…………………14分9.已知函数且随意的、都有（1）若数列（2）求的值.5.解：（1）而（2）由题设，有又得上为奇函数.由得于是故10.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对全部都成立的最小正整数m.2.解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必需且仅须满意≤，即m≥10，所以满意要求的最小正整数m为10.四其他学问串讲4.1直线与圆1、(2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐标为________．8．解析因为圆心移动的距离为2，所以劣弧eq\o(\s\up7(⌒),\s\do5(PA))＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－eq\f(π,2)，所以PB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，CB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－sin2,1－cos2)．答案(2－sin2,1－cos2)2、(2012·无锡期中)若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．1．解析因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，所以，点(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上，所以，a＋b＝1，ab＝a(1－a)≤eq\f(1,4).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))3、(2012·江西)过直线x＋y－2eq\r(2)＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．2．解析直线