专题16 二次函数变换综合题分类训练（轴对称、旋转和平移）（解析版）

专题16二次函数变换综合题分类训练（轴对称、旋转和平移）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型1轴对称变换】 1【题型2旋转变换】 31【题型3平移变换】 60【题型1轴对称变换】1．如图，已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点B-1,0和点A，与y轴交于点

(1)求a的值．(2)若P为直线AC上方抛物线上的动点，作PH∥x轴交直线AC于点H，求(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线AC向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值．【答案】(1)a=-1(2)PH取得最大值为9(3)n的值为4或25【分析】（1）把B-1,0代入y=ax2（2）设Pm,-m2+2m+3，得出点H的纵坐标为-m2+2m+3，求出直线AC（3）分两种情况进行讨论，分别画出图象，求出n的值即可．【详解】（1）解：∵拋物线y=ax2-2ax+3与x∴a+2a+3=0，解得：a=-1；（2）解：二次函数解析式为：y=-x设Pm,-∵PH∥x轴，∴点H的纵坐标为-m把x=0代入y=-x2+2x+3∴C0,3设直线AC的解析式为y=kx+n，∴3k+n=0解得：k=-1n=3∴直线AC的解析式为y=-x+3，∴-m∴x=m∴Hm∴PH=m-m∵-1<0，开口向下，∴当m=32时，PH取得最大值为（3）解：直线AC向下平移n个单位后的关系式为y=-x+3-n，如图，当平移后的直线l1过点B时，直线l1与图像把B-1,0代入y=-x+3-n得：1+3-n=0解得：n=4；原抛物线上方折叠到下方的抛物线解析式为：y=x当平移后的直线l2与抛物线y=x2-2x-3相切时，直线∴此时方程-x+3-n=x即方程x2∴-12解得：n=25综上分析可知，n的值为4或254

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，一次函数解析，二次函数的最值，一次函数图象的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．2．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，其中B

(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P是二次函数上一动点，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，连接CP，将△PCQ沿PC折叠，当Q的对应点Q'恰好落在y轴上时，请求出点Q(3)在二次函数的图象上，是否存在点M，使得∠MCA=∠OCB？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)这个二次函数的表达式为y=x(2)点Q的坐标为3+2，-(3)M点坐标为2，-1或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用折叠的性质和平行线的性质证明QC=PQ，然后设元，求解即可；（3）过点A作AD⊥AC与直线CM交于点D，过点D作DM⊥x轴于点M，利用△DCA∽△BCO，求得点D的坐标，据此分两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过B∴1+b+c=0c=3，解得b=-4∴这个二次函数的表达式为y=x（2）解：令y=0，则x2解得x1=1，∴A3,0

设直线AC的解析式为y=kx+3，则0=3k+3，解得k=-1，∴直线AC的解析式为y=-x+3，将△PCQ沿PC折叠，当Q的对应点Q'恰好落在y轴上时，∠PCQ=∠PC∵PQ∥y轴，∴∠QPC=∠PCQ∴∠QPC=∠PCQ，∴QC=PQ，设点P的坐标为n，n2-4n+3，则点∴QC=2n，∴n2-3n=2解n2-3n=2n得解n2-3n=-2n得当n=3+2时，-n+3=-当n=3-2时，-n+3=∴点Q的坐标为3+2，-（3）解：过点A作AD⊥AC与直线CM交于点D，过点D作DM⊥x轴于点M，点D在x轴上方时，如图，

∵A3,0，B1,0，∴OA=OC=3，OB=1，AC=32+∴∠DAE=45°，∴△DAE是等腰直角三角形，∴ED=EA，∵∠CAD=∠COB=90°，∠MCA=∠OCB，∴△DCA∽△BCO，∴ACOC=AD∴AD=2∴ED=EA=1，∴D4,1同理求得直线CD的解析式为y=-1联立-1解得x=0（舍去）或x=3.5，∴M点坐标为72若点D在x轴下方时，如图，

同理，ED=EA=1，∴D2,-1，同理求得直线CD的解析式为y=-2x+3，联立-2x+3=解得x=0（舍去）或x=2，∴M点坐标为2，-1与点综上，M点坐标为2，-1或【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．如图1，抛物线L1:y=ax-1x-5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点

(1)求抛物线L1(2)若直线L2将线段AB分成1:3两部分，求k(3)如图2，将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L3．直接写出直线L2与图象L【答案】(1)y=-(2)k=52(3)2【分析】（1）先求M点再利用待定系数法求抛物线L1（2）先确定分点的坐标，代入直线L2的解析式求k（3）直线y=kx-5过(0,-5)，利用数形结合观察有四个交点的情形，求出临界值，再写k的范围．【详解】（1）解：∵直线L2的解析式为y=kx-5∴M(0,-5)，把M点的坐标代入y=a(x-1)(x-5)得，5a=-5，解得a=-1，∴抛物线L1的解析式为y=-(x-1)(x-5)，即y=-（2）解：设直线L2与x轴的交点为C

令y=0时，则有-(x-1)(x-5)=0，解得：x1∴点A(1,0)和点B(5,0)，∴AB=4，∵直线L2将线段AB分成1:3∴AC=1或AC=3，∴C(2,0)或(4,0)，分别代入y=kx-5得：k=52或（3）解：如图所示，当直线y=kx-5夹在两条虚线之间时直线L2与图象L3有四个交点，把B(5,0)代入y=kx-5得

∴把y=-x2+6x-5化为顶点式得y=-∴将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方后，顶点变为(3,-4)∴折叠后的抛物线表达式为y=(x-3)联立y=kx-5和y=x2-6x+5∴x2-6x+5=kx-5∴Δ=∴k=210-6或∵k>0，∴k=210∴210【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数和二次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，结合了对称变换，渗透了数形结合的思想，对于（3），关键是找到并求出k的临界值．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=34x-9与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线y=14x2+bx+c经过

