第14讲 特殊的四边形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（解析版）

第14讲特殊的四边形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题【知识导图】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形中心对称图形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形考点二、中点四边形相关问题中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．考点三、重心1.线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。【典型例题】题型一、特殊的平行四边形的应用例1.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=___________．【思路点拨】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．【答案】（）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,a4=a3=2，…由此可知：an=an-1=（）n-1故答案为：（）n-1.【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．【变式】长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作【答案】或.例2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为E，作CD延长线的垂线，垂足为E，则|PE﹣PF|=．【思路点拨】延长BC交PE于G，由菱形的性质得出AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由对顶角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面积的两种计算方法求出EG，由角平分线的性质定理得出PG=PF，得出PE﹣PF=PE﹣PG=EG即可．【答案】4.8．【解析】解：延长BC交PE于G，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，∴AD==5，∠PCF=∠PCG，∵菱形的面积=AD•EG=AC•BD=×6×8=24，∴EG=4.8，∵PE⊥AD，∴PE⊥BG，∵PF⊥DF，∴PG=PF，∴PE﹣PF=PE﹣PG=EG=4.8．故答案为：4.8．【总结升华】本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出PG=PF是解决问题的关键．题型二、梯形的应用例3．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；（2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．【答案与解析】（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3．（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3．设AF=CE=x，∵F在线段AB上，∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，∴HE=x-3，BF=7-x，∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，∴∠BEF=∠HDE，又∵∠B=∠DHE=90°，∴△BEF∽△HDE∴=，∴=，整理得x2-22x+85=0，（x-5）（x-17）=0，∴x=5或17，经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去．∴x=CE=5．（3）作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，∴则HE=x-3，BF=y，当3≤x≤12时，易证△BEF∽△HDE，∴=，∴y=-x2+x-，当0≤x＜3，易证△BEF∽△HDE，则HE=3-x，BF=y，∴=，∴y=x2－x＋．【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．【变式】如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+【答案】B.题型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用例4.正方形ABCD边长为2，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．（1）证明：AC⊥AF；（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？【思路点拨】（1）由已知条件及正方形的性质易证△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，进而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）若AD2=AE×AC，再由条件∠CAD=∠EAD=45°，易证△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，继而证明四边形AEDF为正方形；（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则DE最小四边形的周长最小，问题得解．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，，∴△CDE≌△ADF，∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∴∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）∵AD2=AE×AC，∴∵∠CAD=∠EAD=45°，∴△EAD∽△DAC，∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，∴四边形AEDF为正方形（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，则当DE最小时，四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，当DE⊥AC时，E点运动到AC中点位置时，此时DE=2四边形AEDF的周长最小值为8．【总结升华】本题用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题．例5．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【思路点拨】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得=,故根据S四边形AECF=+=+=即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据=S四边形AECF-，则△CEF的面积就会最大．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如下图所示，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=-××=．【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．例6.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；

（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数；

（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．【思路点拨】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可．（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．【答案与解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，∴=，∵GF=4，CD=DA=1，AF=，∴GD=3-，AG=4-，∴=，即y=，∴y关于x的函数关系式为y=，当y=3时，=3，解得x=2.5，经检验的x=2.5是分式方程的根．故x的值为2.5；（2）∵S1=GP•GD=••（3-）=，S2=GD•CD=（3-x）×1=，∴S1-S2=-=即为常数；（3）延长PD交AC于点Q．∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，∴∠GDP=∠ADQ=45°．∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，∴3-x=，化简得：x2-5x+5=0．解得：x=，∵0≤x≤2.5，∴x=，在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．【变式】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；

（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？

【答案】（1）AD=2AB．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD；∵E是BC的中点，∴AB=BE=EC=CD；则△ABE、△DCE是等腰Rt△；∴∠AEB=∠DEC=45°；∴∠AED=90°；四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形；（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；∴∠FAP=∠HDP=45°；又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，∴Rt△AFP≌Rt△DHP；∴PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.【中考过关真题练】一、单选题1．（2019·上海·中考真题）下列命题中，假命题是(