(1)求B，C两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；(2)如图1，点D在线段OB上运动，连接CD，沿直线CD折叠△BCD得到△B'CD，当B'D⊥x(3)如图2，连接AC，作∠COE=∠ACO，OE交△ABC的边于点E，请直接写出CE的长．【答案】(1)B(12,0)，C(0,-9)，抛物线的解析式为y=14(2)∠BDC的度数为135°，D(9,0)(3)CE的长为3102【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用翻折的性质可得：BD=B'D，S△BCD=S△B'CD；设D(m,0)，利用点的坐标表示出线段（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点E在AC边上时，利用直角三角形的性质和直角三角形的斜边上的中线，勾股定理解答即可；②当点E在BC边上时，利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论．【详解】（1）解：令x=0，则y=-9，∴C(0,-9)，令y=0，则34∴x=12，∴B(12,0)，∵抛物线y=14x2+bx+c∴14解得：b=-9∴抛物线的解析式为y=1令x=0，则14∴x=-3或x=12，∴A(-3,0)；（2）解：∵沿直线CD折叠△BCD得到△B∴△BCD≌△B∴BD=B'D设D(m,0)，m>0，∴OD=m，∵C(0,-9)，B(12,0)，∴OC=9，OB=12．∴BD=BD∵S△BCD=1∴12解得：m=9或m=12（不合题意，舍去），∴m=9，∴D(9,0)．∴OD=9，∴OD=OC=9，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠BDC的度数=180°-∠ODC=135°；（3）解：①当点E在AC边上时，如图，

∵∠AOC=90°，∴∠ACO+∠CAO=90°，∠EOA+∠COE=90°，∵∠COE=∠ACO，∴∠CAO=∠EOA，∴EA=EO，∵∠COE=∠ACO，∴EO=EC，∴AE=CE=1∵A(-3,0)，C(0,-9)，∴OA=3，OC=9，∴AC=O∴CE=1②当点E在BC边上时，如图，

∵∠COE=∠ACO，∴OE∥∴△BOE∽△BAC，∴BOBA∵OA=3，OB=12，∴AB=OA+OB=15．∵BC=O∴1215∴BE=12，∴CE=BC-BE=3．综上，当∠COE=∠ACO，OE交ΔABC的边于点E，CE的长为3102【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，折叠的性质，垂直的性质，平行线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．5．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于A-1，0、B4，0两点，与

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上B，D两点之间的部分（不包含B，D两点），是否存在点G，使得S△BGH=16(3)如图②，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，直接写出E的坐标．【答案】(1)y=-(2)存在，G(3)E【分析】（1）设出抛物线的交点式式，再将点C0（2）设点G的坐标，分别表达出△BGH和△DGH的面积，建立方程，即可求解；（3）设点E关于直线BC的对称点为Q，原点关于直线BC的对称点为P，如图所示，设Ps，t，由轴对称的性质可得PC=OC=2，PB=OB=4，利用勾股定理得到s2+t-22=4s-42+t2=16，推出t=2s，解得【详解】（1）解：抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象与∴设抛物线的解析式为：y=ax+1∵抛物线过点C0,2∴2=a0+1解得a=-1∴抛物线的解析式为：y=-1（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b∴4k+b=0b=2∴k=-12∴直线BC的解析式为：y=-1∵抛物线解析式为y=-1∴抛物线对称轴为直线x=3在y=-12x+2中，当x=∴H3∴DH=25过点G作GM⊥DH于点M，过点G作GN⊥x轴交直线BC于点N，设点G的坐标为m,-12m2+∴GM=m-32，∴S△BGHS△DGH∵S△BGH∴-58解得m=2或m=-6（舍去），∴存在，G2,3

（3）解：设点E关于直线BC的对称点为Q，原点关于直线BC的对称点为P，如图所示，设Ps由轴对称的性质可得PC=OC=2，∴s2∴t=2s，∴s2+2s-2解得s=85或∴P8同理可得直线CP的解析式为y=3联立y=34x+2y=-1∴Q3∴CQ=3∴CE=CQ=15∴OE=1∴E0

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形的面积，对称的性质等内容，第（2）问中表达出三角形的面积是解题关键；第（3）问中得到点P的坐标是解题的关键．6．已知抛物线y=ax2+2x+ca≠0与x轴交于点A-1,0和点B3,0，与y轴交于点C，连接BC，点

(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，P为AD上方的抛物线上的一个动点，连接PB交AD于点E．当△ABD的面积被直线BP分成1:3的两部分时，求点P的坐标．(3)如图2，若直线AD沿过点D的直线m折叠后恰好经过点M214,0，请直接写出直线m【答案】(1)y=-(2)P-3(3)y=7x-18，Q109-5【分析】（1）待定系数法求出解析式即可；（2）根据△ABD的面积被直线BP分成1:3的两部分，得到AE=13DE或AE=3DE，求出E点坐标，进而得到直线BE（3）求出直线DM的解析式，进而求出点A的对应点A'的坐标，进而求出A,A'的中点坐标，该点在直线m上，进而求出直线m的解析式，联立直线m【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+ca≠0与x轴交于点∴a-2+c=09a+6+c=0，解得：a=-1∴y=-x（2）∵y=-x2+2x+3，当x=0∴C0,3∴OC=3，∵B3,0∴OB=3=OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∵点O与点D关于线段BC对称，∴BC是OD的垂直平分线，设OD交BC于点F，