)A．矩形的对角线相等 B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分 D．矩形对角线交点到四条边的距离相等【答案】D【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】、矩形的对角线相等，正确，是真命题；、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题.故选.【点睛】本题考查了命题与定理的知识.解题的关键是了解矩形的性质，难度不大.2．（2020·上海·统考中考真题）下列命题中，真命题是()A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【答案】C【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．3．（2018·上海·统考中考真题）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果．【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键．4．（2017·上海·中考真题）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（

）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【答案】C【详解】A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选C．二、填空题5．（2019·上海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点.将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是________________.【答案】2【分析】由折叠可得，，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到，进而得到.【详解】如图所示，由折叠可得，，正方形中，是的中点，，，，又是的外角，，，，.故答案为.【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的性状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.6．（2016·上海·中考真题）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转90°，点、分别落在点、处，如果点、、在同一条直线上，那么的值为__________．【答案】．【详解】试题分析：如下图，设矩形的边长CD＝x，由，得，整理，得：，解得：，所以，CD＝，所以，tan∠BA'C==．故答案为．考点：三角形相似的性质，一元二次方程，三角函数．三、解答题7．（2020·上海·统考中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB•AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2019·上海·中考真题）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．（1）求证：；（2）如果，求证：四边形是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接，，，证明AO是线段BC的垂直平分线即可得证；（2）先证明，再证明四边形的四边相等即可．【详解】证明：（1）如图1，连接，，，、是的两条弦，且，在的垂直平分线上，，在的垂直平分线上，垂直平分，；（2）如图2，连接，，，，，，，，，，，，，四边形是菱形．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质及其逆用，三角形的相似，菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质和菱形的判定是解题的关键．9．（2018·上海·统考中考真题）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）连接BF，如果=．求证：EF=EP．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用和AF=BE得到，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵，而AF=BE，∴，∴，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，三线合一定理，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．（2017·上海·中考真题）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180°×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．【详解】（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180°×=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是本题的关键．11．（2020·上海·统考中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）连接BD，求∠DBC的正切值．【答案】（1）39；（2）．【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到，即可求出梯形的面积；(2)过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求解．【详解】解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示：∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3，∴CE==6，∴梯形ABCD的面积=×(5+8)×6=39，故答案为：39．(2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示：∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD===10，∴，∴CH=3，∴BH===6，∴∠DBC的正切值===．故答案为：．【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2022·上海·统考中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接．(1)若，①证明为菱形；②若，，求的长．(2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．【答案】(1)①见解析；②(2)【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四边形性质即可得出BD长；（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又在直线上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG=AB，根据重心性质得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,则AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，则BC=AE，代入即可求得的值．【详解】（1）①证明：如图，连接AC交BD于O，∵平行四边形，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四边形，∴四边形是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中线，∵为中点，∴AP是△ABC的中线，∴点E是△ABC的重心，∴BE=2OE，设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=,∴OB=3x=3，∵平行四边形，∴BD=2OB=6；（2）解：如图，∵⊙A与⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，又在直线上，∴CG是△ABC的中线，∴AG=BG=AB，GE=CE，∵CE=AE，∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,∴AG=AE,∴AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，∴BC=AE，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．【中考挑战满分模拟练】一、单选题1．（2022·上海嘉定·统考二模）下列命题中，真命题的是（

）A．如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B．如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形C．如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D．如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形【答案】C【分析】利用矩形、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形不一定是矩形，还有可能是等腰梯形，故错误；B、如果一个平行四边形两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形，故错误；C、如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形，正确，是真命题；D、如果一个四边形两条对角线相互垂直平分，那么这个四边形是菱形，故错误；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟记矩形、菱形的判定定理，属于基础题，难度不大2．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）下列命题中，假命题是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分且平分一组内角的四边形是菱形D．对角线相等且垂直的四边形是菱形【答案】D【分析】利用菱形的判定定理分别对每个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【详解】解：A、正确，是真命题；B、正确，是真命题；C、正确，是真命题；D、对角线相等且垂直的四边形也可能是等腰梯形，故错误，是假命题，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定定理，属于基础题，比较简单．3．（2022·上海虹口·统考二模）下列命题中，假命题是（