则OF⊥BC，∴F为BC的中点，∴F3又F为OD的中点，∴D3,3△ABD的面积被直线BP分成1:3的两部分时，有两种情况：①S△ABE∵S△ABE∴AE:DE=1:3，∴AE:AD=1:4，∴点E为点A,D的中点与点A的中点，∵A,D的中点坐标为：1,3∴E0,设BE的解析式为：y=kx+b，∴b=343k+b=0∴y=-1联立y=-14x+34∴P-②当S△ABE同法可得：点E为点A,D的中点与点D的中点，∴E2,设直线BE的解析式为：y=mx+n，∴2k+b=943k+b=0∴y=-9联立y=-94x+274∴P5综上：P-34（3）设直线DM的解析式为：y=k则：3k1+∴y=-4设点A关于直线m的对称点为A'则：A'在直线DM上，DA=D设A'∵DA=DA'，∴3+12解得：t=6或t=0（舍掉），∴A'∵点A关于直线m的对称点为A'∴A,A'的中点52设直线m的解析式为：y=k∵D3,3，点52,-∴3k2+∴直线m的解析式为：y=7x-18，联立y=7x-18y=-x2+2x+3，解得：∴Q109-52【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．7．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-1，0和点B2，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BD，BP，当SΔADB=(3)如图2，若AO=DO，点E在直线AD上运动，连接OE，将△AOE沿OE折叠，得到△FOE，当EF与坐标轴平行时，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)y=-(2)P(3)E122-1,22【分析】（1）把A(-1,0)和点B(2,0)代入y=ax（2）过点B作BM⊥AP，垂足为点M，根据已知条件得出AD=23PD，过点P作PC∥x轴，交y轴于点C，可得△PCD∽△AOD，进而根据相似三角形的性质得出AO=（3）根据已知得出直线AD的解析式为y=x+1；设Et,t+1，根据当EF∥x轴时，当【详解】（1）把A(-1,0)和点B(2,0)代入y=ax得a-b+2=04a+2b+2=0解得a=-1∴抛物线解析式为y=-x（2）过点B作BM⊥AP，垂足为点M∴S△ADB=∵S∴AD=2∴AD过点P作PC∥x轴，交y轴于点∴∠PCD=∠AOD，∵∠PDC=∠ADO，∴△PCD∽△AOD，∴AD∴AO=∵A(-1,0)，∴PC=∴点P的横坐标为32，把x=32得：y=-∴点P3（3）解：∵AO=DO，A(-1,0)，∴DO=AO=1，则D0,1设直线AD的解析式为y=kx+b，∴-k+b=0b=1解得：k=1b=1∴直线AD的解析式为y=x+1；依题意设Et,t+1如图所示，将△AOE沿OE折叠，得到△FOE，∴AO=OF，AE=EF，∠AOE=∠FOE，当EF∥x∴∠AOE=∠FEO，∴∠FEO=∠FOE，∴EF=AO又AO∴四边形AOFE是平行四边形，又∵AO=OF∴四边形AOFE是菱形；∴AE=AO∴-1-t解得：t=22-1如图所示，当EF∥∵AO=DO，∠AOD=90°∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠DAO=45°，设直线EF交x轴于点G，

∵折叠，∴∠OFG=45°∴OF=OA=1,G即t2解得：t=22或∴E122-1,22【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法，面积问题，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0)、B(1,0)（1）求抛物线的函数解析式（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．如果P点的坐标为(x,y)，△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P'，求出P【答案】（1）y=－x2－2x+3；（2）S=－x2－3x；（3）P′（910，9【分析】（1）运用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）求出顶点坐标，根据待定系数法求出直线AD的解析式，则P（x，2x+6），然后根据三角形面积公式表示即可；（3）根据（2）中关系式，可得当x=－32时，S取最大值94，则P（－32【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点∴9a-3b+c=0解得a=-1∴解析式为y=－x2－2x+3；（2）∵－x2－2x+3=－（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标D为（－1，4）．∵A（－3，0），D（－1，4），∴设AD为解析式为y=kx+b，有-3k+b=0-k+b=4解得k=2b=6∴AD解析式：y=2x+6，∵P在AD上，∴P（x，2x+6），∴S△APE=12PE×yP=12（－x）（2x+6）=－x2－3∴S=－x2－3x；（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，∵S=－x2－3x=-∴当x=－32时，S取最大值9∴P（－32，3∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（－32，3∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=32∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN，∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE，∴EN=FN设EN=m，则FN=m，P′N=3－m，在Rt△P′EN中，∵（∴m=15∵S△P′EN=12P′N·P′E=12EN·P∴P′M=910在Rt△EMP′中，∵EM=(32∴OM=EO－EM=95∴P′（910，9【点睛】本题考查了二次函数的综合－面积问题，待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质式解本题的关键．9．如图，抛物线y=ax2+23x(a≠0)过点A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF．将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-33x2+23x；（2）D(5,5【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．解直角三角形求出点N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．（3）分三种情形：如图②﹣1中，当∠EFG=90°时，点H在第一象限，此时G，B'，O重合．如图②﹣2中，当∠EGF=90°时，点H在对称轴右侧．如图②﹣3中当∠FEG=90°时，点H在对称轴左侧，点B'在对称轴上，分别求解即可．【详解】解：（1）把点A6,0代入y=ax得到36a+123解得a=-3∴抛物线的解析式为y=-3（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M．∵y=-3∴顶点B(3,33)，M（3，∴OM=3，BM=33∴tan∠MOB=∴∠MOB=60°，∵∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOB-∠BOD=30°，∴MN=OM⋅tan∴N(3,3设直线ON的解析式为y=kx，∴3=3k解得k=∴直线ON的解析式为y=3由y=33xy=-3∴D(5,5（3）如图②﹣1中，当∠EFG=90°时，此时G，O重合，可得F(3∵E(3,3)，四边形∴利用平移的性质可得H(3如图②﹣2中，当∠EGF=90°时，由题意得点G是OB的中点，∴G(3∵EF=B∴F(2,23∵E(3,3∴利用平移的性质可得H(7如图②﹣3中当∠FGE=90°时，点H在对称轴左侧，由题意EF⊥BE，∵BE=23，∠EBF=30°∴EF=2，∴F(1,3∵点G为OE的中点，∴G(3∵E(3,3∴利用平移的性质可得H(52综上所述，满足条件的点H的坐标为H(32,-32【点睛】此题考查二次函数与图形的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，求两个函数图象的交点坐标，利用特殊角的正切值求线段，轴对称的性质，矩形的性质，解题中运用分类思想解决问题是解题的关键．10．如图，抛物线y＝ax2＋32x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求S1S2的值最大时点【答案】（1）y=12x2+32x-2；y=2x-2；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析；（【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点B坐标，再结合点A、C坐标利用相似三角形的判定及性质可证得AC⊥BC，延长AC到点D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，由此可得△ACO≌△DCE(AAS)，进而可求得点D的横坐标为－1，最后根据抛物线的对称轴是直线x=-32即可判断出点（3）先利用待定系数法求出直线BC的函数表达式，然后过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为1,-52，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P坐标为m,12m2+【详解】解；（1）∵抛物线y=ax2+32x+c过A（1，0），∴a+3解得：a=1∴抛物线的表达式为y=1设AC所在直线的表达式为y=kx+b，∴k+b=0b=-2解得k=2b=-2∴AC所在直线的表达式为y=2x-2；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是∶∵抛物线的表达式是y=1∴令y＝0，则12解得x1=-4，∴点B坐标为（－4，0）．∵OA=1，OC=2，∴OAOC又∵∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC折叠，点A的对应点D一定在直线AC上．如下图，延长AC到点D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE(AAS)，∴DE＝OA＝1，∴点D的横坐标为－1，∵抛物线的对称轴是直线x=-3∴点D不在抛物线的对称轴上；（3）设过点B，C的直线表达式为y=k∵点C坐标是（0，－2），点B坐标是（－4，0），∴过点B，C的直线表达式为y=-1过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为1,-5如下图，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P坐标为m,12m2+∴PN=-1∵△AQM∽△PQN，∴PQAQ∵若分别以PQ，AQ为底计算△BPQ与△BAQ的面积，则△BPQ与△BAQ的面积的比为PQAQ即S1∴S1∵-1∴当m＝－2时，S1S2将m＝－2代入y=12x∴当S1S2取得最大值时，点P坐标为（－2【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．【题型2旋转变换】11．如图1，抛物线C：y=ax2+bx经过点A(-4,0)、B(-1,3)两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°