）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．有一组对角相等的平行四边形是菱形【答案】D【分析】根据菱形的判定方法，逐项判断即可．【详解】解：A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A是真命题，不符合题意；B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故C是真命题，不符合题意；D．有一组对角相等的平行四边形仍是平行四边形，故D是假命题，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了菱形的判定方法，理解菱形的判定方法是解题关键．4．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】A【分析】根据等腰梯形的性质、中位线定理以及菱形的判定，可推出四边形为菱形．【详解】解：如图所示，等腰梯形中，，，分别是、的中点，连接．E、F分别是的中点，，同理，可得：，又等腰梯形，，，四边形是菱形．故选A．【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定，熟练掌握这些性质与定理是解此题的关键．5．（2022·上海长宁·统考二模）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当时，四边形是菱形B．当时，四边形是菱形C．当时，四边形是矩形D．当时，四边形是正方形【答案】D【分析】根据平行四边形性质和矩形，菱形，正方形判定进行判定.【详解】A．四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；B．∵四边形是平行四边形，∴对角线互相平分，∵，∴四边形是菱形，故B选项正确；C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D．根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选D．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，解答本题的关键是：根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．6．（2022·上海普陀·统考二模）顺次联结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是（

）A．菱形； B．矩形； C．梯形； D．正方形．【答案】B【分析】根据题意画出图形，证明四边形是平行四边形，即可排除C，根据邻边边相等，即可求解．【详解】解：如图，四边形是直角梯形，分别为各边中点，则四边形是平行四边形四边形不能是菱形或正方形，四边形可能是矩形，如图故选B【点睛】本题考查了中点四边形，掌握那个特殊四边形的性质是解题的关键．7．（2021·上海嘉定·统考二模）下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据等腰梯形的性质对①③进行判断；根据等腰梯形的判定方法对②④进行判断．【详解】解：等腰梯形的两个底角相等，所以①为真命题；两个底角相等的梯形是等腰梯形，所以②为真命题；等腰梯形的对角线相等，所以③为真命题；对角线相等的梯形是等腰梯形，所以④为真命题．故选：D．【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．（2022·上海静安·统考二模）下列说法中，不正确的是（

）A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合 B．面积相等的两个圆一定能够重合C．面积相等的两个正方形一定能够重合 D．周长相等的两个菱形一定能够重合【答案】D【分析】利用全等图形的定义，以及等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质分析选项即可．【详解】解：由题意可知：A.周长相等的两个等边三角形一定能够重合，周长相等说明等边三角形的边长相等，且等边三角形的每一个角都为，故说法正确，不符合题意；B.面积相等的两个圆一定能够重合，面积相等说明圆的直径相等，故说法正确，不符合题意；C.面积相等的两个正方形一定能够重合，面积相等说明正方形的边长相等，且正方形的每个角都为，故说法正确，不符合题意；D.周长相等的两个菱形一定能够重合，周长相等虽然可以说明菱形的边长相等，但是不能保证菱形的每个角对应相等，故说法不正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查全等图形的定义，等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握性质，并进行分析．9．（2021·上海宝山·统考三模）下列命题中正确的是（

）A．对角线相等的梯形是等腰梯形B．有两个角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形一定是梯形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可．【详解】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，∵四边形ABCD为梯形，∴DC∥AB，过C作CE∥DB交AB延长线于E，∴四边形BECD为平行四边形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确；B、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键．10．（2021·上海青浦·统考二模）下列命题中，真命题是（