(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；(2)如图2，直线l：y=kx-125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m<-2），连接DO并延长，交抛物线C'于点E，交直线l于点M，若DE=2EM(3)如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP=∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线C解析式为：y=-x2(2)-3(3)-7+73【分析】（1）利用待定系数法解得抛物线C解析式，然后将其整理为顶点式，即可得顶点G的坐标；（2）首先求得新抛物线C'的解析式以及直线l解析式，设D(m,-m2-4m)，由关于原点O对称的性质可得OD=OE，易得OM=2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，证明△ODF∽△OMR，由相似三角形的性质可得OROF=（3）连接BG，在△ABG中，由勾股定理的逆定理可证明△ABG是直角三角形，∠ABG=90°，进而可得tan∠DEP=tan∠GAB=13；在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH=13OE=2，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P【详解】（1）解：将A(-4,0)、B(-1,3)代入y=ax得16a-4b=0a-b=3，解得a=-1∴抛物线C解析式为y=-x配方，得y=-x∴顶点G(-2,4)；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C'，∴新抛物线C'的顶点为G'(2，-4)，二次项系数为∴新抛物线C'的解析式为y=(x-2)将A(-4,0)代入y=kx-12可得0=-4x-125，解得∴直线l解析式为y=-3设D(m,-m∵D、E关于原点∴OD=OE，∵DE=2EM，∴OM=2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，如下图，

∴∠OFD=∠ORM，∵∠DOF=∠MOR，∴△ODF∽△OMR，∴OROF∴OR=2OF，RM=2DF，∴M(-2m,2m∴2m解得：m1=-3，∵m<-2∴m的值为-3；（3）由（2）知m=-3，∴D(-3,3)，E(3,-3)，OE=32如下图，连接BG，在△ABG中，

∵AB2=(-1+4)2∴AB∴△ABG是直角三角形，∠ABG=90°，∴tan∠GAB=∵∠DEP=∠GAB，∴tan∠DEP=在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH=1过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点，∵E(3,-3)，∴∠EOT=45°，∵∠EOH=90°∴∠HOT=45°∴H(-1,-1)，设直线EH解析式为y=px+q，则3p+q=-3-p+q=-1，解得p=-∴直线EH解析式为y=-1解方程组y=-12x-32解得x=-7+734∴点P的横坐标为-7+734【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数的图像与性质、中心对称的性质、二次函数综合应用、三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、解一元二次方程等知识，难度较大，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．12．抛物线y=ax2+4x-3交x轴于A，B两点，交y轴于点C

(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是直线BC上方抛物线的一动点，当△DBC面积取最大值时，求点D的坐标；(3)连接AC，将△ABC绕点A旋转一周，在旋转的过程中，点C，B的对应点C'，B'，直线AC'分别与直线BC交于点E，交y轴于点F，那么在【答案】(1)y=-x(2)32(3)存在，1+2，2【分析】（1）先根据直线的解析式求出点B和C的坐标，再把B代入抛物线的解析式，即可确定抛物线的解析式；（2）先设出点D的坐标，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，然后写出点E的坐标，表示出△DBC的面积，然后利用二次函数的性质即可求解；（3）先设出直线AC'的解析式，然后表示出E和F的坐标，分CE=EF，CE=CF，两种情况讨论，分别求出点【详解】（1）解：∵直线y=x-3经过点B，当x=0时，y=-3，∴C0当y=0时，x-3=0，解得x=3，∴B3把点B3，0代入y=a解得a=-1，∴y=-x（2）解：设点D的坐标为x，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，，