）A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形C．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形D．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形【答案】D【分析】通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理判断即可．【详解】解：A、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项说法是假命题；B、一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形，本选项说法是假命题；C、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形或直角梯形，故本选项说法是假命题；D、一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，故本选项说法是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了真命题的定义、平行四边形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知识，要求学生能根据已知条件推导出其对应的图形，考查了学生对相关概念的理解与应用，该题对学生的推理分析能力有较高要求．二、填空题11．（2021·上海崇明·统考二模）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米．【答案】13【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长即可．【详解】∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，∴两底的和为（厘米），∴这个梯形的中位线长为（厘米），故答案为：13．【点睛】本题考查了梯形的中位线等知识点，熟练掌握梯形的中位线求法是解题关键．12．（2022·上海普陀·统考二模）菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为___________【答案】30【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果．【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为5和12，∴菱形的面积：．故答案为：30．【点睛】本题考查了菱形的面积，解题的关键是掌握菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半．13．（2022·上海·统考模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a=4，b=3，则大正方形的面积是______．【答案】25【分析】利用勾股定理求出大正方形的边长即可．【详解】解：由勾股定理可知大正方形的边长，∴大正方形的面积为25，故答案为：25．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（2022·上海·二模）如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC的中点，则线段ED'的长为_____．【答案】【分析】根据折叠的性质可得，，设，则，由线段中点可得，在中，利用勾股定理可得，，利用相似三角形的判定定理及性质可得，，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．【详解】解：将长方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A落在BC边上点处，∴，，设，则，∵是BC的中点，∴，在中，，即，解得：，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：【点睛】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．15．（2023·上海静安·统考一模）在矩形内作正方形（如图所示），矩形的对角线交正方形的边于点P．如果点F恰好是边的黄金分割点，且，那么_________．【答案】##【分析】结合已知条件易证得，，则，根据点F恰好是边的黄金分割点可得，求解即可．【详解】∵四边形为矩形，四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，∵点F恰好是边的黄金分割点，，∴，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割，熟练掌握黄金分割比的值是解题的关键．16．（2022·上海奉贤·统考二模）如图，在矩形中，，点E在边上，联结，将矩形沿所在直线翻折，点D的对应点为P，联结．如果，那么的长度是____________．【答案】##【分析】由题意作图，过点P作PM⊥CD于点M，延长MP，交AB于点N，然后可证四边形ANMD是矩形，则有，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，过点P作PM⊥CD于点M，延长MP，交AB于点N，在矩形ABCD中，，CD∥AB，∴，∴四边形ANMD是矩形，∴，由折叠的性质可知：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、折叠的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质与判定、折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．17．（2021·上海静安·统考二模）如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为_____．【答案】2【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．【详解】解：∵四边形DEFG是矩形，∴EFCD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵ADBC，AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在RtFGC中，tanC＝＝，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC内部作正方形D1E1F1G1，其中点D1，E1分别在AC，BC边上，边F1G1在BC上，它的面积记作S1；按同样的方法在△CD1E1内部作正方形D2E2F2G2，它的面积记作S2，S2=______，…，照此规律作下去，正方形DnEnFnGn的面积Sn=______．【答案】