则点E的坐标为x，∴DE=-∴S∴当x=32时，此时D3（3）解：设直线AC'的解析式为在y=mx-1中，当x=0时，y=-m则F0联立直线BC和直线AC'得解得：x=m-3m-1∴Em-3∴CE=m-3m-12+2m若CE=EF，即m-3m-1解得m=1或m=3，当m=1时，m-3m-1当m=3时，E0，-3若CE=CF，即3-m=m-3解得m=1-2或m=1+当m=1-2时，E当m=1+2时，E综上，E的坐标为1+2，2【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，等腰三角形的性质，关键是要能利用点D的横坐标表示出三角形DBC的面积，利用二次函数的性质求出面积最大值时点D的坐标，当出现等腰三角形时，一般分情况讨论，要考虑全面．13．如图，抛物线y=14x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A-3,0和B．将抛物线y=14x2+bx+c绕点B(1)写出点B的坐标及求抛物线y=1(2)求证：A,M,A(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点．是否存在一点P，使四边形PM【答案】(1)B(5,0)，y=(2)见详解(3)存在点P(274,-7)使得四边形【分析】（1）根据抛物线的对称性即可写出B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先求得点M的坐标，根据旋转的性质求出M1、A1的坐标，设直线AM的解析式为y=kx+m，利用待定系数法解得直线AM的解析式，根据以此函数图象上点的坐标特征确定点A1（3）连接DM1，由于S△M1MD是定值，则要使四边形PM1MD的面积最大，只要S△M1PD最大，将△M1PD绕点B顺时针旋转90°，则点M1与点M重合，点P与点Q重合，点D与点F重合，，利用旋转变换得出点F的坐标，点Q的坐标为(n,14n2-12n-154【详解】（1）解：根据题意，点B与点A-3,0关于直线x=1∴B(5,0)，将点A(-3,0)，B(5,0)代入抛物线y=1可得94-3b+c=025∴该抛物线的解析式为y=1（2）将x=1代入抛物线y=1可得y=-4，即M(1,-4)，根据旋转的性质可得，点M1的坐标为(9,-4)∴点A1的坐标为(5,-8)设直线AM的解析式为y=kx+m，将点A(-3,0)，M(1,-4)代入，可得0=-3k+m-4=k+m，解得k=-1∴直线AM的解析式为y=-x-3，将x=5代入y=-x-3，可得y=-8，即直线AM经过点A1∴A,M,A（3）存在点P使得四边形PM连接DM∵S△∴要使四边形PM1MD将△M1PD绕点B顺时针旋转90°，则点M1与点M重合，点P与点Q重合，点∵点D与点F均在抛物线y=1∴F(-5,5)，设点Q的坐标为(n,1设直线MF的解析式为y=px+q，则有p+q=-4-5p+q=5，解得p=-∴直线MF的解析式为y=-3设直线MF上有一点R(m,-3则S△∴当m=-2时，S△若m=-2时，14∴Q(-2,-7∴点P的坐标为(27∵点M的坐标为(1,-4)，点M1的坐标为(9,-4)∴S△D∴四边形PM1MD∴存在点P(274,-7)使得四边形P【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数与二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用、旋转的性质等知识，综合运行相关知识是解题关键．14．如图1，抛物线y=36x2+433x+23与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A与点C重合，从而得到△A'H'L'（点A，H，L分别对应点A'，H'，L'），再将△A'H'L'绕点H'逆时针旋转【答案】(1)4+(2)1733【分析】（1）作FH∥y轴交DE于H．设F(m,36m2+433m+23)，求出直线DE的解析式，联立方程得到x=-3时，FH的值最大，求出答案；作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC（2）当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR=120°，易知直线RQ与x轴的夹角为60°，得到直线RQ的解析式为y=3x+3-3【详解】（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设由题意可知A(-6,0)，B(-2,0)，C(0,23∵抛物线的对称轴x=-4，C，D关于直线x=-4对称，∴D(-8,23∴直线AC的解析式为y=3∵DE∥∴直线DE的解析式为y=3由y=33x+23y=∴E(2,1633∵S△DEF=∴△DEG的面积最大时，△EFG的面积最大，∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，∵FH的值最大时，△EFG的面积最大，∵FH=-3∵a<0．开口向下，∴x=-3时，FH的值最大，此时F(-3,-3如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+NO的值最小．∵直线DF的解析式为：y=-3由y=-3解得x=-24∴G(-24∵TG⊥AC，∴直线GR的解析式为y=-3由y=33x+∴R(-34∴RG=4,OR=2∵GM=TM=RN，∴GM+MN+ON=RN+ON+RG=RG+ON=4+2∴GM+MN+NO的最小值为4+2（2）如图3中，如图当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR=120°，PQ=PR易知直线RQ与x轴的夹角为60°，L'直线RQ的解析式为y=3∴R(0,3-3∴PR=14如图4中，当△QPR是等腰三角形，∵∠QPR=60°，∴△QPR是等边三角形，同法可得R(0,23∴PR=OP-OC=综上所述，满足条件的PR的值为1733-3【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．15．如图，抛物线y=ax2+bx-3a经过A-1,0，C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上存在点D，使得△BCD是直角三角形，求出点D；(3)△AOC绕平面内的点E旋转180°，点A，C，O的对应点分别为A',C',【答案】(1)y=-(2)D1,3-172或D(3)O【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）先求得点B的坐标，根据勾股定理求得BC,CD,BD，进而分BC,CD,BD分别为斜边，三种情况讨论，即可求解．（3）根据题意，只有一种情形，即A'，C重合，A,C'重合，E【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A∴a-b-3a=0解得：a=-1∴解析式为y=-（2）解：令y=0，则-x解得：x1∴B3,0∵y=-∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵D在x=1上，设D1,n，∵B3,0∴CD2=1①当BC为斜边时，BC∴18=4+n解得：n=3-172∴D1,3-17②CD为斜边时，CD∴n2解得：n=-2，则D③当BD为斜边时，BD∴4+解得：n=4，则D综上所述，D1,3-172或D（3）解：依题意，点A',C'都落在抛物线上时，则A'，C∴四边形AOCO∵A-1,0∴O'【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，中心对称，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．如图1，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A-1,0，B4,0两点，与y轴交于点C，经过点

(1)求抛物线的解析式(2)如图2，过点A于作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线位于线段AD下方的一个动点，联结PA，EA，ED，PD，当四边形EAPD面积最大时，求点P坐标．(3)如图3，连接AC，将△AOC绕点O逆时针旋转，记旋转中的三角形为△A'OC'，在旋转的过程中，直线OC'与直线BE【答案】(1)y=(2)1,-3(3)-125,165或【分析】（1）把点A-1，0，B（2）先用待定系数法求出直线BE的解析式，进而求得直线AD的解析式，设Gm,-12m-12，则Pm,12m（3）分两种情况进行讨论即可，见解析．【详解】（1）∵A-1，0∴a-b-2=016a+4b-2=0,解得a=1∴抛物线的解析式为y=（2）过点P作PG⊥x轴交AD于点G，

因为B4,0，E设直线BE的解析式为y=kx+bk≠0，将点B、E0=4k+b2=b得所以直线BE的解析式为y=-12因为AD∥BE，设直线AD的解析式为y=-12x+t，将A所以；直线AD的解析式为y=-1设Gm,-12则PG=-∵S四边形EAPD=S△ADE+S△ADP，由于所以当m=1时，PG的值最大，此时四边形EAPD面积最大．将m=1代入Pm,∴P（3）①如图中，当OQ=OB时，作OT⊥BE于T．

∵OB=4，∴BE=O∴BT=TQ=8∴BQ=1655设点Qm,nm<0∴n=16由勾股定理得，BQ即165解得：m=-125或故Q-②如图中，当BO=BQ1=4时，因点Q

故设Q1a,-因BO=B∴4-a整理得：5解得：a=4±8当0<a<4，时a=4-855故Q当a>4，时a=4+855故Q当OQ2=BQ2时，点Q2的横坐标是点代入直线y=-12x+2中得出Q即Q2综上所述，满足条件点点Q坐标为-125,165或【点睛】本题考查了求抛物线和直线的解析式、三角形面积关系，解题的关键是注意分类讨论，考虑到各种可能的情形．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A2,0、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为4,-2