【分析】先说明AB=3G1F1、G1F1=3G2F2，再求出AB的长，然后分别求出第一个、第二个正方形的面积，然后寻找规律，最后再利用规律解答即可．【详解】解：∵CA=CB，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∴AG1=D1G1,BF1=E1F1∵正方形D1E1F1G1，∴F1G1=D1G1=E1F1∴AB=3G1F1同理：G1F1=3G2F2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2∴AB=∴正方形D1E1F1G1的边长为，正方形D2E2F2G2边长为∴S2=·=，正方形DnEnFnGn边长为∴正方形DnEnFnGn的面积Sn=×=．故答案为：，．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，运用所学知识发现规律、并灵活利用规律成为解答本题的关键．三、解答题19．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．(1)求证：AD＝AE；(2)设BF交AC于点G，若，判断四边形ADFE的形状，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)四边形ADFE是正方形，证明见解析．【分析】（1）根据条件，结合两个三角形全等的判定定理，得出≌，利用全等三角形的性质即可得出；（2）根据条件得到，进而判定四边形ADFE是矩形，再结合（1）中结论，即可得证．（1）证明：∠BAC＝90°，BF⊥CE，，，，，在和中，≌，；（2）四边形ADFE是正方形．证明：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，，，即，，，∠BAC＝90°，，，，，四边形ADFE是矩形，由（1）知，四边形ADFE是正方形．【点睛】本题为几何证明综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握相关知识点，并能根据题中条件与所证结准确寻找到思路是解决问题的关键．20．（2022·上海奉贤·统考二模）已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F、G，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由矩形的性质可知，然后可证，进而问题可求证；（2）由矩形的性质可知AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，然后可得，则有，进而可证，最后根据相似三角形的性质可求证．（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，∴，∴，由（1）可知，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及矩形的性质是解题的关键．21．（2022·上海闵行·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE与△EFG全等，据此即可证明BE=FG；（2）证明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL证明△AEM≌△ADM即可解决问题．(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE与△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)证明：连接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴，即AB•EM=EC•AE，∵AB•DM=EC•AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．22．（2022·上海嘉定·统考二模）如图，已知在菱形ABCD中，E为边AD的中点，CE与BD交于点G，过点G作GF⊥CD于点F，∠1＝∠2．(1)若DF＝3，求AD的长；(2)求证：BG＝GF＋CE．【答案】(1)6(2)见解析【分析】（1）只需要证明∠1=∠GDC，即可利用三线合一定理求解；（2）如图所示，延长CE交BA延长线于M，先证明BG=MG，然后分别证明△AEM≌△DEC得到CE=ME，△DGF≌△DGE得到GF=GE，由此即可证明结论．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠GDC=∠2，AD=CD∵∠1=∠2，∴∠1=∠GDC，∴CG=DG，∵GF⊥CD，∴CD=2DF=6，∴AD=CD=6（2）解：如图所示，延长CE交BA延长线于M，∵四边形ABCD是菱形，∴，AD=CD∴∠M=∠1，∠MAE=∠CDE，∠ABD=∠CDB，又∵∠2=∠1=∠CDB，∴∠ABD=∠M，∴BG=MG，∵E是AD的中点，F是CD中点∴DF=DE=AE，∴△AEM≌△DEC（AAS），∴CE=ME，∵DF=DE，∠GDF=∠GDE，DG=DG，∴△DGF≌△DGE（SAS），∴GF=GE，∴BG=MG=EG+ME=CE+GF．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知等腰三角形的性质与判定是解题的关键．23．（2022·上海青浦·统考二模）如图，已知在梯形中，，对角线、交于，平分，点在底边上，连结交对角线于，．(1)求证：四边形是菱形；(2)连结，求证：．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由平行线的性质可得，然后可得，则有，由角平分线及平行线的性质可得，进而问题可求证；（2）由（1）可知，然后可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质可求证．（1）证明：∵，∴，，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）证明：由（1）可知，∵DE=DE，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．（2022·上海金山·校考一模）已知四边形是正方形，点是边的中点，点在边上．联结、、．