(1)求抛物线的解析式；(2)已知直线l：y＝34x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段EF上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求GH+GF(3)在（2）的条件下，如图2，若点G是OF的中点，将△OBG绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为B'、点G的对应点为G'，将抛物线沿直线AF的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为D'，在运动过程中是否存在点B'和点D'关于△ABF的某一边所在直线对称（B【答案】(1)y=(2)当m=78时，GH+GF(3)存在，B'17-1,17+1【分析】（1）设抛物线顶点式，代入点的坐标即可求解；（2）设G(4m,3m)，求出GH+GF关于（3）分为B'与D'关于AF，BF，AB对称三种情形，设【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax-4把x=2，y=0代入，得：4a-2=0，∴a=1∴y=1（2）设Fx∴1∴x=8，∴F(8,设G(4m,∴H∴GH=3m-124m-4∴GH+GF=-8m∴当m=78时，GH+GF最大=81（3）A(2,∴设直线AF的解析式为y=kx+b，把A(2,0)解得，k=1∴直线AF：同理可求直线BD：y=x-6，直线AD：若B'与D'关于AF对称，如图

∴BI=DI=AD=2在等腰Rt△IJB'∴JB=AB=4，设B'∴Jk=AK=a-2，∴b=KB由OB'=6∴a=17-1或∴B'17-1

②当B'与D'关于AB对称时，如图∴直线BB∴B'∴x2∴x=0，或x=6（舍去）∴B'③当B'与D'关于BF对称时，如图

设B'∴a2∵B'∴k∴直线B'D的函数关系式是：设D'∴13∴4x=a+3b+18，∵Px+a∴3×x+a∴2x=30-3a+b，∴4x=a+3b+18∴7a+b=42，∴a∴50a∴a1=14425∴B'综上所述B'17-1,17+1【点睛】本题考查了以二次函数为背景下求二次函数的最值，结合图形的旋转、翻折（对称）、平移求满足一定条件下的点的坐标，解决问题的关键是设点的坐标，根据条件列出方程组．18．如图1，抛物线y1=ax2+bx+c分别交x轴于A-1,0，

(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标．(2)如图2，将该抛物线绕点4,0旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式．②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．【答案】(1)y=x2(2)①y=-x-72+4【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为y=ax+1x-3，将点C0,-3（2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为m,n，可知4,0为顶点P1,-4和Qm,n的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点D的坐标，由A,P,D,Q的坐标，图形结合得【详解】（1）解：由题意可设二次函数的表达式为y=ax+1x-3，将点C0,-3∴二次函数表达式为y=x∴顶点P的坐标为1,-4．（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为m,n，∵4,0为顶点P1,-4和Qm,n的中点，即m+12∴点Q的坐标为7,4，∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，∴a=-1，故旋转后的抛物线表达式为y=-x-7②由①得Q点坐标为7,4，∵A，D点关于点4,0对称，∴D点坐标为9,0，∵A-1,0，P1,-4，D9,0∴AD=9-(-1)=10，点Q到x轴的距离为4，点P到x轴的距离为4，∴S四边形【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋转的性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键．19．如图1，抛物线C：y=14x2+bx+c过点A(6,0)，B(0,-3)两点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C'，抛物线

(1)求抛物线C的表达式和点D的坐标(2)如图2，过点O作EE'∥BD，交抛物线C′于点E和F，交抛物线C于点E'和(3)M是抛物线C'上任意一点，作直线MO，交抛物线C'于另一点N，交抛物线C于点P和点Q，已知相邻两交点间的距离为1:2:1，求点【答案】(1)y=14(2)3(3)点M的坐标为(-26,26-3)或(2【分析】（1）待定系数法求求抛物线C的表达式，再根据中心对称的性质求点D的坐标；（2）先根据平行线的性质求出直线EE'的解析式，再求出点E,F（3）分两种情况讨论，根据中心对称的性质，抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C'，求出抛物线C'的解析式，再根据题意求出点P的坐标，代入抛物线C【详解】（1）解：抛物线C：y=14x2+bx+c9+6b-3=0c=-3解得：b=-1

∴抛物线C的表达式为：y=14∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C∴点A与点D关于原点对称∴点D的坐标是(-6,0)；（2）设直线BD的解析式为：y=kx+将D(-6,0),B(0,-3)代入得b1=-3-6k+b1直线BD的解析式为：y=-1∵EE∴直线EE'的解析式为y=-1联立y=14解得∴x1∴xE∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C'∴xE∴S△EF'B=1（3）①如图

∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C设抛物线C上任意一点(x,y)，关于点O的对称点为(-x,-y)，把点(-x,-y)代入抛物线C得：-y=∴得到物线C'的解析式为y=-1∴MO=ON，OQ=PO，∵MP:PQ:QN=1:2:1，∴MP=PO=ON=QN，设则P(1代入抛物线C的表达式为：y=1得-1解得x∴点M坐标为(-26,26②如图

∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C'∴MO=ON，OQ=PO，∵MP:PQ:QN=1:2:1，∴MP=MO=OQ=QN，设M(m,-1则P(2m,-1代入抛物线C的表达式为：y=1得-1解得x∴点M的坐标为(6,3综上所述，点M的坐标为(-26,26-3)或(26【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，一次函数的应用，中心对称的性质，待定系数法等知识．解答本题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．20．如图1所示，已知抛物线P:y=28ax2-22ax-

(1)求A、(2)D为抛物线顶点，且OC=CD，求a的值；(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线P绕点M-1,0旋转180°，得到抛物线P'，直线l1、l2平行于y轴，直线l1从点O出发，沿x轴正方向以1个单位/秒的速度运动，与抛物线P、P'分别交于E、F点；直线l2从点O出发，沿x轴负方向以3【答案】(1)A(-2,0)(2)a=-1(3)存在；当t=1或t=1+315【分析】（1）令y=28a（2）由抛物线的解析式可求得C、D两点的坐标，由OC=CD，即可求出（3）由题意可确定出旋转后的抛物线解析式，由t秒后的两直线可求得E、F、E'、F'的坐标，从而可求得【详解】（1）解：令y=2解得：x1即A(-2,0)，（2）解：y=2则顶点D(2,-22对于y=28ax2∴C0,-∴CD2=4+∵OC=CD，∴12解得：a=-1或a=1（舍去），∴a=-1；（3）解：存在某一时刻使以E、由（2）知：P:y=-28x点D绕M(-1,0)旋转180°后的坐标为(-4,-22∴抛物线P'：y=设运动t秒，则直线l1、l直线l1与抛物线P、P'分别交于E、F点，则直线l2从与抛物线P、P'分别交于E'、F∵l1∥l∴当EF=E'F∴2即24t2解前一方程得：t=1，t=0（舍去）；解后一方程得：综上，当t=1或t=1+315【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求函数解析式，图形的旋转，平行四边形的判定等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【题型3平移变换】21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A8,0、B-2,0