(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）设CF=x，则DF=3x，CD=4x，BE=CE=2x，勾股定理求出AE2，EF2，AF2，证得△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，利用线段比例得到，证得△ABE∽△AEF，即可得到结论；（2）过点A作AH⊥EF于H，则∠AHE=∠B=90°，证明△ABE≌△AHE（AAS），得到AH=AB，BE=HE，设BE=a，则CE=BE=a，BC=2BE=2a，AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，由此得到Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），得到DF=HF，设DF=HF=m，则CF=2a-m，在Rt△CEF中，勾股定理得到CE2+CF2=EF2，求出DF=，即可得到结论．（1）解：∵四边形是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，∵DF=3CF，∴设CF=x，则DF=3x，CD=4x，∵点是边的中点，∴BE=CE=2x，∵，，,∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，∵，，∴，∴△ABE∽△AEF，∴；（2）过点A作AH⊥EF于H，则∠AHE=∠B=90°，∵，AE=AE，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AH=AB，BE=HE，设BE=a，∵点E是BC的中点，∴CE=BE=a，BC=2BE=2a，∴AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，∵∠AHF=∠D=90°，AF=AF，AH=AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF=HF，设DF=HF=m，则CF=2a-m，在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴a2+（2a-m）2=（a+m）2，解得m=，即DF=，∴．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握正方形的性质设未知数表示线段的长度，由此利用全等和相似进行证明是解题的关键．25．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，联结EM并延长，交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F．(1)求证:ME=MF；(2)联结DF，如果AB2=EB·BD，求证:四边形DECF是正方形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据菱形的性质，可得，根据已知条件以及中位线的性质可得，根据三角形的外角以及角平分线的性质可得，进而可得，即可证明（2）根据已知恒等式可证明，进而可得，则四边形是正方形，根据正方形的性质可得，由（1）可得出四边形DECF是矩形，根据邻边相等，即可证明四边形DECF是正方形．（1）四边形是菱形对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，，是的外角，是∠DCN的角平分线，又（2）AB2=EB·BD，又四边形是菱形四边形是正方形由（1）可知四边形是矩形四边形是正方形【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．26．（2021·上海宝山·统考三模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，对角线BD平分∠ABC，（1）求边BC的长；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求的值．【答案】（1）13；（2）【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，则可得CF的长，由BD平分∠ABC，可得AB=AD，根据等腰梯形的性质，可求得BC的长；（2）在直角△DFC中，由勾股定理可求得DF，易得∠BDF=∠DAE，从而在直角△DBF中，可求得结果．【详解】（1）如图，过点D作DF⊥BC于点F则∵CD=5∴CF=4∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB=∠ABD∴AD=AB=5∵AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形∴∴BC=13（2）∵AE⊥BD，DF⊥BC∴∠AED=∠DFC=90゜∵∠ADB=∠CBD∴∠BDF=∠DAE∴∵BF=BC-CF=13-4=9，∴∴【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、锐角三角函数等知识，关键是过点D作BC的垂线．另外求∠DAE的余切值转化为与之相等的∠BDF的余切值，体现了转化思想，也是求三角函数值的一种常用方法．27．（2021·上海·统考一模）已知：如图，在四边形中，，、相交于点，（1）求证：；（2）如果，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）找到两对相同角即可证明相似（2）证明出后可推出．【详解】证明：（1）∵两个三角形有一公共角∠BAC∴．（2）为等腰三角形为等腰三角形．【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，28．（2021·上海崇明·统考二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求证：CE•AD＝DE2；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）通过证明△ADE∽△DEC，利用相似三角形的性质即可得结论；（2）由相似三角形的性质可得，即可得结论．【详解】证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，∴，∴CE•AD＝DE2；（2）∵△ADE∽△DEC，∴，∴，∴．．【点睛】本题综合考查了等腰梯形的性质和相似三角形的判定与性质等内容，要求学生理解并掌握相关内容，能运用有关知识求出相等的角，能证明出相似的三角形，以及能利用相似三角形的性质解决不同的边之间的关系等问题，要求学生能在不同的三角形之间进行边和角的转化，蕴含了转化的思想方法．【名校自招练】一．选择题（共1小题）1．（2016•宝山区校级自主招生）四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，以下能推出ABCD是菱形的是（）A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC＝BD C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB∥CD，AD∥BC【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定．【解答】解：A、OA＝OB＝OC＝OD，是矩形，错误；B、AC＝BD符合矩形，错误；C、AB＝BC＝CD＝DA，四条边都相等的四边形是菱形，正确；D、AB∥CD，AD∥BC，是平行四边形，错误；故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．二．填空题（共10小题）2．（2012•长宁区校级自主招生）如图，两个完全相同的等腰直角三角形，左图中正方形的面积是2004平方厘米，那么右图中正方形的面积是2254.5平方厘米．【分析】根据第一个图形中正方形EFNM的面积，可知等腰直角三角形ABC的腰长，第二个图形中正方形ADQG的边长为等腰直角三角形腰长的一半，进而可得出右图中正方形的面积．【解答】解：设正方形EFNM的边长为2a∵OE＝a，AE＝a，BE＝EM＝2a，∴AB＝3a∵正方形EFNP的面积为2004，即（2a）2＝2004，∴a2＝501，∵AG＝GQ＝AB，∴正方形ADQG的面积为：GQ2＝（AB）2＝AB2＝×（3a）2＝a2＝×501＝2254.5，∴正方形的面积为2254.5平方厘米．故答案为2254.5．【点评】解答本题要充分利用正方形和等腰直角三角形的特殊性质．3．（2017•杨浦区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上的一个动点，过D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF长度的最小值为．【分析】连接CD，由题意可证四边形DECF是矩形，可得CD＝EF，根据垂线段最短，可得当CD⊥AB时，EF长度最短，即根据三角形的面积公式可求CD的长度，即可得线段EF长度的最小值．【解答】解：如图连接CD∵∠C＝90°，DF⊥AC，DE⊥BC∴四边形DECF是矩形∴EF＝CD∵垂线段最短∴当CD⊥AB时，CD的长度最短，即EF的长度最短．∵BC＝4，AC＝3，∠C＝90°∴AB＝5∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD∴CD＝∴EF长度的最小值为故答案为【点评】本题考查了矩形的性质和判定，利用垂线段最短求CD的长度最小值是本题的关键．4．（2005•上海自主招生）如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，AD＝BC，E是AD的中点，EB⊥BC，则梯形ABCD的面积是3．【分析】先延长CD交BE延长线上点G，过点A作AM⊥DC，过点B作BH⊥DC，根据AB∥CD，E是AD的中点得出△AEB≌△DEG，再根据AB＝2，得出DG和GC的长，再根据ABCD是等腰梯形，AM⊥DC，BH⊥DC，得出DM＝HC的值，再根据EB⊥BC，BH⊥DC得出△BGC∽△HBC，从而得出BC和BG的值，即可求出S△BGC的值，再根据△AEB≌△DEG，即可得出梯形ABCD的面积．【解答】解：延长CD交BE延长线上点G，过点A作AM⊥DC，过点B作BH⊥DC，∵AB∥CD，∴∠GDE＝∠EAB，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵∠GED＝∠AEB，∴△AEB≌△DEG，∵AB＝2，∴DG＝2，∴GC＝CD+GD＝4+2＝6，∵AM⊥DC，BH⊥DC，AD＝BC，∴DM＝HC＝1，∵EB⊥BC，BH⊥DC，∴∠EBC＝∠BHC＝90°，∵∠C＝∠C，∴△BGC∽△HBC，∴＝，∴BC2＝GC•HC，∴BC＝＝，∴BG2＝GC2﹣BC2，∴BG＝＝，∴S△BGC＝•BC•BG＝××＝3，∵△AEB≌△DEG，∴梯形ABCD与三角形BGC的面积相等，∴S梯形ABCD＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了等腰梯形的性质，本题通过作辅助线，把等腰梯形ABCD的面积转化为三角形BGC的面积是解题的关键．5．（2002•闵行区校级自主招生）对角线长分别为6cm和8cm的菱形的边长为5cm．【分析】根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形∴菱形的边长＝＝5cm故答案为5．【点评】本题主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及勾股定理的内容．6．（2020•宝山区校级自主招生）直线l1∥l2∥l3∥l4，其中l1，l2之间距离和l3，l4之间距离均为1，l2，l3之间距离为2．正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，则S四边形ABCD＝10．【分析】过A作AE⊥l1于E，过C点作CF⊥l2于F，根据AAS定理证得△ABE≌△BCF，得到AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，由勾股定理求得AB2＝10，即为正方形的面积．【解答】解：过A作AE⊥l1于E，过C点作CF⊥l2于F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，∴AB2＝AE2+EB2＝12+32＝10，∴S正方形ABCD＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、正方形的面积，解题的关键是利用了同角的余角相等证得∠ABE＝∠BCF．7．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，梯形ABCD的面积为43cm2，AE＝BF，CE与DF相交于O，△COD的面积为16cm2，则阴影部分面积是11cm2．【分析】已知AE＝BF，可设梯形的高为H，E到AD的距离为m．则可根据梯形性质和三角形面积求解．【解答】解：设梯形的高为H，E到AD的距离为m．则：S△ADE+S△BCF＝m①S△ADF+S△BCE＝•（H﹣m）