(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线CD交x轴于点D2,0，点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线CD于点H，在直线CD上取点Q，连接PQ，使得HQ=PQ，求2PQ-(3)连接BC，把原抛物线y=14x2+bx+c沿射线BC方向平移25个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接【答案】(1)y=(2)2PQ-54PH取得最大值(3)12或0或4-43或【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）作QE⊥PH于点E，由三线合一得PH=2PE，证明△PQE∽△CDO得PQ=52PE．求出直线CD的解析式，设Pm,14m2-（3）先利用△AMN∽△ABC推出AN=2MN，再求出平移后的解析式，然后设Mn,14【详解】（1）∵抛物线y=14x2+bx+c与x∴14∴b=-3∴y=1（2）作QE⊥PH于点E，

∵HQ=PQ，QE⊥PH，∴点E是PH的中点，PH=2PE当x=0时，y=1∴C0,-4∴CD=2∵PH∥∴∠DCO=∠QHP∵HQ=PQ，∴∠QPE=∠QHP，∴∠QPE=∠DCO，又∵∠PEQ=∠COD=90°，∴△PQE∽△CDO，∴PQCD=PE∴PQ=5设直线CD的解析式y=kx-4，把D2,0代入，得0=2k-4解得k=2，∴y=2x-4，设Pm,14∵点E是PH的中点，∴Em,∴PE=1∴2PQ-==-5∴当m=7时，2PQ-54PH取得最大值49∴P7,-（3）∵A8,0，B-2,0，∴AB=10，BC=22+∴BC∴∠ACB=90°，∵抛物线y=14x2+bx+c∴抛物线y=14x2+bx+c∵y=1∴平移后的解析式为y=1∵B-2,0，C∵△AMN∽∴MNBC=AN∴MN2∴AN=2MN设Mn,14n2又∵A8∴AN=8-n∴8-n=2∴8-n=±21解得：n1=12，n2=0，综上可知，点M的横坐标为12或0或4-43或4+4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数与几何综合，熟悉二次函数的性质和推导8-n=222．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别交于A-4,0，B2,0(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线AC上方抛物线上任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，求PD+DH的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出来．【答案】(1)y=-(2)92，(3)-1,4+19或-1,4-19或3,【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等；（1）由待定系数法把A-4,0，B2,0代入计算（2）设设点Pm,-12m2-m+4，Dm,m+4（3）先求出新抛物线的解析式，求出E0,4，设M【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别交于A∴16a-4b+4=04a+2b+4=0解得：a=-1∴抛物线的解析式为y=-1（2）∵C0,4，A∴设直线AC的解析式为y=kx+b，∴解得b=4k=1∴直线AC的解析式为y=x+4；∴设点Pm,-12∴PD=-1∴DH=-m∴PD+DH=-1∴PD+DH的最大值为92∴当PD+DH的最大值时，m=-3，∴P-3,（3）∵抛物线y=-1∴y=-1∵将抛物线y=-12x∴新抛物线为：y=-1令-1解得：x=0，∴当x=0时，y=4，∴E0,4∵B2,0∴EB=4设M1,m，N当EM为对角线时，BE=BM，EM与BN互相平分，∴2解得：m=±19∴M1,19或∴EM的中点坐标为12,4+∵EM与BN互相平分，∴1+02=s+2即N-1,4+19或当EN与BM为对角线时，BE=EM，EN与BM互相平分，25=1∵EN与BM互相平分，∴∴s+02=1+2即N3,19或当BE与MN为对角线时，MB=EM，BE与MN互相平分，12+m-4∵BE与MN互相平分，∴∴2+02=1+s即N1,2，此时M综上点N坐标为-1,4+19或-1,4-19或3,1923．如图1，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x(1)求抛物线y=-x(2)如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标；(3)在（2）的结论下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移322个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、【答案】(1)y=-x²+3x+4(2)△PDE的周长最大值为82+8，点P(3)354或143【分析】（1）求出B、C点坐标，再将这两点坐标代入（2）先判断△PDE为等腰直角三角形，得△PDE的周长为：PE+PD+DE=PE+22PE+22PE=2+1PE（3）先求出平移后点M的坐标，分三种情况：当BP是对角线时，当PM是对角线时，当BM是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.【详解】（1）直线y=-x+4与坐标轴交于点B和C，当x=0时，y=4，y=0时，即-x+4=0，解得：x=4，∴点B(4,0)，把B，C两点的坐标代入y=-x²+bx+c-16+4b+c=0c=4，解得b=3∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；（2）∵B(4,0∴OB=OC=4，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PF⊥x轴，∴PF∥y轴，∴∠BEF=∠BCO=45°，∴∠BEF=∠PED=45°，∵PD⊥BC，∴△PDE为等腰直角三角形，∴PD=DE=2∴△PDE的周长为：PE+PD+DE=PE+2∴当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值，∵抛物线的解析式为y=-x²+3x+4，直线BC的解析式为y=-x+4设Pm-m²+3m+4，则∴PE=-m²+3m+4--m+4=当m=2时，PE有最大值为8，此时△PDE的周长为(2+1)PE=82+8，点（3）抛物线沿射线CB方向平移322个单位长度，相当于向右平移32个单位，∵抛物线的解析式为y=-x∴抛物线的顶点为32∴平移后抛物线的顶点为M3当BP是对角线时，∵点P的坐标为(2,6)，B(4,0∴N3当PM是对角线时，∵点P的坐标为(2,6),B(4,0)，∴N1当BM是对角线时，∵点P的坐标为(2,6∴N综上，点N的坐标为354或1434【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键.24．如图1，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；(3)如图3，将抛物线y=ax2+bx-3a≠0先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点【答案】(1)y=(2)PM+QN(3)存在E-1,-2或5,-2或1,-3-172或【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设Pa,a2-2a-3，则Qa+1,（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把A-1,0,B3,0a-b-3=0解得：a=1∴抛物线的解析式为y=x（2）∵抛物线y=ax2+bx-3a≠0与y轴交于点C，令∴C点的坐标为0,-3设直线BC的解析式为y=kx+b，把B,C点的坐标代入得：3k+b=0解得：k=1∴直线BC的解析式为y=x-3．点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，设Pa,a∴M∴PM=-a2∴PM+QN=-2当a=1时，PM+QN∴Q2,-3（3）由题意可得：y∴y'∵抛物线y=ax2+bx-3a≠0∴C∵B∴OC=OB=3，如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴．∵D在y'的对称轴为∴FD=2∴CF=FD=2,OF=3+2=5，即点D∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到E5,-3如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于F∵D在y'的对称轴为∴FO=2∴BF=3-2=1∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°∴BF=FD=3-2=1，即点D∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E-1,-2如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D2,d,∴BC的中点F的坐标为322+m解得：m=1又∵DE=BC∴解得：d+n=3解得：n=∴点E的坐标为1,-3-17综上，存在E-1,-2或5,-2或(1,-3-172【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．25．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若PQ+PR=32，求点(3)将抛物线y=x2+bx+c向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的【答案】(1)y=(2)-1,-(3)-54,-516【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像上点坐标的特征、平行四边形的判定等知识点，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度是解题的关键．（1）直接用待定系数法即得抛物线的解析式即可；（2）设Pt，t2+32t-1，其中-2<t<-34，由PQ∥x轴可得PQ=2-34（3）原抛物线解析式为y=x2+32x-1=x+342-2516可得新抛物线解析式是y=x2-12x-52【详解】（1）解：将A-2,0，C0,-1得4-2b+c=0c=-1，解得：b=∴抛物线解式为y=x（2）解：由（1）可如，抛物线对称轴为x=-3设Pt，t∵PQ∥∴PQ=2-运用待定系数法可得:yAC∵PR⊥x轴，∴Rt∴PR=-t∴PQ+PR=-t2-4t-32又∵-2<t<-3∴t=-1，∴P-1（3）解：原抛物线解析式为y=x根据题意可得新抛物线解析式是y=x-1+设Mm,m2-12m-①若MN，AC是对角线，则MN的中点即为∴m-34=-2+0m2∴M-②若MA，m-2=-34+0∴M5③若MC，m+0=-34+2∴M-综上所述，M的坐标为-54,-51626．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c过点2,3，与x轴交于点A-1,0和点B，与(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，求PE+2BE的最大值及此时点(3)在（2）中PE+2BE取得最大值时，将该抛物线沿射线AC方向平移10个单位长度，点P的对应点为点N，点Q为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H，使得以点P，N，Q，H为顶点的四边形是菱形，且线段PN是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点【答案】(1)y=-(2)PE+2BE最大值为254，此时点(3)点H的坐标为(3,27-2314)或(3,【分析】（1）把(2,3)，A(-1,0)代入y=-x2+bx+c，求出b（2）设P(m,-m2+2m+3)，E(m,-m+3)，D(m,0)，证明△BDE（3）分四边形PNHQ是菱形与四边形PNQH是菱形两种情况，求出点Q的坐标后根据菱形的性质求出点H的坐标．【详解】（1）解：把(2,3)，A(-1,0)代入y=-x得-1-b+c=0-4+2b+c=0，解得b=2∴抛物线的表达式为y=-x（2）把x=0代入y=-x2+2x+3∴点C的坐标为(0,3)，把y=0代入y=-x2+2x+3解得x1=-1(点A的横坐标，舍去)，∴点B的坐标为(3,0)，设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B(3,0)，C(0,3)得：3k+b=0b=3解得：k=-1∴直线BC的解析式为y=-x+3，设P(m,-m2+2m+3)，E(m,-m+3)∴PE=-m2+3m∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠EBD=45°，∵∠EDB=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE=2∴PE+2当m=-12×(-1)=12此时点P的坐标为(1（3）抛物线y=-x2+2x+3∵A(-1,0)，C(0,3)，∴AC=10由抛物线沿射线AC方向平移10个单位长度，得点A的对应点为点C，则抛物线向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，得点N的坐标为(3设Q(2,m)，H(a,b)，①若四边形PNHQ是菱形，则PN=PQ=10∵P(12,∴(2-1解得m=15±2∴点Q的坐标为(2,15-2314∵四边形PNHQ是菱形，∴PN∥QH，且PN=QH=10∵点P向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点N，∴点Q向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点H，∴点H的坐标为(3,27-2314②若四边形PNQH是菱形，则PN=NQ=10∵N(32,∴(2-3解得m=27±2∴点Q的坐标为(2,27-2394由①得点Q向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点H，∴点H的坐标为(1,15-2394综上所示，点H的坐标为(3,27-2314)或(3,27+2【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合，利用二次函数性质求最值，平移的性质，菱形的判定与性质等知识点，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3过点-1,4，且与x轴交于点A1，0和点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥x轴交BC于点F，求PE+PF的最大值及此时点(3)将该抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新的抛物线y'，平移后的抛物线y'与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x(2)PE+PF有最大值942(3)N点坐标为-134,74或-2+1226,-1+【分析】（1）将点-1,4，A1，0（2）由题意可得PE+PF=22+1PF，设点Pt,-t2（3）由题可求平移后的抛物线解析式为y'=-x+22+3【详解】（1）解：将点-1,4，A1，04=a-b+3解得a=-1∴抛物线的解析式为y=-x（2）解：当x=0时，y=3∴C0当y=0时，-x解得x∴B-3∴OB=OC=3，∴∠CBO=45°，∵PF∥∴∠PFE=∠CBO=45°，∵PE⊥BC，∴PE=EF，∴PE+PF=设直线BC的解析式为：y=kx+r，则r=3-3k+r=0解得：r=3k=1∴直线BC的解析式为：y=x+3，设点Pt,-t2-2t+3∴PF=-PE+PF=∴当t=-32，即点P-32（3）解：由题意得：抛物线向x轴负方向平移1个单位，则向y轴负方向平移1个单位，∵y=-x+1∴平移后的抛物线解析式为y'当-x+12+4=-∴D-2设Mn,n+3当BD为菱形的对角线时，BM=MD，-3-2=n+x解得n=-∴N-当BM为菱形的对角线时，BD=DM，-3+n=x-2解得n=-1+12N-2+1当BN为菱形的对角线时，BD=BM，-3+x=-2+n解得n=-3+5x=-2+∴N-2+5,3+综上所述：N点坐标为-134,74或-2+1【点睛】本题考查二次函数与线段、特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质和菱形的性质，分类讨论是解题关键．28．如图，抛物线y=ax2+5ax+b经过点D-1,-5，且交x轴于A-6,0，B两点（点A在点B(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求2PE+